模态参数识别的单模态法,模态参数识别的导纳圆法

一．模态参数识别的单模态法常见的单模态识别有三种方法：直接读数法（分量分析法）、最小二乘圆拟合法和差分法。

所谓单模态识别法，是指一次只识别一阶模态的模态参数，所用数据为该阶模态共振频率附近的频响函数值。

待识别的这阶模态称为主导模态，余模态称为剩余模态，剩余模态的影响可以全部忽略或简化处理。

1． 直接读数法（分量分析法） 1）基本公式所谓分量分析法就是讲频响函数分成实部分量和虚部分量来进行分析。

N 自由度结构系统结构，p 点激励l 点响应的实模态频响函数可表示如下：2222222111()(1)(1)Nr rlp r err r r r g H j K g g ωωωω=⎡⎤--=+⎢⎥-+-+⎣⎦∑(1.1) 其中rer lr prK K φφ=，为第二阶等效刚度/r r ωωω=g 2r r rζω= ，为第r 阶模态结构阻尼比当ω趋近于某阶模态的固有频率时，该模态起主导作用，称为主导模态或者主模态。

在主模态附近，其他模态影响较小。

若模态密度不是很大，各阶模态比较远离，其余模态的频响函数值在该模态附近很小，且曲线比较平坦，即几乎不随频率而变化，因此其余模态的影响可以用一个复常数来表示，第r 阶模态附近可用剩余模态表示成： 222222211()()(1)(1)R Ir r lp C C err r r r g H j H H K g g ωωωω⎡⎤-=-++⎢⎥-+-+⎣⎦(1.2) ()lp H ω的实部和虚部可分别表示如下： 222211()(1)R Rr lpC err r H H K g ωωω⎡⎤-=+⎢⎥-+⎣⎦ (1.3) 2221()(1)I Ir lp C err r g H H K g ωω⎡⎤-=+⎢⎥-+⎣⎦(1.4)R CH 和I C H 分别是剩余模态的实部和虚部。

2）实频图和虚频图由于剩余模态与ω无关，故其相当于是在实频图和虚频图上上下平移一段距离。

此平行线又称为剩余柔度线。

3）模态参数的确定1.固有频率的确定固有频率可以从实频曲线与剩余柔度线的交点来确定。

由(1.3)可知，此处1r ω= 。

亦可由虚频曲线的峰值所对应的频率来确定。

用虚频曲线的峰值来确定比较好，因为峰值较尖，容易确定。

此外，剩余柔度的尺寸对峰值所对应的频率没有影响。

2. 阻尼比g r 或r ζ的确定阻尼比系数可由半功率带宽来确定。

r b a ωωω∆=- (1.5)对结构阻尼系统，阻尼比系数为：b ar r r rg g ωωωω-=∆=或 (1.6)对粘性阻尼系统，阻尼比系数为：22b a rr r rωωωζζω-∆==或 (1.7)3.模态振型的确定由(1.4)知，对主模态而言（不计剩余柔度），当1r ϖ=，有：(1)lr prIlp r r rH K g φφω==-(1.8)测出L 个测点的(1)I lp r H ϖ=值（l ＝1，2，3，…，L ）{}112211(1)(1)(1)(1)I p r I pr p r Ilprr r I Lp Lr L L H H HK g H ωφφωφωωφ⨯⨯⎧⎫=⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪===-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎩⎭⎩⎭M M (1.9)对r 阶模态，当采用单点激励时，prr rK g φ为常数。

因此，(1.9)即为模态振型。

对激励点归一化振型1pr φ= ，{}{}11(1)pr Ilprrr rHK g φωφ===-(1.10)4.模态刚度的确定由于(1)lr prIlpr r rH K g φφω==-，若取原点频响，并对原点归一化，则有：1(1)pr prIpp r r rr rH K g K g φφω==-=-- (1.11)则模态刚度表示如下： 1(1)r I pp r rK H g ω=-=5.模态质量的确定2rr r K M ω=(1.12)分量分析法的特点：• 简单方便，许多信号分析仪有实、虚频图分析能力； • 当模态密度不高时，有一定的精度； • 峰值有误差时，直接影响辨识精度；• 模态密集时，用半功率带宽确定模态阻尼，误差较大； • 模态密集时剩余模态不能用复常数表示，辨识精度受影响； •图解法受图解精度的影响。

2.最小二乘圆拟合法最小二乘圆拟合法的基本思想是，根据实测频响函数数据，用理想导纳圆去拟合实测的导纳圆，并按最小二乘原理使其误差最小。

我们先以结构阻尼加以讨论，由上面的讨论知，频响函数的实部和虚部是222211()(1)R r lperr r H K g ωωω⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦ 2221()(1)I rlp err r g H K g ωω⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦由上两式消去变量2(1)r ω-之后，可得：22211[()][()]()22R I lp lp er r er rH H K g K g ωω++= (1.13) 上式即是一个圆方程。

即是Nyquist 圆（或者导纳圆）。

即使是对于单自由度系统，由于模态测试等方面不可避免的误差，频响函数矢端轨迹不一定都落在理论圆上，为此必须找到一个理论圆，使此圆上的点的数值与实测值的误差最小，为此我们用最小二乘法。

以结构比例阻尼为例，其频响函数展开式为：211211()1nn i ei f i e f i i i i efi i ii m H k j k k j ϕωϕηηω====-+-+Ω∑∑1）不考虑剩余模态的影响若不考虑剩余模态的影响，则其主导模态为： 211()1e f efi i iH k j ωηΩ=-+它的矢端轨迹是一个完整的圆。

取其阻抗，为： 2()(1)e f efi i i Z k j ωη=-+Ω 其实部和虚部分别为：2()(1)e f efi i R Z k ω=-Ω ，()f e I e fi i Z k ωη= 为一个常数。

由以上两式可知，在复平面上其为一条平行于实轴的线，我们称之为阻抗线。

在这里我们并不需要用导纳圆来识别系统的模态参数，用其倒数，也就是阻抗线会比较简单。

模态参数的识别取原点阻抗的实部（令归一化方式为1fi ϕ=），为：2()i f i R f Z k m ωω=- 原点阻抗虚部为：()i I f i i f Z k g ηω==这里只是我们得到的理论的结果，在实际的模态测试中，总是会有误差，于是我们在该阶模态频响函数的共振峰附近测量s 个点(),()(1,2,...,)R I ff ff k k Z Z K S ωω=%% 运用最小二乘法，我们能直接得到：11()s I ff k k i g Z s ω==∑%1112112214s()()ss Rff k k sss R ff k k k i i k k k kk k Z k m Z ωωωωωω-=====⎡⎤⎧⎫--⎢⎥⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑∑∑∑∑%%这样我们就已经识别出了第i 阶模态质量，模态刚度。

由公式0i ω==及公式i i i g k η= 就可以得到第i 阶模态固有频率和第i 阶模态阻尼比了。

至于模态振型的求解，我们取该频响函数的虚部，并令频率比1i Ω= ，则有： 111(1)e f i I I efefi i H k Z ηΩ==-=-利用所测量得到的s 个()(1,2,...,)I e k f Z K S ω=%，并利用最小二乘法，得到： 11()sI I ef e k f k Z Z s ω==∑%%于是我们可取振型：{}211211(1)....1I f II I ff f e f i f Is I Isf Z H H Z H H Z ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ω===⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭于是上述的这列矢量就能作为振型矢量。

这种方法又称为最小二乘阻抗线识别法。

2）考虑剩余模态的影响令(),()R I lp lp H x H yωω== ，则理想圆的方程为：20220()()x x y y R -+-= ，设实测的数据点的坐标为,k k x y ，他们不一定在圆上。

因此必然有：00222()()k k x x y y R -+-≠偏差为：20202()()k k k e x x y y R =-+--令00220202,2,a x b y c x y R =-=-=+- 带入上式，得到： 22+k k k k k e x y ax by c=+++为此，我们要现在某阶频响函数的共振峰附近选取6~10个频率点。

并构造一下函数： 2221(+)k k k k mk E x y ax by c ==+++∑ ，其中m 为测量频率数。

要使上述误差最小，必须满足下列关系式：0,0,0E E E a b c∂∂∂===∂∂∂于是有： 2212212212()02()02()10nk k k k k k nk k k k k k nk k k k k x y ax by c x x y ax by c y x y ax by c ===++++=++++=++++⨯=∑∑∑写成矩阵形式，为： 23222322()()()k kk kk k k k kk k k k k k kk k x x y x a x x y x y x yb x y y x yn c x y ⎡⎤⎧⎫-+⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-+⎩⎭⎣⎦⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑由此可计算得到a ，b ，c ，并得到拟合圆的圆心坐标和半径：0022a x b y R =-=-对于拟合出来的导纳圆，我们就能用导纳圆识别法来进行参数识别，这部分我们会在之后的小节介绍。

二．模态参数识别的导纳圆法上节已经导出了一般情况下的拟合的导纳圆的方程，拟合圆的圆心坐标和半径：0022a xb y R =-=-=其中a ，b ，c 均已由最小二乘法计算得到。

1. 实模态情况对于实模态情况，由于其实部和虚部分别为： 22()Re(())2(())dr r dr rij rij R H ωωωσωω-=+- ，22Im(())2(())rrij ri d j r r R H σωσωω--=+从上式可以轻易看出，其导纳圆的方程式 222[Re(())][Im(())][]44rij rij rij ri rrj R R H H ωωσσ++=上式是一个标准的圆的方程，圆心是在纵轴的正下方，坐标为(0,)4rij rR σ-图像如下：模态参数的确定：（1） 阻尼共振频率的确定：导纳圆与虚轴的交点所对应的频率点。

由于：22()Re(())2(())dr r dr rij rij R H ωωωσωω-=+-及其圆的方程为：222[Re(())][Im(())][]44rij rij rij ri rrj R R H H ωωσσ++=所以在drωω= 时，Re(())0rij H ω= ，所以导纳圆与虚轴的交点对应的频率就是阻尼共振频率，且有：1222(Re(())][Im(())])2dr d rij rij rij rij r rR d H H ωωσ=+=（2） 阻尼比的确定如果能在导纳圆上确定实部的最大和最小值，则该最大和最小值所对应的频率就是半功率点频率 和 ，从而可以确定模态阻尼比：rab r ωωωξ2-=如果无法确定实部的最大和最小值，则在共振频率点附近左右两侧任取两点A ，B ，所对应的频率为1ω和2ω（如图）。