模态参数识别的单模态法,模态参数识别的导纳圆法

一．模态参数识别的单模态法

常见的单模态识别有三种方法：直接读数法（分量分析法）、最小二乘圆拟合法和差分法。

所谓单模态识别法，是指一次只识别一阶模态的模态参数，所用数据为该阶模态共振频率附近的频响函数值。待识别的这阶模态称为主导模态，余模态称为剩余模态，剩余模态的影响可以全部忽略或简化处理。

1． 直接读数法（分量分析法） 1）基本公式

所谓分量分析法就是讲频响函数分成实部分量和虚部分量来进行分析。 N 自由度结构系统结构，p 点激励l 点响应的实模态频响函数可表示如下：

2222222111

()(1)(1)N

r r

lp r er

r r r r g H j K g g ωωωω=⎡⎤--=+⎢⎥-+-+⎣⎦

∑

(1.1) 其中r

er lr pr

K K φφ=

，为第二阶等效刚度

/r r ωωω=

g 2r r r

ζω= ，为第r 阶模态结构阻尼比

当ω趋近于某阶模态的固有频率时，该模态起主导作用，称为主导模态或者主模

态。

在主模态附近，其他模态影响较小。若模态密度不是很大，各阶模态比较远离，其余模态的频响函数值在该模态附近很小，且曲线比较平坦，即几乎不随频率而变化，因此其余模态的影响可以用一个复常数来表示，第r 阶模态附近可用剩余模态表示成： 222222211

()()(1)(1)R I

r r lp C C er

r r r r g H j H H K g g ωωωω⎡⎤-=

-++⎢⎥-+-+⎣⎦

(1.2) ()lp H ω的实部和虚部可分别表示如下： 222211

()(1)R R

r lp

C er

r r H H K g ωωω⎡⎤-=

+⎢⎥-+⎣⎦ (1.3) 2221

()(1)I I

r lp C er

r r g H H K g ωω⎡⎤-=

+⎢⎥-+⎣⎦

(1.4)

R C

H 和I C H 分别是剩余模态的实部和虚部。 2）实频图和虚频图

由于剩余模态与ω无关，故其相当于是在实频图和虚频图上上下平移一段距离。此平行线又称为剩余柔度线。

3）模态参数的确定

1.固有频率的确定

固有频率可以从实频曲线与剩余柔度线的交点来确定。由(1.3)可知，此处1r ω= 。 亦可由虚频曲线的峰值所对应的频率来确定。用虚频曲线的峰值来确定比较好，因为峰值较尖，容易确定。此外，剩余柔度的尺寸对峰值所对应的频率没有影响。

2. 阻尼比g r 或r ζ的确定

阻尼比系数可由半功率带宽来确定。

r b a ωωω∆=- (1.5)

对结构阻尼系统，阻尼比系数为：

b a

r r r r

g g ωωωω-=∆=或 (1.6)

对粘性阻尼系统，阻尼比系数为：

22b a r

r r r

ωωωζζω-∆==或 (1.7)

3.模态振型的确定

由(1.4)知，对主模态而言（不计剩余柔度），当1r ϖ=，有：

(1)lr pr

I

lp r r r

H K g φφω==-

(1.8)

测出L 个测点的(1)I lp r H ϖ=值（l ＝1，2，3，…，L ）

{}

11221

1

(1)(1)(1)(1)I p r I pr p r I

lp

r

r r I Lp Lr L L H H H

K g H ωφφωφωωφ⨯⨯⎧⎫=⎧⎫

⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪

===-⎨⎬

⎨⎬⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪=⎩⎭⎩⎭

M M (1.9)

对r 阶模态，当采用单点激励时，

pr

r r

K g φ为常数。因此，(1.9)即为模态振型。

对激励点归一化振型1pr φ= ，

{}{}1

1

(1)pr I

lp

r

r

r r

H

K g φωφ===-

(1.10)

4.模态刚度的确定

由于(1)lr pr

I

lp

r r r

H K g φφω==-，若取原点频响，并对原点归一化，则有：

1

(1)pr pr

I

pp r r r

r r

H K g K g φφω==-

=-

- (1.11)

则模态刚度表示如下： 1

(1)r I pp r r

K H g ω=-

=

5.模态质量的确定

2

r

r r K M ω=

(1.12)

分量分析法的特点：

• 简单方便，许多信号分析仪有实、虚频图分析能力； • 当模态密度不高时，有一定的精度； • 峰值有误差时，直接影响辨识精度；

• 模态密集时，用半功率带宽确定模态阻尼，误差较大； • 模态密集时剩余模态不能用复常数表示，辨识精度受影响； •

图解法受图解精度的影响。

2.最小二乘圆拟合法

最小二乘圆拟合法的基本思想是，根据实测频响函数数据，用理想导纳圆去拟合实测的导纳圆，并按最小二乘原理使其误差最小。

我们先以结构阻尼加以讨论，由上面的讨论知，频响函数的实部和虚部是

2

22211

()(1)R r lp

er

r r H K g ωωω⎡⎤-=

⎢⎥-+⎣⎦ 2221

()(1)I r

lp er

r r g H K g ωω⎡⎤-=

⎢⎥-+⎣⎦

由上两式消去变量2(1)r ω-之后，可得：

22211

[()][()]()22R I lp lp er r er r

H H K g K g ωω++

= (1.13) 上式即是一个圆方程。即是Nyquist 圆（或者导纳圆）。

即使是对于单自由度系统，由于模态测试等方面不可避免的误差，频响函数矢端轨迹不一定都落在理论圆上，为此必须找到一个理论圆，使此圆上的点的数值与实测值的误差最小，为此我们用最小二乘法。

以结构比例阻尼为例，其频响函数展开式为：

2112

11

()1n

n i ei f i e f i i i i efi i i

i m H k j k k j ϕωϕηηω====-+-+Ω∑∑