高等数学(本科少学时类型)同济第三版课后习题答案选解1

高等数学（本科少学时类型）同济第三、四版课后习题答案选解1第一章

函数与极限

1.1函数

P.17习题1.11.

.

005.0:01.0;05.0:1.0,222,1),,1(<=<=<<-<-∈δεδεεδδδx x U x 1.

.3.下列函数是否为同一函数？为什么？

（1）2()2ln ()ln f x x x x j ==与；

（2）()f x =

()x x j =；（2）

（3）()f x =与()g x x =；

（4）()f x =与()sin g x x =；解：（1）否；因为定义域不同；

（2）否；因为对应关系不同；（2）否；因为函数的定义域不同；

（3）是；因为定义域和对应关系及值域都相同；

（4）否；因为对应关系及值域都相同；

4.求下列函数的定义域：

（1）1y x =（2）2232

x y x x =-+；

（3）arcsin(3)y x =-；

（4）1arctan y x =；（5）ln(1)y x =+；

（6）1x y e =；

解：（1）要使1y x

=有意义，需使20,10x x ¹-³故函数的定义域为[-1,0)[(0,1].

（2）要使2232

x y x x =-+有意义，需使2320x x -+¹故函数的定义域为(-,-2)(-2,1)[1,+

.) （3）要使arcsin(3)y x =-有意义，需使31x -£故函数的定义域为[2,4].

（4）要使1arctan y x

=有意义，需使30,0x x ->¹故函数的定义域为(-,0)(0,3].

¥（5）要使ln(1)y x =+有意义，需使10x +>故函数的定义域为+).

(1,-¥（6）要使1x

y e =有意义，需使0x ≠故定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .5.

6.

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8.

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10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇函数又非偶函数？

（1）22(1)y x x =-；

（2）233y x x =-；（3）(1)(1)y x x x =-+；（4）2

x x

a a y -+=；（5）2

x x

a a y --=；（6）sin cos 1y x x =-+；解：（1）按运算：偶函数与偶函数的和差积仍是偶函数；也可以按定义判定；

（2）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；

（3）按运算：奇函数与奇函数的积是偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数；所以是奇函数；也可以按定义判定；

（4）定义域对称，()()f x f x -=所以函数是偶函数；

（5）定义域对称，()()f x f x -=-所以函数是奇函数；

（6）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,)l l -内的，证明：

（1）两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数；

（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

证明：（1）假设12(),()f x f x 是(,)l l -上两个偶函数，则1122()(),()()f x f x f x f x -=-=，令12()()()F x f x f x =+，则12()()()()F x f x f x F x -=-+-=，故()F x 为偶函数.假设12(),()g x g x 是(,)l l -上两个奇函数，则1122()(),()()g x g x g x g x -=--=-，令12()()()G x g x g x =+，则12()()()()G x g x g x G x -=-+-=-，故()G x 为奇函数.

（2）假设12(),()f x f x 是(,)l l -上两个偶函数，则1122()(),()()f x f x f x f x -=-=，令12()()()F x f x f x =×，则12()()()()F x f x f x F x -=-×-=，故()F x 为偶函数.假设12(),()g x g x 是(,)l l -上两个奇函数，则1122()(),()()g x g x g x g x -=--=-，令12()()()G x g x g x =×，则12()()()()G x g x g x G x -=-×-=，故()G x 为偶函数.

假设(),()f x g x 是(,)l l -上偶函数和奇函数，则()(),()()f x f x g x g x -=-=-，令()()()H x f x g x =×，则()()()()H x f x g x H x -=-×-=-，故()H x 为奇函数.

4.已知函数1()f x 和2()f x 是在区间(,)-¥+¥内的奇函数，函数1()g x 和2()g x 是在区间(,)-¥+¥内的偶函数。试证明：

（1）12()()f x f x ±是奇函数，12()()g x g x ±是偶函数；

（2）12()()f x g x 和12()()g x f x 是奇函数，12()()f x f x 和12()()g x g x 是偶函数证明：已知函数1()f x 和2()f x 是在区间(,)-¥+¥内的奇函数，即

1122(,),(,),()();()()x x f x f x f x f x "Î-¥+¥-Î-¥+¥-=--=-有；又已知函数1()g x 和2()g x 是在区间(,)-¥+¥内的偶函数，即

1122(,),(,),()();()()x x g x g x g x g x "Î-¥+¥-Î-¥+¥-=-=有；所以（1）

121212121212(,),(,),()()[()()];()()(,),(,),()()()();()().

x x f x f x f x f x f x f x x x x g x g x g x g x g x "Î-¥+¥-Î-¥+¥-±-=-±±"Î-¥+¥-Î-¥+¥-±-=±±有且即是奇函数.

有且g 即是偶函数（2）

121212121221121212(,),(,),()()()();()()(,),(,),()()()();()()(,),(,),()()()();

()().

(x x f x g x f x g x f x g x x x x f x g x f x f x g x x x f x f x f x f x f x f x x "Î-¥+¥-Î-¥+¥--=-"Î-¥+¥-Î-¥+¥--=-"Î-¥+¥-Î-¥+¥--="Î-¥有且即是奇函数.

有且g 即是奇函数.

有且即是偶函数121212,),(,),()()()();()()x x g x g x g x g x g x +¥-Î-¥+¥--=有且g 即是偶函数.

13.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：

（1）cos(2)y x =-；

（2）1sin y x p =+；（3）cos y x x =；（4）2

sin y x =；