晶体对称和极射投影

40°
A1
A1 点沿自身所在纬线转过相
同的角度到达A2；
A2 绕B2 按预定方向和角度
转过40º 角到达A3；
B2按步骤②中的逆向转回到其投影位置B1，A3沿其所在纬线绕NS转 过与B2相同的角度到达A4，A4即为A1绕B1转动40º 角后的新位置。
投影面的转换：利用极点转动的方法可将晶面或晶向向新的投影面投影。
a b c , 900
一个 6 或 6
一个 4 或 4 一个 3 或 3 三个 2 一个 2 无（仅有i ）
1200
a b c, 900
a b c, 900
a b c, 900
C2V , D2 , D2 h
数目也受到限制, 只有32种.
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 第二位 第三位 方向 点群 方向 可能对称元 方向 可能对称元 素 素
三斜
单斜
1,`1
2,m,2/ m
任意 无
Y 无
无
无
1，`1
2,m,2/m
正交
四方
2，m
4,`4， 4/m 3,`3 6,`6, 6/m
空间群符号LS1S2S3
1.
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。 第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型： P， I， F， C， A， B。 其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对称
2.
元素。
3.
如果没有二义性可能，常用符号的省略形式 (如Pm，而不用写成P1m1)。
晶体的宏观对称类型： 八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。 由此，推出晶体所属的32个点群。
轴
轴—面 mh mv
无面
C1 CS
C2 C2h C2V D2 D2h
D2d
C3 C3h C3V D3 D3h
D3d C3i
C4 C4h C4V D4 D4h
S4
C6 C6h C6V D6 D6h


1.5.3 吴氏网和极网
北极
赤道 若以赤道平面
上一点为投影点， 投影面平行于NS轴， 则得乌氏网。 南极
若以N或S为投
射点，而投影面平 行于赤道平面，则
得到极网 。
转动轴与投影面呈任意倾角：轴的投影为B1点，欲使A1绕B1顺时针转动40º 。 将B1置于乌氏网的赤道线上； 将A1 、B1 同时绕NS轴转动， 直至B1 到达投影基圆圆心B2 ， A2 48° A4 48° B1 48° B2 A3
三个 4 或四个 3
O ,Oh ,T ,Th ,Td
C 6 ,C 6 h ,C 3 h ,C 6 v D 6 , D 6 h , D3 h C 4 , S 4 , C 4 h , C 4V D4 , D4 h , D2 d
C3 ,C3i ,C3V , D3 , D3d
a b c, 900

( t )L( )

a
反映平移 M( t )
1 / 2a
同形性：宏观中，平移被掩盖，其它操作宏观微观一一对应。
从晶系到空间群
7个晶系
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
32个点群
230个空间群
空间群(Space Group)

晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身 的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。它 是晶体的对称宏观元素和微观对称元素的总和，一共有230 种空间群。 空间群是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点群的组合。 230个空间群是由14个Bravais点阵与32个晶体点群系统组 合而成。
（b）转动过程
（c）转动结果
100 110 111 010 011 101 001 111 011 010 110
111 110
101
111 110
100
（100）极图
100 101
111 101 111 001 011 110 111 111 011
110
1பைடு நூலகம்0
011
010
010 111 101 110 100 011
D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm
7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d; -42m,-3m
8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)
T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432,-43m,m3m
晶体点群的Schönflies 和国际符号
对称元素的图示和印刷符号（1）
对称元素的图示和印刷符号（2）
了解Herman-Mauguin空间群符号

空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即 Pnma、I4/mmm等)来指定。 在简略符号中包 含能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元
素。

从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais 点阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之 亦然）。
直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与
一组直线点阵垂直。 2、晶体中存在的对称轴的轴次仅限于1，2，3，4，6， 而不存在5及6以上的轴次。
32个晶体学点群
晶体的宏观对称操作是点操作，所有宏观对称元 素会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶 体学点群. 晶体的宏观对称元素只有8种，晶体点群
P、Q、K投影在以O为 极点的平面上，现欲将P、
Q二点投影在以K为极点的
投影面上，其作法是将K通 过乌氏网的运作转到投影基
K P 80° 80° K1 O P1
圆的中心，P、Q随之作相
同 的 旋 转 到 达 新 位 置 P1 、 Q1，这就是以K为投影面时，
P、Q点的极点位置。
Q
80°
Q1
（a）转轴B1与极点A1的位置
1.4 晶体宏观、微观对称及空间 群和点群
1.4.1 宏观对称 1.4.2 微观对称 1.4.3 空间群和点群
1.4.1 晶体的宏观对称元素： 1、宏观对称元素：由于晶体中的某部分为有限的几何图形， 具有点对称性——宏观对称元素。
对称中心 i
反演
反映面 m
旋转轴 n 反轴 n
反映
旋转
I M L( )
X
Z
2，m
Y
2，m
Z
222,mm2,mmm
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
无， 2，m X
无， 2，m 底对 角线 无 无， 2，m 底对 角线
三方 六方
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X

空间群分布

三斜晶系：2个；单斜晶系：13个 正交晶系：59个； 三方晶系：25 四方晶系：68个；六方晶系：27个 立方晶系：36个。 有对称中心90个，无对称中心140个。 73 个 symmorphic (点式) ， 157个 non-symmorphic。
空间群对称元素的标准符号
轴—21—面 轴—m—i 正四面体
mh mv Ci T Th
Td
正八面体
O Oh
晶系和空间点阵形式：
1、七个晶系：根据晶胞的类型，找相应特征对称元素，可以把
32个点群划分为七个晶系。特征对称元素中，高轴次的个 数愈多，对称性高。晶系从对称性由高到低的划分。 晶系 特征对称元素 所属点群 晶胞参数 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
旋转反演 L( )I
对称元素
对称中心 反映面(镜面) 一重旋转轴
国际符号
对称操作
倒反 反映 旋转
等同元素或组合成分
1
i
m
1
I M
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 )
3 i 3
2
二重旋转轴
三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴 四重反轴
2 3 4 6
旋转
旋转 旋转 旋转 旋转倒反
011
011
111 111
101
110
111
111
111
101
110 100
b) （011）
c) （111）
C 2 ,C S ,C 2 h
a b c, 900 , 900
a b c ,
C1 ,Ci
1.4.2 微观对称元素：
由于晶体的周期性结构，是无限的几何图 形，具有微观对称性——微观对称元素。 点阵 螺旋轴 nm 滑移面 如 二重螺旋轴 21 平移 螺旋旋转
立方
2,m,4, `4
X
3,`3
体对 无， 2，m 面对 角线 角线
23,m3,432, `43m, m`3m
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。
Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。
Sn:具有一个n次反轴的点群。
T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。
O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,3/m ( ) ,4/m,6/m
* 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如P21/c,
如滑移面选为在a方向，符号为P21/a;如滑移面选为对角滑移，符号为
P21/n。
1.5 晶体的投影



1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5
球面投影 极射赤面投影 吴氏网和极网 标准投影 极射投影的应用
3.旋转轴加通过该轴的镜面：
C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm
4.旋转反演轴
S2= Ci, S4,S6=C3d; -1,-4,-3
32种点群的符号表示符号及性质
5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴：
D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622
6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：
3 m 6
L(60 )
L(90 ) I
4
晶体中的宏观对称元素
2，3，4，6次轴和平面点阵的结合
五种平面点阵分别属于下表的四种平面 晶系
对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2， 3，4，6轴和对称心，互相组合只能形 成10种二维晶体学点群
二、晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构 的周期性相适应。 原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组
1.5.1 球面投影

迹式球面投影法 极式球面投影法
迹式球面投影法
极式球面投影法
1.5.2 极射赤面投影
基圆 投影面 P
N 参考球
P' N'
投射点
W
W'
B O'
E'
O 观察者 E
S'
通过BOPP'的截面
P O P' B
S
O'

极射赤面投影的两个重要的性质： 1、球面上圆的投影仍然为圆 2、球面上两个圆的夹角等于它们投影之 间的夹角。（如何测量？乌氏网）