第四章 符号数学基础
信息安全数学基础(第四章)
4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
一、奇素数模 p 的平方(非)剩余判别条件
定理4.2.1 (欧拉判别条件) p是奇素数，若(a, p)1, 则
p1
(i) a是模p的平方剩余a 2 1 (modp);
p1
(ii)a是模p的平方非剩余a 2 1 (modp);
且若a是模p的平方剩余,则同余式
x2 a (modp), (a,p)1
ax2
bxc 0
（mod
p1 1
)
有解.
ax2
bxc 0
（mod
pk k
)
因 此 只 需 讨 论 素 数 模 p 的 同 余 式 :
a x 2 b x c0(m o dp ), a 0(m o dp )(2 )
将 同 余 式 (2)两 端 同 乘 以 4a,得 4a2x24abx4ac0(m odp)
41一般二次同余式42模为奇数的平方剩余与平方非剩余43勒让得符号44二次互反律的证明45雅可比符号46模p平方根
4.1 一般二次同余式
二 次 同 余 式 的 一 般 形 式 是 a x 2 b x c0(m o d m )， a 0(m o d m )(1 )
设m=
p1 1
p2 2
pk k
,
则(1)有解
练习：在与模31互素的剩余中，指出平方剩余。 求 出 1 9 ， 2 3 的 平 方 剩 余 和 平 方 非 剩 余 。
提 示 ： p 为 奇 素 数 ， 应 用 定 理 4 . 2 . 2 的 结 论 .
4.3 勒让得符号
定义4.3.1
设p是素数,勒让得符号
ap定义如下:
1, 若a是模p 的平方剩余;
小学一年级课堂教案：认识基础数学符号
小学一年级课堂教案：认识基础数学符号一、引言在小学一年级的数学课堂中，认识基础数学符号是孩子们学习数字和算术运算的重要一步。
通过教授基础数学符号的认知，不仅可以帮助孩子们建立对数学概念和思维方式的初步了解，还可以为他们将来更深入地掌握数学知识打下坚实的基础。
二、认识基础数学符号1. 数字在数学中，数字是最基本的表示数量的符号。
小学一年级主要教授0-9这十个阿拉伯数字，并逐渐引入计量单位。
2. 加减法符号加法是指将两个或多个数字进行合并，得到总数。
而减法则是指从一个较大的数字中减去一个较小的数字，得到差。
在小学一年级，引导孩子们掌握"+"和"-"这两个简单且常用的运算符号。
3. 等于号等于号（=）用来表示两个物体或数量相等。
例如：2 + 3 = 5 表示2加3等于5。
4. 大于、小于和等于大于（>）、小于（<）和等于（=）是比较大小时使用的符号。
教师可以借助实际物体或图形，让孩子们通过比较数量或大小来理解这些符号的含义。
5. 数组符号数组是一种有序排列的数字。
教师可以用圆圈、点、笔画等方式来表示不同的数组。
通过观察和分析数组，孩子们可以学会数数和排序。
6. 乘法符号乘法是将两个相等的数字加在一起，得到一个更大的数字。
小学一年级通常只介绍乘法表中的两倍数（2,4,6,8等），并借助图形和实物进行实际应用。
7. 除法符号除法是将一个较大的数字平均分成若干份，每份大小相等。
通过介绍分母和分子的概念，教师可以引导学生理解除法运算。
例如：4 ÷ 2 = 2 表示将4平均分成2份，每份为2。
三、教学方法与策略1. 目标明确在教学开始前，明确本节课要学习哪些基础数学符号，并告知孩子们这些符号在日常生活中的应用。
2. 游戏化教学针对小学一年级孩子们好奇、喜爱游戏的特点，可以设计一些趣味游戏，让他们通过玩耍中体验符号的意义和运用。
3. 视觉辅助适当使用图片、图表、数轴等视觉辅助工具，可以帮助孩子们更好地理解符号的含义和应用。
第4章 符号数学基础0.2
a = 5.3777 sa = pi+sqrt(5) Ca = double Csa =sym ans = .138223758410852e-16
第4章 符号计算
4.1 符号对象和符号表达式
4.1.1符号对象的创建和衍生
3 符号参数： 在经典的教科书里，常把表达式sinaxcosbx中的a,b称为 参数，它们可在某范围取确定值，但事先并不知道具体的 数值。MATLAB在其符号计算中也把符号参数作为构造符 号表达式和参与符号运算的一个基本组成元素。
第4章 符号计算
4.1 符号对象和符号表达式 4.1.3 符号计算中的函数指令 在matlab中，用于符号计算的函数很多，分成三个层次： 第一层次:几乎与所有数值类函数和指令对应的“同名符号类 函数和指令”； 第二层次：约50个经典特殊函数（如误差函数、贝塞尔函数等） 它们要借助mfun调用，在matlab数值计算中没有对 应的函数可供调用。 第三层次：数量很大的Maple库函数，它们借助maple调用。
第4章 符号计算
4.1 符号对象和符号表达式 4.1.1符号对象的创建和衍生 4 符号变量 • findsym(EXPR) 符号变量 %确认表达式EXPR中所有自由
说明： • EXPR可以是符号矩阵，此时，该指令对自由变量的确认是 对整个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。 • 在MATLAB符号计算中，x是首选的符号变量，其后的次序 排列规则是：与x的ASC码值绝对值小的字母优先，差绝 对值相同时，ASC码值大的字母优先。 • 自动识别符号变量时，字母的优先次序为x,y,w,z,v等
Matlab 与计算方法
华侨大学计算机学院 张国亮 2010.10
第4章 符号计算
什么是符号计算？
数学的基础-----数学符号
数学符号
公元十五世纪，德国数学家魏德曼首创“＋”加号、“－”减号．他把一条横线与一条竖线合在一起来表示合并（增加）的意思，而从加号中去掉－竖就表示拿去（减少）的意思．十八世纪，美国数学家欧德莱最先使用“×”．因为乘法是一种特殊的加法，欧德莱就把加号斜着写以表示相乘．十八世纪，瑞士人哈纳首创除号“÷”．他用一条横线把两个圆点分开，表示分解的意思．十六世纪，英国医生罗伯特·雷科达首先倡议用“＝”表示相等．十七世纪，微积分的创始人莱布尼兹首先使用乘号“·”、比号“∶”．十六世纪，代数学的创始人之一魏治德首创中括号“〔〕”、大括号“｛｝”，并用于数的计算中．。
4-1 狄拉克符号
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
4-1 狄拉克符号
~6~
线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n
的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B
n
。同样，我们很快会知道，B
n
包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
(17)
n
或写为 T x Fx 。与 线性的
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭
T ax by Faxby a Fx b Fy
matlab 第4章 符号数学基础
HYIT
Байду номын сангаас31
例4-9：对下列方程（即隐函数）求导
cos( x + sin y) = sin y
clear syms x g=sym('cos(x+sin(y(x)))=sin(y(x))'); dgdx=diff(g,x) dgdx = -sin(x+sin(y(x)))*(1+cos(y(x))*diff(y(x),x)) = cos(y(x))*diff(y(x),x)
x + 2x − 3
2
a=[1 2 -3]; r=roots(a)
ax + bx + c
2
r = -3.0000 1.0000
syms a b c x s=a*x^2+b*x+c; r = r=solve(s) 1/2/a*(-b+(b^21/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)) 1/2/a*(- (b^21/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)) 4
HYIT
16
4.2 符号表达式的化简和替换
HYIT
17
4.2.1 符号表达式的化简
因式分解：函数为：factor,调用格式： factor(S), 在这里可以使用函数pretty将符 号表达式按照书写的习惯方式显示。 如果S 的所有元素为整数，则计算其最佳因数分解 符号表达式的展开： 函数为：expand(S) 符号表达式的同类项合并： 函数为：collect(S,n) 将符号表达式S中自变量n的同次幂系数合并
HYIT
20
例4-4:简化 syms x; f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); [g1,how]=simple(f) [g2,how]=simple(g1)
第四章 符号数学基础1
syms x y f=x/y+y/x;
[n,d]=numden(f)
符号数学基础
6.嵌套
将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式 表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：
horner(s) 【例15】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x^3-6*x^2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x
factor(sym('12345678901234567890'))
符号数学基础
2.符号表达式的展开
expand函数的功能为：展开符号表达式 调用格式为：expand(S) 【例12】展开表达式f=(x+1)^5和 f=sin(x+y)。 syms x y f=(x+1)^5;
expand(f)
符号数学基础
例如，数学表达式 f=xn g=sin(at+b) 根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,c为 符号常数，x为符号变量。 若在MATLAB中表示上述表达式，首先用 syms 函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进 行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统 采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认 a,b,c为符号常数，x，t为符号变量。 即 ： 对函数f求导为：df/dx 对函数g求导为：dg/dt
collect：合并同类项
factor：因式分解
conbert：完成表达式形式的转换
符号数学基础
5.符号表达式的分式通分
也可称为提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为 有理分式，可利用numden函数来提取符号表达 式中的分子或分母。其一般调用格式为： [n,d]=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将 它们存放在n与d中。
七年级第四章第一节知识点
七年级第四章第一节知识点七年级数学的第四章第一节内容是关于代数基础知识的学习，主要包括代数符号、代数式、变量、系数、项与项数、项系数和多项式的概念，下面就来一一介绍。
一、代数符号
代数符号是有特定意义的字母，用于表示数，常见的代数符号有x, y, z等。
代数符号的作用在于将数值用字母替代，方便运算和推导。
二、代数式
代数式由数或代数符号以及运算符号组成，示例：3x+4y，x²-y²等。
代数式也可以简写为字母表示，比如x²-y²可以表示为(a-b)×(a+b),这样方便运算。
三、变量
变量是代数符号的一种，用字母表示。
变量的值表示可变的数，例如：当x=2时，3x+1=7；当x=4时，3x+1=13。
四、系数
系数是代数式中，变量的倍数也就是数字的值。
例如：代数式
3x中的系数为3。
五、项与项数
项是代数式中加号和减号分隔出来的式子，例如3x和4y都是
代数式3x+4y中的项。
项的数量就是代数式中加号和减号的个数。
六、项系数
项系数是指代数式中项前面的数字，它表示对应项的大小。
例如：在代数式3x+4y中，3是x的项系数，4是y的项系数。
七、多项式
多项式是由多个项按照一定顺序相加或相减得到的式子。
例如：3x²+2x-1就是一个三项式。
以上就是七年级第四章第一节代数基础知识点的介绍。
在学习
代数知识时需要理解这些基本概念，才能更好的掌握代数知识。
初步认识数学符号
初步认识数学符号数学是一门基础科学，它使用一种特殊的符号系统来表示数学概念、关系和运算。
这些符号在数学中起着非常重要的作用，它们不仅能够简洁地表达数学内容，还能够帮助我们进行推理和解决问题。
在本文中，我们将初步认识一些常见的数学符号及其含义。
一、基本运算符号1. 加号 (+)加号是数学中最基本的运算符号之一，它表示两个数的求和。
例如，2 + 3 = 5，表示将2和3相加得到5。
2. 减号 (-)减号表示两个数的减法运算，用来计算一个数减去另一个数的差值。
例如，5 - 3 = 2，表示将3从5中减去得到2。
3. 乘号 (×)乘号是表示两个数相乘的符号，用来表示乘法运算。
例如，2 × 3 = 6，表示将2乘以3得到6。
4. 除号 (÷)除号表示除法运算，用来计算一个数除以另一个数的商。
例如，6 ÷2 = 3，表示将6除以2得到3。
二、数学关系符号1. 等号 (=)等号是表示相等关系的符号，用来表达两个数或表达式相等的关系。
例如，2 + 3 = 5，表示2加3等于5。
2. 大于号 ( > )大于号用来表示一个数比另一个数大的关系。
例如，5 > 3，表示5大于3。
3. 小于号 ( < )小于号用来表示一个数比另一个数小的关系。
例如，3 < 5，表示3小于5。
4. 大于等于号( ≥ )大于等于号表示一个数大于或等于另一个数的关系。
例如，3 ≥ 3，表示3大于等于3。
5. 小于等于号( ≤ )小于等于号表示一个数小于或等于另一个数的关系。
例如，3 ≤ 5，表示3小于等于5。
三、代数符号1. 变量 (x, y, z)变量是代表未知数的符号，在数学中经常用字母表示。
例如，x + 3 = 7，其中的x就是一个变量，表示一个未知数。
2. 常数 (a, b, c)常数是代表确定数值的符号，在数学中也用字母表示。
常数与变量相反，它们是已知的。
例如，2x + 3 = 7，其中的2、3和7都是常数。
认识大于号、小于号和等于号课件
认识大于号、小于号和等于号课件一、教学内容本节课我们将学习《数学基础》第一册第四章“比较与排序”的第一节，详细内容涉及比较大小的基本符号——大于号（>）、小于号（<）和等于号（=）。
通过教材的学习，学生将理解这些符号的含义，并能够正确运用它们进行比较。
二、教学目标1. 知识目标：学生能够认识并掌握大于号、小于号和等于号，理解它们在数学表达中的用途。
2. 技能目标：学生能够运用大于号、小于号和等于号进行比较，解决实际问题。
3. 情感目标：激发学生对数学符号的好奇心，培养他们的逻辑思维能力和对数学的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：理解并正确使用大于号、小于号和等于号进行比较。
教学重点：掌握符号的含义，并在实际情景中应用。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、数字卡片、比较符号卡片。
2. 学具：练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示两堆不同数量的玩具，引导学生通过数数比较玩具的多少。
提问：“我们应该怎么表示这两堆玩具的数量关系呢？”2. 新知讲解（15分钟）引入大于号（>）、小于号（<）和等于号（=），解释符号的含义。
通过PPT展示符号用法，讲解比较原则。
3. 例题讲解（15分钟）通过PPT展示例题，一起解答并讨论如何使用比较符号。
解答过程中强调符号的正确书写和使用。
4. 随堂练习（10分钟）学生在练习本上完成几道比较大小题目。
教师巡回指导，及时纠正错误。
5. 小组讨论（5分钟）学生分小组讨论生活中可以使用比较大小的情境。
每个小组分享讨论成果，全班讨论。
六、板书设计板书中心位置写出大于号（>）、小于号（<）和等于号（=）。
旁边列出符号的定义和用法。
在另一侧板书例题和答案。
七、作业设计1. 作业题目请比较下列数字的大小，并写出正确的符号：5___3，8___8，2___7。
在生活中找一个物品，描述其数量，并用比较符号表示出来。
2. 答案5>3，8=8，2<7。
第四章 符号数学基础
– –
–
f是矩阵时，求导对元素逐个进行，但自变量定义在 整个矩阵上。 v确省时，自变量会自动由findsym确认；n缺省时， 默认n=1。 注意：在数值计算中，指令diff是用来求差分的。
（三）符号积分
积分有不定积分、定积分、旁义积分和重积分等。一般 说来，积分比微分更难求取。MATLAB的int指令能够接 通MAPLE，并进行十分有效的机器求积。 与数值积分相比，符号积分指令简单，适应性强，但可 能占用机器时间很长。 有时符号积分也可能给出相当冗长而生疏的“闭”符号 表达式，有时可能给不出 “闭”解。凡MATLAB求积不 能给出“闭”解时，int运行结束将给出警告提示和积分 的原式。 intf=int(f,v) 给出f对指定变量v的（不带积分常数的）不定积分 Intf=int(f,v,a,b) 给出f对指定变量v的定积分
（四）符号序列的求和
对于数学上的通式求和 f ( v ) 问题，可用MATLAB的 va 求和指令解决。 s=symsum(f,v,a,b)
求通式f在指定变量v取遍[a,b]中所有整数时的和
b
注：
– – –
f是矩阵时，求和对元素逐个进行，但自变量定义在整个矩阵 上。 v确省时，f中的自变量由findsym自动辨识；b可以取有限整数， 也可以取无穷大。 a,b可同时缺省，此时默认求和的自变量区间为[0,v-1]。
计算符号表达式F中默认自变量趋向于a条件下的极限
limit(F)
计算符号表达式F在默认自变量趋向于0时的极限
limit(F,x,a,’right’)和limit(F,x,a,’left’)
计算符号表达式F在x→a条件下的右极限和左极限
（二）符号微分
求导数、高阶导数、偏导数是数学分析的重要 内容。由机器实现求导的MATLAB指令如下： d n f (v ) dfdvn=diff(f,v,n) 求 。 n dv 注：
第4章 数学文化中的符号语言(20070306)讲解
一、符号的涵义
我们首先考察英语symbol一词的词义。韦氏词典对symbol(符 号)的解释是：表示或代表另一事物的事物,尤其是那些用于表示抽 象对象的事物。“symbol”较狭义的意义是：出现在数学，化学及 音乐等中的书写或印刷标记、字母或缩写等等，用于表示物体、质 量、过程或数量等。本章关于数学符号的讨论主要限于后面的意义。 鉴于我们关心的是数学文化这一领域的问题，因此也不妨对较广义 上的“符号”也做一些简单的介绍。
●表示一些特别数的符号，如用e 表示自然对数，和用π表示 圆周率 3.14159265…。
●括号,如 ( ) ,[ ],和 { }等等;通过它，可以对代数符号与 符号构成式子（或项），进行组织，使之能形成各种复杂的结构。 括号在数学上，特别是代数公式语言的构成上起着十分重要的作用。 这是值得特别注意的。
图案，恰恰是中国的太极图，其中“阴”“阳”补的”(Contraia sunt complementa)的题词，来表示他对古代东方的 智慧与现代西方的科学之间所存在的和谐一致， 的深刻理解。
三、符号的作用
中国的圣贤们所创造的“八卦”是第二个例子，它表明“符号” 的另一个重要功能：我们可以对某些符号进行操作或变换，以表示 某种推理。《易经》是一部在几千年内不断丰富发展起来的著作， 它包含着最重要的中国思想时代产生的许多层次。该书的起点是形 状如下的图形，其中每个图形由六条线组成，而每一线又有两种可 能：断开的线（- -），称为“阴”；不断开的线（—），称为 “阳”。
●计算机科学使用了许多数学符号（有的形式上略有变化）， 但也有自己独特的符号，如：→, END，DECLEAR，IF 和WHILE 等 等。而由于技术或其他原因，一些计算机所使用的数学符号与通常 书面形式会略有不同，如：用“*” 表示通常的乘法记号“×”或 “·” ；用“/”或“┐” 表示通常的“÷” ；…等。
中小学常用数学符号
中小学常用数学符号在学习数学过程中，我们经常会遇到各种各样的符号，这些符号有着特定的含义和用途。
在本文中，我们将介绍一些中小学常用的数学符号，并解释其含义和应用。
一、基础数学符号1. 加法符号（+）：表示两个数相加的运算。
例如，2 + 3 = 5，表示2和3相加等于5。
2. 减法符号（-）：表示两个数相减的运算。
例如，5 - 3 = 2，表示5减去3等于2。
3. 乘法符号（×或者*）：表示两个数相乘的运算。
例如，2 ×3 = 6，表示2乘以3等于6。
4. 除法符号（÷或者/）：表示两个数相除的运算。
例如，6 ÷3 = 2，表示6除以3等于2。
5. 等于符号（=）：表示两个数相等的关系。
例如，2 + 3 = 5，表示2加3等于5。
6. 不等于符号（≠）：表示两个数不相等的关系。
例如，2 + 3 ≠ 6，表示2加3不等于6。
二、集合符号1. 包含于符号（⊂）：表示一个集合是另一个集合的子集。
例如，A ⊂ B，表示集合A是集合B的子集。
2. 不包含于符号（⊄）：表示一个集合不是另一个集合的子集。
例如，A ⊄ B，表示集合A不是集合B的子集。
3. 元素属于符号（∈）：表示一个元素属于某个集合。
例如，a ∈A，表示元素a属于集合A。
4. 元素不属于符号（∉）：表示一个元素不属于某个集合。
例如，a ∉ A，表示元素a不属于集合A。
5. 空集符号（∅）：表示一个不含任何元素的集合，也称为空集。
三、比较符号1. 大于符号（>）：表示一个数大于另一个数。
例如，5 > 2，表示5大于2。
2. 小于符号（<）：表示一个数小于另一个数。
例如，2 < 5，表示2小于5。
3. 大于等于符号（≥）：表示一个数大于或等于另一个数。
例如，5 ≥ 2，表示5大于等于2。
4. 小于等于符号（≤）：表示一个数小于或等于另一个数。
例如，2 ≤ 5，表示2小于等于5。
四、几何图形符号1. 直线符号（——）：表示直线段的存在。
掌握数学符号
掌握数学符号数学符号是数学语言中不可或缺的部分，几乎出现在所有数学领域中。
而对于初学者来说，理解和记忆大量复杂的数学符号常常是非常困难的一项任务。
因此，本文旨在帮助初学者掌握数学符号的基础知识，并提供一些实用的学习方法。
一、理解数学符号的基本概念数学符号是用来表示数学概念或者关系的符号，比如加减乘除、括号、指数、根号、大于小于等于、积分等。
这些符号代表一些特定的计算或逻辑关系，通过它们，我们可以简洁地表达复杂的数学问题。
除此之外，数学符号也有一些基本的属性，比如优先级、结合性和交换性等。
优先级用来表示计算或比较的顺序，如乘法的优先级高于加法，对于复杂的表达式，合理的设置优先级能够使计算更加准确。
结合性指符号的计算顺序，如加法和乘法都是左结合的，即从左向右计算。
而交换性指计算的顺序不影响最终的结果，比如加法和乘法都是满足交换律的。
二、学习数学符号的方法1.记忆法记忆法是最基础的学习方法，对于数量不多的符号还是非常有效的。
我们可以逐个记忆符号的形状和意义，并进行反复的练习和回忆。
2.系统法系统法是将符号按照一定的方式划分成不同的类别，从而便于学习和记忆。
比如可以将符号按照数学领域、性质或者含义等方面进行分类。
通过系统的整理和学习，能够快速地掌握大量的数学符号，并能够理清它们之间的逻辑关系。
3.联系法联系法是将符号和实际问题联系起来，通过实际的运用能够更加深刻地理解符号的含义和作用。
比如，当学习向量的符号时，可以联系到力和速度等物理概念，进而掌握向量符号的含义和运算规则。
三、掌握数学符号的实用技巧1.查阅文献在学习数学时，必须要经常查阅相关的文献和资料，掌握常用的数学符号和它们的含义。
可以通过文献或者在线工具来查询符号的含义和使用方式。
2.练习笔记在学习数学或者解决问题时，可以将复杂的符号或表达式进行笔记，逐个进行解释和联系。
通过反复的练习和总结，可以更加深入地理解数学符号的含义和作用。
3.保持练习学习数学符号需要长时间的积累和练习，因此需要坚持不懈地进行练习，通过不断地练习和总结，逐渐提升对数学符号的理解和掌握程度。
对数学符号的认识
对数学符号的认识1、什么是数学符号？我们都是数学老师，大家都知道符号对于数学来说是特有的。
为此我们可以从一个问题入手开始今天的交流。
你认为数学符号指的都是什么？数学符号的功能应该有哪些？大家说的都对，数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。
符号对于数学来说是特有的。
它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。
我现在和大家一起对我们现在教材中呈现的数学符号做了简单的整理：（1 ）个体符号如数字：1 、 2 、 3 、 4 … , 0 ；字母：a 、 b 、 c …，已知量：a 、 b 、 c …，常量：π变量：x 、y习惯表示：梯形的上底 a 、下底 b 、高h（2 ）表示一类数的符号表示小数、分数、负数、百分数（“ . ”、“——”、“－”、“％” ）（3 ）数的运算符号：＋, －,×,÷( / 、∶)（4 ）关系符号: =, ≈ , >, <, ≠等。
（5 ）结合符号（体现运算等级）( ) 、[ ] 、（6 ）表示角度的计量单位符号。
2、数学符号的功能特性是多方面的：英国学者R.斯坎普开列了如下“菜单”——数学符号的十种功能：（1）传递；（2）记录知识；（3）形成新的概念；（4）简化复杂纷繁的分类系统；（5）解释；（6）使反思活动成为可能；（7）揭示结构；（8）使操作程序自动化；（9）信息的恢复与理解；（10）进行创造性的思考。
课程标准从“数学过程”的角度，来讨论数学符号的形成和功能：它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；每个数学符号都有它特定的含义，如“+，－，×，÷”分别表示特定的运算意义，“=，≈，＜，＞”则表示数学对象之间的某种关系。
使学生理解符号的意义是数学学习中最基本的要求，也是符号意识的最基本的要求。
它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入。
数学的基本概念与符号
数学的基本概念与符号数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
无论在学校还是在日常生活中，我们都会接触到数学的基本概念和符号。
本文将介绍数学的基本概念和常用的符号，帮助读者更好地理解数学的世界。
一、基本概念1. 数字数字是数学的基础，用来表示数量或顺序。
数字包括0、1、2、3等自然数以及负数、小数、无理数和虚数等。
数字可以进行基本的运算，如加法、减法、乘法和除法。
2. 数量数量表示多少或多少个，是数学中常用的概念之一。
在数学中，数量可以用数字或符号表示，如用“3”表示三个苹果，用“x”表示某个未知数量。
3. 基本运算基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法用符号“+”表示，表示两个数的和；减法用符号“-”表示，表示两个数的差；乘法用符号“×”或“·”表示，表示两个数的积；除法用符号“÷”表示，表示一个数除以另一个数的商。
4. 几何形状几何形状是研究空间关系和形状特征的数学分支。
几何形状包括点、线、面和体等。
点表示没有大小和形状的基本单位；线由无数个点构成，表示一条直线或曲线；面由无数条线构成，表示一个平面或曲面；体由无数个面构成，表示一个立体物体。
5. 方程与不等式方程和不等式是数学中用来表示等式或不等式关系的表达式。
方程由等号连接的两个表达式构成，表示两者相等；不等式由大于号、小于号等符号表示，表示两者的大小关系。
6. 概率与统计概率和统计是数学的重要分支，用于研究随机事件和数据分析。
概率用来描述事件发生的可能性，统计用来收集、整理和分析数据。
二、符号表示1. 加减乘除加法使用符号“+”表示，减法使用符号“-”表示，乘法使用符号“×”或“·”表示，除法使用符号“÷”表示。
2. 相等与不等相等用符号“=”表示，表示两个数或表达式相等；不等用符号“≠”表示，表示两个数或表达式不相等。
3. 大于与小于大于用符号“>”表示，表示一个数大于另一个数；小于用符号“<”表示，表示一个数小于另一个数。
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（二）置换操作
子表达式置换操作 子表达式置换操作
符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是： 符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是：有些子表达式会多 次出现在不同地方。 次出现在不同地方。 – 为了使表达式简洁易读，MATLAB提供了如下指令： 为了使表达式简洁易读， 提供了如下指令： 提供了如下指令 [RS,ssub]=subexpr(S,ssub)
简短形式 – 注：EXPR可以是符号表达式或矩阵。在这种情况下， EXPR可以是符号表达式或矩阵 在这种情况下， 可以是符号表达式或矩阵。
这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。 这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。
例：简化 f =
3
1 6 12 + 2+ +8。 3 广西大学电气工程学院 x x x
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（四）符号表达式中默认符号变量 自由变量） （自由变量）的确定
为符号操作和计算的需要， 提供一个findsym指 为符号操作和计算的需要，MATLAB提供一个 提供一个 指 令，可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数目的独 立自变量的自动认定。 立自变量的自动认定。 findsym(EXPR) 确认表达式EXPR中所有“自由”符号“变量” 中所有“ 确认表达式 中所有 自由”符号“变量” findsym(EXPR,N) 从表达式 从表达式EXPR中确认出靠 最近的 个独立自变量。 中确认出靠x最近的 个独立自变量。 中确认出靠 最近的N个独立自变量 注：
–
运用符号变量ssub置换子表达式，重写 为RS。 置换子表达式，重写S为 。 运用符号变量 置换子表达式
例：把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符号代替， 把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符号代替， 使表达简洁。 使表达简洁。 置换原则：只有比较长的子表达式才被置换； 置换原则：只有比较长的子表达式才被置换；至于比较短的子表 达式，即便多次重复出现，也不被置换。 达式，即便多次重复出现，也不被置换。
指数、 指数、对数函数
–
在数值、符号计算中，函数 在数值、符号计算中，函数sqrt、exp、expm的使用方法完全 、 、 的使用方法完全 相同。至于对数函数，符号计算中只有自然对数log（在一般教 相同。至于对数函数，符号计算中只有自然对数 （ 科书中用ln），而没有数值计算中的log2,log10。 科书中用 ），而没有数值计算中的 。 ），而没有数值计算中的 涉及复数的共轭conj、求实部real、求虚部 、求实部 和求模abs函 涉及复数的共轭 、求虚部imag和求模 和求模 函 在符号、数值计算中的使用方法相同。 注意， 数，在符号、数值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计 算中， 没有提供求相角的指令。 算中，MATLAB没有提供求相角的指令。 没有提供求相角的指令 在符号计算中， 提供的常用矩阵代数指令有diag, 在符号计算中，MATLAB提供的常用矩阵代数指令有 提供的常用矩阵代数指令有 triu,tril,inv,det,rank,rref,null,colspace,poly,expm,eig,svd。 。 它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样，只有svd稍微 它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样，只有 稍微 不同。 不同。
把字符argv1,argv2,argvk定义为基本符号对象 把字符argv1,argv2,argvk定义为基本符号对象 argv1,argv2,argvk
syms argv1 argv2 argvk
上述格式的简洁形式
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例
例1：符号常数形成中的差异 ： =[1 ,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5 a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] sym([ ,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) =sym(' ,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]' a3=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') 例2：把字符表达式转换为符号变量 y=sym('2 y=sym('2*sin(x)*cos(x)') y=simple(y)
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复数函数
–
矩阵代数指令
–
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（三）识别对象类别的指令
数值计算对象、符号计算对象、 数值计算对象、符号计算对象、字符串是 MATLAB中最常遇到的数据对象。它们遵循着 中最常遇到的数据对象。 中最常遇到的数据对象 各自不同的运算法则， 各自不同的运算法则，但有时在外形上却十分 相似。为管理和使用方便， 相似。为管理和使用方便，MATLAB提供了一 提供了一 些识别不同数据对象的指令， 些识别不同数据对象的指令，常用的有 class,isa,whos等。 等 数据对象及其识别指令的使用。 例：数据对象及其识别指令的使用。
a11 a12 例3：求矩阵A = 的行列式值、逆和特征根。 a 21 a 22 广西大学电气工程学院
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（二）符号计算中的算符和基本函数
基本运算符
– – –
算符“ 、 算符“+”、“-”、“ * ”、“ \ ”、“ / ”、“ ^ ”分 、 、 、 分 别实现矩阵的加、 左除、右除、求幂运算。 别实现矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。 分别实现“ 算符 “.* ”、“.\ ”、“./ ”、“.^ ”分别实现“元素对 、 、 、 分别实现 元素”的数组乘、左除、右除、求幂运算。 元素”的数组乘、左除、右除、求幂运算。 算符“ 分别实现矩阵的共轭转置、 算符“ ’ ”、“ .’ ” 分别实现矩阵的共轭转置、非 共轭转置。 共轭转置。 算符“ 算符“ == ”、“ ~= ” 分别对算符两边的对象进行 、 相等” 不等”的比较。当事实为“ “相等”、“不等”的比较。当事实为“真”时，比 较结果用1表示 当事实为“ 表示； 较结果用 表示；当事实为“假”时，比较结果则用 广西大学电气工程学院 0表示。 表示。 表示
关系运算符
–
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三角函数、 三角函数、双曲函数及它们的反函数
–
仅能用于数值计算外， ）、双 除atan2仅能用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、双 仅能用于数值计算外 其余的三角函数（ ）、 曲函数（ ），无论在 曲函数（如cosh）及它们的反函数（如asin,acosh），无论在 ）及它们的反函数（ ）， 数值计算还是符号计算中，它们的使用方法相同。 数值计算还是符号计算中，它们的使用方法相同。
通用置换指令
RES=subs(ES,old,new) RES=subs(ES,old,new) subs RES=subs(ES, RES=subs(ES, new) subs
用new置换ES中的old后产生RES new置换ES中的old后产生RES 置换ES中的old后产生 用new置换ES中的自由变量后产生RES new置换ES中的自由变量后产生RES 置换ES中的自由变量后产生 广西大学电气工程学院
–
–
EXPR可以是符号矩阵。此时，该指令对自由变量的确认是对整 可以是符号矩阵。此时， 可以是符号矩阵 个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。 个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。 按照自然科学中的习惯， 表达式中N 按照自然科学中的习惯，findsym(EXPR,N)把EXPR表达式中 把 表达式中 个最靠近x的自由符号变量确认为 独立自由变量” 的自由符号变量确认为“ 个最靠近 的自由符号变量确认为“独立自由变量”。注意字母的 大小写。在此认为大写字母离小写x的距离总大于所有小写字母离 大小写。在此认为大写字母离小写 的距离总大于所有小写字母离 x的距离。 的距离。 的距离 广西大学电气工程学院
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定义基本符号对象的指令
定义基本符号对象的指令有两个： 定义基本符号对象的指令有两个：sym,syms. 它们的常用使用格式如下： 它们的常用使用格式如下：
f=sym(arg) f=sym(argn,flagn)
把数字、字符串或表达式arg转换为符号对象f 把数字、字符串或表达式arg转换为符号对象f arg转换为符号对象 把数值或数值表达式argn转换为flagn格式的符号对象 把数值或数值表达式argn转换为flagn格式的符号对象 argn转换为flagn
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二、符号对象的操作和转换
（一）符号表达式的操作
– 符号运算中有许多操作指令，如collect（合并同类 符号运算中有许多操作指令， collect（
项）、expand（对指定项展开）、factor（进行因式 ）、expand（对指定项展开）、factor（ expand ）、factor 或因子分解）、horner（转换成嵌套形式）、 ）、horner ）、numden 或因子分解）、horner（转换成嵌套形式）、numden 提取公因式）、simplify（恒等式简化）、 ）、simplify ）、pretty （提取公因式）、simplify（恒等式简化）、pretty 习惯方式显示） （习惯方式显示）等，其中最常用的是 运用包括simplify在内的各种指令把EXPR simplify在内的各种指令把EXPR转换成最 simple(EXPR) 运用包括simplify在内的各种指令把EXPR转换成最
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