现代密码学第三讲(一)：密码学的信息论基础(必修和选修)

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密码学的信息论基础

《现代密码学》第三讲

上讲内容回顾

代换密码

置换密码

Hill密码

转轮密码

古典密码的惟密文攻击方法

本章主要内容

Shannon的通信保密系统 熵和无条件保密

分组密码设计思想

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Shannon通信保密系统

C.E. Shannon（香农）----信息论之父1948, A mathematical theory of

communication, 奠定了现代信息论的基础.1949, Communication theory of

secrecy systems, 定义了保密系统的数学模型, 将密码学由艺术转化为一门科学.

Shannon的保密通信系统模型

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非对称密码体制

无噪信道

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Shannon通信保密系统

一个密码体制是一个六元组：

（P, C, K 1, K 2, E, D )

其中，

P --明文空间

C --密文空间

K 1 --加密密钥空间

K 2--解密密钥空间

E --加密变换

D --解密变换

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Shannon通信保密系统

一个加密变换是一个下列形式的映射：

E : M ×K 1 →C

一般对于给定的k ∈K 1,把E (*,k )记为E k ;一个解密变换是一个与加密E 变换相对

应的映射：D : C ×K 2 →M

对于给定的k’∈K 2,也把D (*,k’)记为D k’.

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Shannon通信保密系统

重要原则

重要原则：对任一k ∈K 1,都能找到k’∈K 2，使得

D k’(

E k (m ))=m ，∀m ∈M .

10熵和无条件保密

定义设随机变量X={x i | i=1,2,…,n}, x i 出现的概率为Pr(x i ) ≧0, 且, 则X 的不确定性或熵定义为

.

熵H(X)表示集X 中出现一个事件平均所需的信息量(观察前)；或集X 中每出现一个事件平均所给出的信息量(观测后).

0 )(1log )()(≥=∑i i a i x p x p X H 1P r()1n i i x ==∑

规定log 20=0，采用以2为底的对数时，相应的信息单位称作比特

从编码的角度来考虑，熵可以理解成用最优的二进制编码形式表示X所需的比特数

若集X为均匀分布时，即p (x i )=1/n, n≧i ≧1, 则H (X)=log 2n, 且若H (X) ≧0, 当X为确定性的事件时, 即X概率分布为Pr(X=a )=1, 则H (X) =0.

12定义：设

X={x i |i=1,2,…,n}, x i 出现的概率为p (x i )≥0，且∑i=1,…,n p (x i )=1;

Y={y i |i=1,2,…,m}, y i 出现的概率为p (y i )≥0，且∑i=1,…,m p (y i )=1;

则集X相对于集Y的条件熵定义为2111

(X |Y)()(X |)()(|)log (|)

m m n

i j i i j i j j j i H p y H y p y p x y p x y =====−∑∑∑

若将X视为一个系统的输入空间，Y视为系统的输出空间，在通信中，通常将条件熵

H(X|Y)称作含糊度，X和Y之间的平均互信息定义为：

I(X,Y)=H(X)-H(X|Y)

它表示X熵减少量。

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定义完善保密的（无条件保密的）密码系统（P ,C ,K ,E ,D ）系统满足或.

艺术科学

假设攻击者有无限计算资源，仍然不能从密文得到明文任何信息.

(P |C)(P)H H =一次一密算法由Gilbert Vernam于1917年用于报文消息的自动加密和解密，30年后由Shannon证明它不可攻破.

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一次一密系统：设n 是大于等于1的正整数，P =C =K ={0,1}n ,对于密钥K ∈K ,,

K ={k 1,k 2,…,k n }.

设明文P ={p 1,p 2,…,p n },密文C ={c 1,c 2,…,c n }.加密: E K (P )=(p

1⊕k 1, p 2⊕k 2,…,p n ⊕k n ),

解密: D K (C )=(c 1⊕k 1, c 2⊕k 2,…, c n ⊕k n ).

分组

≠j）

Ci与pj和kj（j=1,…,5,i

无关

分组密码：密文的每一比特与明文每一比特和密钥每一比特相关

一迭代结构（乘积密码）

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¾如果密码体制不是幂等的(F 2≠F), 那么多次迭代有可能提高密码体制的安全性.¾采用迭代结构的优点：软、硬件实现节省了代码（硬件）资源.

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二混淆：明文/密钥和密文之间的关系复杂

设算法为凯撒密码（即密文和密钥及明文成

线性关系）：

则已知一对明密文字符，密钥信息即得E k (m)= m+k (mod 26) ，∀m ∈M ；WHY ？E k (m)= (m+k)*k (mod 26) ，∀m ∈M ；

三扩散：明文/密钥的每一个比特都影响密文的每一个比特

WHY？

已知明密文比特：密钥不可重复使用