121函数的概念(1)补充练习

变式训练

1.已知a 、b ∈N *,f (a +b )=f (a )f (b ),f (1)=2,则

)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a =x ,b =1(x ∈N *),

则有f (x +1)=f (x )f (1)=2f (x ), 即有)

()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式=

2006222++=4012. 答案：4012

2.2007山东蓬莱一模,理13设函数f (n )=k (k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π=

3.1415926535…,则[]{}

100

)10(f f f 等于________. 分析:由题意得f (10)=5,f (5)=9,f (9)=3,f (3)=1,f (1)=1,…,

则有[]{}

100

)10(f f f =1. 答案：1

2.2007山东济宁二模,理10已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},函数f :A→B 满足f (a )+f (b )+f (c )=0,则这样的函数f (x )有( )

A.4个

B.6个

C.7个

D.8个

活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f (a ),f (b ),f (c )的值分类讨论,注意要满足f (a )+f (b )+f (c )=0.

解：当f (a )=-1时,

则f (b )=0,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=0,

即此时满足条件的函数有2个;

当f (a )=0时,

则f (b )=-1,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=-1或f (b )=0,f (c )=0,

即此时满足条件的函数有3个;

当f (a )=1时,

则f (b )=0,f (c )=-1或f (b )=-1,f (c )=0,

即此时满足条件的函数有2个.

综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).

故选C.

点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.

变式训练

若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y =x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( )

A.9个

B.8个

C.5个

D.4个

分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.

令x 2=1,得x =±1;令x 2=4,得x =±2.

所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},

{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个.

答案：A

知能训练

1.2007学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理16已知函数f (x )满足:f (p +q )=f (p )f (q ),f (1)=3,则)9()10()5()7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(22222f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++=______.

解：∵f (p +q )=f (p )f (q ),

∴f (x +x )=f (x )f (x ),即f 2(x )=f (2x ).

令q =1,得f (p +1)=f (p )f (1),∴)

()1(p f p f +=f (1)=3. ∴原式=)

9()10(2)7()8(2)5()6(2)3()4(2)1()2(2f f f f f f f f f f ++++=2(3+3+3+3+3)=30. 答案：30

2.2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,2若f (x )=x

1的定义域为A,g (x )=f (x +1)-f (x )的定义域为B,那么( )

A.A ∪B=B

B.A B

C.A ⊆B

D.A∩B=∅

分析:由题意得A={x |x ≠0},B={x |x ≠0,且x ≠-1}.则A ∪B=A,则A 错;A∩B=B,则D 错;由于B A,则C 错,B 正确.

答案：B

拓展提升

问题:已知函数f (x )=x 2+1,x ∈R .

(1)分别计算f (1)-f (-1),f (2)-f (-2),f (3)-f (-3)的值.

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.

活动：让学生探求f (x )-f (-x )的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明. 解：(1)f (1)-f (-1)=(12+1)-［(-1)2+1］=2-2=0;

f (2)-f (-2)=(22+1)-［(-2)2+1］=5-5=0;

f (3)-f (-3)=(32+1)-［(-3)2+1］=10-10=0.

(2)由(1)可发现结论:对任意x ∈R ,有f (x )=f (-x ).证明如下:

由题意得f (-x )=(-x )2+1=x 2+1=f (x ).

∴对任意x ∈R ,总有f (x )=f (-x ).

备选例题

【例1】已知函数f (x )=x

+11,则函数f ［f (x )］的定义域是. 解：∵f (x )=x +11,∴x ≠-1.∴f ［f (x )］=f (x

+11)=x ++1111

. ∴1+x +11≠0,即1

2++x x ≠0.∴x ≠-2.