工程热力学与传热学基本理论共32页
工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念
t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则
工程热力学与传热学第13章传热与换热器
Hot fluid
Cold fluid
T
T1
Th(Hot) T2
Tc (cold) x
Cold fluid
T T1
Th
Tc
T2
x
顺流
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逆流
9
13-2 换热器的种类及平均温差
3、间壁式换热器的主要型式 ——壳管式换热器
最主要的一种间壁式换热器，传热面由管束组成，管子两端
固定在管板上，管束与管板再封装在外壳内。两种流体分管程
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4
13-1 传热过程的分析和计算
2、通过圆筒壁的传热
Q
tf1tf2 1 1 lnd2
1
kltl
1d1l 2l d1 2d2l
K的计算公式？
kl 11d121lnd d1 221d2
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5
例题：内、外直径分别为180mm和220mm的矿井冷媒输送 管道，管外包一层厚120mm的保温层。冷媒管道的导热 系数λ1=40W/（m·℃），保温层的导热系数λ2=0.1W/ （m·℃），管内冷媒tf1= -15℃，周围空气的温度tf2=25℃， 两侧的对流换热系数α1=100 W/（m2·℃），α 2=8.5 W/ （m2·℃）。试求单位管长的传热量和保温层外表面的温 度。
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30
保温材料
对于低于环境温度的工质和容器，关键在于防止外界热量 的传入：有三个档次的绝热材料可供选用。一般性的隔热 材料有在大气压下工作的疏松纤维或泡沫多孔材料，如聚 苯乙烯泡沫塑料、硬质聚氨脂泡沫塑料；效果更好些的有 抽真空至10Pa的粉末颗粒绝热材料；效果最佳的是多层真 空隔热材料。多层真空绝热村料由低导热系数的玻璃布、 铝箔之类的材料组成多层遮热板，这些遮热板具有很高的 反射比。对于多层真空绝热材料，由于气体的导热及表面 间的辐射已得到有效抑制，各反射层(即遮热扳)间的分隔 材料的导热系数对隔热性能有重要影响。应当采用导热系 数尽可能小的材料作为分隔物才能使这种复合结构的绝热 材料的优点得到充分发挥。
工程热力学与传热学湿空气
水蒸气的扩散
水蒸气在湿空气中的扩散系数较小， 扩散速度较慢，但水蒸气分子间的相 互作用较强。
湿空气的化学反应传质
化学反应传质
01
当湿空气中的物质与其他物质发生化学反应时，物质会发生转
移和变化。
化学反应速率
02
化学反应速率取决于反应物质的浓度、温度和催化剂等因素。
化学反应传质的控制因素
03
化学反应传质通常受到反应动力学和传递过程的控制，需要综
04
湿空气的传热过程
传热的基本概念
热传导
通过物体内部微观粒子的相互作用，将热量从高温区 域传递到低温区域的过程。
对流传热
由于流体运动产生的热量传递现象，包括自然对流和 强制对流。
辐射传热
通过电磁波传递能量的过程，不受物体间相对位置的 影响。
湿空气的传导传热
湿空气的导热系数
湿空气的导热系数随温度 和湿度的变化而变化，是 影响湿空气传导传热的重
目的
热力学的目的是为了揭示热现象的本 质和规律，为能源利用、工程设计和 环境保护等领域提供理论基础和应用 指导。
热力学第一定律
定义
热力学第一定律即能量守恒定律，它 指出能量不能凭空产生也不能凭空消 失，只能从一种形式转化为另一种形 式。
应用
在工程领域中，热力学第一定律用于 分析能量转换和传递过程，如燃烧、 热传导、对流和辐射等，以及评估设 备的效率。
合考虑化学反应和物质传递两个方面的因素。
06
湿空气在工程中的应用
空调系统中的湿空气处理
湿空气调节
在空调系统中，湿空气的处理是至关重要的，需要控制湿度以提 供舒适的室内环境。
除湿和加湿
空调系统中的湿空气处理还包括除湿和加湿，以适应不同的湿度 需求。
工程热力学与传热学概念整理
工程热力学与传热学概念整理工程热力学第一章、基本概念1.热力系：根据研究问题的需要，人为地选取一定范围内的物质作为研究对象，称为热力系（统），建成系统。
热力系以外的物质称为外界；热力系与外界的交界面称为边界。
2.闭口系：热力系与外界无物质交换的系统。
开口系：热力系与外界有物质交换的系统。
绝热系：热力系与外界无热量交换的系统。
孤立系：热力系与外界无任何物质和能量交换的系统3.工质：用来实现能量像话转换的媒介称为工质。
4.状态：热力系在某一瞬间所呈现的物理状况成为系统的状态，状态可以分为平衡态和非平衡态两种。
5.平衡状态：在没有外界作用的情况下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。
实现平衡态的充要条件：系统内部与外界之间的各种不平衡势差（力差、温差、化学势差）的消失。
6.强度参数：与系统所含工质的数量无关的状态参数。
广延参数：与系统所含工质的数量有关的状态参数。
比参数：单位质量的广延参数具有的强度参数的性质。
基本状态参数：可以用仪器直接测量的参数。
7.压力：单位面积上所承受的垂直作用力。
对于气体，实际上是气体分子运动撞击壁面，在单位面积上所呈现的平均作用力。
8.温度T：温度T是确定一个系统是否与其它系统处于热平衡的参数。
换言之，温度是热力平衡的唯一判据。
9.热力学温标：是建立在热力学第二定律的基础上而不完全依赖测温物质性质的温标。
它采用开尔文作为度量温度的单位，规定水的汽、液、固三相平衡共存的状态点（三相点）为基准点，并规定此点的温度为273.16K。
10状态参数坐标图：对于只有两个独立参数的坐标系，可以任选两个参数组成二维平面坐标图来描述被确定的平衡状态，这种坐标图称为状态参数坐标图。
11.热力过程：热力系从一个状态参数向另一个状态参数变化时所经历的全部状态的总和。
12.热力循环：工质由某一初态出发，经历一系列状态变化后，又回到原来初始的封闭热力循环过程称为热力循环，简称循环。
13.准平衡过程：由一系列连续的平衡状态组成的过程称为准平衡过程，也成准静态过程。
工程热力学与传热学基本理论
2.准静态着眼于系统内部平衡，可逆着眼于
系统内部及系统与外界作用的总效果
3.可逆=准静态+没有耗散效应
10
注意：
可逆过程只是指可能性，并不 是指必须要回到初态的过程。
●实际过程都是不可逆过程！
11
1-5 功和热量
热力过程 A、本身状态发生变化 B、与外界进行能量交换
12
一、功
功的起源 功的热力学定义：热力系统通过界面与 外界进行的机械能的交换量称为作功量， 简称为功（机械功）。
7
8
一个可逆过程必定是准静态过程，而过 程的不平衡必然导致过程的不可逆。 实际过程都是不可逆过程，如传热、混 合、扩散、渗透、溶解、燃烧、电加热等 。 可逆过程是一个理想过程。可逆过程的 条件：准平衡过程＋无耗散效应。
可逆过程可用状态参数图上实线表示
9
都能在热力学参数 坐标图上用一连续的曲线表示。
热量正负的规定： 系统吸热：q > 0 ; 系统放热：q < 0 。
热量和功量都是系统与外界在相互作用的过 程中所传递的能量，都是过程量而不是状态量
18
热量与功的异同：
1.均为通过边界传递的能量； 2.均为过程量； 3.功传递由压力差推动，比体积变化是作功标志； 热量传递由温差推动，比熵变化是传热的标志； 4.功是物系间通过宏观运动发生相互作用传递的能量； 热是物系间通过紊乱的微粒运动发生相互作用而传递的 能量。 功 热
工程热力学与传热学复习资料总体(主要是一些概念)
工程热力学第一章工质——实现热能和机械能相互转化的媒介物质。
热力学系统——简称系统、体系，人为分割出来作为热力学分析对象的有限物质系统。
闭口系统——与外界只有能量交换而无物质交换的热力系统，闭口系统又叫做控制质量。
开口系统——与外界不仅有能量交换而且有物质交换的热力系统，开口系又叫做控制容积，或控制体。
区分闭口系和开口系的关键是有没有质量越过了边界，并不是系统的质量是不是发生了变化。
绝热系统——与外界无热量交换的热力系统。
绝热系是从系统与外界的热交换的角度考察系统，不论系统是开口系还是闭口系，只要没有热量越过边界，就是绝热系。
简单可压缩系——由可压缩流体构成，与外界可逆功交换只有体积变化功（膨胀功）一种形式，没有化学反应的有限物质系统。
对于简单可压缩系，只要有两个独立的状态参数即可确定一个平衡状态，所有其它状态参数均可表示为这两个独立状态参数的函数。
准平衡过程——又称准静态过程，不致显著偏离平衡状态，并迅速恢复平衡的过程。
准平衡过程进行的条件是破坏平衡的势无穷小，过程进行足够缓慢，工质本身具有恢复平衡的能力。
准平衡过程在坐标图中可用连续曲线表示。
可逆过程——工质能沿相同的路径逆行而回复到原来状态，并使相互作用中所涉及到的外界回复到原来状态，而不留下任何改变的过程。
过程不可逆的成因一是有限势差的作用，二是物系本身的耗散作用，所以可逆过程，首先应是准平衡过程，同时在过程中没有任何耗散效应。
实际热力设备中所进行的一切热力过程都是不可逆的，可逆过程是不引起任何热力学损失的理想过程。
可逆过程可用状态参数图上连续实线表示。
膨胀功——又称“体积功”。
机械功的一种。
由系统体积变化而由系统对环境所做的功或环境对系统所做的功。
第二章热力学能——原称内能，由分子或其他微观粒子的热运动及相互作用力形成的内动能、内位能及维持一定分子结构的化学能和原子核内部的原子能以及电磁场作用下的电磁能等一起构成的内部储存能。
工程热力学与传热学(中文) 第2章 热力学第一定律
（2）内位能 由于分子间相互作用力的存在所具有的位能，
与气体的比体积有关。 （3）化学能，原子核能，电磁能。
热力学能
内动能 + 内位能 + 化学能 + 原子核能 + 电磁能
内动能 + 内位能
可忽略
2. 对热力学能的几点说明
（1）热力学能的单位和符号：单位：焦耳 J，符号 U。 （2）比热力学能：单位质量物质的热力学能。 u, J / kg。
（4）可逆微元过程 Q = d U + p d V
2
W 1 pdV
2
w 1 pdv
q=du+pdv
（5）循环
Q W
Q net = w net
2-4 开口系统稳定流动的能量方程式
分析
p1 v1 m1 1
cf1
1
Q
Ws
2
cf 2
2 p2 v2 m2
1. 工质的热力状态参数及速度在不同截面上不同。
2. 特点
工质质量流量 维持恒定
系统储存能量 维持恒定
流通截面上一 切参数恒定
单位时间流入 系统的工质质 量等于流出系 统的工质质量
单位时间内加入 系统的净热及系 统对外做的净功 不随时间改变
任何空间点上 工质的状态参 数和流速不随 时间而变化。
2-4-2 流动功（flow work）
1. 流动功
Q = W + U = W + U2 - U1
—— 闭口系统能量方程式（热一解析式）
2-3-2 几点说明
W
（1）意义：加给工质的热量
Q
a: 一部分用于增加工质的热力学能。
u
b: 另一部分以作功的方式传递到外界。
工程热力学与传热学-§1-6 功和热量
或 kJ/kg。
w pdv
膨胀：dv > 0 , w > 0
2
w 1 pdv
压缩：dv < 0 , w < 0
(2) 示功图（p-v图）
w的大小可以p-v图上的过程
曲线下面的面积来表示 。
功是过程量而不是状态量。
3
§1-6 功和热量
2. 热量与示热图
（1）热量
系统与外界之间依靠温差传递的能量称为热量，符号
功量：
热量：
w pdv
2
w 1 pdv
q Tds
2
q 1 Tds
s 称为比熵。比熵同比体积 v 一样是工质的状态参数。
比熵的定义式： ds q （可逆过程） T
比熵的单位为J/ (kg·K) 或 kJ/ (kg·K) 。
5
§1-6 功和热量
对于质量为 m 的工质，
Q TdS
§1-6 功和热量
§1-6 功和热量
1. 功量与示功图
(1) 膨胀功
工质在体积膨胀时所作 的功称为膨胀功。
符号：W 单位：J 或 kJ
对于微元可逆过程，
W pAdx pdV
2
对于可逆过程1～2： W pdV 1
2
§1-6 功和热量
单位质量工质所作的膨胀功用符号w 表示，单位为J/kg
2
Q 1 TdS
S为质量为 m 的工质的熵，单位是 J/K。
根据熵的变化判断一个可逆过程中系统与外界之间热 量交换的方向：
ds 0 ， q 0 ， 系统吸热；
ds 0 ， q 0 ， 系统放热。
ds 0 ， q 0 ， 系统绝热，定熵过程。
工程热力学与传热学(中文) 第2章 热力学第一定律
2-3-3 几种不同形式的表达式
（1）任意过程 ） （2）任意微元过程 ） （3）可逆过程 ） Q=∆U+W q=∆u+w
δ q: 微元热量 δ w: 微元功量 d u: 热力学能的微元变化量
δQ=dU+δW δq=du+δw Q = ∆ U + ∫ 12 p d V q = ∆ u + ∫ 12 p d v δQ=dU+pdV δq=du+pdv
（perpetual motion machine of the first kind） ）
是永远不可能制造出来的。 是永远不可能制造出来的。
2-2-2 方程表达式
对于任意热力系统（开口，闭口），热力过程： 对于任意热力系统（开口，闭口），热力过程： ），热力过程 进入系统 的能量
-
离开系统 的能量
2-4-1 稳定流动（steady flow） ）
1. 稳定流动
开口系统内部及边界上各点工质的热力参数和运动参数 不随时间变化的流动过程。 不随时间变化的流动过程。
2. 特点
工质质量流量 维持恒定 系统储存能量 维持恒定 流通截面上一 切参数恒定
单位时间流入 系统的工质质 量等于流出系 统的工质质量
1
Q
2
W
闭口系统能量守恒
依据： 依据：热力学第一定律
进入系统 的能量
-
离开系统 的能量
=
系统储存 能量的变化
推导： 推导： Q – W = ∆ U
Q = W + ∆ U = W + U2 - U1 —— 闭口系统能量方程式（热一解析式） 闭口系统能量方程式（热一解析式）
2-3-2 几点说明
工程热力学与传热学基础知识
（1）闭口系统
与外界无物质交 换的系统。系统的质 量始终保持恒定，也 称为控制质量系统。
闭口 系统
边界 外界
7
（2）开口系统
与外界有物质交
进口
换的系统。系统的容
积始终保持不变，也
称为控制容积系统。
（3）绝热系统 与外界没有热量交换的系统。 出口
（4）孤立系统
与外界既无能量（功、热量） 交换又无物质交换的系统。
22
（2）比体积 定义： 单位质量的工质所占有的体积，用
符号v表示，单位为 m3/kg 。
vV m
密度： 单 位 体 积 工 质 的 质 量 ， 用 符 号
表示，单位为 kg/ m3 。
v 1
比体积和密度二者相关，通常以比体积作 为状态参数 。
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（3）温度
1）温度的物理意义
温度是反映物体冷热程度的物理量。温度的 高低反映物体内部微观粒子热运动的强弱。
在标准大气压下，纯水的冰点温度为0 ℃ ，纯水的沸点温度为100 ℃，纯水的三相 点（固、液、汽三相平衡共存的状态点）温 度为0.01℃ 。
选择水银的体积作为温度测量的物性，认 为其随温度线性变化，并将0 ～100 ℃温度下 的体积差均分成100份，每份对应1 ℃。
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热力学温标（绝对温标）:
英国物理学家开尔文（Kelvin)在热力学 第二定律基础上建立，也称开尔文温标。
安全在于心细，事故出在麻痹。20.12. 2420.1 2.2404:23:2304 :23:23 December 24, 2020
踏实肯干，努力奋斗。2020年12月24 日上午4 时23分 20.12.2 420.12. 24
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 2月24 日星期 四上午4 时23分 23秒04 :23:232 0.12.24
工程热力学基础理论-水蒸汽-传热学
第二章 工程热力学基础理论目前已为人们发现的自然界中可被利用的能源中，除风能和水能是以机械能的形式提供给人们外，其余各种能源往往直接以热能的形式，或通过相应的设备进行能量转换将它们转变为热能提供给人们。
热能利用方式，一为直接利用，即将热能直接用来加热物体，如烘干、蒸煮、采暖、熔化等。
另一为间接利用，即将热能转换为机械能或电能加以利用，如热力发电厂。
工程热力学主要研究热能与机械能转换的客观规律，即热力学的基本定律，分析工程上借以实现热能和机械能相互转换过程的媒介物质(如水和蒸汽)的基本热力性质，以及应用热力学基本定律分析计算工作物质在热力设备中所经历的变化过程。
第一节 工质及状态参数一、工质和热机能实现热能转变为机械能的设备，称为热机，如内燃机、蒸汽机和汽轮机等均为热机。
在热机里要使热能不断地转换为机械能，必须借助于一种工作物质，工作物质经过吸热、膨胀而完成作功，如汽轮机和蒸汽机的工作需要蒸汽；内燃机的工作需要燃气。
这种实现热能和机械能相互转化的工作物质叫做工质。
由于工质在热力设备中要连续不断地流动并膨胀作功，因此，工质应有良好的流动性与膨胀性。
同时，工质还要价廉、易得、热力性能稳定、不腐蚀设备、无毒等。
在物质的三态中，气态物质受热膨胀的能力最大，流动性也最好，显然，气态物质最适宜作工质。
而水蒸汽具有价廉易得，无毒，不腐蚀设备等优点，所以火力发电厂主要以水蒸汽为工质。
热能动力装置的工作过程，概括起来就是工质从高温热源吸取热能，将其中一部分转化为机械能，并把余下的一部分传给低温热源的过程，如图2-1所示。
在工程热力学中，高温热源就是指能不断地供给热能的物体，简称热源。
低温热源指接受工质排出剩余热能的物体，简称冷源。
二、状态参数用来描述和说明工质状态的一些物理量(如压力、温度等)则称为工质的状态参数。
状态参数值只取决于工质的状态，因而，任何物理量，只要它的变化量等于初始、终止两态下该物理量的差值，而与工质的状态变化途径无关，都可以作为状态参数。
工程热力学与传热学（第一讲）1-1、2
⼯程热⼒学与传热学（第⼀讲）1-1、2渤海⽯油职业学院⽯油⼯程系——晏炳利第⼀篇⼯程热⼒学第⼀章绪论本章主要介绍热能的利⽤、热⼒学的由来和典型能量转换装置的⼯作过程。
⽬的是使学⽣从宏观上上了解⼯程热⼒学的研究对象、基本任务、主要内容和研究⽅法等。
为在以后章节中能够联系实际的进⾏热⼒学分析。
第⼀节热能利⽤及热⼒学发展简述⼀、热能及其利⽤能源：是指为⽣产和⽣活提供各种能量和动⼒的物质资源。
⾃然界中已为⼈们可利⽤的能源有：⽔⼒能、风能、太阳能、地热能、燃料化学能、原⼦能等。
能源的开发和利⽤的程度是⼈类社会发展的⼀个重要标志。
能源的利⽤⽅式：①以机械能的形式直接利⽤（如⽔⼒能、风能）；②以热能的形式利⽤（如太阳能、地热能、燃料化学能、原⼦能等）。
热能的利⽤⽅式：①直接利⽤热能加热物体（如采暖、烘烤、冶炼、蒸煮等）；②间接利⽤。
包括：a通过热机（蒸汽机、蒸汽轮机、内燃机、燃⽓轮机、喷⽓发动机等）将热能转化为机械能；b通过发电机转化为电能。
热能通过热机转化为机械能的效率较低，早期蒸汽机的热效率为1%~2%；近代⼤型发电机的热效率也只有35%~40%。
因此，合理有效地实现热能与其他形式能量的转换，提⾼能源利⽤率是关系到社会和⼈类发展的重要课题。
⼆、热⼒学的发展简史古代——钻⽊取⽕。
最简单的由机械能转化为热能。
南宋时期——利⽤⽕焰的热⼒来产⽣机械能驱动⾛马灯旋转。
利⽤⽕药燃烧产⽣的喷⽓推动⽕箭飞⾏。
近300年来，⼈们从观察和实验中逐步总结出热现象的规律，形成了热现象的宏观理论—热⼒学。
热⼒学定义：是⼀门研究与热现象有关的能量、物质和它们之间相互作⽤规律的科学。
热⼒学是在研究如何提⾼热机的效率和制造性能更好的热机的基础上发展起来的。
其突出事件有：①18世纪前，⼈们没有正确的、科学的热理论；②1714年，法伦海特建⽴了华⽒温标，使热学⾛上了实验科学发展的道路，并产⽣了“热质学说”。
该学说认为热是⼀种能流动的没有质量的物质（称为热质），它可以进⼊⼀切物体中，不⽣不灭，物体的冷与热取决于物体中含热质的多少。
工程热力学与传热学-§4-2 卡诺循环与卡诺定理
• 在相同高温热源和低温热源间工作的任何不可逆 热机的热效率都小于可逆热机的热效率。
§4-2 卡诺循环与卡诺定理
假如t,R1t,R2
WR1 WR2 Q2 Q2 '
R1带动R2逆向运行
Q2 ' Q2 WR1 WR2
单一热源热机，违背热力学第二定律
t,R1t,R2、 t,R1<t,R2不可能
温差是不可能连续地将热能转变为机械能，只有一个热源的 热机（第二类永动机）是不可能的。
9
§4-2 卡诺循环与卡诺定理
逆向卡诺循环： （1）卡诺制冷循环：
制冷系数： （2）卡诺热泵循环：
供热系数：
10
§4-2 卡诺循环与卡诺定理
3．卡诺定理
定理一
• 在相同的高温热源和低温热源间工作的一切可逆 热机具有相同的热效率，与工质的性质无关。
(2) 逆向循环： 动画 消耗功将热量从低温热源转移到高温热源的循环，如
制冷装置循环或热泵循环。
在p-v与T-s图上，逆向循环按逆时针方向进行。
5
§4-2 卡诺循环与卡诺定理
根据热力学第一定律，
通常用工作系数评价逆向循环的 热经济性。 制冷系数 ：制冷装置工作系数
供热系数 ： 热泵工作系数
高温热源 放热Q1
8
§4-2 卡诺循环与卡诺定理
结论：
(1) 卡诺循环的热效率只取决于高温热源的温度与低 温热源的温度，而与工质的性质无关;
(2) 卡诺循环的热效率总是小于1，不可能等于1，因为
T1→∞ 或T2＝0K都是不可能的。这说明通过热机循环不可
能将热能全部转变为机械能;
(3) 当T1=T2时，卡诺循环的热效率等于零，这说明没有
工程热力学与传热学
热流密度：
大小：
t q n
q q q
x
t x
y
方向：温度降落的方向 单位： w/m2
导热系数λ=常数
无内热源фV=0 稳态导热
t 0
2 2 2 t t t t a ( 2 2 2 ) V x y z c
2 2 2 t t t t a ( 2 2 2) x y z
z y
导热微分方程
2
x
φ
t 1 t 1 t t c ( r) ( ) ( ) r r rr z z
V
无内热源，稳态，一维导热微分方程
d dt (r ) 0 dr dr
3. 球坐标系下的导热微分方程
r , , ) 球坐标系中 ( x r sin cos , y r sin sin , z r cos
λ ρ с
内热源强度фv ： 单位时间，单位体积的 内热源生成热。
фV
y z x
选取微元六面体，应用能量守恒方程
导入微元体 的总热流量
+
微元体内热 源生成热
-
导出微元体 的总热流量
=
微元体储存 能的变化
d d d dU in V out
dU dф y+dy
λ ρ с
фV
dz dx
掺入杂质（合金） （黄铜）
非金属 耐火材料，建筑材料