指数函数及其性质优质课

1 x … 15.6 9
3
3
-0.5 0 0.6 1
1.7 1
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
4
2
2
-0.5 0
0.71 1
8
1.4 1
7
6
5
4
gx = 0.5x 3
学习目标： 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与 现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义； 3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数 的性质（单调性、特殊点）.
学习重点： 指数函数的图像与性质. 学习难点： 指数函数的概念和意义.
新知：
指数函数的定义：
函数 y a x (a 0且a 1) 叫做指数函数，
其中x是自变量，函数定义域是R。
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
a ①若a=0，则当x>0时， x =0； 当x0时，a x无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使a x 无意义.
如 (2) x ，这时对于x= 1 ，x= 1
4
2
……等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x R，
2 1.8
fx = 1.7x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8 1.6 1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.5 -0.2 -0.4
0.93.1 1
y a x (a 0且a 1) 的图象和性质：
a>1
0<a<1
图
6
5
象
4
3 2
11
-4
-2
0
-1
性 1.定义域：
质 2.值域：
2
4
6
(,)
(0,)
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
3.过点 (0,1) ，即x= 0 时，y= 1
4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数
例1 已知指数函数
叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质：
a>1
0<a<1
图
6
5
象
4 3
2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
性 1.定义域：R
质 2.值域：（0，+∞）
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
3.过点（0，1），即x=0时，y=1
4.在 R上是增函数
在R上是减函数
1.B 2.D 3.C 4.<
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x
2.5
2
1.5
1.7
2.5
<
1.7 3
1 0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
② 0.80.1， 0.80.2 分析 ：利用函数单调性 0.80.1 与 0.80.2 的底数是0.8，它们可以看成函数 y= 0.8x
比较x=-0.1和-0.2时的函数值。
解：因为0<0.8<1，所以函数y= 0.8x 在R是减函数，
长垣一中 郑忠博 2017年3月15日
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是 什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系. 可知，函数关系是
y 2x x
f (3) 1 1 .
例2 比较下列各题中两个值的大小：
① 1.72.5 ， 1.73
分析：利用函数单调性1.72.5与 1.73
的底数是1.7，它们可以看成函数 y=1.7 x
比较x=2.5和3时的函数值。
5
解：因为1.7>1，所以函数y=1.7 x
； 在R上是增函数，而2.5<3， 所以，
5.{x | x 0}
课本59页：5题 ，7题 ， 8题
2
1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
fx = 2x
-6
-4
-2
2
4
6
x … -2.5 -2 -1
y 3x … 0.06 0.1 0.3
y
1 x
…
15.6
9
3
3
-0.5 0
11666
0.6 1
1.7 11444
1
11222
0.5 1 2 1.7 3 9
2
2
解：因为 (2.5) 3 3 (2.5)2 3 2.52 2.53
4
4
(2.5) 5 5 (2.5)4 5 2.54 2.55
利用函数单调性
2
4
2.53 2.55
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8
fx = 2.5x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
练习： ⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
(2)m (2)n m n
33
1.1m 1.1n m n
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
小结：1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
而-0.1>-0.2，所以，
0.80.1 < 0.80.2
1.8 1.6
fx = 0.8x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
0.5
1
③ 1.70，.3 0.93.1 解③ ：根据指数函数的性质，得
1.70.3 1
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
从而有 1.70.3 > 0.93.1
总 结
（1）对同底数幂大小的比较， 明确 所考察的函数对象，
方 法
运用指数函数的单调性。
规
律
（2）对不同底数幂大小的比较
常借助中间变量进行比较
如：1或0
2
4
练习：⑴比较大小：(2.5) 3 , (2.5) 5
列表如下：
y
1
x
2
y 3x
y
1
x
3
x
2x
1 x 2
… -3 -2 -1 … 0.13 0.25 0.5 …8 4 2
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 … 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -2.5 -2 -1
3x … 0.06 0.1 0.3
(
)的图象过
点 (3, )，求 , , f (3)的值.
分析： 要求 ， ，f (3)的值，需要求 的解析式，要先求a的值。根据函数图象 过点(3, )，可以求得a的值。
解： f (x) a x 的图像经过点(3, )， f (3)
1
x
即 a3 ，a 3， f (x) 3
1
f (0) 0 1, f (1) 3 3 ,
y ax (a 0,且a 1)
因为它可以化为 y 1 x a
( 1 0,且 1 1)
a
a
(口答)1.下列函数是指数函数的是 （D）
y （A） 3 x
y （B） 3x1
y （C） 3x1
y （D） 3 x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
11000
)( gx =
1x 3来自百度文库
88 66
fx = 3x
44
22
-1-0100
--55
55
111000
q(x) 1 x 3
g(x) 1 x 2
f (x) 3x h(x) 2x
想看一般情 况的图象? 想了解变化 规律吗
指数1
指数2
a x=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。
探究2：函数 y 2 3x 是指数函数吗？ 不是
因为指数函数的解析式y=a x 中，a x的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
y a x k (a>0且a 1，k R)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%， 设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为 y 0.85x x
在 y 2x, y 0.85 x 中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.