经济应用数学—概率论与数理统计马统一的习题1一5答案

习题er1. 解 (1) 设学生数为n ，则{0/,1/,2/,,100/}n n n n n Ω=L(2) 枚骰子点数之和为 {3,4,5,,18}Ω=L(3) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子，每只盒子中有一个球的情况有 {(,,),(,,),(,,),(,,,),(,,),(,,)}a b c a c b b a c b c a c b a c a b Ω=其中(,,)a b c 表示A 盒子放入的球为a ，B 盒子放入的球为b ，C 盒子放入的球为c ，其余类似．(4) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子情况有{(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0),,(,,)}abc abc abc ab c c a b Ω=L 其中(0,,0)abc 表示A 盒子没有放入球，B 盒子放入的球为,,a b c ，C 盒子没有放入球，其余类似，共3||327Ω==个样本点．(5) 汽车通过某一定点的速度设为v {|0}v v Ω=>．(6) 将一尺长的棍折成三段，各段的长度为,,x y z{(,,)|0,0,0,1}x y z x y z x y z Ω=>>>++=．(7) 对产品检验四个产品，连续检验到两个产品为不合格品是，需停止检验，检验的 结果为{(0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1),(1,1,0,1)}Ω=其中(0,1,0,0)表示第一次取到不合格品，第二次取到合格品，第三次取到不合格品，第四次取到不合格品，其余类似．2. 解 (1) 一只口袋中装有编号为1，2，3，4，5的五只球，任取三只，最小的为1的样本点有{(123),(134),(135)}A = 其中(123)表示取出的球为编号为1，2，3的球(无顺序)． (2) 抛一枚硬币两次，A =“第一次出现正面”的样本点有{(10),(11)}A =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．B =“两次出现不同的面”的样本点有{(10),(01)}B =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．C =“至少出现一次正面”的样本点有{(10),(0,1),(11)}C =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．(3) 检验一只灯泡的寿命，其寿命为t 不小于500小时，A =“灯泡寿命不小于500小时”的样本点有{|500}A t t =≥． (4) 某交换台在一分钟接到的呼唤次数不大于10， A =“某交换台在一分钟接到的呼唤次数不大于10”的样本点有{|0,1,2,,10}A n n ==L ．(5) 重复抛掷一枚硬币，当出现正面时停止， A =“抛了偶数次时首次出现正面”的样本点有{(0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,0,0,1),}A =L ，其中(0,1)表示第一次出现反面，第二次出现正面．3. 解 (1) ABC AB C =-;(2) AB C U U ;(3) ABAC BC U U ;(4) AB AC BC U U ;(5) ABC ABC ABC U U ; (6) ABC ABC ABC U U .4. 解 (1) 选到的是1980年或1980年以前出版的中文版数学书；(2) 该馆中凡是1980年或1980年以前出版的书都是中文版的； (3) 馆中所有数学书都是1980年以后出版的中文版书； (4) 是．5. 解 包含事件,A B 的最小事件域是{,,,,,,,,,,,,,}F A B A B A B A B AB AB A B A B AB AB A B A B =Ω∅U I U I U U U I6. 证明 (1) 对任意的,A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊂；对任意的A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊃； 即 A A =．(2) 对任意的,A B ω∈-即,,A B ωω∈∉，等价于A B ω∈I ，即A B A B -⊂I ； 对任意的A B ω∈I 即,,A B ωω∈∉，等价于A B ω∈-，即A B A B -⊃I ； 即 A B A B -=I ．(3) 由于C B ⊂，所以AC AB ⊂=∅，所以AC =∅． (4) 对任意的1,nn A ω∞=∈U 即存在0,n n Aω∈，等价于0n A ω∉，即：1n n A ω∞=∈I，即11,n n n n A A ∞∞==⊂U I；对任意的1n n A ω∞=∈I即1n n A ω∞=∉I 存在00,n n A ω∉，等价于0n A ω∈，即：1n n A ω∞=∈U ，即 11n n n n A A ∞∞==⊃U I； 即11nn n n A A ∞∞===U I．(5) 与(4)证明相似．(6) 显然,,A B B A AB --互不相容 显然A B B A AB A B --⊂U U U ；对任意的,A B ω∈U 即A ω∈或者,B ω∈，分为(a)AB ω∈，显然成立；(b)A B ω∈-, 显然成立；(c) B A ω∈-,显然成立.7. 解 (1) 设 11(),1,2,,k k k i i B A A k n -==-=L U ，其中0A=∅，显然,1,2,,k B k n =L 互不相容．(2) 两个事件互不相容是指,AB =∅，而相互对立是指,AB A B =∅=ΩU ，所以互不相容并不一定相互对立；反过来两个事件相互对立一定能够说明互不相容．(3) 对任意的1,nk k B ω=∈U 即存在000001,k k k k n k B A A A A ω-∈=-⊂⊂，所以1nkn k BA =⊂U ；反之对任意的n A ω∈即存在00,,k n k A A ω∈⊂，且0001k k k A A B ω-∈-=所以1nkn k BA =⊃U ；即1nkn k BA ==U ．对于无穷的形式类似可得．8. 解 设抽出的三球顺序为黑白黑为A ，(1) 放回抽样Ω中的元素个数为311n Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以3656()0.135211A n P A n Ω⋅⋅=== ； (2) 不放回抽样Ω中的元素个数为311n A Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以 311655()0.1515A n P A n A Ω⋅⋅=== ．9. 解 设其中相互指定的三本书放在一起A ，Ω中的元素个数为310n A Ω=，A 中的元素个数为183!A n A =，所以 183103!1()15A n A P A n A Ω===10. 解 设其中两名种子选手被分在不同队为A ，Ω中的元素个数为1020n C Ω=，A 中的元素个数为91182A n C C =，所以 91182102010()19A n C C P A n C Ω===．11. 解 设四A 全部集中在一个人手中为A ，Ω中的元素个数为1352n C Ω=，A 中的元素个数为91484A n C C =，所以 914841352()0.0106A n C C P A n C Ω==≈．12. 解 设6双首套中选择4只恰有一双配对为A ，Ω中的元素个数为412n C Ω=，A 中的元素个数为32623A n C =⋅⋅，所以 3264122316()33A n C P A n C Ω⋅⋅===．13. 解 设这n 个人任何两个人的生日都不在同一天为A(1) Ω中的元素个数为365n n Ω=，A 中的元素个数为365365!n nA n C n A =⋅=，所以365()365nA nn A P A n Ω== ； (2) 30n =时302936536521229()(1)(1)(1)0.3037365365365365nA nn A P A e n ⋅-⋅Ω===---≈=L14. 解 (1) 设选出的为严格上升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为nA Nn C =，所以 ()nA Nn n C P A n NΩ== ；(2) 设选出的为单调升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为1nA N n n C +-=，所以1()nA N n nn C P A n N+-Ω== ．15. 证明 原式等价于()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+L L L 构造概率模型： 一口袋中中有n 个红球，N n -个黑球，k A 为第k 次首次抽到红球，则11()()1n nkkk k P A P A ====∑U其中 ()(1)(2)()(1)(2)(2)k n N n N n N n k P A N N N N k n-----+=---+L L即()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+L L L16. 解 解法不对，由于每一个样本点等可能发生实际是指每一枚骰子出现任何一种可能是等可能的，而不是和出现的结果是等可能的．正确解法为 设为点数和为6为A ，(,)m n 为第一枚骰子出现点数为m ，第二枚骰子点数为n ，则{(,)|,1,2,,6}m n m n Ω==L ，{(,)|6}A m n m n =+=Ω中的元素个数为36n Ω=，A 中的元素个数为5A n =，所以5()36A n P A n Ω== ．17. 解 设平行弦距圆心的距离为x ，设弦长度大于R 为A ，则{|0}x x R Ω=<<，{|0}2A x x R =<<2()A L P A L R Ω===．18. 解 设正常信号到达时间为为x ，干扰信号到达时间为y ，设系统受到干扰为A ，则{(,)|0,60}x y x y Ω=<<，{(,)|010600560}A x y x y x y x y =<<<+<<<<+<或1160605555505022()0.23266060A S P A S Ω⋅-⋅-⋅===⋅．19. 解 设甲船到达时间为为x ，乙船到达时间为y ，设有一船要在码头外等到为A ，则{(,)|0,24}x y x y Ω=<<，{(,)|0203}A x y x y x y x y =<<<<<<+或112424(21212222)22()0.19702424A S P A S Ω⋅-⋅+⋅===⋅．20．解 设切取的第一段长度为x ，切取的第二段长度为y ，切取的第三段长度为x ，设三段能够形成以一个三角形为A ，则{(,,)|1,,,0}x y z x y z x y z Ω=++=>，{(,,)|,,,1,,,0}A x y z x y z x z y y z x x y z x y z =+>+>+>++=>，则 1/4()0.251A L P A L Ω===．21. 解 设硬币的圆心落在某一个正方形中，以正方形的中心建立直角坐标系，由于是对称的，硬币的圆心不妨设落在第一象限；设正方形的边长为a ，设硬币与正方形不相交为A ，则{(,)|0,}x y x y a Ω=<<，1{(,)|0,}22a A x y x y =<<-， 则22(1)/4()0.1/4A S a P A S a Ω-==≥，解得109a ≤．22. 证明 (1) 由棣莫根定理有： 1212n n A A A A A A =U UL U I I L I ,121212()1()1()n n n P A A A P A A A P A A A =-=-U UL U U UL U I I L I ;(2) 由于12121312121()(())()n n n A A A A A A A A A A A A A -=---U UL U U U U UL U U UL U 11121,(),2,,k k k B A B A A A A k n -==-=U UL U L ,显然k B 两两互不相容，12121312121()()()(())(())n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=+-+-++-U UL U U L U UL U 12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=++++%U UL U L L ； (3) 显然有 1212()()()P A A P A P A ≤+U不妨设当k n =时成立有12123()()()()()n n P A A A P A P A P A P A ≤++++U UL U L ， 当1k n =+时成立有121121()()()n n n n P A A A A P A A A P A ++≤+U UL U U U UL U1231()()()()()n n P A P A P A P A P A +≤+++++L ．24. 解 (1) 由于 12,A A A ⊂所以有 12()()P A A P A ≤,121212()()()()P A A P A P A P A A =+-U , 121212()()()()P A A P A P A P A A =+-U , 1212()()()()1P A P A A P A P A ≥≥+-,即 12()()()1P A P A P A ≥+-；由于 123,A A A A ⊂所以有123,A A A A ⊃u u u u u u u r ,123()(),P A A A P A ≥u u u u u u u r, ()123123()(),P A A A P A A A P A =≥u u u u u u u rU U , ()123123()()()P A A A P A P A P A ≤++%U U , ()123123()()()()P A A A A P A P A P A ≤≤++U U ,由于()1()P A P A =-即 123()()()()2P A P A P A P A ≥++-； (2) 由于()()()()P A B P A P B P AB =+-U ,，()()()()P AB P A P B P A B =+-U ，()P AB p q r =+-；()()()P AB P B P AB r p =-=-； ()()()P AB P A P AB r q =-=-； ()1()1P AB P A B r =-=-U ．25. 解 设订购报纸分别A,B,C 为事件,,A B C(P 只订购A)(())()()()()P A B C P A P AB P AC P ABC =-=--+U0.450.10.050.030.3=--+=; (P 只订购AB)()()()P AB C P AB P ABC =-=-0.10.030.07=-=;(P 只订购B)(())()()()()P B A C P B P AB P BC P ABC =-=--+U 0.350.10.050.030.23=--+=;(P 只订购C)(())()()()()P C A B P C P AC P BC P ABC =-=--+U 0.30.080.050.030.2=--+=;(P 只订购一种报纸的）=(P 只订购A)+(P 只订购B)+(P 只订购C) 0.30.230.20.73=++=；(P 恰好订购两种报纸的）=(P 只订购AB)+(P 只订购BC)+(P 只订购AC) ()()()3()P AB P AC P BC P ABC =++- 0.10.080.0530.030.14=++-⋅=;(P 至少订阅一种）=(P 只订购一种)+(P 只订购两种)+(P 只订购三种) 0.730.140.030.9=++=．26. 解 设A 为任何一人都为拿到自己原来的卡片；设k A 为第k 个人拿到自己原来的卡片，1,2,,k n =L ，由于1nk k A A ==U ，且1()k P A n =，1,2,,k n =L ；1()(1)k j P A A n n =-，,1,2,,,k j n j n =<L ；1()(1)(2)k j l P A A A n n n =--，,,1,2,,,k j l n l j n =<<L ；L所以1()1()1()nk k P A P A P A ==-=-U11111()()()(1)()nnnk j k l j k k k j k nl j k nk P A P A A P A A A P A =≤<≤≤<<≤==-+-++-∑∑∑∏L11111(1)2!3!!n n =-++-+-L 1e -≈（由x e 的幂级数的展开式得到）．27. 解 设每分钟到达的呼叫次数为X ，则X 服从参数为4λ=的泊松分布844(8)0.0297718!P X e -===；4114(10)0.00284!k k P X e k +∞-=>==∑．28. 解 由于 ()()0.21(|),()()(|)0.42P AB P AB P A B P B P B P A B ====， ()()()()0.30.50.20.6P A B P A P B P AB =+-=+-=U ．29. 解 设三个孩子的家庭有一个女孩为B ， 至少有一个男孩为A ,7()8P B =, 6()8P AB =，所以6()68(|)7()78P AB P A B P B ===．30. 解 设k A 表示第k 次取到合格品，1,2,3k =，(P 第三次才取到合格平123121312)()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A ==109901009998=⋅⋅.31. 解 设i A 表示第i 次打开房门，1,2,,i k =L(P 第k 次才取到合格平12121121)()()(|)(|)k k k P A A A P A P A A P A A A A -==L L L2322()11(1)n n n k n n n k n n ---=⋅=--+-L ．32. 解 设种子等级为i 等分别为,1,2,3,4i A i =；种子能够长成优良小麦为B ，由全概率公式得到41()()(|)i i i P B P A P B A ==∑(10.020.0150.01)0.50.020.150.010.10.010.05=---⋅+⋅+⋅+⋅ 0.4825=．33. 解 设第一次取出没有用过的球数为i 为i B ，0,1,2,3i =；第二次取出的三个全为没有用过的球为A ，由全概率公式得到3()()(|)iii P A P B P A B ==∑33213123033393983973963333333312121212121212120.146C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=．34. 解 设第一次从甲口袋中取出的白球数为i 为i B ，0,1,2i =；第二次取出的两个球为白球为A ，由全概率公式得到2()()(|)i i i P A P B P A B ==∑221121212222222222b a b a a b a b a b C C C C C C C C C C C C C ααααβαβαβ+++++++++++=⋅+⋅+⋅．35．解 设任取的一个产品为不合格品为D ，产品是来自于机器生产的A,B,C 分别为,,A B C ，由全概率公式有()()(|)()(|)()(|)P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.350.040.40.020.0345=⋅+⋅+⋅= 由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.36230.0345⋅==；()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.350.040.40580.0345⋅==；()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P C P D C P C D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.40.020.23190.0345⋅==；本题的结果可以发现由于已经知道产生的是不合格品在分担责任时，由于各个机器产生不合格品的概率不同，生产的产量不同均会影响各个机器的不合格品的概率不同．36．解 设接收的信号为“．”为A ，发出的信号为“．”为B ，()0.6,(|)0.7,P B P A B ==()0.4,(|)0.02P B P A B ==由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+0.60.70.99810.60.70.40.02⋅==⋅+⋅； 其余类似．37. 证明 (1) 由于 (|)(|)P A B P A B =，所以()()()()P AB P AB P B P B =()()()()1()P AB P A P AB P B P B -=-()()(1())()()()P AB P B P A P AB P B -=- ()()()P AB P A P B =.(2) 由于,,A B C 相互独立，所以(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+-U U()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+- ()(()()())P C P A P B P AB =+- ()()P C P A B =U ；(())()()()()()()P AB C P ABC P A P B P C P AB P C ===； (())()()()P A B C P AC BC P AC P ABC -=-=-(()())()()()P A P AB P C P A B P C =-=-； (3) 对任意的事件B 有()()0P AB P A ≤=，所以()()()P AB P A P B =； (4) 对任意的事件B 有()0P A =,由 (3)知A 与任何B 相互独立，所以A 与任何B 相互独立．(5) 12121212()()()()m m m n m m m n P AB P A A A A A A P A A A P A A A ++++==L L L L ．38. 证明 (1) 不妨设,A B 相互独立，则有()()()P AB P A P B =，但()0,()()0P AB P A P B =≠矛盾．所以,A B 不相互独立.(2) 原命题与逆否命题等价，所以显然．39. 解 设i A 为第i 台机器不需要工人照看，1,2,3i =；B 为最多有一台机器需要照看，123123123123()()()()()P B P A A A P A A A P A A A P A A A =+++0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.3=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.902=.40. 解 设i A 为甲、乙、丙三人击中飞机，1,2,3i =；B 为飞机击落，123123123123123123123()0.2(()()())0.6(()()())1()P B P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A =++++++⋅0.2(0.40.50.30.60.50.30.60.50.7)0.6(0.40.50.30.40.50.70.60.50.7)0.40.50.7 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.458=.41. 解 设i A 为从100件中有4件音色不纯的乐器中取到3件音色不纯件数,0,1,2,3i =，为乐器通过测试为B ，00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++321123322396964964433331001001001000.9930.990.0530.990.050.05C C C C C C C C C C =+⋅⋅+⋅⋅+ 0.8625≈．42. 解 设i A 为第i 续电器节点闭合，1,,6i =L ；B 为为L 与R 是通路，1323564()()B A A A A A A A =U U U 1323564()(()())P B P A A A A A A A =U U U1323564123135613423562345641235612342345612456123456()()()()(()()()()()())(()()()())()P A A P A A P A A P A P A A A P A A A A P A A A P A A A A P A A A P A A A P A A A A A P A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A A =+++-+++++++++-23456343p p p p p p =+--+-．43. 解 (1) 四次试验中至少发生一次事件A 为B ，480()1()1(1)81P B P B p =-=--=， 解得 23p =； (2) n 次试验中至少发生一次事件A 为B ，()1()1(10.2)0.9nP B P B =-=--≥，解得ln0.1(10,2)0.1,,10.3189,11ln0.8nn n n -≤≥≥≥ 同理()1()1(10.2)0.99nP B P B =-=--≥解得ln0.01,20.6377,21ln0.8n n n ≥≥≥．44. 解 设k A 为4次中A 发生的次数为 ,1,2,3,4k k =1314()0.30.7P A C =⋅，4132344()10.70.30.7P A A A C =--⋅U U ，1234()()0.6()P B P A P A A A =⋅+U U13413440.30.70.610.70.30.7C C =⋅⋅+--⋅0.595=．45. 解 设甲投中的球数为X ，乙投中的球数为Y ，()(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== (0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)P X P Y P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==+==33112222223333330.30.40.70.30.60.40.70.30.60.40.70.6C C C C =+⋅⋅⋅+⋅⋅+ 0.3208=；()(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+==+==+==123132330.70.30.40.70.60.40.436C C =⋅⋅++=L .46.解 设单片元件毁坏的数目为X 服从二项分布(10000,0.0005)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),5P λλ=，所以51(0)0.00670!P X e -===．47．解 设指定的一页上错字数为X ，则X 服从二项分布(200,0.025)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),0.5P λλ=，所以0.530.5(3)0.0144!k k P X e k +∞-=≥==∑．48. 解 设产出的卵数为X ，孵出的有幼虫数为Y ，对任意的0,1,k =L 有()(,)n kP Y k P X n Y k +∞=====∑()(|)n k P X n P Y k X n +∞=====∑(1)!nk kn k n n ke C p p n λλ+∞--==-∑!(1)!!()!nk n k n k n e p p n k n k λλ+∞---==--∑0(1)!()!k k n k n k n k p e p k n k λλλ-+∞---==--∑(1)!k k p p e e k λλλ--=()!k p p e k λλ-=即孵出的幼虫数服从参数为p λ的泊松分布．习题二1. 解 22351(3)10C P X C ===,23353(4)10C P X C ===,24356(5)10C P X C ===,分布列为分布函数为0,1/10,34,()4/10,45,1, 5.x F x x x ⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．2. 解 分布列分别为分布函数为0,20,()1/2,2040,1,.x F x x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥40⎩ 0,10,()1/2,1030,1,.y F y x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥30⎩．3．解 定义0,5,1,5,2, 5.X ωωω <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩（注意可以定义不同的随机变量取值，分布函数不同）分布函数为 0,0,5/10,01,()6/10,12,1, 2.x x F x x x <⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．4. 解 1）不放回抽取383107(0)0.466715C P X C ====,21823107(1)0.466715C C P X C ====,12823101(2) 0.066715C C P X C ====．2）放回抽取3(0)0.8 0.5120P X ===，1133(1)0.20.80.3840P X C === 2213(2)0.20.80.0960P X C ===，3(3)(0.2)0.0080P X ===．5. 解 由于跳跃点的概率 000()()(0)P X x F x F x ==--(5)(5)(50)1/5,P X F F =-=----=同理得到(2)1/10,P X =-=，(0)2/10,P X ==(2)1/2.P X ==6．解 1）有概率分布列的规性得到1/431/21a a +++= 解得1/16a =．2）21Y X =-的分布列为7. 解 (3)(2)(0)(2)1(5)0.8P X P x P x P x P x >-==-+=+==-=-=，(||3)1(5)0.8P X P X <-=-=-=,(|1|2)(5)(2)0.7P X P X P X +>==-+==.8. 解 由于分布函数是右连续的, 1lim ()(1)x F x F +→=.所以211,1A A =⋅= {0.50.8}(0.8)(0.5)0.3900P X F F <≤=-=．(本题也可以利用分布密度函数的规性的条件得到)9. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，10210|110a a a dx x x +∞+∞=-==⎰ ， 解得 10a =，分布函数10,()0x F x <=，1021010101010,()|1x x x F x dt t t x≥==-=-⎰，101,10,()0,10.x F x xx ⎧- ≥⎪=⎨⎪ <⎩ 由()1/2,F k = 解得20k =.10. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，000||xx x x x axe dx axde axe ae dxae a +∞+∞+∞---+∞--+∞=-=-+ ==⎰⎰⎰得到 1a =. 0,()0,x F x <=000,()||1,xxxt t t xt xt xx xx F x te dt tde te e dtxe e xe e --------≥==-=-+ =--=--⎰⎰⎰0,0,()1,0.x xx F x xe e x -- ≤⎧=⎨-- >⎩.11. 解 1) 不能,由于不是单调不减；2) 不能,由于不是单调不减；3) 能,其他场合定义()1,0F x x =>．12. 解 1) 是连续型随机变量，2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他2) 不是，由于连续型随机变量取值与一点的概率为0，而(1)1/2P X ==．13. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，||0022|2x x x ae dx ade ae a +∞+∞---+∞-∞=-==⎰⎰,得到 12a =. 110,(),22xt x x F x e dt e ---∞<==⎰00011110,()|1,2222x t t xx x F x exdx e dt e e ----∞≥=+=-=-⎰⎰1,0,2()11,0.2xx e x F x e x --⎧ ≤⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩.14. 解 由方程 24420x x ξξ+++=有实根得到21616(2)0ξξ∆=-+≥，解得 21or ξξ≥ ≤-,由于(0,5)U ξ :，所以(2)3/5P ξ≥=．15. 解 设Y 为四次取值大于发生a 的次数，则(4,)Y b p :，其中()1,(01)p P X a a a =>=-<<又 (1)1(0)0.9P Y P Y ≥=-==，4(0)0.1P Y a === 解得 0.5623a =.16. 解 1) 55()()0.922X a P X a P --<=<=,查标准正态分布表得到 1(0.9) 1.2816-Φ=,解得a = 7.5631.2) |5|(|5|)()0.0122X aP X a P -->=>=,|5|()2()0.01222X a a P ->=-Φ=,得到()2a Φ=0.995查标准正态分布表得到1(0.995)-Φ=2.5758,a = 5.1517.17. 解 设优秀的最低分为a ,数学成绩为X ,根据条件得到()0.05P X a >=,7070()0.951010X a P -->= 查标准正态分布表得到1(0.95) 1.645-Φ=,解得 86.45a =.18. 解19. 证明 当a y b αβαβ+<<+时()()()()y F y P Y y P X y P X βαβα-=≤=+≤=≤11()y ay y a dx a b a b a b a βαββαααα----==-=---⎰, 1(),p y a y b b a αβαβαα=+<<+-,其他 ()0p y =1,,()0,.a yb p y b a αβαβαα⎧ +<<+⎪=-⎨⎪ ⎩其他 即Y 服从[,]a b αβαβ++的均匀分布,20. 解 1) 当0y >时133()()()()F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤11331,y x y e dx e--==-⎰21331(),03y p y y e y --=>,其他 ()0p y =21331,0,()30,.y y e y p y --⎧ >⎪=⎨⎪ ⎩其他,131,0,()0,.y e y F y -⎧⎪- >=⎨⎪ ⎩其他 2) 当01y <<时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y -=≤=≤=≥-ln x ye dx y +∞--==⎰,(),01p y y y =<<, 其他 ()0p y =.,1,()0,.y y p y 0<<⎧=⎨⎩其他 0,0,(),1,1,1y F y y y y ≤⎧⎪= 0<<⎨⎪ ≥⎩21. 解 1) 当1y e <<时，()()()(ln )XF y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤ln 0ydx =⎰,1(),1p y y e y=<<, 其他 ()0p y =1,1,()0,.y e yp y ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其他 2) 当0y ≤<+∞时 2()()(2ln )()y F y P Y y P X y P X e -=≤=≤=≥21.y edx -=⎰,21(),02yp y e y -=≤<+∞,其他 ()0p y =.21,0,()20,.ye y p y -⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他 3) 当1y ≤<+∞时11()()()()F y P Y y P y P X X y =≤=≤=≥11.ydx =⎰,21(),1p y y y =≤<+∞, 其他 ()0p y =21,1,()0,.y yp y ⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他22. 解 1) 当0y >时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤2ln 2.x ydx --∞=⎰,2ln 2(),0yp y y -=>,其他 ()0p y =2ln 2,0,()0,.yy p y -⎧ >= ⎩其他.2) 当0y >时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y -=≤=≤=≥-22ln .x dx +∞--=⎰, 2ln 2(),0yp y y -=>,其他 ()0p y =2ln 2,0,()0,.yy p y -⎧ >= ⎩其他.3) 当0y >时()()(||)()F y P Y y P X y P y X y =≤=≤=-≤≤22.x ydx --=⎰,22(),0y p y y -=>,其他 ()0p y =22,0,()0,.yyp y-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他.23. 证明不妨设0a>()()()()y bF y P Y y P aX b y P Xa-=≤=+≤=≤()y baXf x dx--∞=⎰1()()Xy bf y fa a-=,同理可得0a<的情形.24. 解由上题的结论可得yβ>时,()yf y eβλαλα--=,()0y f yβ≤=分布密度函数为,,()0,.ye yf yyβλαλβαβ--⎧>⎪=⎨⎪ ≤⎩25. 解设年化收益率为r,ln ln lnXr X XX==-2222215,()(1)4EX e D X e eσμμσσ++===-=解得22444(1),ln(1) =0.0176225225225eσσ=+=+≈, 2.6992μ=, ln X服从4( 2.6992,)225N，年化收益r服从44( 2.6992-ln10,)( 0.3966,)225225N N=.26. 解 1) 有规性得到1()22xf x dx Ae dx A+∞+∞--∞===⎰⎰得到1/2A=;2)111/21/2(1)xe dx e--=-⎰;3)当0x<,()1/21/2xt xF x e dt e-∞==⎰,当0x≥,()1/21/211/2xt t xF x e dt e dt e---∞=+=-⎰⎰,分布函数为1/2,0,()11/2,0.xxe x F x e x -⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩.27. 解 由2(1)(2),1!2!P X P X ee λλλλ--====解得1λ=,221,()1,()()2EX D X EX D X EX λλ== == =+=,11(3)3!P X e -==.28. 解 设Y 为3人中等车时间不超过2分钟的人数，X 为等车时间.(3,),Y b p :其中(2)2/5p P X =<=，223333(2)(2/5)(3/5)(2/5) 0.3520P Y C C ≥=+=.29． 解 设X 为800个保单发生理赔的次数，利润为Y ．(800,0.05)X b :， 8005002000Y X =⋅-⋅40000020008000.05320000EY =-⋅⋅=．30. 解 当0x >时，00()|1,xt x xx F x e dt e e λλλλ---==-=-⎰当0x ≤时，()0F x =1,0,()0,0.x e x F x x λ-⎧- >=⎨≤⎩ 011x x x EX xe dx xe dx xde λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰0001111||x x x xe e dx e λλλλ+∞-+∞--+∞=-+==⎰.,22222211xxx EX x edx x e dx x de λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰20222112|2x x x e xe dx λλλ+∞-+∞-=-+=⎰2221()()D X EX EX λ=-=.31. 解 设电子元件的寿命为1()1000X Exp :， Y 为3个电子元件在1000小时坏掉的个数 (3,)Y b p :，其中1000100010111000xp e dx e --==-⎰,系统寿命超过1000小时的概率为01013111123323(1)(0)(1)(1)()(1)()32P Y P Y P Y C e e C e e e e --------≤==+= =-+- =-.32. 解 20.400.320.30.2,EX =-⋅+⋅+⋅=-2222(2)0.400.320.3 2.8,EX =-⋅+⋅+⋅= 22()() 2.80.04 2.76D X EX EX =-=-= 22(35)3513.4E X EX +=+=，5)10()27.6D D X -==.33. 解 设Y 为抽取10产品中的次品个数 (10,0.1)Y b :,1010102(1)0.10.90.2639kk k k p P Y C -==>==∑.(4,)X b p :,4 1.0556EX p ==.34. 解1/10(1051) 2.7EX =+++=L .35. 解001(1)()()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααβαβαβαβ+∞+∞--Γ+Γ=====ΓΓΓΓ⎰⎰,2112001(2)(1)()(1)()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααααβαβαβαβ+∞+∞+-+-Γ++Γ+=====ΓΓΓΓ⎰⎰ 222()()Var X EX EX αβ=-=.36. 解 ||102x EX x e dx +∞--∞==⎰, 22||201(3)22x x EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰,22()()2D X EX EX =-=,||01||||(2)12x x E X x e dx xe dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰.37. 解 预期收益记为X ，510(1)X R =+(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.037ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=,2222222(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.0016ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 222()()0.00160.037 2.0100e-004D R ER ER =-=-=,510(1)10370EX E R =⋅+=, 106()10() 2.0110D X D R ==⋅.38. 解 222222222222200x x x x xEX xedx xdexee dx σσσσσ----+∞+∞+∞+∞==-=-+=⎰⎰⎰,222222222222222222202222220222x x x x x xEX x e dx x dex exe dx x ed σσσσσσσσσ----+∞+∞+∞-+∞+∞==-=-+ ==⎰⎰⎰⎰,2222()()22Var X EX EX πσσ=-=-,22222242()x x xP X EX edx eeπσσσ--+∞->==-=.39. 解 设这债券价值为X ,则5%2EK =,1100(1)X K =+ ，解得1073.2EX =.习题三1.解 无放回2. 解3. 解 设X 为白色粉笔数，Y 为黄色粉笔数3126!(3,1)0.60.250.153!1!2!P X Y ===（多项分布的分布列）． 4. 解131102001194173(1,3)(6)(6)()882828P X Y dx x y dy x dx x dx -<<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰ 14110200119415(1)(6)(122)(62)88288P X dx x y dy x dx x dx -<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰5. 解 21120111()236x G xS dx dy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰， 224202022011(4)4(4)(6)(66)(2)8821182(64)(128).82863x x P X Y dx x y dy x x dxx x dx ---+≤=--=--- =-+=-+=⎰⎰⎰⎰26,01,,(,)0,.x x y x f x y ⎧ <<<<=⎨⎩其他， 当01,x <<22()66()x X xf x dy x x ==-⎰，其他 ()0X f x =，26(),01,()0X x x x f x ⎧- <<=⎨⎩，其他. 当01,y <<())Y yf y dx y ==-，其他，()0Y f y =，),01,()0Y y y f y ⎧- <<⎪=⎨⎪⎩，其他.6. 解 1,01,01,(,)0,.x y f x y <<<<⎧=⎨ ⎩其他当01,x <<1()11X f x dy ==⎰，其他，()0X f x =，1,01,()0X x f x <<⎧=⎨⎩，其他. 当01,y <<1()11Y f y dx ==⎰，其他，()0Y f y =1,01,()0Y y f y <<⎧=⎨⎩，其他.． 2222{(1/2)(1/2)1/4}1{(1/2)(1/2)1/4}P X Y P X Y -+-≥=--+-<116π=-.7. 解 2222(,)16(1)(1())23F x y x yx y π∂=∂∂⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222211()6(1())(1())2(1())232X f x dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰， 222211()6(1())(1())3(1())233Y f y dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰．8. 解 设Y 为五次到达银行未等到服务的次数 ,(5,)Y b p :,其中25101{10}5x p P X e dx e +∞--=>==⎰，2255{}(1),0,1,,5k k k P Y k C e e k ---==- =L ，25{1}1{0}(1).P Y P Y e -≥=-==-9. 解 设圆周分为面积大小相同的两块半圆,以1Y =表示表明刻度为1的半圆, 以0Y =表示表明刻度有[0,1]的半圆.当0x <时,()0F x ξ=，当01x ≤<时,1()2F x x ξ=， 当1x ≥时,11()122F x ξ=+=.故分布函数为0,0,1(),01,21, 1.x F x x x x ξ <⎧⎪⎪= ≤<⎨⎪ ≥⎪⎩.10. 解 电子元件损坏为A ,由全概率公式得到{}{,200}{,200240}{,240}P A P A X P A X P A X =<+≤≤+>2002202402202002200.1()0.001(()())2525252402200.2(1())0.06425---=Φ+Φ-Φ+- -Φ=,{200240,}{200240|}{}P X A P X A P A <<<<=0.009= .11. 解 1,,,()()(,)0,.a x b c y d b a d c f x y ⎧<<<<⎪--=⎨⎪ ⎩其他当,a x b <<11()()()d X c f x dy b a d c b a==---⎰,其他，()0X f x =,1,,()0X a x b f x b a⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他. 当,c y d <<11()()()b Y a f y dx b a d c d c==---⎰,其他，()0Y f y =,1,,()0Y c y d f y d c⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他.. 由于 (,)()()X Y f x y f x f y = ,所以,X Y 相互独立.12. 解 由分布密度函数的规性得到222(1x y R c R dxdy +≤=⎰⎰，320()2()13RRc R c Rd d c R d ππρρρθπρρρ-=-==⎰⎰⎰,解得 33c R π=.同理得到222233336(()23x y r Rr r R dxdy R R π+≤=-⎰⎰．13. 解 由分布密度函数的规性得到222arctan |arctan |1(1)(1)c dxdy c x y c x y π+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞===++⎰⎰， 解得 21c π=.111100222200111arctan |arctan |(1)(1)16dxdy x y x y ππ==++⎰⎰， 由于2211(),()(1)(1)X Y f x f y x y ππ==++，(,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立.14． 解 由分布密度函数的规性得到2222200sin()sin()(cos sin )21A x y dxdy dx A x y dy A x x dx A πππππ+=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰,解得 12A =, 分布密度函数为1sin(),0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+ <<<<⎪=⎨⎪ ⎩，其他..15. 解 由于(,)X Y 服从2222()()r x a y b R ≤-+-≤上的均与分布，面积为22()R r π-，所以密度寒素为2222221 ,()(),()(,)0r x a y b R R r f x y π⎧≤-+-≤⎪-=⎨⎪ ⎩，其他..16. 解 221 ,1,(,)0x y f x y π⎧ +≤⎪=⎨⎪ ⎩，其他. ,边缘密度函数为 ,01,()0X x f x <<=⎪ ⎩，其他.,,01,()0Y y f y <<=⎪ ⎩，其他., 当01y <<时，| ,(,)(|)()0X Y Y x f x y f x y f y <== ⎩，其他..17. 解 1400(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mnnm m e P X n P X n Y m m n m --=======-∑∑140!(7.14)(6.86)!!()!nm n m m e n n m n m --==-∑ 14(7.14)(6.86)!nmm n m nm e Cn --==∑1414!n e n -=，0,1,2,n =L ， 14(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mn m n m e P Y m P X n Y m m n m --+∞+∞=======-∑∑14 6.866.860(7.14)(6.86)!()!m n m n m e e e m n m --+∞--==-∑ 7.14(7.14),0,1,2,!me m m -==L ， {,}{|}{}P X n Y m P X n Y m P Y m ======147.14(7.14)(6.86)!()!(7.14)!m n mme m n m e m ----= 6.86(6.86),0,1,2,,,0,1,2,,()!n m e n m n n m --===-L L ,{,}{|}{}P X n Y m P Y m X n P X n ======1414(7.14)(6.86)!()!(14)!m n mne m n m e n ----=!7.14 6.86()(),0,1,2,,,0,1,2,,!()!1414m n mn n m n m n m -===-L L .18. 解22112222211221()()()()(,)[2]}2(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ----=--+-2222()()}2yf yμσ-=-,2112 |2211222222222(,)1()()() (|)[2()2(1)()()]}2X YYf x y x x yf x yf yy yμμμρρσσσμμσσ---==--+---+222112222211221()()()()[2]}2(1)2x x y yμμμρμρρσσσσ----=--+-22221212112221221()()[()2()]}2(1)2y yx xσμρσμμρμρσσσ--=----+-212122121()[]}2(1)yxσμμρρσσ-=----,所以2212112()|(,(1))yX Y y Nσμμρσρσ-=+-:.19 . 解由卷积公式得到22()22()()()x x zZ X Yf z f x f z x dx dx-+∞+∞---∞-∞=-=⎰⎰22()242zxzdx-+∞---∞=⎰24z-=,即(0,2)X Y N+:.21. 解当0z>时22222221(){}2x yx y zF z P z e dxdyζξηπ+-+<=+≤=⎰⎰2220012rd e rdrπθπ-=⎰21ze-=-,21,0,()0,0.ze zF zzζ-⎧⎪- >=⎨⎪ ≤⎩21,0,()20,0.ze zf zzζ-⎧>⎪=⎨⎪ ≤⎩.25. 解22222222222()222221{}2x ya bx yka bX YP k e dxdya bπ-++<+≤=⎰⎰2220012rkd e rdrπθπ-=⎰⎰221ke-=-.。