多变形的内角和讲义

19.1多边形的内角和

一、多边形及其相关概念

1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①在平面内；②若干条； 首尾顺次相连，三者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图。

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形.

2、多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：

如图

3、多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。

二、典例解读

1、把一张形状是多边形的纸片减去其中某一个角，剩余的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）

A、六边形

B、五边形

C、四边形

D、三角形

三、多边形的内角和

1、n边形的内角和等于（n-2）180°（n为不小于3的整数）。

2、多边形内角和定理的证明是运用归纳法，即将多边形分割成三角形，将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决。

通常有以下四种分割方法

（1）、如图，从n边形的一个顶点出发，

可以引（n-3）条对角线，把n多边形分割成（n-2）个三角形，则这（n-2）个三角形的内角和就是多边形的内角和，即（n-2）180°；

（2）如上图，从n边形的一条边上任意一点出发，连接这点与各顶点的线段把n边形分成（n-1）个三角形，因为这（n-1）个三角形的内角和就是（n-1）180°，而以这点为公共顶点的（n-1）个角的度数和为180°，所以n多边形的内角和就是（n-1）180°-180°=（n-2）180°；

（3）如图，在n边形的内部任意取一点，连接这点与各顶点的线段将n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为180°n，而以这点为公共顶点的n 个角的和为360°，所以n边形内角和的为180°n-360°=（n-2）180°；

（4）如上图在n边形的外部任意取一点，连接这点与各顶点的线段构成了（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和就是180°（n-1），而以这点为公共顶点的一个角的和为180°，所以n边形内角和的为180°（n-1）-180°=180°（n-2）。

四、典例解读

1、四边形的内角和的度数为_____________________。

2、已知一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是

_____________________。

3、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为____________________.

4、在四边形ABCD中∠A=60°，∠B比∠D大20°，∠C是∠D的2倍，求∠B,∠C，∠D的大小。

五、多边形的外角和

1、n边形的外角和都等于360°(n为小于3的整数)。

2、因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n －2)·180°= 360°.

3、多边形的外角和是取同一个顶点上的两个互为对顶角的外角中的一个相

加而得到的，而不是所有外角的和。

六、典例解读

1、六边形的内角和等于_____________.

2、一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数位___________.

七、正多边形

1、多边形中，如果各边都相等，各个内角都相等的多边形叫做正多边形。

2、温馨提示（1）正多边形的条件：各边相等，各内角相等，二者必须同时满足才是正多边形，缺一不可；（2）由于各内角相等，所以正多边形的外角通过和相邻的内角的互补关系，可知也都相等。由于多边形的外角和恒为360°，因此将正多边形的内角问题转化为正多边形的外角问题进行求解更为简便。

八、典例解读

1、正十二边形的每个内角的度数为____________________.

2、一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是正_________________.

九、四边形的不稳定性

1、四边形的不稳定性:指在四边形的边长不变时，其各内角可以发生改变，进而导致四边形的形状发生改变的性质。有些活动衣架就是运用了四边形的不稳定性。

十、综合培优

1、一个多边形的内角和为外角和的2倍，则这个多边形的边数为

_______________.

2、在多边形中，内角和与外角和相等的是_______________________.

3、从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值为_______________.

4、若凸n边形的内角和为1440°，则从一个顶点出发引出的对角线条数是__________.

5、在四边形ABCD中，∠A=45°。直线L与边AB,AD分别相交于点M、N，则∠1+∠2=____________.

D C

N

A M B

6、小刚从一点出发向前走50米，向右转18°，继续向前走50米，再向右转18°，当他以这样的走法回到起点时，共走了_________________m.

7、我们知道，我们的国旗五角红旗上有五颗鲜艳的五角星，每一颗五角星都有五个相等的锐角，则每个锐角等于__________________.