假设法讲义及练习

假设法讲义及练习1．假设法的概念。

假设法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。

假设法是小学数学中比较常用的方法，实际上也是转化方法的一种。

2．假设法的重要意义。

假设法实际上是根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据的改变，把原问题转化成新的问题，而且新的问题易于理解和解决，是一种迂回战术，表面上看解题的步骤变多了，但实际上退一步海阔天空，更有利于计算和推理，有利于培养灵活的思维方式、解决问题的能力和推理能力。

3．假设法的具体应用。

假设法在小学数学中的应用比较普遍，例如在有关分数的实际问题，比和比例的实际问题，鸡兔同笼问题，逻辑推理问题，图形的周长、面积和体积等问题中都有应用。

4．假设法的学习。

假设法的学习应注意以下几点。

第一，根据题目的特点，选择适当的数据进行假设。

在解决问题的过程中，如果遇到数量关系稍复杂的问题，要思考它与已掌握的什么知识有关系，用什么思想方法或者模型来解决，然后想方设法把它转化成数量关系明确而且易于理解的已有的知识。

案例1：(1) 六年级参加植树的男生和女生共有36人，其中男生人数是女生人数的3倍。

男生和女生各有多少人？(2) 六年级参加植树的男生和女生共有36人，其中男生人数的是女生人数的2倍。

男生和女生各有多少人？分析：第(1)题，是学生非常熟悉的问题，男生人数与女生人数的数量关系非常清楚且易于理解，既可以用方程解决，也可以用一般的算术方法计算。

第（2）题，数量关系与第（1）题有类似的地方，但又稍复杂，可看作是第（1）题的变型题。

两个数量无法直接用一个未知数表示，因而无法直接用一元一次方程解决；如果用算术方法，可这样想：根据题中的条件可知，在不改变男生和女生的比例关系前提下，可假设男生有3人，那么3的三分之二是2，2除以2等于1，因而女生有1人，所以男生人数是女生的3倍。

这样就把第（2）题转化成了第(1)题，再用算术方法列式计算便可。

案例2：小明和妈妈恰好花100元买了10本书，单价有8元一本的和13元一本的两种。

其中8元一本的和13元一本的各买了几本？分析：假设10本书都是买的8元一本的，那么才花了80元，比实际少花20元。

两种书的单价相差5元，20里有几个5，就得出13元的有几本。

20÷(13-8)＝4，所以8元的买了6本，13元的买了4本。

第二，在数量之间具有一定的比例关系前提下，可假设其中的一个数量为单位“1”，可大大简化计算的繁琐程度。

案例3：足球比赛门票是20元一张，平均每场有5000名观众，降价后每场观众增加了50%，收入增加了20%，降价后门票的价格是多少？分析：首先要明确一个基本的数量关系式：观众人数×门票价格＝收入。

先按照一般的解题思路分析，根据题意，要求的是降价后门票的价格，需要知道降价后的收入和观众人数。

降价后的收入是：5000×20×(1+20%)＝120000（元）。

降价后的观众人数是：5000×(1+50%)＝7500(人)。

所以降价后的门票价格是：120000÷7500＝16(元)。

实际上此题还可以用假设法，根据题意，降价后的人数和收入都是在原来的基础上分别按照一定比例变化，实际上观众人数是5000还是500并不影响计算的结果，因此只需要设观众人数为单位1就行。

假设降价前的观众人数是1,则降价后的观众人数是1×(1+50%)=1.5, 降价前的收入是20×1,则降价后的收入是20×1×(1+20%)＝24,所以降价后的门票价格是：24÷1.5＝16(元)。

案例4：如下图所示，水池和菜地组成了一个正方形，水池和林地组成了一个长方形，重叠的部分是水池。

水池的面积占长方形的，占正方形的。

林地的面积比菜地多200平方米，水池的占地面积是多少？分析：因为水池的面积既与长方形有比例关系，也与正方形有比例关系，所以可设水池的面积为1,那么林地的面积为。

菜地的面积为，那么林地比菜地多2(5-3)个单位面积，1个单位面积是200÷(5－3)＝100(平方米)。

所以水池的占地面积为100平方米。

第三,“数量的增减”假设1.分数乘除法问题中的增减假设。

案例5 一桶油，第一次倒出五分之二，第二次比第一次多倒出10千克，桶里还剩下30千克油，这桶油共重多少千克？分析：从“第二次比第一次多倒出10千克”入手，假设第二次没有多倒10千克，而是与第一次倒出的同样多，则多倒的10千克就归属于剩下的，也就是第二次倒少了，则桶内就剩多了。

这道题就转变成：第一次倒出■，第二次也倒出■，还剩下（30+10）=40千克。

前两次共倒出■+■=■，还剩下1-■=■，那么剩下的40千克对应着这桶油的■。

列式解答：（10+30）÷（1-■×2）=200（千克）。

2.工程问题中的增减假设。

案例6 一批零件，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成，现在由甲乙共同完成这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用了多少天？分析：假设甲没有请假，则甲、乙工作时间相同，共完成这批零件的（1+■）倍。

列式解答：（1+■）÷（■+■）=5（天）。

或假设乙中途也请假一天，则甲、乙工作时间也相同，只完成这批零件的（1-■）。

列式解答：（1-■）÷（■+■）+1=5（天）。

3.几何图形中的增减假设。

案例7 在一个面积为32平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？分析：根据题意作图（如图1）。

计算圆的面积需要知道圆的半径，图中这个圆的半径恰好是正方形边长的一半，但是正方形的边长是多少呢？这对小学生来说，的确是一道无法逾越的障碍，因此，解答这一问题时就应另辟蹊径。

假设将正方形的面积32cm■扩大2倍，得到64cm■，则正方形的边长就是8cm，即可得圆的直径也为8cm，半径为4cm，由此推算出圆的面积：3.14×（■）■÷2=25.12（cm■）。

为什么要除以2？因为假设将正方形的面积扩大2倍，算出的结果要回到原题就要缩小2倍，所以要除以2。

或假设将正方形的面积32cm■缩小2倍，得到16cm■，则正方形的边长为4cm，由此推出圆的面积：3.14×（■）■×2=25.12（cm■）。

第四,“以实代虚”假设案例8 甲、乙两所小学，甲校人数相当于乙校人数的40%，甲校女生占30%，乙校男生占42%，如果将甲、乙两校合并，那么女生占总人数的百分之几？分析：题目中没有具体的人数，三个百分数之间又没有直接联系，使问题变得更为抽象。

解题时可以采用“以实代虚”的方法，假设乙校的人数，则可以求出甲、乙两校的男、女生人数。

假设乙校人数为100人，则甲校人数为100×40%=40（人）；甲校女生有40×30%=12（人），乙校女生有100×（1-42%）=58（人），所以甲、乙两校合并后，女生占总人数的百分数是（12+58）÷（100+40）=50%。

本题的乙校人数可以假设成任何数，但假设成100人更便于计算。

第五,“同一量”假设当问题里有两个或两个以上未知数量时，可以假设它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算。

案例9 在一个笼子里关了一些鸡和一些兔子，数头一共有36个，数脚一共有100只。

问鸡和兔各多少只？分析：假设36只全是鸡，就应该有2×36=72（只）脚，这就比题目所说的100只脚，少了100-72=28（只）。

为什么脚会少呢？很显然是把四只脚的兔子当成了两只脚的鸡，把一只兔当成一只鸡就少了（4-2）=2（只）脚，少了28只脚，就相当于把14只兔子当成鸡，由此可求出兔子的只数，列式计算如下：兔子只数为（100-2×36）÷（4-2）=14（只），鸡的只数为36-14=22（只）。

或假设36只全是兔子，它们的脚共有4×36=144（只），这又比100只脚多了44只脚，显然是把两只脚的鸡当成四只脚的兔子而多算的，由此可推算鸡的只数，列式计算如下：鸡的只数为（4×36-100）÷（4-2）=22（只），兔子的只数为36-22=14（只）。

用假设法解题时，一定要抓住假设后的结果和实际结果之间的不同，找出不同的缘由，这就是解题的突破口。

恰当地运用好假设法，不仅能够促进学生灵活运用所学知识，而且有利于学生思维能力的培养。

练习:解：假设篮球没有借出，足球借出一个，那么，可以把现有篮球的个数看作是3份数，把现有足球的个数看作2份数，两种球的总份数是：3+2=5（份）原来篮球的个数是：原来足球的个数是：21-12=9（个）解：此题可以有三种答案。

答：剩下的两根绳子一样长。

答：甲绳剩下的部分比乙绳剩下的部分长。

（3）假设两根绳子都比1米长。

任意假定为1.5米，则甲绳剪去答：乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部分长。

3, 甲乙两个煤场共存煤92吨，从甲场运出28吨后，乙场的存煤比甲场的4倍少6吨。

两场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）解：假设从甲场运出的不是28吨，而是比28吨少6吨的22吨，那么，乙场的存煤数就正好是甲场的4倍，甲场的存煤是1份数，乙场的存煤是4甲场原来存煤： 92-50=42（吨）4,有两块地，平均亩产粮食185千克。

其中第一块地5亩，平均亩产粮食203千克。

如果第二块地平均亩产粮食170千克，第二块地有多少亩？（适于五年级程度）解：假设两块地平均亩产粮食都是170千克，则第一块地的平均亩产量比两块地的平均亩产多：203-170=33（千克）5亩地要多产：33×5=165（千克）两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多：185-170=15（千克）因为165千克中含有多少个15千克，两块地就一共有多少亩，所以两块地的亩数一共是：165÷15=11（亩）第二块地的亩数是：11-5=6（亩）5,一项工作，甲、乙两队单独做各需要10天完成，丙队单独做需要7.5天完成。

在三队合做的过程中，甲队外出1天，丙队外出半天。

问三队合做完成这项工作实际用了几天？（适于六年级程度）解：假设甲没有外出，丙也未外出，也就是说，甲、乙、丙三个队的工作天数一样多，则三队合做的工作量可达到：三队合做这项工作，实际用的天数是：6, 一项工程，甲、乙两队合做80天完成。

如果先由甲队单独做72天，再由乙队单独做90天，可以完成全部工程。

甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天？（适于六年级程度）解：假设甲队做72天后，乙队也做72天，则剩下的工程是：乙队还需要做的时间是：90-72=18（天）乙队单独完成全部工程的时间是：甲队单独完成全部工程的时间是：7,某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的3倍，每天平均卖出黑墨水45瓶，蓝墨水120瓶。