《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第3章平面与空间直线3.2平面与点的相关位置
解析几何第四版吕林根期末复习课后习题（重点）详解
第一章 矢量与坐标§1.3 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．三点共线．证明证明∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,CN 可 以构成一个三角形.证明：证明： )(21AC AB AL +=Θ)(21BC BA BM +=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明是任意一点，证明OB OA ++OC =OL +OM +ON .[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB +=NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明是任意一点，证明OA +OB +OC +OD ＝4OM .[证明证明]]：因为OM ＝21(OA +OC ), OM ＝21(OB +OD ), 所以所以2OM ＝21(OA +OB +OC +OD ) 所以所以OA +OB +OC +OD ＝4OM . 1010、、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．图1-5证明证明证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴，∴ →→→+=BC AD MN ，即，即§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λPB (λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1OB OA[证明]：如图1-7，因为，因为AP ＝OP －OA ,PB ＝OB －OP ,所以所以OP －OA ＝λ (OB －OP ), (1+λ)OP ＝OA +λOB ,从而从而 OP ＝λλ++1OB OA .4.、在ABC ∆中,设,1e AB =2e AC =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量AE AD ,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合的线性组合解：（1）()12123131,e e BC BD e e AB AC BC -==-=-=Θ，2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123132e e AE +=（2）因为）因为 ||||TC BT ＝||||11e e ,且 BT 与TC 方向相同，方向相同，所以所以BT ＝||||21e e TC . 由上题结论有由上题结论有AT ＝||||1||||212211e e e e e e ++＝||||||||212112e e e e e e ++. 5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量OG 对于矢量对于矢量OC OB OA ,,,的分解式。
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定理1.4.2 如果向量e1, e2不共线，那么向量 r与
e1 , e2共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，
或者说向量 r可以分解成e1 , e2的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数x, y被e1 , e2 , r唯一确定. 这时e1 , e2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
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例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
F
P1
e2
C
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==解析几何第四版答案篇一：解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章第三章平面与空间直线3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面（2）通过点M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。
求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。
解：（1）? M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面，故所求的平面方程为：?x?3?2u?v??y?1?2u?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。
（3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： ?{?4,5,?1}，?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。
（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面? ?{?4,5,?1}， ??{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}均与??平行，所以??的参数式方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0.2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，xyz???1. ?4?24所以，它的截距式方程为：又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，? 所求平面的参数式方程为：?x??4?2u?v??y??u?z?v?3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：AX?BY?CZ?0. 证明：不妨设A?0，则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：DBC?x???u?v?AAA??y?u?z?v??BC故其方位矢量为：{?,1,0},{?,0,1}，AA从而平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：v，{?BC,1,0},{?,0,1}共面? AAXYB?1AC?0A? AX?BY?CZ?0.Z0?0 14. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B 点的z坐标.解： ??{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.x?2解:平行于x轴的平面方程为y?1z?1?1000?0.即z?1?0.11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19故一般方程为12x?8y?19z?24?0.⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,x?0∴点法式方程为y?0z?010?2?0 051∴一般方程为2y?z?0.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0.??. (5) op??2,9,?6?p?op????4?81?36?11.op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?. 296,cos??,cos???. 111111296y?z?11?0. 则该平面的法式方程为:x?111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2? ?x?4写出平面的点位式方程为y?1z?2?863111?83?0，则A???26,61B?313?2,C??14,D??26?4?2?28??74， 111则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0. 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章名师制作优质教学资料
第三章平面与空间直线§ 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。
求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。
解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=--=v u z u y vu x 212123一般方程为：07234=-+-z y x（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。
（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=--=v u z uy vu x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ∆所在的平面}1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-⨯--=⨯均与π'平行，所以π'的参数式方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=+-=v u z v u y vu x 35145 一般方程为：0232=--+z y x .2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π.解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：1424=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， 所求平面的参数式方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=v z uy v u x 24 3.证明矢量},,{Z Y X v =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ，则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==---=v z uy v A C u A B A D x 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{ACA B --，从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：，}1,0,{},0,1,{ACA B --共面⇔01001=--AC A B Z Y X ⇔ 0=++CZ BY AX .4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标.解： }5,2,3{z +-= 而AB 平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-⨯+⨯-z 从而18=z .5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; ⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.解:平行于x 轴的平面方程为001011112=--+-z y x .即01=-z .同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得1924-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,∴点法式方程为001215000=----z y x ∴一般方程为02=+z y .同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →垂直于平面π,∴该平面的法向量{}3,1,1--=→n ,平面∂通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . (5) {}.6,9,2-=→op .1136814=++==→op p()().6,9,2cos ,cos ,cos 110-=∂=⋅=→γβn p op∴ .116cos ,119cos ,112cos -===∂γβ 则该平面的法式方程为:.011116119112=--+z y x既 .0121692=--+z y x（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4写出平面的点位式方程为0161381214=----z y x ，则,261638-=-=A74282426,141131,21113-=++⨯-=====D C B ，则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答
解析几何_吕林根 许子道_第四版_课后习题解答第一章 矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在矢量OA 、OB 、 OC 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、EF 和FA 中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中，相等的矢量对是： 图1-1 .DE OF CD OE AB OC FA OB EF OA 和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC , 则在∆BAC 中，21AC. KL 与AC 方向相同；在∆DAC 中，21AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB 、CD ; (2) AE 、CG ; (3) AC 、EG ;(4) AD 、GF ; (5) BE、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？E（1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5=[解]：（1）b a ,-=+（2）b a ,+=+（3≥且b a ,-=+ （4）b a ,+=（5）b a ,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,CN 可 以构成一个三角形.[证明]： )(21AC AB AL +=)(21BC BA BM +=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第3章平面与空间直线3.1平面的方程
x0 y0 z0 D X1 Y1 Z1 ,
因a,
b 不共线,
X2 所以A,
B,
Y2 Z2 C不全为零
,
这表明
:
任一平面都可用关于 x, y, z的三元一次方程表示 .
反之,可证 : 任一关于x, y, z的一次方程 (3.110)都表示平面.
事实上,因A, B, C不全为零,不妨设A 0,则(3.110)
在空间,
取仿射坐标系
O；e1
,
e2
,
e3
,
并设点
M
的向径
0
OM
0
r0
,
平面上任一点
M的向径OM
r
(图3
1),
则
a,
点 M在平面上 M
b不共线,由 定理 1.4.2知
0M
, a, z
b共面.
又 即
MM0 M0 Muarvrb0 ,, r r0 ua vb.
(3.1-1)
平面 的向量式参数方 x
2 11 3 3 2
问题：说明上式的由来 .
将方程组(*)变形为
A 5B D, 3A 2B D.
由克莱姆法则 , 有
D 5 5 1
D 2 2 1
A
D,
1 5 1 5
32 32
1 D 1 1 B 3 D 1 3 D,
1 5 1 5 32 32
5 1 1 1
2 1 13
A:B:D
D:
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 t 1 ,
解析几何课程简介
《解析几何》课程简介一、《解析几何》课程说明1、课程编码：A9F32202X2、开课学期及学时学分：第3-4学期 64学时 4学分3、课程类型：专业必修课4、先修课程：高中数学5、教材：《解析几何》（第四版），吕林根主编，高等教育出版社出版，2009。
6、开课对象：初等教育综合理科学生二、课程的性质和任务《解析几何》是我院初等教育综理专业的一门重要的专业必修课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。
空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系紧密地联系起来，对数学的发展起到了重要作用。
本课程内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛。
学好本课程，使学生系统掌握解析几何的基础知识和基本理论，能够培养学生用解析几何思想解决问题的能力、提高学生的空间想象能力，为数学专业的后继课程、其他学科的相关课程的学习和未来从事中小学数学教学工作打下坚实的基础。
三、课程内容本课程选用的教材是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，吕林根、许子道编著、高等教育出版社出版的《解析几何》第四版，2009。
主要内容有：第一章向量与坐标1.1向量的概念；1.2向量的加法；1.3数量乘向量；1.4向量的线性关系与向量的分解；1.5标架与坐标；1.6向量在轴上的射影；1.7两向量的数量积；1.8两向量的向量积；1.9三向量的混合积；1.10三向量的双重向量积。
第二章轨迹与方程2.1 平面曲线的方程；2.2曲面的方程；2.3空间曲线的方程。
第三章平面与空间直线3.1平面的方程；3.2平面与点的相关位置；3.3两平面的相关位置；3.4空间直线的方程；3.5直线与平面的相关位置；3.6空间直线与点的相关位置；3.7空间两直线的相关位置；3.8平面束。
第四章二次曲面4.1柱面；4.2锥面；4.3旋转曲面；4.4椭球面；4.5双曲面；4.6抛物面；4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。
第五章二次曲线的一般理论5.1二次曲线与直线的相关位置；5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；5.3二次曲线的切线；5.4二次曲线的直径；5.5二次曲线的主直径与主方向；5.6二次曲线方程的化简与分类；5.7应用不变量化简二次曲面的方程。
解析几何课程简介
《解析几何》课程简介一、《解析几何》课程说明1、课程编码：A9F32202X2、开课学期及学时学分：第3-4学期 64学时 4学分3、课程类型：专业必修课4、先修课程：高中数学5、教材：《解析几何》（第四版），吕林根主编，高等教育出版社出版，2009。
6、开课对象：初等教育综合理科学生二、课程的性质和任务《解析几何》是我院初等教育综理专业的一门重要的专业必修课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是初等教育综理专业课的基石。
空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系紧密地联系起来，对数学的发展起到了重要作用。
本课程内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛。
学好本课程，使学生系统掌握解析几何的基础知识和基本理论，能够培养学生用解析几何思想解决问题的能力、提高学生的空间想象能力，为数学专业的后继课程、其他学科的相关课程的学习和未来从事中小学数学教学工作打下坚实的基础。
三、课程内容本课程选用的教材是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，吕林根、许子道编著、高等教育出版社出版的《解析几何》第四版，2009。
主要内容有：第一章向量与坐标1.1向量的概念；1.2向量的加法；1.3数量乘向量；1.4向量的线性关系与向量的分解；1.5标架与坐标；1.6向量在轴上的射影；1.7两向量的数量积；1.8两向量的向量积；1.9三向量的混合积；1.10三向量的双重向量积。
第二章轨迹与方程2.1 平面曲线的方程；2.2曲面的方程；2.3空间曲线的方程。
第三章平面与空间直线3.1平面的方程；3.2平面与点的相关位置；3.3两平面的相关位置；3.4空间直线的方程；3.5直线与平面的相关位置；3.6空间直线与点的相关位置；3.7空间两直线的相关位置；3.8平面束。
第四章二次曲面4.1柱面；4.2锥面；4.3旋转曲面；4.4椭球面；4.5双曲面；4.6抛物面；4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。
第五章二次曲线的一般理论5.1二次曲线与直线的相关位置；5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；5.3二次曲线的切线；5.4二次曲线的直径；5.5二次曲线的主直径与主方向；5.6二次曲线方程的化简与分类；5.7应用不变量化简二次曲面的方程。
《解析几何》第二章(吕林根-许子道第四版)
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程 §2.4 空间曲线的方程
§2.2 曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F(x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程，
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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由 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
由上述方程可得球面的一般式方程为：
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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例 2 求与原点O 及M 0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
z vt
y 螺旋线的参数方程
返回
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
解析几何课件(第四版)
交线为椭圆.
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z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
解
z a x y
2 2
2
上半球面,
a 2 a 2 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
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§2.2
曲面的方程
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以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM 0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2
.
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y 1 | MP
S
x y2 2zFra bibliotekz1C
o
y1
y
.
x
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f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P M
z
N (0, y1 , z1 )
.
z
x2 2 y
y
o
平面
y
o
x
抛物柱面 抛物柱面方程：
x
y x
平面方程：
x 2y
2
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y x
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只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标§ 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21AC AB AL +=Θ )(21+=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB ++OD ＝4OM .[证明]：因为OM ＝21(OA +), OM ＝21(OB +OD ), 所以 2＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB ++OD ＝4OM .10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．图1-5证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§ 矢量的线性关系与矢量的分解3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝(－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1[证明]：如图1-7，因为＝－OA ,PB ＝OB －,所以 －OA ＝ (OB －),(1+)OP ＝+,从而 OP ＝λλ++1OB.4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()12123131,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123132e e AE +=（2）因为||||TC ||11e e , 且 BT 与方向相同， 所以 BT ||21e e .由上题结论有AT ||||1||212211e e e e e +||||212112e e e e e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
(完整版)解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
任意向量 r可以由向量 e1 , e2 , e3线性表示，或说空间
任意向量 r可以分解成向量 e1 , e2 , e3的线性组合，即
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3) 上一页 下一页
并且其中系数 x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯一确定.
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第一章 向量与坐标 §1.4向量的线性关系与向量的分解
这时e1 , e2 , e3叫做空间向量的基底 .
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, (2) 0,
aa与a0同向，| a| | a|
(3) 0, a与a反向，| a|| | | a|
a 2a
1 a 2
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第一章 向量与坐标 §1.3 数乘向量
|
a a|
ea .
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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第一章 向量与坐标 §1.3 数乘向量
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
uuuur AM
1
uuur ( AB
uuuur AC)
2
如图
证
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur
D
解析几何大学数学
§1.5 标架与坐标 §1.7 向量的数量积 §1.9 三向量的混合积
§1.1 向量的概念
• 量的分类 ：标量、向量（矢量）、张量等
定义 集合 相互关系
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量.
向量的几何表示： 有向线段
M2 a
有向线段的长度表示向量的大小,
a2 A2
a1 O
A1 a3 c
A4
an1
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则.
a4 A3
Back
三、向量的减法
定义1.2.2 当向量 b 与向量 c 的和等于向量 a ，即 b c a 时，我们把向量 c 叫做向量 a 与 b 的差， 并记做 c a b.
向量减法的定义：a b a (b).
相反.我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘.
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, (2) 0,
aa与a0同向，|
a
|
|
a
|
(3) 0, a与a 反向，| a || | | a |
a
2a
1
a
2
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定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）
B
a
C a (a) 0.
A
a
b
b
c
a
A
O
O a bc a b c C
二、向量加法的运算规律
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广: 自任意点 O 开始，依次引OA1 a1, A1A2 a2, , An1An an , 由此得一折线 OA1A2 An,于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即OA OA1 A1A2 An1An .
解析几何课件(吕林根+许子道第四版)
从而得
AP1
1 2
1 2
e1
1 2
(e2
e3 )
1 4
(e1
e2
e3 ),
同理可得
APi
1 4
(e1
e2
e3 ),(i
2,3)
所以
AP1＝AP2＝AP3
上一页
从而知P1, P2 , P3三点重合，命题得证 .
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定义1.4.2 对于n(n 1)个向量a1 , a2 ,, an，如果存
叫 做 矢 量a1, a2 ,, an的 线 性 组 合. 定理1.4.1 如果矢量e 0，那么矢量r与矢量e共
线 的 充 要 条 件 是r可 以 用 矢 量e线 性 表 示 ， 或 者 说r
是e的 线 性 组 合 ， 即r＝xe，
(1.4 1)
并且系数x被e, r唯一确定.
这时e称为用线性组合来表示共线矢量的基底.
向M量1为的起大点小，.M| a2|为或终| 点M的1M有2 |向线段.
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单位向量：模为1的向量.
零向量：模为0的向量.0
e
a
或
e
M1M2
相同，定那义a么1.叫1.做2 ＝相如等果向两量个b.向记量为的模a 相b等 且方向
所有的零向量都相等.
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向
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§1.3 数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a的乘积是一个矢量，记做 a,它的
模是 a a ；a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a
相反.我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘.
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
空间中点与平面的关系
点在平面内：点 位于平面内满足 平面的定义和性 质
点在平面外：点 不在平面内与平 面平行或与平面 相交
点的轨迹：点按 照某种规律在平 面上移动形成轨 迹
点的射影：点在 平面上的投影与 原点连线与平面 的夹角关系
空间中直线与平面的关系
直线与平面的位置关系：直线要么在平面上要么与平面平行要么与平面相交 直线与平面的交点：直线与平面的交点称为直线在平面上的投影 直线与平面的角度：直线与平面之间的角度称为线面角可以通过几何或向量方法求解 直线与平面的距离：直线到平面的最短距离称为线到面的距离可以通过几何或向量方法求解
05
解析几何中的投影与透视
投影的基本概念
投影的定义：通过光线将物体投射到平面上生成影子。 投影的分类：中心投影、平行投影。 投影的应用：建筑设计、工程制图、动画制作等领域。 投影的性质：与光源、物体和投影面的位置关系有关。
透视的基本概念
透视的定义：通过透明平面观察物体研究物体在平面上的投影从而表现出物体的三维空间 感。
应用：在解析几何中坐标变换被广泛应用于解决各种实际问题如平面几何、 立体几何、曲线和曲面等。 意义：通过坐标变换可以深入理解几何图形的内在性质和规律进一步探索 几何图形的变换和对称等特性。
图形变换
平移变换：将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离而不改变其形状和大小。 旋转变换：将图形绕某一点旋转一定的角度而不改变其形状和大小。 伸缩变换：将图形按一定的比例进行放大或缩小而不改变其形状和大小。 对称变换：将图形关于某一直线或点进行翻转或反射而不改变其形状和大小。
第四 版)(精).ppt
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目录
01 课件概览 02 解析几何基础知识 03 解析几何中的曲线与方程 04 解析几何中的平面与空间 05 解析几何中的投影与透视 06 解析几何中的变换与对称
解析几何(第四版)吕林根许子道编第3章平面与空间直线3.7空间两直线的相关位置
L
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
x 3t 1
令
x1 y1
z
t
y
2t
1.
3 2 1
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN
(
2 7
2,
13 7
1,
3 7
3)
(
12 7
令Y 1, 则X 0, Z 2,
x 1,
故所求直线方程:
y
1
t,
z 1 2t.
注 求直线方程时 ,凡条件中提及直线与直 线,直
线与平面相交的问题 ,一般将所求直线方程设 成参数
式简便,有时也用其一般式 .
例6 P130例2中是直接用异面直线间的距离公式求 距离, 再求公垂线方程, 也可先求出公垂线方程后, 再
z z1 Z1 0, Z z z2 Z2 0. Z
(3.7-9)
式中 X Y1 Z1 ，Y Z1 X1 ，Z X1 Y1
Y2 Z2
Z2 X2
X 2 Y2
是v1 v2的分量,即l0的方向数.
例5 求过点P(1,1,1)且与两直线
l1 :
x y z, 123
l2 :
x 1 y 2 z 3 21 4
定义3.7.3 与两异面直线都垂直相交的直线,叫两 异面直线的公垂线, 两个交点间的线段长叫公垂线 的长.
定理3.7.3 两异面直线间的距离等 于它们公垂线
的长. 证 设两异面直线l1,l2,
公垂线l0,且l1 l0 N1, l2 l0 N2 ,
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容易看出,点与平面间的离差 :
(3.2-1)
当且仅当点
M
和原点在平面
0
的不同侧
(图3
4),
0; 在同一侧(图3 5) 0;
当且仅当点
M
在平面
0
上时,
0.
z
R
M0
P
n
r0
o
q
Q
y
zபைடு நூலகம்
P
o n
R
q
r0
Q
M0
y
x
图3-4
x
图3-5
显然, 即是点M0与平面间的距离d,即
d,
定理3.2.1
MM , M 为垂足,
M
P为上任一点, 则总有
图3-3
MM MP ,
当且仅当点P与M 重合
P
M
时,式中等号成立,所以MM 为点M与平面的距离.
点关于平面的离差
定义3.2.2 若自点M0到平面引垂线,其垂足为
Q, 则QM0在的单位法向量n上的射影叫点M0与
间的离差, 记作
Pr
j
n
QM
0
间的离差与距离, 求出该平面的法式方程,问题迎刃而解.
例 1 求两平面 z x 2y 1, 3x 6y 3z 4间的距离.
解 先判断两平面是否平行.
n1
(1,2, 1),
n2
(3,6,
3),
1 2 1 3 6 3 n1 // n2 .
在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
则点M
1,
M
2在由
1
,
所构成的相邻的二面角
2
内;
如图(3 8).
2)若F1(x1, y1, z1) F1(x2, y2, z2 ) 0,
F2 (x1, y1, z1) F2 (x2, y2, z2 ) 0, 1
则点M1,
M
2在由
1,
所构成
2
M
•
1
的同一个二面角内;
3)若F1(x1, y1, z1) F1(x2, y2, z2 ) 0,
30 60 314
d
7
.
32 62 ( 3 )2
36
2. 平面化分空间问题,三元一次不等式的几何意义
设 : Ax By Cz D 0,
则空间任意点 M (x, y, z)对平面的离差
(Ax By Cz D),
为的法化因子 (的符号确定 ), 所以有
Ax By Cz D ,
的相关位置时 ,可如下考虑 : 令 Fi (x, y, z) Ai x Bi y Ci z Di (i 1,2)
将点Mi (i 1,2)的坐标代入 Fi (x, y, z)(i 1,2) 1）若F1(x1, y1, z1) F1(x2, y2, z2 ) 0,
F2 (x1, y1, z1) F2 (x2, y2, z2 ) 0,
•M 2
F2 (x1, y1, z1) F2 (x2, y2, z2 ) 0,
2
则点M1
,
M
2在由1,
所构成
2
的对顶的二面角内;
图3-8
例 P109 习题（9 1）.
解 F1(2,1,1) 3 2 (1) 21 3 6
F1(1,2,3) 31 2 2 (3) 3 8,
F1(2,1,1) F1(1,2,3) 6 (8) 48 0,
(3.2-5)
对同侧的点, 的符号相同 ; 对于异侧的点, 有不
同的符号.
z
M1
n
o
P
Q1 Q2
M2
y
x
图3-6
z
M1
P
n
Q1
o
M2
Q2
y
x
图3-7
M1与M 2在的不同侧,
Q1M1, Q2M 2反向.
M1与M 2在的同侧,
Q1M1, Q2M 2同向.
由(3.2 5)式知平面 : Ax By Cz D 0将空间
§ 3.2 平面与点的相关位置
平面与点的相关位置仅有 : ① 点在平面上 (点的坐标满足平面方程 ); ② 点不在平面上 (点到平面有距离 ).
1.点与平面的距离
定义3.2.1 一点与平面上的点之间 的最短距离 , 叫做该点与平面之间的 距离.
显然, 若过该点引平面的垂线得垂足, 则该点与 垂足间的距离即为该点与平面的距离.(如图)
点M
与平面
0
n
n r0
r
p.
p
0间的离差为
(3.2-2)
这里r0 OM 0 , p OP .
证 由定义3.2.2(图3 4)得
而Q在平面(3.1nPr1j3(nr)0上QM,q故 )0nnnnrq0r(0Opp.,M所 n0以qO, Q)
特别地: 原点到任何平面的离差均小于0.
推论1 点M 0 (x0, y0, z0 )与平面(3.114)间的离差是
x0 cos y0 cos z0 cos p, (3.2-3)
推论2 点M 0 (x0 , y0 , z0 )与平面Ax By Cz D 0 间的距离为
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
(3.2-4)
总之: 要求点M0 (x0, y0, z0 )与平面Ax By Cz D 0
化为两部分,对于某部分的点Ax By Cz D 0;而
对另一部分的点则有Ax By Cz D 0;在上的点,
Ax By Cz D 0.
注 在判定两个点 M i (xi , yi , zi )(i 1,2)与两个平面
i：Ai x Bi y Ci z Di 0, (i 1,2)
故点M
,
N在平面
的异侧；
1
F2 (2,1,1) F2 (1,2,3)
[2 2 (1) 1 4][1 2 2 (3) 4]
7 4 28 0.
故点M , N在平面 2的同侧,从而点M , N在由平面
1,
构成的相邻的二面角内
2
.
练习题
P109 1(1)； 3 ; 10.