《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第3章平面与空间直线3.2平面与点的相关位置

(3.2-5)
对同侧的点, 的符号相同 ; 对于异侧的点, 有不
同的符号.
z
M1
n
o
P
Q1 Q2
M2
y
x
图3-6
z
M1
P
n
Q1
o
M2
Q2
y
x
图3-7
M1与M 2在的不同侧,
Q1M1, Q2M 2反向.
M1与M 2在的同侧,
Q1M1, Q2M 2同向.
由(3.2 5)式知平面 : Ax By Cz D 0将空间
故点M
,
N在平面
的异侧；
1
F2 (2,1,1) F2 (1,2,3)
[2 2 (1) 1 4][1 2 2 (3) 4]
7 4 28 0.
故点M , N在平面 2的同侧,从而点M , N在由平面
1,
构成的相邻的二面角内
2
.
练习题
P109 1(1)； 3 ; 10.
•M 2
F2 (x1, y1, z1) F2 (x2, y2, z2 ) 0,
2
则点M1
,
M
Leabharlann Baidu
2在由1,
所构成
2
的对顶的二面角内;
图3-8
例 P109 习题（9 1）.
解 F1(2,1,1) 3 2 (1) 21 3 6
F1(1,2,3) 31 2 2 (3) 3 8,
F1(2,1,1) F1(1,2,3) 6 (8) 48 0,
的相关位置时 ,可如下考虑 : 令 Fi (x, y, z) Ai x Bi y Ci z Di (i 1,2)
将点Mi (i 1,2)的坐标代入 Fi (x, y, z)(i 1,2) 1）若F1(x1, y1, z1) F1(x2, y2, z2 ) 0,
F2 (x1, y1, z1) F2 (x2, y2, z2 ) 0,
化为两部分,对于某部分的点Ax By Cz D 0;而
对另一部分的点则有Ax By Cz D 0;在上的点,
Ax By Cz D 0.
注 在判定两个点 M i (xi , yi , zi )(i 1,2)与两个平面
i：Ai x Bi y Ci z Di 0, (i 1,2)
容易看出,点与平面间的离差 :
(3.2-1)
当且仅当点
M
和原点在平面
0
的不同侧
(图3
4),
0; 在同一侧(图3 5) 0;
当且仅当点
M
在平面
0
上时,
0.
z
R
M0
P
n
r0
o
q
Q
y
z
P
o n
R
q
r0
Q
M0
y
x
图3-4
x
图3-5
显然, 即是点M0与平面间的距离d,即
d,
定理3.2.1
间的离差与距离, 求出该平面的法式方程,问题迎刃而解.
例 1 求两平面 z x 2y 1, 3x 6y 3z 4间的距离.
解 先判断两平面是否平行.
n1
(1,2, 1),
n2
(3,6,
3),
1 2 1 3 6 3 n1 // n2 .
在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
§ 3.2 平面与点的相关位置
平面与点的相关位置仅有 : ① 点在平面上 (点的坐标满足平面方程 ); ② 点不在平面上 (点到平面有距离 ).
1.点与平面的距离
定义3.2.1 一点与平面上的点之间 的最短距离 , 叫做该点与平面之间的 距离.
显然, 若过该点引平面的垂线得垂足, 则该点与 垂足间的距离即为该点与平面的距离.(如图)
则点M
1,
M
2在由
1
,
所构成的相邻的二面角
2
内;
如图(3 8).
2)若F1(x1, y1, z1) F1(x2, y2, z2 ) 0,
F2 (x1, y1, z1) F2 (x2, y2, z2 ) 0, 1
则点M1,
M
2在由
1,
所构成
2
M
•
1
的同一个二面角内;
3)若F1(x1, y1, z1) F1(x2, y2, z2 ) 0,
x0 cos y0 cos z0 cos p, (3.2-3)
推论2 点M 0 (x0 , y0 , z0 )与平面Ax By Cz D 0 间的距离为
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
(3.2-4)
总之: 要求点M0 (x0, y0, z0 )与平面Ax By Cz D 0
MM , M 为垂足,
M
P为上任一点, 则总有
图3-3
MM MP ,
当且仅当点P与M 重合
P
M
时,式中等号成立,所以MM 为点M与平面的距离.
点关于平面的离差
定义3.2.2 若自点M0到平面引垂线,其垂足为
Q, 则QM0在的单位法向量n上的射影叫点M0与
间的离差, 记作
Pr
j
n
QM
0
30 60 314
d
7
.
32 62 ( 3 )2
36
2. 平面化分空间问题,三元一次不等式的几何意义
设 : Ax By Cz D 0,
则空间任意点 M (x, y, z)对平面的离差
(Ax By Cz D),
为的法化因子 (的符号确定 ), 所以有
Ax By Cz D ,
点M
与平面
0
n
n r0
r
p.
p
0间的离差为
(3.2-2)
这里r0 OM 0 , p OP .
证 由定义3.2.2(图3 4)得
而Q在平面(3.1nPr1j3(nr)0上QM,q故 )0nnnnrq0r(0Opp.,M所 n0以qO, Q)
特别地: 原点到任何平面的离差均小于0.
推论1 点M 0 (x0, y0, z0 )与平面(3.114)间的离差是