20-21 第8章 章末综合提升

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

空间几何体的表面积与体积

两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2, 1 cm2, 3 cm2，求三棱锥O-ABC的体积．

[解]设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm，

则由已知可得1

2xy＝1.5，1

2xz＝1，

1

2yz＝3.

解得x＝1，y＝3，z＝2.

将三棱锥O-ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．易知OC为三棱锥C-OAB的高．

于是V O-ABC＝V C-OAB＝1

3S△OAB·OC＝1

3×1.5×2＝1(cm

3)．

空间几何体的表面积与体积的求法

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解.

[跟进训练]

1．如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC-A′B′C′的体积．

[解]连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．

设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是1

3V.

而四棱锥A′­BCC′B′的体积为1

3Sa，

故有1

3V＋1

3Sa＝V，

即V＝1

2Sa.

与球有关的切、接问题 长为4，则该球的表面积为( )

A ．443π

B ．4849π

C ．814π

D ．16π

(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )

A ．96 3

B ．16 3

C ．24 3

D ．48 3

(1)B (2)D [(1)如图，设PE 为正四棱锥P -ABCD 的高，

则正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 必在其高PE 所在的

直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接AE ，AF .

由球的性质可知△P AF 为直角三角形且AE ⊥PF ，

又底面边长为4, 所以AE ＝22， PE ＝6, 所以侧棱长P A ＝PE 2＋AE 2＝62＋(2 2 )2＝44＝211. 设球的半径为R, 则PF ＝2R . 由三角形相似得P A 2

＝PF ·PE ，即44＝2R ×6，解得R ＝113，所以S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1132＝484π9，故选B ． (2)由球的体积公式可求得球的半径R ＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a ，高即侧棱长，为h ，则h ＝2R ＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球

特征，有13·32a ＝R ＝2，解得a ＝4 3.故此三棱柱的体积V ＝12×32×(43)2×4＝48 3.]

与球相关问题的解题策略

(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题.

(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决.

[跟进训练]

2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为________．

4πRr [法一：如图，作DE ⊥BC 于点E .设球的半径为

r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾

股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .

法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .]

空间点、线、面位置关系的判断与证明

所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.

(1)求证：AF ∥平面BDE ；

(2)求证：CF ⊥平面BDE .

[证明] (1)设AC 与BD 交于点O ，连接EO ，如图

所示，

∵EF ∥AC ，且EF ＝1，AO ＝12AC ＝1，

∴四边形AOEF 为平行四边形，∴AF ∥OE .

∵OE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，

∴AF∥平面BDE.

(2)连接FO，如图所示．

∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，

∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.

∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC．

又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD．

又BD∩EO＝O，BD，EO⊂平面BDE，

∴CF⊥平面BDE.

空间平行、垂直关系的转化

(1)平行、垂直关系的相互转化

(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点

①由已知想性质，由求证想判定．

②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．

③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．

[跟进训练]

3．如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，

E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，

F为B1C1的中点．