谐波小波与近似熵相结合的噪声信号分析

谐波小波与近似熵相结合的噪声信号分析孙伟杰 0221057根据课题内容：本课题从学习小波分解的原理开始，通过研究小波分解系数的特性及近似熵的数学模型和物理意义，采用MATLAB等工具，应用小波与近似熵的分析原理，对实际采集的机械振动中正常信号与故障的数据特征进行提取。

此次毕业设计采用Windows平台上，以MATLAB等科技应用软件为开发工具，实现机械振动中信号的特征提取的程序设计，并进行了以下相应调查与可行性论证。

1 综述1.1谐波小波与近似熵相结合的噪声信号分析应用领域——机械故障诊断研究现状：机械设备是国民经济建设和生产发展的重要物质基础。

随着科学技术的进步和经济建设的发展，对机械设备的性能要求越来越高，其结构也越来越复杂。

这不仅促进了机械制造技术及设计技术的提高，同时，人们也认识到机械设备仅有优良的性能是远远不够的，现代化的设备一旦发生故障，设备维修和停机将造成巨大的经济损失和社会危害。

因此，如何提高机械设备的可靠性、可控性，保障设备的安全、稳定、长周期、满负荷优质运行，及时发现并消除故障，以成为机械工程学急待解决的新课题。

作为一门新兴的交叉学科，机械设备状态监测与故障诊断的研究内容主要反映在以下几个方面：1)故障产生机理的研究; (2)故障(异常)信号分析与处理方法的研究; (3)人工智能专家诊断系统和神经网络诊断方法的研究;(4)故障诊断仪器设备和监测与诊断系统的开发与研制。

此次课题重点研究的谐波小波与近似熵相结合的分析是故障信号分析与处理方法之一。

1.2相对于谐波小波与近似熵相结合的噪声信号分析之传统故障信号分析与处理方的研究：故障信号分析与处理技术对于正确诊断故障起着十分重要的作用。

通过信号处理才可以从时域的原始信号提取到故障诊断需要的具体标定特征。

例如，用Fourier变换，将信号从时域变换到频域时，可以给出从原始时域信号无法得到的信号特征，利用基于Fourier变换的各种谱分析，就能确定某些信号是否是故障信号。

相应的故障信息频域处理技术有频谱分析、相关分析、相干分析、传递函数分析、细化谱分析、倒谱分析等等。

这些方法都是在以快速Fourier变换(FFT)为核心的经典信号处理方法上发展起来的。

机械故障诊断的一个重要内容是非平稳、非线性故障的检测与分析，对于这些故障，用常规方法往往难以反映其全部信息。

在这方面人们采用了时频分析的方法进行研究，这主要表现在Wigner-Ville分布(WVD)和短时Fourie:变换(STFT)等几种方法的迅速应用上。

时频分析使信号的时域特征和频域特性被精确地刻画出来。

但是，时频分析的方法也有不尽如人意的地方：时频分析对于信号相加存在着交叉项干扰，使得两个信号和的分布己不再是两个信号各自分布的和。

再加上由于构造形式的限制，信号的能量值不一定非负。

正是由于这些传统信号分析方法或多或少地存在这样那样的缺陷与不足。

直到1984年有一位法国人Morlet提出小波变换思想，人们的眼界为此豁然开朗。

小波分析以其独特的优点引起广大科研人员、工程技术人员的普遍关注：(1)小波分析是一种时频局部化方法，它在时间—尺度平面上对信号进行分解，时间、频率局部化信息均能清晰显示；(2)小波函数的正交性决定了一个信号经过小波变换，可以既不交叠又无遗漏地被分解至相互独立的频段，便于对信号的各个部分分别进行研究；(3)不同于以往各种时频分析方法，小波分析具有自适应的时频分辨率。

在小波分析基础上拓展而来的小波包分析使其具有更加灵活的分辨尺度(即频段)。

应用小波分析处理信号可以使我们“既见树木(信号的细节)，又见森林(信号的概貌)”。

正是由于小波函数这些灵活的、自适应的多分辨率特性，小波分析被誉为“数学显微镜”；(4)不像其它时频分析方法存在各种缺陷，小波分析在数学理论上是十分完备的，其发展前景十分广阔；(5)由于以上优点，使得小波分析对于提取强干扰信号中能量较弱分量具有得天独厚的优势；(6)针对不同的研究领域和信号种类，小波函数的种类众多。

这虽然给我们在解决某一实际问题时增加了选择的难度，但正是利用这种灵活性才使得我们能够解决一个又一个实际问题。

1.3谐波小波与近似熵的定义及其性质：1.3.1谐波小波的定义及变换：当前正交小波的构造大多来源于多分辨分析的双尺度方程，一般没有明确的函数表达式，且相应频谱要随着小波系数的增加才越来越显示盒性特征。

众所周知，对于振动信号的分析与处理，一种变换的盒形(Box-like)谱特性是及其理想的，它对于信号的特征提取、时频局部分析等都是极为必要的。

为此，人们自然会问，能否只用不多的小波系数构造出具有良好盒形谱特性的正交小波?正是从这一点出发，David E.Newland进行了大量的工作，并于1993年从小波的频谱出发，成功地构造出了具有严格盒形谱特性及简单的解析表达式的谐波小波(Harmonic Wavelet ) 1391，而这正是来源于双尺度方程的伸缩小波(Dilation Wavelets)所缺乏的。

Newland从小波()tψ的Fourier变换()ψω出发来构造小波。

考虑实函数()o t ψ和()e t ψ。

(它们分别是变量t 的偶函数和奇函数)，分别定义它们的Fourier 变换(频域)如下:1(),42244e ψωπωππωππ=-≤<-≤<， 或者 ()0,e ψω=其他i (),42244e ψωπωππωππ=-≤<-≤<， 或者 i (),244e ψωπωππ=-≤< 或者 ()0,e ψω=其他并将它们组合成复函数式：o ()()i ()e ψωψωψω＝＋由此可得i t e e t e d sin t sin t t ωψψωωπππ∞∞⎰-（）＝（）＝（4）-（2）/2 i t e o t e d cos t t t ωψψωωπππ∞∞⎰-（）＝（）＝-(（4）-cos（2）)/2 由此定义复函数：t t t t ππψψψπi4i2e o （）＝（）+i （）=(e-e )/i2 为谐波小波，其实部虚部如图1.1所示：（a ）实部 （b ）虚部图1.1 谐波小波的实部与虚部波形图由上面可得，谐波小波的t ψ（）的Fourier 变换为t w ψπππ≤<（）=1/2,24或者()0,t ψ=其他如图1.1所示。

可以看出，谐波小波的频谱功^ω 具有良好的紧支特性以及严格的盒形特性，充分体现了构造者的初始构想。

同时，也应该注意到，谐波小波极佳的频域特性使其在时域上付出了一定代价。

图 1.1中，谐波小波()t ψ的衰减速度相对较慢(与时间t 成反比)，导致其时间局部化性质并不十分严谨。

为了得到谐波小波()t ψ的二进伸缩平移系，可以用变量(2j t-k )(其中j,k ∈ Z)代换式t t t t ππψψψπi4i2e o （）＝（）+i （）=(e -e )/i2 中的变量t ，得到t-k t-k t-k t-k t ππψπj jj i4（2）i2（2）j （2）＝(e -e )/i2（2） 可以看到，小波的形状没有改变，但它在尺度方向上的尺度压缩了2j ，并且其位置在新尺度上被平移了k 个单位。

j 的值决定了小波的层(Level )或尺度(Scale ):在j=0层，谐波小波的Fourier 变换频带位于[2n ,4n ];而在第.1层，其频谱位于[2j ＋1*pi ，2j ＋2*pi]。

随着J 的增大，其频谱带宽以二进的方式逐渐加大，如图1.2所示。

图1.2 不同层谐波小波的频谱谐波小波变换的信号f （t ）的小波分解可以表示为,()(2)i j k j k f t a t k ψ∞∞=-∞=-∞=-∑∑以上小波分解表达式要求信号f(t)满足如下假定:（1） f(t)为实函数:（2） a j,k 为实数;（3） 对每一对(j,k)，小波Ψ(2j t 一k)具有唯一性。

对于谐波小波，我们知道，每一对((j}k)对应着两个小波，即偶小波Ψ1(2j t 一k)和奇小波Ψo(2j t 一k)。

由于谐波小波Ψ(2j t 一k)是由二者组合而成的复小波，因此小波系数a j,k 也将为复数。

这样，信号的谐波小波分解将有所不同。

首先，定义谐波小波复系数对:~jj ,,2()(2),2()(2)j j j k j k a f t t k dt a f t t k dt ψψ∞∞--∞-∞=-=-⎰⎰ 需要说明的是，当f (t)为实信号时，~,j k a ＝,j k a -并不是一个新系数，(即a j,k 的复共扼)，~,j k a 并不是一个新系数，但考虑到f (t)为复函数时，二者是不同的，所以加以区分。

因此，信号的谐波小波分解将表示为~,,()[(2)(2)]i i j k j k j k f t a t k a t k ψψ∞∞-=-∞=-∞=-+-∑∑ 可以证明，谐波小波函数系{(2j t -k)}是Hilbert 空间的一个紧凑框架(Tight Frame )；也就是说，它构成L 2 (R)的一组完备的基函数，从而可以对任意信号f (t) ∈L 2 (R)进行正交分解。

1.3.2复小波变换的基本原理：复小波变换的基本原理是构造新的复小波的基础，而复小波变换的基本算法和方法与实小波完全一样，所用小波的变换程序都一样，只需将实小波的实值滤波参数改为复小波的复值滤波参数。

因此，要构造新的复小波，首先要研究复小波变换的基本原理，而实小波变换的基本原理是构造复小波的基础。

复小波变换主要包括三方面内容：连续小波变换，离散小波变换。

（1） 连续小波变换的基本原理：连续小波变换WF(a,b)或WF(s,x)从 信号中提取的主要成分主要由展缩小波及其傅立叶变换^,()a b ψω或^()t ψω在时域和频域的波形确定；通过改变尺度因子a 或S 及其位子因子b 或x 的数值，可以调节时频窗口的形状，位置，从而提取所感兴趣的频带和时段内的信号成分。

实际应用中，通常将小波函数的参数a,b 值限定在一些离散点格上，如固定参数啊的展缩步长ao>1,平移步长bo ≠0，则所选用的小波函数族成为如下形式，对m ，n ∈Z ，有：2,()()mm m n o o o x a a x nb ψψ--=- 即对应如下参数选取：,m m o o o a a b nb a ==这里的平移参数b 依赖与所选取的展缩速率。

对于大而正的m ，振荡函数,m n ψ则平铺展开，相应地大的平移步长m o o b a 对应这一展宽形式:而对于大且负的m 则情况相反，函数,m n ψ则变得十分集中紧密，所以需小的平移步长m o o b a 来覆盖整个域。

对应着离散小波形式的“离散小波变换”T 有如下形式: 2,,(){,}()()m m m n m n o o o R Tf f a ax nb f x dx ψψ--==-⎰如果是允许小波，即满足允许条件^2|()|||Rd ψωωω<∞⎰且具有足够的哀减性，那么T 是从L z (R)到L z (Z 3)的映射。