2015届含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法
1 2a
综上：原不等式的解集为
1a
当 a＞0 时，{x|－a＜x＜2a}； 当 a＜0 时，{x|2a＜x＜－a}；
x 2ax a 0
当 a＝0 时，∅ .
x1 2a或x2 a
讨论：(1)当 2a a时，即 a＞0，则－a＜x＜2a， (2)当 2a＜ a时，即a 0, 则 2a＜x＜－a
1 m
1 m 1
x mx m 1 0
x1 m 或x2 m 1
m x m1 口诀：小于取中间
3判断根的大小，画二次 函数图像
[点评] 二次项系数不含参数的一元二次不等式的解法： (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省
去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
解一元二次不等式的步骤
1、把一元二次不等式化为标准形式，即不等式 的左边是二次函数的解析式，右边是0，二次项的系 数大于0；
3、画出对应二次函数的图像，写出不等式的解 集。
什么是含参不等式？
通俗的说：不等式中除了变量x或y,还有其他代 表常数的字母，这个字母就叫参数。所对应的 不等式就叫含参不等式。
2当a 0时，1 2 ax 2x 2 0
再讨论：①当
2
2
a 2
时，即 a
x1
2 a
或x2
2
1 此时原不等式的解
a
集
Hale Waihona Puke x2 ax
2
②当 2＜2时，即 0＜a＜1，此时原不等式的解 a
含参数的一元二次不等式的解法
02
形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的不等式，其中$a \neq 0$。
通常表示为$ax^{2} + bx + c > 0$，其中$a \neq 0$，当$a < 0$时，不等式表示的为开口向下的抛物线在$x$轴上方（或下方）的部分。
研究意义
研究目的和意义
在国内外学者的研究中，一元二次不等式的解法已经得到了广泛的研究。对于不含参数的一元二次不等式，学者们已经提出了多种求解方法，如公式法、图解法等。而对于含参数的一元二次不等式，由于参数的出现使得问题变得更为复杂，因此相关的研究相对较少。目前，已有的研究主要集中在求解含参数的一元二次不等式的解集上，而对其求解方法、参数对解的影响等方面的研究尚不充分。因此，本文将深入研究含参数的一元二次不等式的解法，探讨参数对不等式解的影响，并总结出一套有效的求解策略。
未来，我们将进一步深入研究含参数的一元二次不等式问题，探讨更加高效的解法，并尝试将其应用于更广泛的领域。
我们计划利用现代数学方法和技术，对含参数的一元二次不等式问题进行深入研究，以期取得更加系统和全面的研究成果。
同时，我们也希望通过进一步的研究，能够为解决其他相关数学问题提供思路和方法上的借鉴。
工作展望
利用数轴法求解
方法比较和实例分析
04
直接求解法
直接根据一元二次不等式的解法公式，将参数代入公式进行计算。优点是简单易懂，但计算量较大，容易出现计算错误。
方法比较
分解因式法
将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式，再分别求解。优点是计算量较小，但需要一定的观察能力和分解因式技巧。
2015高考总复习数学(文)课件：5.2 一元二次不等式及其解法
1 ①当 0<a<1 时，1<x<a；
②当 a＝1 时，解集为∅； 1 ③当 a>1 时，a<x<1. 综上所述，当 a<0
1 时，不等式解集为xx<a或x>1
；当
a
＝ 0 时，不等式解集为 x x>1 ；当 0<a<1 时，不等式解集为
2.不等式(x－1) x＋2≥0 的解集是( B )
A.{x|x>1} C.{x|x≥1} B.{x|x≥1 或 x＝－2} D.{x|x≥－2 且 x≠1}
3.下列四个不等式中，解集为 R 的是( C ) A.－x2＋x＋1≥0 C.x2＋6x＋10＞0
B.x2－2
5x＋ 5＞0
D.2x2－3x＋4＜0
1 1 －2<x<1 或 x＝1，故不等式的解集为－2<x≤1.
答案：A 【方法与技巧】解一元二次不等式的一般步骤是：①化为 标准形式；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等 式对应的一元二次方程的根，若Δ＜0，则对应的一元二次方程
无实根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若
一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出 不等式的解集.
【互动探究】 2.已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
∴ x1 ＝ 1 与 x2 ＝ b 是方程 ax2 － 3x ＋ 2 ＝ 0 的两个实数根， b>1 且 a>0.由根与系数的关系，
含参数的一元二次不等式的解法
2
方程
a a2 4 a a2 4 , x2 的两根 x1 2 2
a a2 4 a a2 4 或x 不等式的解集为 x / x 2 2
解题心得
你能说说解含参数的一元二次不等式按怎样的层次 进行分类讨论？
2ax 3a 0(a R)
2
（ 2）
ax (2a 2) x 4 0(a R)
2
误区警示：对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不 要忽视对其中的参数恰当的分类讨论，尤其是涉及形式上看似一 元二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参数变量时，往往 需要针对这个系数是否为 0 进行分类讨论，并且如果对应的一元 二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要 再次针对这两根的大小进行分类讨论.
f′(x)<0 得 x>2.故 f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减 区间是(2，＋∞)． ② 当 a 0 时， ,令 f′(x)＞0 得 0<x<2; 令 f′(x)<0 得 x>2. 故 f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(2，＋∞)．
1 1 1 ③当 0＜a＜ 时， ＞2，在区间(0，2)和 a，＋∞上，f′(x)＞0； a 2 1 在区间 2，a 上， f′ (x)＜ 0，故
a a 1 ④ 当 a 1 即 1 时 ，不等式的解集为 a 1 1 1 时，不等式的解集为 x / x 1 ⑤当 a 1 即 a a
●三个防范 (1)二次项系数中含有参数时， 参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数是否为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类 讨论，分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
6-2第二节 一元二次不等式及其解法(2015年高考总复习)
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第二节
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x－1 2．不等式 ≤0的解集为( 2x＋1
1 A.－2，1 1 B.－2，1 1 C.－∞，－2∪[1，＋∞) 1 D.－∞，－2∪[1，＋∞)
)
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答案 C
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4．函数y＝ x2＋x－12的定义域是________．
解析 由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0， ∴x≤－4或x≥3.
答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)
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基 础 自 评 1．不等式2x2－x－1＞0的解集是(
1 A.－2，1
)
B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
1 D.－∞，－2∪(1，＋∞)
综上，可知－4＜m≤0.
1 2 3 (2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m x－2 ＋ 4
m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：
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12 3 方法1：令g(x)＝mx－2 ＋4m－6，x∈[1,3]．
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2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成 立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
【规范解答】(1)选A.不等式f(x)>0，
即(ax-1)(x+b)>0，其解集是(-1，3)，所以 a 0， ， a 1 1 ，解得 1 b 3， a b 3， 于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)<0即为 (2x-1)(-2x-3)<0， 解得 x 1 或 x 3 . 2 2 (2)x2+x-2=(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,解集为{x|-2<x<1}. 答案:{x|-2<x<1}
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1， 所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1， 即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1， 即a=1 a 1 (ⅲ)当 1， 即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可知函 数对应的抛物线开口向上，因此必有a>0. (2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知 结论是正确的.
2015届高考数学总复习第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理
由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
所以原不等式等价于
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1或1<x≤4} 点评:(1)解分式不等式的指导思想是将分式不等式转化为整 式不等式 , (2)解分式不等式或高次不等式常用穿根法．利用穿根法解不
等式时，分解因式后各因式中x的最高次项系数须为正．
变式探究
给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函
数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
变式探究
4．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a
恒成立，则a的取值范围是__________．
解析：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成 立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a， Δ＞0， 2 即Δ＝4a －4(2－a)≤0或a≤－1， 解得－3≤a≤1. g－1≥0， 答案：[－3,1]
－6<0，可以用一次函数的单调性求解．
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题 等价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2. 答案：(－1,2)
第六章
第二节 一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)19x－3x2≥6； (2)0＜x2－x－2≤4.
自主解答：
解析：(1)(法一)原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝
，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点
含参数的一元二次不等式的解法课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 一元二次不等式的概念和性质 • 含参数的一元二次不等式 • 含参数一元二次不等式的解法实例 • 课程总结与展望
01 引言
课程背景
01
一元二次不等式是中学数学的重要内容，也是高等 数学的基础。
02
含参数的一元二次不等式在解决实际问题中具有广 泛的应用。
解集为$1 < x < a$。当$a < 1$时，解集为 $a < x < 1$。
实例三：求解含参数的一元二次不等式
要点一
题目
要点二
解答
求解不等式$x^2 + (a - 3)x + a > 0$
首先，将不等式化为标准形式。然后，对参数$a$进行分 类讨论。当$a = 1$时，不等式变为$(x + 2)^2 > 0$，解 集为全体实数除了$-2$。当$a < 1$时，利用因式分解法 $(x + a)(x + 2) > 0$，解集为全体实数除了$-a$和$-2$。 当$a > 1$时，解集为全体实数。
它包含一个未知数 x 的最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的解法
01
解一元二次不等式的基本步骤是：首先求出不等式的根， 然后根据不等式的符号确定解集。
02
对于形如 ax^2 + bx + c > 0 的不等式，如果 a > 0，则解集为 两根之外的所有实数；如果 a < 0，则解集为两根之间的所有实数
两个实根。最后，根据二次函数的性质，判断不等式的解集为两根之间的区间。
实例二：求解含参数的一元二次不等式
含参一元二次不等式的解法
【课标要求】
1.掌握简单的含参一元二次不等式解法． 2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题。
【核心扫描】
1.含参一元二次不等式的解法．(重点) 2.一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
题型一
含参数的一元二次不等式的解法
x2 – ax – 6a2 < 0. (x – 3a)(x +2a) < 0.
2
的定义域为R，则实数k的取值 范围是 [0,1] .
题型二
恒成立问题
优化设计P64 变式2
课后作业
1.优化设计课时训练P21
课后拓展
思考题1.不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立 ，试比较a与m的大小． 2.已知函数y＝x2＋2(a－2)x-8，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立， 则求x的取值范围。
练1：解关于x的不等式：
x a x a
函数y x a x a的图像开口向上，所以
当a<-1时，原不等式的解集为
当a=-1时，原不等式的解集为 当a>-1时，原不等式的解集为 ； .
方程x a x a=的解为x=- ，x a
解: ①当 a2－ 1＝0 时，a＝1 或－1. 若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立． 1 若 a＝－1， 则原不等式为 2x －1＜0 即 x ＜ 不合题意， 2
舍去． ②当 a2－1≠ 0 时， 即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R a2－1＜0 3 的条件是 ，解得－ ＜a＜1. Δ ＝ [－ a－1 ]2＋4 a2－1 ＜0 5
a－ m＋ 1＞ 0， ∴ a－ m [3 a－ m＋ 1＋ 1]＞ 0，
含参数的一元二次不等式的解法
2 ax 例1 解关于 x 不等式： a 2 x 1 0
分析：
2 a 2 4 a a 40 本题二次项系数含有参数， ， 2
故只需对二次项系数进行分类讨论。
综上所述 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 或x 1 当a 0时，解集为 x | x 2a 2a 1 2 当a 0时，不等式的解集为 x | x ； 2 2 a 2 a 2 4 a 2 a 4 x 3 当a 0时，解集为 x | 2 a 2 a
2
分析：
本题中由于的x 系数大于0, 故只需考虑 与 根 的情况。 解：
2
a 2 16
当 0即a 4,4 时，解集为R
当＝0即a 4时，解集为 x x R且x a ； 2
二、对判别式的符号讨论，即 0, 0, 0; 例2、解不等式x ax 4 0
含参一元二次不等式的讨论级别如下框架进行 当a=0时，不等式就成为一次不 0 结论 等式或更低次数的不等式，解集 结论 很显然的，但是这种情况容易丢 a 0 0
x1 x2 结论 0 失，所以在解题时 x1 x2 结论
a 0
优先考虑
结论
0 结论 0 结论 x1 x2 结论 0 x1 x2 结论
1 当a 1或0 a 1时，原不等式的解集为 x | a x a 当a 1或a -1时，原不等式的解集为 1 当 1 a 0或a 1时，原不等式的解集为 x | x a a
变式训练3：
解不等式x 5ax 6a 0，a 0
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：6.2一元二次不等式及其解法
• ∵x2－x1＝15， • ∴4a－(－2a)＝15， • 解得a＝，故选A. • 答案：(1)A (2)A
• • • •
题型二
一元二次不等式恒成立问题 设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
有两相异
有两相等实 根 x1＝x2 b ＝－2a {x|x≠x1} {x|x∈R} 没有实数根
ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，x2 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 (x1＜x2) {x|x＜x1 或 x＞x2} {x|x1＜ x＜x2}
∅
∅
对点演练 (1)若不等式 ax ＋bx－2＜0
2
1 的解集为 x －2＜x＜4
，则
ab 等于 ( )
A．－28 C．28
B．－26 D．26
1 b －2＋4＝－a 解析：由已知得 －2×1＝－2 4 a ∴a＝4，b＝7，∴ab＝28. 答案：C
x－2 1 1 解析：由 ＜1 得 1－ ＞0，即 ＞0，解得 x＜1，或 x x－1 x－1 x－1 ＞2. 答案：C
• 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下 表：
判别式 Δ＝b2－ 4ac 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a＞0)的图 象
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方程
6 的取值范围是m|m＜7.
法二：因为 x
2
2
12 3 －x＋1＝x－2 ＋ ＞0， 4
6 又因为 m(x －x＋1)－6＜0，所以 m＜ 2 . x －x＋1 6 因为函数 y＝ 2 ＝ x －x＋1 6 需 m＜7即可． 所以，m
2015年高考数学(文)一轮课件：2-2一元二次不等式及其解法
∴a＝4，b＝7，
答案：C
5．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取 值范围为__________．
解析：当a＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a≠0时，须
a＞0， Δ≤0， a＞0， 即 2 4a －4a≤0，
所以0＜a≤1.
综上0≤a≤1.
答案：[0,1]
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.
答案：(1)a＝1，b＝2 (2)当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，解集为{x|c＜ x＜2}；当c＝2时，解集为∅.
点评：(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化 为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应 二次函数的图像写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等 式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先 根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的 符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
a a 答案：(1)①a＞0时，解集为{x|x＜－ 或x＞ }； 4 3 ②a＝0时，解集为{x∈R且x≠0}； a a ③a＜0时，解集为{x|x＜3或x＞－4}． a－2 (2)当0＜a＜1时，解集为{x|2＜x＜ }； a－1 当a＝1时，解集为{x|x＞2}； a－2 当a＞1时，解集为{x|x＜ 或x＞2}. a－1
答案：
●一个过程 解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符 号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式 的解集)． ●两点联想 对于不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的 求解，善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交 点，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的 关系．
015届高考数学一轮复习学案：34《一元二次不等式及其解法》(人教版)
学案34一元二次不等式及其解法导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集a>0{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠____}______a<0{x|x1<x<x2}________自我检测1．(2011·广州模拟)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是() A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1 C．－1 D．34．(2011·厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________.探究点一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式： (1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法例2 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.变式迁移2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.探究点三 一元二次不等式恒成立问题 例3 (2011·巢湖月考)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2 (a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．变式迁移3 (1)关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(2)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．转化与化归思想的应用例 (12分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【答题模板】解 由已知不等式的解集为(α，β)可得a <0， ∵α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系可得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca＝αβ>0. ②[4分]∵a <0，∴由②得c <0，[5分]则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac >0.[6分]①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0，由②得a c ＝1αβ＝1α·1β>0， ∴1α、1β为方程x 2＋b c x ＋ac＝0的两根．[10分]∵0<α<β，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{x |x <1β或x >1α}．[12分]【突破思维障碍】由ax 2＋bx ＋c >0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a <0，要求cx 2＋bx ＋a <0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负，由方程根与系数关系知ca＝α·β>0，因a <0，∴c <0，从而知道cx 2＋bx ＋a <0的解集是x 大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c 、b 、a ，需对不等式cx 2＋bx ＋a <0两边同除c 或a ，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ()212log 1x -的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2) 2．(2010·抚顺模拟)已知集合P ＝{x |x ＋1x －1>0}，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则x ∈Q 是x∈P 的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．(2011·银川模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2 008x －2 009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009，2 010]，则( )A ．a ＝2 009，b ＝－2 010B ．a ＝－2 009，b ＝2 010C ．a ＝2 009，b ＝2 010D ．a ＝－2 009，b ＝－2 0104．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m <－1C ．m <－1311D ．m >1或m <－13115．(创新题)已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3 二、填空题(每小题4分，共12分)6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，x 2， x ≤0，则满足f (x )>1的x 的取值范围为______________．8．(2011·泉州月考)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)解关于x 的不等式x －ax －a 2<0 (a ∈R )．10．(12分)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．11．(14分)(2011·烟台月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．学案34 一元二次不等式及其解法自主梳理1．2 2.－b 2a －b2aR ∅ ∅自我检测1．C 2.A 3.A 4.D 5．(－∞，－5]解析 记f (x )＝x 2＋mx ＋4，根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－16>0，f (1)≤0，f (2)≤0，解得m ≤－5.课堂活动区例1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 解 (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2<0， 因为3>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x |1－33<x <1＋33}．(2)∵不等式9x 2－6x ＋1≥0， 其相应方程9x 2－6x ＋1＝0， Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x ＝13，结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象知，原不等式的解集为R . 变式迁移1 解 (1)∵不等式2x 2＋4x ＋3<0可转化为 2(x ＋1)2＋1<0，而2(x ＋1)2＋1>0， ∴2x 2＋4x ＋3<0的解集为∅.(2)两边都乘以－1，得3x 2＋2x －8≥0， 因为3>0，且方程3x 2＋2x －8＝0的解是x 1＝－2，x 2＝43，所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[43，＋∞)．(3)原不等式可转化为16x 2－8x ＋1≤0， 即(4x －1)2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解 上述不等式不一定为一元二次不等式，当a ＝0时为一元一次不等式，当a ≠0时为一元二次不等式，故应对a 进行讨论，然后分情况求解．(1)a ＝0时，解为x >0. (2)a >0时，Δ＝4－4a 2. ①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为1±1－a 2a，∴不等式的解集为{x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}．②当Δ＝0，即a ＝1时，x ∈∅； ③当Δ<0，即a >1时，x ∈∅. (3)当a <0时，①Δ>0，即－1<a <0时，不等式的解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}．②Δ＝0，即a ＝－1时，不等式化为(x ＋1)2>0， ∴解为x ∈R 且x ≠－1.③Δ<0，即a <－1时，x ∈R .综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅； 当0<a <1时，解集为 {x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}；当a ＝0时，解集为{x |x >0}； 当－1<a <0时，解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}；当a ＝－1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}； 当a <－1时，解集为{x |x ∈R }．变式迁移2 解 ①当a ＝0时，解得x >1.②当a >0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)<0，∴a >1时，解得1a<x <1；a ＝1时，解得x ∈∅；0<a <1时，解得1<x <1a.③当a <0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)>0，∵1a <1，∴解不等式可得x <1a或x >1. 综上所述，当a <0时，不等式解集为(－∞，1a)∪(1，＋∞)；当a ＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当0<a <1时，不等式解集为(1，1a)；当a ＝1时，不等式解集为∅；当a >1时，不等式解集为(1a，1)．例3 解题导引 注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解 方法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1. 方法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.变式迁移3 解 (1)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2同解于4x ＋m <2x 2－4x ＋6，即2x 2－8x ＋6－m >0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x 2－8x ＋6－m >0对任意实数x 恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m )<0， 整理并解得m <－2.∴实数m 的取值范围为(－∞，－2)． (2)∵x 2＋px >4x ＋p －3， ∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0.令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0.∴x >3或x <－1.∴实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 课后练习区1．A [由已知有12log (x 2－1)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1>0，x 2－1≤1. ∴⎩⎨⎧x >1或x <－1，－2≤x ≤ 2.∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.]2．D [化简得P ＝{x <－1，或x >1}，Q ＝{x ≤－2，或x ≥1}，集合P ，Q 之间不存在包含关系，所以x ∈Q 是x ∈P 的既不充分又不必要条件．] 3．D [化简得M ＝{x |x <－1或x >2 009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009,2 010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 010}，即－1,2 010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2 010＝－2 010，－a ＝－1＋2 010，即a ＝－2 009.] 4．C [当m ＝－1时，不等式变为2x －6<0，即x <3，不符合题意． 当m ≠－1时，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝(m －1)2－4(m ＋1)×3(m －1)<0， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，11m 2＋2m －13>0，解得m <－1311.]5．B [(1－a i x )2<1，即a 2i x 2－2a i x <0，即a i x (a i x －2)<0，由于a i >0，这个不等式可以化为x ⎝⎛⎭⎫x －2a i <0，即0<x <2a i ，若对每个都成立，则2a i应最小， 即a i 应最大，也即是0<x <2a 1.]6．(－12，32)解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )<1 ⇔(x －a )(1－x －a )<1 ⇔x 2－x －(a 2－a －1)>0. 因上式对x ∈R 都成立， 所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，即4a 2－4a －3<0.所以－12<a <32.7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 当x >0时，由log 2x >1，得x >2； 当x ≤0时，由x 2>1，得x <－1.综上可知，x 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2)解析 由导函数图象知当x <0时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即－2<x 2－6≤0或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．9．解 x －a x －a2<0⇔(x －a )(x －a 2)<0，(2分) ①当a ＝0或a ＝1时，原不等式的解集为∅；(4分) ②当a <0或a >1时，a <a 2，此时a <x <a 2；(7分) ③当0<a <1时，a >a 2，此时a 2<x <a .(10分)综上，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式解集为∅.(12分) 10．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，(3分)又⎝⎛⎭⎫－13×2＝ca <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，(6分)∴－b a ＝53，即b a ＝－53.又∵c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .(8分)∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝⎛⎭⎫－23a x 2＋⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2＋5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3<x <12.(12分)11．解 (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.(4分)(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方，满足条件时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.(7分) ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之，得a ∈∅.(10分)③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.(13分)综合①②③，得a ∈[－7,2]．(14分)。
(临沂一组)(梁飞)含参数的一元二次不等式的解法PPT课件
a2xb xc0(a0) x1 2a
的根
x2 b
b 2 4 ac 2a
有两个相等实根
b x1 x2 2a
a2xb xc0(a0) 的解集
xxx 1 或 xx 2xxR且x2ba
无实根
xR
a2xb xc0(a0) 的解集
xx1xx2 -
5
2.解一元二次不等式的一般步骤：
第 一 、 划 成 标 准 形 式 ax2bxc0(a0) 或 ax2bxc0(a0)；
(x11)(x1)0,
又 方 程 (x1 1 )(x 1 )0 的 a两 根 为
a
x1 1
1a，x2
1，
且x1
x2 .
综上所述：
可解得 1 x 1 1 . a
当 a 0时 ， 原 不 等 式 的 解 集 是 x1 x 1 1 a ；
当 a 0 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 是 x x 1 ；
所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 ；
(ii)当 0时 ， 即412a a2
0时，可解得1a0， 3
所 以 x22x30的 两 根 为 aa
x11a3a1， x21a3a1， 且x1 x2.
-
13
可 解 得 1 3a1x1 3a1，
a
a
综上所述：
当 a 0 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 是
所以
x 2，或x1， 2
所以原不等式的解集为
x
x2，或x12.
【小结】 能够因式分解（十字相乘）的一定是 0.
二、探索研究以及典例讲解
-
7
例 1 .解 关 于 x的 不 等 式
a x 2 (1 2 a )x a 1 0 (a R ).