第七章 函数习题答案
微观经济学第七章 习题答案
MR,试求:图7—1(1)A点所对应的MR值;(2)B点所对应的MR值。
解答:(1)根据需求的价格点弹性的几何意义,可得A点的需求的价格弹性为e d =eq \f(15-5,5)=2或者e d =eq \f(2,3-2)=2再根据公式MR=P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,e d ))),则A点的MR值为MR=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))=1(2)与(1)类似,根据需求的价格点弹性的几何意义,可得B点的需求的价格弹性为e d =eq \f(15-10,10)=eq \f(1,2)或者e d =eq \f(1,3-1)=eq \f(1,2)再根据公式MR=P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,e d ))),则B点的MR值为MR=1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,1/2)))=-12. 图7—2(即教材第205页的图7—19)是某垄断厂商的长期成本曲线、需求曲线和收益曲线。
试在图中标出:(1)长期均衡点及相应的均衡价格和均衡产量;(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线;(3)长期均衡时的利润量。
图7—2图7—3(1)长期均衡点为E点,因为在E点有MR=LMC。
由E点出发,均衡价格为P0,均衡数量为Q0。
(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线如图7—3所示。
在Q0的产量上,SAC曲线和LAC曲线相切;SMC曲线和LMC曲线相交,且同时与MR曲线相交。
(3)长期均衡时的利润量由图7—3中阴影部分的面积表示,即π=[AR(Q0)-SAC(Q0)]·Q 0。
3. 已知某垄断厂商的短期总成本函数为STC=0.1Q3-6Q2+140Q+3 000,反需求函数为P=150-3.25Q。
最新(完美版)第七章习题答案_数值分析
第七章习题解答2、试确定系数a ,b 的值使220[()cos ]ax b x dx p+-ò达到最小解:设220(,)[()cos ]I a b ax b x dx p=+-ò确定a ,b 使(,)I a b 达到最小,必须满足0,0I Ia b ¶¶==¶¶即3222222000022222000012[cos ]0cos 248212[cos ]0cos 82a b ax b x xdx a x dx b xdx xxdx a b ax b x dx a xdx b dx xdx p p p p p p p pp p p p p ììì+=-+-=+=ïïïïïïÞÞíííïïï+=+-=+=ïïïîîîòòòòòòòò解得:0.6644389, 1.1584689a b »-»5、试用Legendre 多项式构造()f x x =在[-1, 3]上的二次最佳平方逼近多项式 解:作变量代换,将区间[-1, 3]变为[-1, 1],令21x t =+,即12x t -=则()()(21)21(11)F t f x f t t t ==+=+-££对()F t 利用Legendre 多项式求其在}{21,,span t t上的最佳平方逼近多项式20()()j j j S t C P t ==å,其中11(,)21()()(0,1,2)(,)2j j j j j P f j C F t P t dt j P P -+===ò20121()=1,()=t,()=(31)2P t P t P t t - 则有:1121012112111212212121215[(21)(21)]24311[(21)(21)]285(31)(31)45[(21)(21)]22264C t dt t dt C t tdt t tdt t t C t dt t dt ---------=--++==--++=--=--++=òòòòòò 01251145()()()()4864S t P t P t P t \=++则()f x 在[-1, 3]上的最佳二次逼近多项式*01222151111451()()()()()()2428264251114511=()((3()1))4826422135+82243512x x x x S t S t S P P P x x x x ----===++--++-+=7、确定一条经过原点的二次曲线,使之拟合下列数据ix123iy0.2 0.5 1.0 1.2并求平方误差2d解:设2012()1,(),()x x x x x j j j ===由题,拟合函数须过原点 则令001122()()()()f x C x C x C x j j j =++,其中00C =,即212()f x C x C x =+ 12000.2110.5,,24 1.039 1.2Y f f æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 11122122(,)(,)1436(,)(,)3698G f f f f f f f f æöæö==ç÷ç÷èøèø 12(,) 6.1(,)15.3Y F Y f f æöæö==ç÷ç÷èøèø得法方程GC F = 121436 6.1369815.3C C æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø解方程得:120.61840.0711C C »»-2()0.61840.0711f x x x \=-误差222121(,) 2.730.6184(,)0.0711(,)0.04559j j j YC Y Y Y df f f ==-=-´+´=å8、已知一组数据ix1 2 3iy3 2 1.5试用拟合函数21()S x a bx =+拟合所给数据解:令2()f x a bx =+ 201()1,()x x x j j ==01()()()f x a x b x j j =+则123113111114,219213y A F y y æöæö÷ç÷çæöç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷ç÷ç÷ç÷èøèøT T a A A A F b æö\=ç÷èø,即331422514983a b æöç÷æöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøç÷èø解方程组得0.3095,0.0408a b == 即210.30950.0408()x f x y=+=从而有21()0.30950.0408S x x =+补充题:用插值极小化法求()sin f x x =在[0, 1]上的二次插值多项式2()P x ,并估计误差 解:作变量替换1(1)2x t =+,将[0, 1]变换[-1, 1]取插值点11(21)cos 0,1,2222(1)K K x K n p+=+=+ 0120.933001270.50.0669873x x x ===利用这些点做插值商表i xi y一阶插商 二阶插商0.9330127 0.80341740.5 0.479425 0.74863250.0669873 0.0659372 0.9549092 -0.23818779则:20.9330127()0.80)0.2341740.743818779(0.9330127)(0.5)86325(x P x x x ---=+-同时误差213322()()()22(1)!3!24n n M M M R x f x P x n --+=-£==+其中(3)3max ()M f x = 由于1(1)2x t =+,即21t x =- 则(3)(3)3max (21)max sin (21)8max cos(21)8[0,1]M f x x x x =-=-=-=Î281()243R x \£=。
(仅供参考)自动控制原理第七章习题答案
第七章 线性离散系统的分析与校正7-1 试根据定义∑∞=-*=0)()(n nTs e nT e s E确定下列函数的)(s E *和闭合形式的)(z E :⑴ t t e ωsin )(=;⑵ ))()((1)(c s b s a s s E +++=,b a ≠,c a ≠,c b ≠。
解:Ts e z =;⑴ )()sin()(0z E enT s E n nTs==∑∞=-*ω;1)cos(2)sin(21}{21)(20+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-∞=--∑z T z z T e z z e z z j e e e j z E T j T j n nTsjwnT jwnT ωωωω。
⑵ ))()((1))()((1))()((1)(c s c b c a b s b c b a a s a c a b s E +--++--++--=; ∑∑∑∞=--∞=--∞=--*--+--+--=000))((1))((1))((1)(n nTs cnT n nTsbnT n nTs anT e e c b c a e e b c b a e e a c a b s E ; ))()(())()(())()(()(cTbT aT e z c b c a ze z b c b a z e z a c a b z z E ------+---+---=; 记))()((c b c a b a ---=∆,∆-=b a k 1,∆-=ca k 2,∆-=cb k 3;))()(()()()()(3)(2)(12321cTbT aT T c b T c a T b a aT bT cT e z e z e z ze k e k e k z e k e k e k z E ---+-+-+-------+-++-=。
7-2 采样周期为T ,试求下列函数的Z 变换:⑴ n a nT e =)(; ⑵ t e t t e 32)(-=;⑶ 3!31)(t t e =; ⑷ 21)(ss s E +=;⑸ )1(1)(2+-=-s s e s E sT 。
信号与线性系统分析 (吴大正 第四版)第七章习题答案
7.3 如图7-5的RC 带通滤波电路,求其电压比函数)()()(12s U s U s H 及其零、极点。
7.7 连续系统a 和b ,其系统函数)(s H 的零点、极点分布如图7-12所示,且已知当∞→s 时,1)(=∞H 。
(1)求出系统函数)(s H 的表达式。
(2)写出幅频响应)(ωj H 的表达式。
7.10 图7-17所示电路的输入阻抗函数)()()(11s I s U s Z =的零点在-2,极点在31j ±-,且21)0(=Z ,求R 、L 、C 的值。
7.14 如图7-27所示的离散系统,已知其系统函数的零点在2,极点在-0.6,求各系数a,b。
7.18 图7-29所示连续系统的系数如下,判断该系统是否稳定。
(1)3,210==a a ; (2)3,210-=-=a a ; (3)3,210-==a a 。
7.19 图7-30所示离散系统的系数如下,判断该系统是否稳定。
(1)1,2110-==a a ; (2)1,2110==a a ;(3)1,2110=-=a a 。
7.20 图7-31所示为反馈系统,已知44)(2++=s s ss G ,K 为常数。
为使系统稳定,试确定K 值的范围。
7.26 已知某离散系统的差分方程为)1()2()1(5.1)(-=---+k f k y k y k y(1) 若该系统为因果系统,求系统的单位序列响应h(k)。
(2) 若该系统为稳定系统,求系统的单位序列响应h(k),并计算输入)()5.0()(k k f k ε-=时的零状态响应)(k y zs 。
7.28 求图7-36所示连续系统的系统函数)(sH。
7.30 画出图7-40所示的信号流图,求出其系统函数)(sH。
解(a)由s域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(a)。
流图中有一个回路。
其增益为(b)由s 域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(b)。
流图中有一个回路。
数据结构课后习题答案第七章
第七章图(参考答案)7.1(1)邻接矩阵中非零元素的个数的一半为无向图的边数;(2)A[i][j]= =0为顶点,I 和j无边,否则j和j有边相通;(3)任一顶点I的度是第I行非0元素的个数。
7.2(1)任一顶点间均有通路,故是强连通;(2)简单路径V4 V3 V1 V2;(3)0 1 ∞ 1∞ 0 1 ∞1 ∞ 0 ∞∞∞ 1 0邻接矩阵邻接表(2)从顶点4开始的DFS序列:V5,V3,V4,V6,V2,V1(3)从顶点4开始的BFS序列:V4,V5,V3,V6,V1,V27.4(1)①adjlisttp g; vtxptr i,j; //全程变量② void dfs(vtxptr x)//从顶点x开始深度优先遍历图g。
在遍历中若发现顶点j,则说明顶点i和j间有路径。
{ visited[x]=1; //置访问标记if (y= =j){ found=1;exit(0);}//有通路,退出else { p=g[x].firstarc;//找x的第一邻接点while (p!=null){ k=p->adjvex;if (!visited[k])dfs(k);p=p->nextarc;//下一邻接点}}③ void connect_DFS (adjlisttp g)//基于图的深度优先遍历策略,本算法判断一邻接表为存储结构的图g种,是否存在顶点i //到顶点j的路径。
设 1<=i ,j<=n,i<>j.{ visited[1..n]=0;found=0;scanf (&i,&j);dfs (i);if (found) printf (” 顶点”,i,”和顶点”,j,”有路径”);else printf (” 顶点”,i,”和顶点”,j,”无路径”);}// void connect_DFS(2)宽度优先遍历全程变量,调用函数与(1)相同,下面仅写宽度优先遍历部分。
第七章习题答案解析
第七章 不完全竞争的市场1、根据图中线性需求曲线d 和相应的边际收益曲线MR ,试求:(1)A 点所对应的MR 值;(2)B 点所对应的MR 值。
解答:(1)根据需求的价格点弹性的几何意义,可得A 点的需求的价格弹性为:25)515(=-=d e 或者 2)23(2=-=d e 再根据公式)11(d e P MR -=,则A 点的MR 值为:MR=2×(2×1/2)=1 (2)与(1)类似,根据需求的价格点弹性的几何意义,可得B 点的需求的价格弹性为:21101015=-=d e 或者 21131=-=d e 再根据公式d e MR 11-=,则B 点的MR 值为:1)2111(1-=-⨯=MR 2、图7-19是某垄断厂商的长期成本曲线、需求曲线和收益曲线。
试在图中标出:(1)长期均衡点及相应的均衡价格和均衡产量;(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线;(3)长期均衡时的利润量。
解答:本题的作图结果下图所示:(1)长期均衡点为E 点,因为,在E 点有MR=LMC 。
由E 点出发,均衡价格为P 0,均衡数量为Q 0。
(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线如图所示。
在Q 0 的产量上,SAC 曲线和LAC 曲线相切;SMC 曲线和LMC 曲线相交,且同时与MR 曲线相交。
(3)长期均衡时的利润量有图中阴影部分的面积表示,即л=(AR(Q 0)-SAC(Q 0)Q 03、已知某垄断厂商的短期成本函数为30001461.023++-=Q Q Q STC ,反需求函数为P=150-3.25Q求:该垄断厂商的短期均衡产量与均衡价格。
解答:因为140123.02+-==Q Q dQ dSTC SMC且由225.3150)25.3150()(Q Q Q Q Q Q P TR -=-==得出MR=150-6.5Q根据利润最大化的原则MR=SMCQ Q Q 5.6150140123.02-=+-解得Q=20(负值舍去)以Q=20代人反需求函数,得P=150-3.25Q=85所以均衡产量为20 均衡价格为854、已知某垄断厂商的成本函数为236.02++=Q Q TC ,反需求函数为P=8-0.4Q 。
高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案
第七章 线性变换1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量;3) 在P 3中,A),,(),,(233221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=;5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ;6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。
8) 在P nn ⨯中,A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α,故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。
热力学统计物理 课后习题 答案
第七章 玻耳兹曼统计7.1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明,对于非相对论粒子 ()222222212zy x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε,( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε ( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )-------(1) 为书写简便,我们将上式简记为32-=aVε-----------------------(2)其中V=L 3是系统的体积,常量()22222)2(z y x n n n ma ++= π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由(2)式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------(3) 代入压强公式,有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------(4) 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
注:(4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度,式(4)中的U 仅指平动内能。
7.2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明,对于极端相对论粒子 ()212222z y x n n n Lc cp ++== πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n n nn n n Lczy x ++= πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------(1)为书写简便,我们将上式简记为31-=aVε-----------------------(2)其中V=L 3是系统的体积,常量()212222z y x n n n c a ++= π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
第七章 参数估计1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计)求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。
解:μ,σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
(1)⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知,θ>1,θ为未知参数。
(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0,θ为未知参数。
(5)()p p m x p px X P x m xmx,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解:(1)X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令,得cX Xθ-=(2),1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令(5)E (X ) = mp令mp = X , 解得mXp=ˆ 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解:(1)似然函数1211)()()(+-===∏θn θn nni ix x x c θx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ (解唯一故为极大似然估计量)(2)∑∏=--=-+-===ni i θn n ni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix nθxθθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
高等数学第七章习题详细解答
第七章习题答案习题7.01.下列各种情形中,P 为E 的什么点?(1)如果存在点P 的某一邻域()U P ,使得()⊂c U P E (c E 为E 的余集); (2)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠; (3)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有. 解 (1)P 为E 的外点;(2)P 为E 的边界点;(3)P 为E 的聚点。
2.判定下列平面点集的特征(说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等?)并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集,是半开半闭区域,是无界集,导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ;(2)既不是开集也不是闭集,是半开半闭区域,是有界集,导集为(){}22,620≤+≤x y x y ,边界集为(){}2222,=6=20++,x y x y x y ;(3) 是闭集,是半开半闭区域,是无界集,导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ;是闭集,是闭区域,是有界集,导集为集合本身,边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解 令,=-=yu x y v x,解得,11==--u uv x y v v,故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ,即()()21+,1=-u v f u v v ,所以,()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y,试求(),f tx ty .2. 解 因为()22,cot =+-y f x y x y xy x,所以,()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ;(2)(){},0->x y x y ;(3)(){}2,≥x y x y ;(4)(){}22222,<++≤x y r x y z R ;(5)(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解 (1)()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ;(2)()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e (3)()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y (4)()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y(5)()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy(6)()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解 令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ,k 取不同值,极限不同,故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ;令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ;01≠,故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数)在何处间断?6. 解 因为=y z 是二元初等函数,且函数只在点集(){,x y y 上无定义,故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明 对0∀>ε,要使220-=≤=<ε2<ε,取=2δε<δ0-<ε,所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ,求()1,0'x f ,()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==,x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ,(2) ()1=+xz xy , (3) ()222ln =+z y x y ,(4) ln tan=y z x, (5) ()222ln =+z x x y ;(6)=z (7) ()sec =z xy ;(8) ()1=+yz xy ;(9) ()arctan =-zy x y ;(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解 (1)2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂(2)因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭(3)()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+(4)222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (5)()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+(6)z z x y ∂∂====∂∂(7)()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂(8)()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ (9)()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-(10)因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ,求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明 因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数:(1)已知33sin sin=+z x y y x,求2∂∂∂zx y;(2)已知ln=xz y,求2∂∂∂zx y;(3)已知(ln=z x,求22∂∂z x和2∂∂∂z x y;(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解(1)3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂(2)ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭(3)(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ (4)22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ,求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解 因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ;(2) ()2222+=+x y xyz x y e;(3) ()arcsin0=>xz y y;(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ;1.解 (1)()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--(2)()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (3)2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂(4)22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ , ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量,并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ,()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续 又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ,()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ,k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在,故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续,同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解 令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为,内高为,内半径为的无盖圆柱形容器,求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解 设容器底面积半径为r ,高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ,试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解 设直角三角形的直角边长分别为,x y ,则斜边z =,zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设,,,求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设,而,,求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设,,,求,. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设,而,,求,. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1);(2);(3);(4).6.解 (1)()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y(2)121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z (3)1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z (4)1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数,,(其中具有二阶连续偏导数):(1),(2). 7.解(1)22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++(2)()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数,证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数,求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。
第七章函数练习题(1)带答案
第七章函数练习题(1)一、选择题1. 一个完整的C源程序是【】。
A)要由一个主函数或一个以上的非主函数构成B)由一个且仅由一个主函数和零个以上的非主函数构成C)要由一个主函数和一个以上的非主函数构成D)由一个且只有一个主函数或多个非主函数构成2. 以下关于函数的叙述中正确的是【】。
A)C语言程序将从源程序中第一个函数开始执行B)可以在程序中由用户指定任意一个函数作为主函数,程序将从此开始执行C)C语言规定必须用main作为主函数名,程序将从此开始执行,在此结束D)main可作为用户标识符,用以定义任意一个函数3. 以下关于函数的叙述中不正确的是【】。
A)C程序是函数的集合,包括标准库函数和用户自定义函数B)在C语言程序中,被调用的函数必须在main函数中定义C)在C语言程序中,函数的定义不能嵌套D)在C语言程序中,函数的调用可以嵌套4. 在一个C程序中,【】。
A)main函数必须出现在所有函数之前B)main函数可以在任何地方出现C)main函数必须出现在所有函数之后D)main函数必须出现在固定位置5. 若在C语言中未说明函数的类型,则系统默认该函数的数据类型是【】A)float B)longC)int D)double6. 以下关于函数叙述中,错误的是【】。
A)函数未被调用时,系统将不为形参分配内存单元B)实参与形参的个数应相等,且实参与形参的类型必须对应一致C)当形参是变量时,实参可以是常量、变量或表达式D)形参可以是常量、变量或表达式7. 若函数调用时参数为基本数据类型的变量,以下叙述正确的是【】。
A)实参与其对应的形参共占存储单元B)只有当实参与其对应的形参同名时才共占存储单元C)实参与对应的形参分别占用不同的存储单元D)实参将数据传递给形参后,立即释放原先占用的存储单元9. 函数调用时,当实参和形参都是简单变量时,他们之间数据传递的过程是【】。
A)实参将其地址传递给形参,并释放原先占用的存储单元B)实参将其地址传递给形参,调用结束时形参再将其地址回传给实参C)实参将其值传递给形参,调用结束时形参再将其值回传给实参D)实参将其值传递给形参,调用结束时形参并不将其值回传给实参10. 若函数调用时的实参为变量时,以下关于函数形参和实参的叙述中正确的是【】。
泛函分析课后习题答案
有某自然数 n,使 U ( x, ) Ox 。
1 ) 中必有 2n 1 1 1 某 U ( xk , ) ,且 U ( xk , ) Ox 。 。事实上,若 y U ( xk , ) ,则 2n 2n 2n 1 1 1 1 d ( y , x ) d ( y , xk ) + d ( x k , x ) + = 所以 y U ( xk , ) Ox 。 2n 2n n 2n 1 这样我们就证明了对任意 x X ,存在 k,n 使 x U ( xk , ) 且 2n 1 1 存在 U ( xk , ) O 任取覆盖 U ( xk , ) 的 O,记为 Ok ,n 是 2n 2n
8
设 B[a,b]表示[a,b]上实有界函数全体,对 B[a,b]中任意 两元素 f,g B[a,b],规定距离为 d ( f , g ) = sup | f (t ) − g (t ) | 。
a t b
证明 B[a,b]不是可分空间 证明
0
对任意 t0 [a,b],定义 ft (t ) = 1, t [a, t0 )2, t [to , b)}
5,证明点列{ f n }按习题 2 中距离收敛与 f C [a, b] 的充要条件为 f n 的 各阶导数在 [a,b]上一致收敛于 f 的各阶导数 证明 若{ f n }按习题 2 中距离收敛与 f C [a, b] ,即
f n (t ) − f ( r ) (t ) 1 ——>0 d ( f , f n ) r max (r ) a t b 1 + f n (t ) − f ( r ) (t ) r =0 2
f ( r ) (t ) − g ( r ) (t ) h ( r ) (t ) − g ( r ) (t ) 1 max + r a t b 1 + f ( r ) (t ) − g ( r ) (t ) 1 + h ( r ) (t ) − g ( r ) (t ) r =0 2
《C语言程序设计教程》(第三版)李凤霞 主编——第七章习题答案
习题七一、单项选择题1、以下程序的输出结果是()。
main(){int i,k,a[10],p[3];k=5;for(i=0;i<10;i++)a[i]=i; /*a: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 */for(i=0;i<3;i++)p[i]=a[i*(i+1)]; /*p:0 2 6 */for(i=0;i<3;i++)k+=p[i]*2; /* k=5+4+12=21 */printf(“%d\n”,k);}A)20 B)21 C)22 D)232、以下正确的数组定义语句是()。
A)int y[1][4]={1,2,3,4,5}; B)float x[3][ ]={{1},{2},{3}}; C)long s[2][3]={{1},{1,2},{1,2,3}}; D)double t[ ][3]={0};3、以下程序段的输出结果是()。
main(){int m[3][3]={{1},{2},{3}}; m 1 0 0 n 1 2 3int n[3][3]={1,2,3}; 2 0 0 0 0 0printf(“%d\n”,m[1][0]+n[0][0]); 3 0 0 0 0 0printf(“%d\n”,m[0][1]+n[1][0]);}A)0 B)2 C)3 D)10 3 0 24、以下程序的输出结果是()。
main(){int i,x[3][3]={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 1 2 3for(i=0;i<3;i++)printf(“%d,”x[i][2-i]); 4 5 6} 7 8 9A)1,5,9 B)1,4,7 C)3,5,7 D)3,6,95、对以下程序从第一列开始输入数据:2473↙,程序的输出结果是()。
#include “stdio.h”main(){char c;while((c=getchar())!=’\n’){switch (c-‘2’){case 0:case 1:putchar(c+4);case 2:putchar(c+4);break;case 3:putchar(c+3);default:putchar(c+2);}}}A)668977 B}668966 C}66778777 D)66887666、不能正确为字符数组输入数据的是( )。
第七章微分方程习题解答
第七章各节习题答案习题7-11. (1)一阶 (2)一阶 (3)二阶 (4)一阶 (5)二阶 (6)二阶2. 用隐函数求导法求出yx y x y 22--=',带入方程验证.因为022=+-y xy x 中没有任意常数,故是特解.3. C y =',因为)(C f Cx y +=中有任意常数,故是通解.4. 通解5. 不是解,代入可知,不满足方程.6. 特解331x y =7. 方法同2题,特解2)41(1615+=-x e y 8. 2ln +=x k y 9. 设物体的温度)(x T ,则 []0)()(T x T k x T -='()0(>k10. 设该质点的运动规律为)(t x x =,)(00t x x =,由已知得)()(t v dtt dx =,所以⎰⎰=tt t t dt t v t dx 0)()( ⎰=tt t t dt t v t x 00)()(即 ⎰=-t t dt t v t x t x 0)()()(0 亦即 ⎰+=tt dt t v x t x 0)()(0习题7-21. (1) 112-=-xCey (2) θcos Cr =(3) 2)1(2x y e C e += (4) C e e x y+=221 (5) C x x y ++=221arctan2. (1) )cos (sin 1C x x x xy +-=(2) 原方程化为 x x a y x x dx dy ln )ln 1(ln 1+=+,可求得通解ax x Cy +=ln .(3) 原方程化为y x ydy dx ln 211+=-,这是一个关于x x ',的一阶线性非齐次微分方程,可以求得通解)ln (ln 2C y y y x ++=.(4) xx Ce x x e y -++-=)21(212(5) 原方程化为y x y y dy dx 112-=-+,方法同题(3),可求得通解y Cye x y -=1. (6) 原方程化为y yx dydx2sin cos =-,方法同题(3),可求得通解2sin 2sin --=y Ce x y .3. (1) 221121ln 222-++=+e x y y (2) x y 21ln 2-=(3) )22(2255x x e e e e y -+=- (4) )224(2255xx e e e e y -+=-(5) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=-t RL t L e L R R L I LR cos sin )1(12221. 设曲线方程为)(x f y =,曲线上任意点),(y x P 处切线的方程为)(x X y y Y -'=-,令0=Y ,得点A 的横坐标为y y x X '-=,222,)(y x OP x y y x AP +=-'-= 由OP AP =得方程x y y ±=',解得xy x y 2,2==.2. 曲线上任取点),(y x P ,点P 处切线的方程为)(x X y y Y -'=-,令0=X ,得切线在y 轴上的截距为y x y '-,由所给条件得方程x y x y ='-,解此方程求得曲线方程为x x Cx y ln -=.3. 设速度)(t v v =,物体所受外力(沿运动方向)有两个,一个是重力mg 沿斜面方向的分力αsin mg ,另一个是与运动方向相反的摩擦力lp kv +,即外力)(sin lp kv mg f +-=α(p 为重力mg 垂直于斜面的分力即αcos mg p =), 故ααcos sin lmg kv mg f +-=,由f dtdvm =得方程)cos (sin ααl mg kv dt dvm -=+.0=t 时,物体的初速度为00=v .求初值问题: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0)0()cos (sin v l mg kv dtdv m αα得)1)(cos (sin t mke l k mg v ---=αα. 4. 设t 时刻输入的空气中CO 2的含量为)(tf ,车间的容积为=V 30×30×6,每分钟输入的空气量为v ∆,由所给条件解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∆=∆+'%12.0)0(%04.0)()(f Vv V v t f t f 得%04.0%08.0)(+=∆-t Vv et f ,将%06.0)30(=f 代入,求得=∆v 250m 3/min.5. 设t 时刻船速)(t v ,船受到的阻力为kv ,由f dt dv m =得kv dtdvm -=(-号表示阻力与船速方向相反),解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=5)0(v kvdt dv m 得t m ke v -=5,将3)5(=v 代入,求得t v 5)53(5=.6. 设t 时刻物体温度为)(t T ,已知物体冷却速率与物体和介质的温差成正比,即)0(),(0〉--=k T T k dt dT ,由所给条件解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===+20,100)0(00T T kT kt dt dT得kte T -+=8020,10min 后物体温度降到60℃,代入特解可求得t e T 102ln 8020--+=,设0t t =时25=T ,代入解得400=t min.7. 设t 时刻电流为)(t I ,由基尔霍夫第二定律可知E RI dtdIL=+,得通解R E Ce I t L R+=-, 将初始条件0=t 时,0=I 代入,求得特解)1(t L R e REI --=.1. 逐次积分原方程求出213cos 32C x C x x y ++-=. 2. 逐次积分原方程求出2122sin 1cos 2C x C ax x aax a y ++--=.3. 令p dx dy y ==',则p dxdpy '=='',原方程化为22x p p =+',可求得412121221+-+=-x x e C p x ,从而求得22123414161C e C x x x y x +-+-=-.4. 解法同3,=y .5. 令p dxdyy ==',则dy dp p dx dy dy dp dx dp y ==='',原方程化为x xp p =+'2,可求得 )21(221x x e C e p +=-,从而求得6. 解法同5,x C e C C y 1211+=.习题7-51. 不能,因为1C 与2C 可合并;是通解,因为这里的1C 与2C 不可合并.2. 求出y '与y '',代入方程即可.3. 通解为xx e C e C y -+=221,特解为x x e e y -+=21212.4. 因为x y =*1,x e y =*2,x e y -*=3是所给方程的三个特解,所以**-21y y ,**-31y y 是对应的齐次方程的两个线性无关的特解,故原方程的通解为)()(21xxe x C e x C y --+-=.5. (1) x xe C eC y 421--+= (2) x e C C y 321+=(3) )(215x C C e y x+= (4) )3sin 3cos (212x C x C e y x+=-(5) x x e C eC y 22341+=- (6) xxe C e C y )21(2)21(1--+-+=6. (1)C Bx Ax y ++=*2 (2))(2C Bx Ax x y ++=*(3)D Cx Bx Ax y +++=*23 (4)x Axe y 23-*=(5))2sin 2cos (x B x A xe y x+=-*7. 1)(212++=-x C C ey x8. x x eC C y x47412221+-+=- 9. 自由项可以看成x e x f 31)(=与22)(x x f =之和,分别求方程xe y y y 3=+'+''与 2x y y y =+'+''的特解,再求原方程对应的齐次方程的通解,得所求为)23sin 23cos (1312212132x C x C e e x x y x +++-=-10. 252532++-=x xe e y11. x xx e x x e e y )(21232-+-=- 12. (1)先求质点的运动方程设质点的运动方程为)(t s s =,则加速度2dtsd a s =,由已知得t t s dt s d ssin 3)(42+-=,解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+0)0(,0)0(sin 3)(42s s tt s dt s d s 求得)cos 1sin(t s -= (2)再求)(t s 的最大值89)41(cos 2)(2+--='t t s ,令0)(='t s ,得21cos -=t 时,433max =s . 13. 设潜水艇的下沉深度为)(t h h =,下沉速度为dt dh,潜水艇所受外力有阻力(与下沉方向相反)dt dhk 及重力mg ,由f ma =得mg dt dh k dth d m =+22,解初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧='==+0)0(,)0(22h h h mg dt dh k dth d m 得)1(22t mke k g m t k mg h ---=. 14. 设时间由0到t 时浮筒下沉h 米,其浮力为hr D 2)2(π,r 为水的比重33/10m kg ,D 为筒的直径,浮力与运动方向相反,利用f ma =得,mg rh D dth d m +=2224π,解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+)0(,0)0(4222h h g h rD dt h d π 得)2cos 1(42t m r D rD mg h ππ-= 将2=t 时0=h 代入特解,有1cos =mrDπ 即ππ2=mrD,故)(9.19kg m ≈.15. 设开始时链条离钉子12m 处的一端为原点,轴向下为正,经过时间t 链条下滑了)(t x x =m.运动过程中的外力为[]g x x f ρ)8()12(--+=(ρ为链条的密度即单位长度上的质量),由f ma =得方程g x dt x d ρρ)24(2022+=,即解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='=+=0)0(,0)0(10222x x g xdt x d 得特解为21010-+=-t g t g eex 将0t t =时,8=x 代入特解,可求得)625ln(100+=gt s.综合测试题七1. (1) 不是,因为1y 与2y 不是线性无关.(2) 是,因为1cy 代入方程满足,且含有一个任意常数. (3) 2-=p , 1=q .(4) *2*1y y y y ++=(5) x x y y sin +=+''的特解为)sin cos (*x D x C x y += (6) C y x =+222. (1) B (2)C (3)D (4)C (5)A (6)D3. (1)× (2) × (3) ×(4)√4. (1) C x y =-+2212 (2) 1)1(22--=x C y (3) 221x y =+ (4) )(3xe C x y += (5) )1ln 2(yy y C y x -++= 5. (1) xx e C e C y 221+= (2) x ex C C y 5121)(-+=(3) )2cos 2sin (21x C x C ey x+=- (4) x x e C e C y -+=241(5) xex C C y 621)(+=(6) 原方程化为1)(2-=xy x y dx dy ,令u xy=,则u x u y '+=',将y 、y '代入方程, 可求得xy Ce y =.6. (1) xe y --=2 (2) 22221121ln ex y y ++-=+(3) xy 323)(ln 3-= 7. (1) x e x C C y 321)(92++=(2) x xx e x x eC e C y )2(2221+++=- (3) )2cos 225122sin 2259()2cos 2sin (212x x e x C x C e y xx +++=-8. (1) 解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--='1)2(1y x y y 特解24x x y -=(2) 解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-==0,0)0()(0222t dt dx x mg dt dx k dtx d m方程mg dtdx k dt x d m +-=222)(化为mg kv v m +-='2令k m =2μ,上式为dt v g dv =-222μμ,两边积分得tgCe vg v g μμμ2=-+由0)0(=v 得1=C 再解出1122+-=tgtgee gv μμμ,即1122+-='tgtgee gx μμμ, ⎰+-=dt ee gx tgtg1122μμμ, 令y etg=μ2,则y gt ln 2μ=,dy yg dt 12μ=,所以⎰⋅+-=dy yg y y gx 1211μμ,解得 C ee x tgtg++=μμμ2222)1(ln2由0)0(=x ,得2ln 2μ-=C ,所以路程x 与t 的关系为2ln )1(ln222222μμμμ-+=tgtgee x .。
概率论与数理统计(经管类)第七章课后习题答案word
习题1.设总体X服从指数分布试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时):16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100.求的估计值.解:令得2.设总体X的概率密度为试求(1)解:(1)(2)解得3.设总体X服从参数为(可参考例7-8)解:由矩法,应有解得习题1.证明样本均值证:2.证明样本的k阶矩证:3.设总体(1)(2)(3)都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小?证:故的方差最小.4.设总体(1)证明(2)求(1)证:又(2)似然函数因习题1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的解:2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下:试求平均寿命(例7-21,)解:平均寿命3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得求两总体方差比的置信度的置信区间.解:此处的置信度的置信区间为:4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下:设滚珠直径服从正态分布,若(1)已知滚珠直径的标准差毫米;(2)未知标准差求直径均值解: (1)直径均值(2)5.设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命X服从正态分布令随机地抽取16个灯泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时):1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480 1532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540求该批灯泡平均寿命解:6.求上题灯泡寿命方差解:7.某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取11个试件,测得它们的抗弯强度为(单位:公斤):注意这里是求的置信求(1)平均抗弯强度(2)抗弯强度标准差解: (1)(2)故8.设两个正态总体中分别取容量为10和12的样本,两样本互相独立.经算得解:9.为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选20块条件大致相同的土地.10块不施磷肥,另外10块施磷肥,得亩产量(单位:公斤)如下:不施磷肥的560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 施磷肥的620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计().解:10.有两位化验员A,B独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行10次和11次测定,测定的方差分别为.设A,B两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为.求方差比的置信度的置信区间.解:的置信度的置信区间为:自测题7一、填空题设总体是未知参数的无偏估计.解:是未知参数的无偏估计则二、一台自动车床加工零件长度X(单位:厘米)服从正态分布.从该车床加工的零件中随机抽取4个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.试求: (1)样本方差;(2)总体方差的置信度为95%的置信区间.(附:解: (1)(2)三、设总体(1)已知(2)已知,样本容量n至少应取多大?(附)解: (1)(2)故区间长度为四、某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的.假设两市新生身高分别服从正态分布:,的置信度为的置信区间.(附:解:。
(完整版)高等数学-习题答案-方明亮-第七章
高等数学方明亮版第七章习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集?并指出集合的边界.(1){}(,)0,0x y x y ≠≠; (2){}22(,)14x y x y <+≤; (3){}2(,)x y y x >;(4){}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解 (1)集合是开集,无界集;边界为{(,)0x y x =或0}y =. (2)集合既非开集,又非闭集,是有界集;边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+=.(3)集合是开集,区域,无界集;边界为2{(,)}x y y x =. (4)集合是闭集,有界集;边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =,试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =,证明:2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >,求()f x . 解由于y f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭,则()f x =. 5.求下列各函数的定义域:(1)2222x y z x y +=-; (2)ln()arcsinyz y x x=-+; (3)ln()z xy =; (4)z =(5)z = (6)u =.解 (1)定义域为{}(,)x y y x ≠±; (2)定义域为{}(,)x y x y x <≤-;(3)定义域为{}(,)0x y xy >,即第一、三象限(不含坐标轴);(4)定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭;(5)定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥; (6)定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠. 6.求下列各极限:(1)22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++; (2)(,)(0,0)lim x y →;(3)22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+; (4)(,)(2,0)sin()lim x y xy y→;(5)1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+; (6)22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解:(1)22(,)(2,0)4lim(2,0)22x y x xy y f x y →++===+; (2)(,)(0,0)00112limlim 2x y u u u u →→→===; (3)因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=,且1sin1xy≤有界,故22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y xy→+=;(4)(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=;(5)111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==;(6)当0x N >>,0y N >>时,有222()()0x y x yx y x y e e++++<<, 而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在: (1)(,)(0,0)limx y x yx y →+-;(2)设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明 (1)当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关,上述极限不存在.(2)当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y x x y x x x x y x x x →→→=====+++, 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++, 故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断:(1)22ln()z x y =+; (2)212z y x=-. 解(1)函数在(0,0)处无定义,故该点为函数22ln()z x y =+的间断点;(2)函数在抛物线22y x =上无定义,故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明:(,)lim0x y →=.证22102ρ-=≤=(,)P x y ,其中||OP ρ==,于是,0ε∀>,20δε∃=>;当0ρδ<<0ε<成立,由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =,证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证 设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>,由于sin x 在0x 处连续,故0δ∃>,当0||x x δ-<时,有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ,则当0(,)(,)P x y U P δ∈时,显然00||(,)x x P P ρδ-<<,从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<,即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知,sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7-21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =,00(,)y f x y B =,问下列极限是什么?(1)00000(,)(,)lim h f x h y f x y h →+-; (2)00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--;(3)00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-; (4)00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 (1)0000000(,)(,)lim (,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==;(2)000000000000(,)(,)(,)(,)lim lim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-;(3)0000000000(,2)(,)(,2)(,)lim lim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h →→+-+-=⋅=;(4)00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数: (1)x z xy y=+; (2)ln tan x z y =;(3)e xyz =; (4)22x y z xy+=;(5)222ln()z x x y =+; (6)z = (7)sec()z xy =; (8)(1)y z xy =+;(9)arctan()z u x y =- (10)zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解(1)1z y x y ∂=+∂,2z xx y y∂=-∂; (2)12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭, 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (3)xy xy ze y ye x∂=⋅=∂,xy xy z e x xe y ∂=⋅=∂;(4)()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂, ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂; (5)232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++,22222222z x x y y y x y x y∂=⋅=∂++; (6)1z y x xy ∂=⋅=∂,1z x y xy ∂=⋅=∂; (7)tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂, tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂; (8)121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂, ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦; (9)11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-, 11221()()(1)1()1()z z z z u z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-, 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-; (10)111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭,12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ln zu x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求(1,0)x f ,(1,0)y f .解法一 由于(,0)ln f x x =,所以1(,0)x f x x=,(1,0)1x f =; 由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以11(1,)212y f y y =⋅+,1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+,11(,)22y f x y y x x x=⋅+, 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+,111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)f x x x =+-=,(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =,(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰,求(,)x f x y ,(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=,2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+,证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解 由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭, 1y yx x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂, 所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.(1)22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少? (2)1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少?解 (1)按偏导数的几何意义,(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率,而21(2,4)12x x z x ===,即tan 1k α==,于是倾角4πα=.(2)按偏导数的几何意义,(1,1)y z就是曲线在点处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率,而11(1,1)3y z ===,即1tan 3k α==,于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数:(1)已知33sin sin z x y y x =+,求2z x y ∂∂∂; (2)已知ln xz y =,求2z x y∂∂∂;(3)已知ln(z x =,求22zx∂∂和2z x y ∂∂∂;(4)arctan y z x =求22zx∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2z y x ∂∂∂.解(1)233sin cos z x y y x x∂=+∂,2223cos 3cos z x y y x x y ∂=+∂∂; (2)ln ln 1ln ln x xz y y y y x x x∂=⋅=∂, 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭; (3)1z x ⎛⎫∂=+=∂==()232222zxx xy∂-==∂+,()23222zyx y xy∂-==∂∂+;(4)222211zy y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,222111z x y x x yy x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ()222222z xy x x y ∂=∂+,()222222z xy y x y ∂-=∂+, ()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++,()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++,求(0,0,1)xx f ,(1,0,2)xz f ,(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 因为22x f y xz =+,2xx f z =,2xz f x =, 22y f xy z =+,2yz f z =,22z f yz x =+,2zz f y =,0zzx f =,所以(0,0,1)2xx f =,(1,0,2)2xz f =,(0,1,0)0yz f -=,(2,0,1)0zzx f =.10.验证: (1)2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂;(2)r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证 (1)因为22esin kn t y kn nx t -∂=-∂,2e cos kn t y n nx x-∂=∂,2222e sin kn t y n nx x -∂=-∂ 所以()2222esin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂; (2)因为r x xr ∂==∂,2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭,由函数关于自变量的对称性,得22223r r y y r ∂-=∂,22223r r z z r∂-=∂, 所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7-31.求下列函数的全微分:(1)2222s t u s t+=-; (2)2222()e x y xyz x y +=+;(3)arcsin (0)x z y y=>; (4)ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=;(5)222ln()u x y z =++; (6)yz u x =.解 (1)()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--,()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--, ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----;(2)22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xex y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭,由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x ey y xy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭, 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦; (3)21d d arcsin d d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-;(4)d d d y x y x x yx y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦; (5)()2222222221d d ln()d u x y z x y z x y z⎡⎤=++=++⎣⎦++ 2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z ++==++++++;(6)()1d d d ln d ln d yz yz yz yz u x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分:(1)22ln(1)z x y =++在1x =,2y =处的全微分; (2)2arctan 1xz y=+在1x =,1y =处的全微分. 解 (1)因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x yx y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+;(2)因为22221d d arctan d 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =,1y =-,0.02x ∆=,0.01y ∆=-时的全微分. 解 因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =,1y =-,0.02x ∆=,0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y =-当2x =,1y =,0.01x ∆=,0.03y ∆=时的全微分和全增量,并求两者之差.解 因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy yxyx y -----==--所以当2x =,1y =,0.01x ∆=,0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-, 而当2x =,1y =,0.01x ∆=,0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦, 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7-4 1.设2e x y u -=,sin x t =,3y t =,求d d ut.解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-,而34u x =,3v x =,求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=.3.设22z u v uv =-,cos u x y =,sin v x y =,求zx∂∂,z y ∂∂.解()()222cos 2sin z z u z vuv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-,()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =,而32u x y =+,y v x =,求zx ∂∂,z y ∂∂.解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x vx ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+, 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+,e x y u +=,求zx∂∂,z y ∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x yx y e y xe y x+++=+, 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x yx y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++,x r s t =++,y rs st tr =++,z rst =,求u r ∂∂,us∂∂,ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦,[]22222()2cos()u u x u y u z x y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦,[]22222()2cos()u u x u y u zx y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanx z y =,x u v =+,y u v =-,求z u ∂∂,zv∂∂,并验证: 22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+. 解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则222222222()()()z z y x y x u v u v u v x y x y u v u v u v∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+,sin x t =,cos y t =,求d d zt. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1)22()z f x y =-; (2),x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭;(3)(,,)u f x xy xyz =; (4)22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解(1)222()zxf x y x∂'=-∂,222()z yf x y y ∂'=--∂;(2)111f u f x y y '∂'=⋅=∂,12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭,2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭; (3)123u f yf yzf x ∂'''=++∂,23u xf xzf y ∂''=+∂,3uxyf z ∂'=∂; (4)12312xy u xf ye f f x x∂'''=++∂,122xy u yf xe f y ∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+,而yu x=,()F u 为可导函数,证明: z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()y x y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-,试证:z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,k z y u x F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数,试证:u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦,1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂,1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂, 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-,试证:sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos zf x x ∂'=∂,cos (cos )z y y f y ∂'=+-∂,sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22zx∂∂,2z x y ∂∂∂,22z y ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数):(1)(,)z f xy y =; (2)22()z f x y =+; (3)22(,)z f x y xy =; (4)(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解 (1)令s xy =,t y =,则(,)z f xy y =,s 和t 是中间变量.11z sf yf x x∂∂''=⋅=∂∂,1212d d z s t f f xf f y y y ∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂.因为(,)f s t 是s 和t 的函数,所以1f '和2f '也是s 和t 的函数,从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭, ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭,()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭21112222x f xf f ''''''=++. (2)令22s x y =+,则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z sf xf x x∂∂''=⋅=∂∂,2z s f yf y y ∂∂''=⋅=∂∂.因为()f s 是s 的函数,所以f '也是s 的函数,从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭, ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭, ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. (3)令2s xy =2t x y =,则212122z s tf f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂,212122z s t f f xyf x f y y y ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂.()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++, ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++, ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. (4)令sin u x =,cos v y =,x y w e +=,则1313d cos d x y z u wf f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂,2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y +∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x x x ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x y x y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x y x y e f xf xf e xf e f +++''''''''=-+++, ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y y y ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x y x y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x y x y x y e f x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+, ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x y x y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x y x y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7-51.设2cos e 0x y x y +-=,求d d y x. 解 设2(,)cos e x F x y y x y =+-,则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=,求1d d x yx=.解 设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-,则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时,由ln ln 1xy y x ++=知1y =,所以1d 1d x y x==-.3.设ln arctany x =,求d d y x. 解设(,)arctan yF x y x =,则2222222222211d 111d 1x yy x x y y F yx y x y x y x y y x x F x y xx y x y y x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos 1x y z ++=,求zx∂∂,z y ∂∂. 解 设222(,,)cos cos cos 1F x y z x y z =++-,则2cos sin sin 22cos sin sin 2x z F z x x x x F z z z ∂-=-=-=-∂-,2cos sin sin 22cos sin sin 2y z F z y y yy F z z z ∂-=-=-=-∂-. 5.设方程(,)0F x y z xy yz zx ++++=确定了函数(,)z z x y =,其中F 存在偏导函数,求zx∂∂,z y ∂∂. 解 1212()()x z F F y z F z x F F y x F ''++∂=-=-∂''++,1212()()y z F F x z F zy F F y x F ''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z =分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z =,(,)y y x z =,(,)z z x y =,证明:1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证 因为y xF xy F ∂=-∂,z y F y z F ∂=-∂,x z F z x F ∂=-∂,所以 1y xzx yz F F F x y z y z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 7.设(,)u v ϕ具有连续偏导数,证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 证 令u cx az =-,v cy bz =-,则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂,y v v v c y ϕϕϕ∂=⋅=∂,z u v u v u va b z zϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂.x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+,y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=,求22zx∂∂.解 设(,,)z F x y z e xyz =-,则x F yz =-,z z F e xy =-. 于是x z z F z yz x F e xy∂=-=∂-, ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=- ()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数,求2(0,1)zx y∂∂∂.解 设2(,,)e z F x y z xz y =--,则x F z =-,e z z F x =-,2y F y =-.于是 x z z F z z x F e x ∂=-=∂-,2y zz F z yy F e x∂=-=∂-, ()()22z z zz ze x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=- ()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=,知(0,1)0z =,得2(0,1)2zx y ∂=∂∂. 10.求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂y z F zy F xy ∂=-==∂+,d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂,(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ,d d z x ; (2)设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂,u y ∂∂,vx ∂∂,v y ∂∂;(3)设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂,u y ∂∂,v x ∂∂,v y ∂∂. 解 (1)分别在两个方程两端对x 求导,得d d 22,d d d d 2460.d d z y x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项,得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下,解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y x y x z xy xx D yz y z --===++. (2)此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =,(,)v v x y =,将所给方程的两边对x 求导并移项,得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x y J x y yx-==+≠的条件下,22u yv x u xu yv x y x x y y x---∂+==--∂+, 22x uy v v yu xv x y x x y y x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导,用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. (3)此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =,(,)v v x y =是已知函数的反函数,令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--,(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =,0y F =,sin u u F e v =--,cos v F u v =-, 0x G =,1y G =,cos u u G e v =-+,sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u vF G J ue v v u u v e v u v ---∂===-+≠∂-+-的条件下,解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+, 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+, sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+,sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7-61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程: (1)2x t =,1y t =-,3z t =在(1,0,1)处; (2)1t x t =+,1t y t+=,2z t =在1t =的对应点处; (3)sin x t t =-,1cos y t =-,4sin2t z =在点1,1,2π⎛- ⎝处; (4)2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 (1)因为2t x t '=,1t y '=-,23t z t '=,而点(1,0,1)所对应的参数1t =,所以(2,1,3)=-T .于是,切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=,即 2350x y z -+-=.(2)因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++,22(1)1t t t y t t-+'==-,2t z t '=,1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭,所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是,切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.(3)因为1cos t x t '=-,sin t y t '=,2cos 2t t z '=,点1,1,2π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=,所以(=T .于是,切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π+--=. (4)将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项,得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-,2220d 420d 422y xy z xy xy x yz z y z-===. (1,1,3)d 1d y x =-,(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 11,1,3⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =,2y t =,3z t =上求一点,使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解 因为1t x '=,2t y t '=,23t z t '=,设所求点对应的参数为0t ,于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ,由切线与平面平行,得0⋅=T n ,即2001430t t ++=,解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭.3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程: (1)222327x y z +-=在点(3,1,1)处; (2)22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处; (3)arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处.解(1)222(,,)327F x y z x y z =+--,(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ,(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=,即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. (2)22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-,222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n , (1,1,ln 4)1,1,12⎛⎫=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. (3)(,,)arctanyF x y z z x=-,2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n , 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切平面方程为202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程. 解 设222(,,)2321F x y z x y z =++-,则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6),由已知平面与所求切平面平行,得246146x y z ==,即12x z =,y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=.解得 1z =±,则12x =±,1y =±.所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭.所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明:曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行(a ,b 为常数,函数(,)F u v 可微).证 曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ,而直线的方向向量(,,1)a b =s ,由0⋅=n s 知⊥n s ,即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 令222(,,)316F x y z x y z =++-,曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ,曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ,xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ,记1n 与2n 的夹角为θ,则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n .7.证明曲面3xyz a =(0a >,为常数)的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 设3(,,)F x y z xyz a =-,曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =,该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=,即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样,切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7-71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+的方向的方向导数.解按题意,方向l =,12l ⎛= ⎝⎭e .又2zx x∂=∂,2z y y ∂=∂,(1,2)2z x ∂=∂,(1,2)4zy ∂=∂,。
《统计学》-第7章-习题答案
第七章思考与练习参考答案1 •答:函数关系是两变量之间的确定性关系,即当一个变量取一定数值时,另一个变量有确定值与之相对应;而相关关系表示的是两变量之间的一种不确定性关系,具体表示为当一个变量取一定数值时,与之相对应的另一变量的数值虽然不确定,但它仍按某种规律在定的范围内变化。
2•答:相关和回归都是研究现象及变量之间相互关系的方法。
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度,但不能确定变量间相互关系的具体形式,也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况;回归分析则可以找到研究变量之间相互关系的具体形式,并可变量之间的数量联系进行测定,确定一个回归方程,并根据这个回归方程从已知量推测未知量。
3•答:单相关系数是度量两个变量之间线性相关程度的指标,其计算公式为:总体相关系数二样本相关系数,「一】。
复相关系数是多元线性回归分析中度量因变量与其它多个自变量之间的线性相关程度的指标,它是方程的判定系数R2的正的平方根。
偏相关系数是多元线性回归分析中度量在其它变量不变的情况下两个变量之间真实相关程度的指标,它反映了在消除其他变量影响的条件下两个变量之间的线性相关程度。
4.答:回归模型假定总体上因变量Y与自变量X之间存在着近似的线性函数关系,可表示为Y^ 11X t u t,这就是总体回归函数,其中u t是随机误差项,可以反映未考虑的其他各种因素对Y的影响。
根据样本数据拟合的方程,就是样本回归函数,以一元线性回归模型的样本回归函数为例可表示为:Y?=耳+弭x t。
总体回归函数事实上是未知的,需要利用样本的信息对其进行估计,样本回归函数是对总体回归函数的近似反映。
两者的区别主要包括:第一,总体回归直线是未知的,它只有一条;而样本回归直线则是根据样本数据拟合的,每抽取一组样本,便可以拟合一条样本回归直线。
第二,总体回归函数中的-0和-1是未知的参数,表现为常数;而样本回归直线中的'?Q和?i是随机变量,其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。
离散数学-第七章习题答案
第7章习题答案1.f(x)=2|x|+1是从整数集合到正整数集合的函数,它的值域是什么?解:它的值域是正奇数集合。
2.试问下列关系中哪个能构成函数?(1){〈x,y〉|x,y∈N,x+y<10}(2){〈x,y〉|x,y∈R,y=x2}(3){〈x,y〉|x,y∈R,y2=x}解;(1)、(3)不满足函数的定义,只有(2)是函数。
3.下列集合能够定义函数吗?如果能,求出它们的定义域和值域。
(1){〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈1,4〉〉,〈4,〈1,4〉〉}(2){〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈3,2〉〉}(3){〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈1,〈2,4〉〉}(4){〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈2,3〉〉,〈3,〈2,3〉〉}解:(1)、(2)、(4)定义的是函数。
(1)的定义域是{1,2,3,4},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈1,4〉}(2)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈3,2〉}(4)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉}4.设f,g都是函数,并且有f⊆g和dom(g)=dom(f),证明f=g证明:假设f≠g,因为f⊆g和dom(g)=dom(f),则存在x1∈dom(g)和dom(f),使得〈x1,y1〉∈g但〈x1,y1〉∉f,因为f是函数,在定义域上处处有定义,所以必存在y2,使得〈x1,y2〉∈f,由f⊆g得〈x1,y2〉∈g,这与g是函数满足单值性矛盾。
故假设错误,必有f=g。
6.设X={0,1,2},求出X X中的如下函数(1) f2(x)=f(x)(2) f2(x)=x(3) f3(x)=x解:(1)有10个函数,分别是:f1(x)={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,0〉}f2(x)={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f3(x)={〈0,2〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f4(x)={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f5(x)={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f6(x)={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,2〉}f7(x)={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f8(x)={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f9(x)={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f10(x)={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}(2)有4个函数,分别是:f1(x)={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f2(x)={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,1〉}f3(x)={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f4(x)={〈0,1〉,〈1,0〉,〈2,2〉}(3)有3个函数,分别是:f 1(x )={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f 2(x )={〈0,1〉,〈1,2〉,〈2,0〉}f 3(x )={〈0,2〉,〈1,0〉,〈2,1〉}8.设f,g,h 是N → N 的函数, 其中N 是自然数集合,f(n)=n +1, g(n)=2n,⎩⎨⎧=是奇数若是偶数若n n n h 10)(试确定:f f ,f g ,g h ,h g 及(f g) h 。
高等数学课后习题答案--第七章
11、证明:函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, (1) ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ (2) ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
(1) u = sin(ax − by ); (2) u = e ax cos bx; (3) u = ye xy ; (4) u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;
计算机二级c语言第七章 函数习题
第七章函数一、选择题1、以下关于函数的叙述中正确的是A)每个函数都可以被其它函数调用(包括main函数)B)每个函数都可以被单独编译C)每个函数都可以单独运行D)在一个函数内部可以定义另一个函数2、设函数fun的定义形式为void fun(char ch,float x) { … }则以下对函数fun的调用语句中,正确的是A)fun("abc",3.0); B)t=fun('D',16.5);C)fun('65',2.8); D)fun(32,32);3、有以下程序int f1(int x,int y){return x>y?x:y;}int f2(int x,int y){return x>y?y:x;}main(){ int a=4,b=3,c=5,d=2,e,f,g;e=f2(f1(a,b),f1(c,d));f=f1(f2(a,b),f2(c,d));g=a+b+c+d-e-f;printf("%d,%d,%d\n",e,f,g); }程序运行后的输出结果是A)4,3,7 B)3,4,7 C)5,2,7 D)2,5,74、有以下程序#define P 3#define F(int x) { return (P*x*x);}main(){ printf("%d\n",F(3+5));}程序运行后的输出结果是A)192 B)29 C)25 D)编译出错5、若程序中定义了以下函数double myadd(double a,double B){ return(a+B);}并将其放在调用语句之后,则在调用之前应该对该函数进行说明,以下选项中错误的说明是A)double myadd(double a,B); B)double myadd(double,double);C)double myadd(double b,double A); D)double myadd(double x,double y);6、有以下程序char fun(char x ,char y){ if(x < y) return x;return y;}main(){ int a=’9’,b=’8’,c=’7’;printf("%c\n",fun(fun(a,b),fun(b,c))); }程序的执行结果是A)函数调用出错 B)8 C)9 D)77、有以下程序void f(int v,int w){ int t;t=v;v=w;w=t;}main(){ int x=1,y=3,z=2;if(x>y) f(x,y);else if(y>z) f(y,z);else f(x,z);printf("%d,%d,%d\n",x,y,z);}执行后输出结果是A) 1,2,3 B) 3,1,2 C) 1,3,2 D) 2,3,18、若已定义的函数有返回值,则以下关于该函数调用的叙述中错误的是A) 调用可以作为独立的语句存在 B) 调用可以作为一个函数的实参C) 调用可以出现在表达式中 D) 调用可以作为一个函数的形参9、有以下函数定义:void fun(int n,double x) { …… }若以下选项中的变量都已正确定义并赋值,则对函数fun的正确调用语句是A)fun(int y,double m); B) k=fun(10,12.5);C)fun(x,n); D) vold fun(n,x);10、有以下程序fun(int a,int b){ if(a>b) return(a);else return(b);}main(){ int x=3,y=8,z=6,r;r=fun(fun(x,y),2*z);printf("%d\n",r);}程序运行后的输出结果是A) 3 B) 6 C) 8 D) 1211、在一个C程序中A) main函数必须出现在所有函数之前 B) main函数可以在任何地方出现C) main函数必须出现在所有函数之后 D) main函数必须出现在固定位置12、有以下程序int f1(int x,int y){ return x>y?x:y; }int f2(int x,int y){ return x>y?y:x; }main(){ int a=4,b=3,c=5,d,e,f;d=f1(a,b); d=f1(d,c);e=f2(a,b); e=f2(e,c);f=a+b+c-d-e;printf("%d,%d,%d\n",d,f,e);}执行后输出结果是A) 3,4,5 B) 5,3,4 C) 5,4,3 D) 3,5,413、有如下程序void f(int x,int y){ int t;if(x < y){ t=x; x=y; y=t; }}main(){ int a=4,b=3,c=5;f(a,b); f(a,c); f(b,c);printf("%d,%d,%d\n",a,b,c);}执行后输出结果是A) 3,4,5 B) 5,3,4 C) 5,4,3 D) 4,3,514、C语言中,函数值类型的定义可以缺省,此时函数值的隐含类型是A) void B) int C) float D) double15、有以下程序float fun(int x,int y){ return(x+y); }main(){ int a=2,b=5,c=8;printf("%3.0f\n",fun((int)fun(a+c,b),a-c));}程序运行后的输出结果是A) 编译出错 B) 9 C) 21 D) 9.016、若有以下程序#includevoid f(int n);main(){ void f(int n);f(5);}void f(int n){ printf("%d\n",n); }则以下叙述中不正确的是A)若只在主函数中对函数f进行说明,则只能在主函数中正确调用函数fB)若在主函数前对函数f进行说明,则在主函数和其后的其它函数中都可以正确调用函数fC)对于以上程序,编译时系统会提示出错信息:提示对对f函数重复说明D)函数f无返回值,所以可用void将其类型定义为无值型17、以下函数值的类型是fun(float x){ float y;y= 3*x-4;return y;}A)int B)不确定 C)void D)float18、以下所列的各函数首部中,正确的是A)void play(var :Integer,var b:Integer)B)void play(int a,b)C)void play(int a,int b)D)Sub play(a as integer,b as integer)19、以下程序的输出结果是fun(int x, int y, int z){ z=x*x+y*y; }main(){ int a=31;fun(5,2,a);printf("%d",a);}A)0 B)29 C)31 D)无定值20、有如下函数调用语句func(rec1,rec2+rec3,(rec4,rec5));该函数调用语句中,含有的实参个数是A) 3 B) 4 C) 5 D) 有语法错21、有如下程序int func(int a,int b){ return(a+b);}main(){ int x=2,y=5,z=8,r;r=func(func(x,y),z);printf("%d\n",r);}该程序的输出的结果是A) 12 B) 13 C) 14 D) 1522、以下叙述中不正确的是A)在不同的函数中可以使用相同名字的变量B)函数中的形式参数是局部变量C)在一个函数内定义的变量只在本函数范围内有效D)在一个函数内的复合语句中定义的变量在本函数范围内有效23、有以下程序void fun (int a,int b,int c){ a=456; b=567; c=678;}main(){ int x=10, y=20,z=30;fun(x,y,z);printf("%d,%d,%d \n",z,y,x);}输出结果是A)30,20,10 B)10,20,30 C) 456,567,678 D) 678,567,45624、有以下程序#include "stdio.h"int abc(int u,intv);main(){ int a=24,b=16,c;c=abc(a,b);printf("%d\n",c);}int abc(int u,int v){ int w;while(v){ w=u%v; u=v; v=w }return u;}输出结果是A)6 B)7 C)8 D)925、以下说法中正确的是A)C语言程序总是从第一个的函数开始执行B)在C语言程序中,要调用的函数必须在main()函数中定义C)C语言程序总是从main()函数开始执行D)C语言程序中的main()函数必须放在程序的开始部分26、请读程序:#includefunc( int a, int b){ int c;c=a+b;return c;}main(){ int x=6,y=7,z=8,r;r=func((x--,y++,x+y),z--);printf("%d\n",r);}上面程序的输出结果是A)11 B)20 C)21 D)31二、填空题1、有以下程序int sub(int n) {return(n/10+n%10); }main(){ int x,y;scanf("%d",&x);y=sub(sub(sub(x)));printf("%d\n",y);}若运行时输入:1234<回车>,程序的输出结果是。
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第七章函数习题答案1. 单项选择题(1) 若定义的函数有返回值,则以下关于该函数调用的说法中错误的是____D____。
A. 函数调用可以作为独立的语句存在B. 函数调用可以作为一个函数的参数C. 函数调用可以出现在表达式中D. 函数可以作为一个函数的形式参数(2) 在函数的调用过程中,如果函数FUNA调用了函数FUNB,函数FUNB又调用了函数FUNA,则___B_____。
A. 称为函数的直接递归调用B. 称为函数的间接递归调用C. 称为函数的循环调用D. C语言不允许这样的递归调用(3) 在C语言中,函数的隐含存储类别是__A______。
A. autoB. staticC. externD. 无存储类别(4) 在下列对C语言函数的描述中,正确的是___A_____。
A. 在C语言中调用函数时,只能将实际参数的值传给形式参数,形式参数的值不能传给实际参数B. C函数既可以是嵌套定义,又可以是递归定义C. 函数必须有返回值D. C程序中有调用关系的所有函数必须放在同一个源程序文件中(5) 下面函数的类型是___B_____。
f(double x){printf("%6d\n",x);}A. 浮点型B. int型C. void型D. 都不是(6) 有以下程序:char fun(char x,char y){if(x<y)return y;}main(){int a='9',b='8',c='7';printf("%c\n",fun(fun(a,b),fun(b,c)));}程序的执行结果是____C____。
A. 函数调用出错B. 8C. 9D. 7(7) 有以下程序:void f(int x,int y){int t;if(x<y){t=x;x=y;y=t;}}main(){int a=4,b=3,c=5;f(a,b);f(a,c);f(b,c);printf("%d,%d,%d\n",a,b,c);}执行结果为____D____。
A. 3,4,5B. 5,4,3C. 5,3,4D. 4,3,5(8) 下面程序的输出为________。
#include<stdio.h>int x,y;f(){extern int x,y;int a=18,b=16;x+=a+b;y+=a-b;}main(){int a=9,b=8;x=a+b;y=a-b;f();printf("%d,%d\n",x,y);}执行结果为___A_____。
A. 51,3B. 34,2C. 17,1D. 前面的都不对(9) 以下程序的正确执行结果是____D____。
main(){int a=2,i;for(i=0;i<3;i++)printf("%4d",f(a));}f(int a){int b=0;static int c=3;b++;c++;return(a+b+c);}A. 7 7 7B. 7 10 13C. 7 9 11D. 7 8 9(10) 以下程序的执行结果为___A____。
long fun(int n){long s;if(n==1||n==2)s=2;elses=n-fun(n-1);return s;}main(){printf("%d\n",fun(3));}A. 1B. 2C. 3D. 4(11) 有如下程序:long fib(int n){if(n>2)return(fib(n-1)+fib(n-2));elsereturn(2);}main(){printf("%d\n",fib(3));}该程序的执行结果为___B_____。
A. 2B. 4C. 6D. 82. 填空题(1)unsigned func(unsigned num){unsigned k=1;do{k*=num%10; num/=10;}while(num);return k;}main(){unsigned n=26;printf("%d\n",func(n));}程序执行结果为__________12____________。
(2)double sub(double x,double y,double z){y-=1.0;z+=x;return z;}main(){double a=2.5,b=9.0;printf("%f\n",sub(b-a,a,a));}程序执行结果为_________9.000000________。
(3)main(){int a=3,b=2,c=1;c-=++b;b*=(a+c);{int b=5,c=12;c/=2;a-=c;printf("%d,%d,%d",a,b,c); -3,5,6a+=--c;}printf("%d%d%d\n",a,b,c); 2 3 -2}程序执行结果为_______________________________。
(4)void fun(){static int a;a+=2;printf("%d",a);}main(){int cc;for(cc=1;cc<=4;cc++)fun();printf("\n");}程序执行结果为_______2 4 6 8________________________。
3. 问答题假设源程序由张、陈、刘三人合作编写,源程序文件名分别为zhang.c,chen.c,liu.c,而且名字为flag的整型变量为大家所共有。
下面程序是否正确?如果有错误,请指出并改正。
/*zhang.c*/extern int flag; /*对外部变量flag做存储声明*/void title(){if(flag)printf("sum of even position elements:");elseprintf("sum of odd position elements:");}/*chen.c*/extern void title();extern int flag; /*对外部变量flag做存储声明*/void f(int a[],int n){int i,sum=0;i=flag==0?0:1;for(;i<n;i+=2)sum+=a[i];title();printf("%d\n",sum);}/*liu.c*/#define N 8extern void f(int a[],int n);int flag; /*定义全局变量flag,申请存储单元*/main(){int x[N]={1,2,3,4,5,6,7,8},k;printf("\nflag=?");scanf("%d",&flag);f(x,N);}4. 编程题(1)对数组中的数据进行由大到小的排序。
(2)写两个函数,分别求两个正整数的最大公约数和最小公倍数,用主函数调用这两个函数,并输出结果,两个正整数在主函数中从键盘输入。
解:设两个整数为u和v,用辗转相除法求最大公约数的算法如下:if v>u将变量u和v的值互换(使大者u为被除数)while(u/v的余数r≠0){u=vv=r}输出最大公约数r最小公倍数l=u*v/最大公约数r。
程序如下:#include <stdio.h>int hcf(int u,int v) //最大公约数函数{int t,r;if(v>u){t=u;u=v;v=t;};while((r=u%v)!=0){u=v;v=r;}return(v);}int lcd(int u,int v,int h) //最小公倍数函数{return(u*v/h);}void main(){int u,v,h,l;;printf("\nInput u&v:");scanf("%d,%d",&u,&v);h=hcf(u,v);printf("H.C.F=%d\n",h);l=lcd(u,v,h);printf("L.C.D=%d\n",l);}运行结果:Input u&v:24,16H.C.F=8L.C.D=48(3)用递归方法求n阶勒让德的值,递归公式为1 n=0p n(x) = x n=1 ((2n-1)*xp n-1(x)-(n-1)*p n-2(x))/n n>1#include <stdio.h>float f(int n,int x){if(n==0)return 1;else if(n==1)return x;elsereturn((2*n-1)*x*f((n-1),x)-(n-1)*f((n-2),x))/n;}void main(){int x,n;printf("\n Input n and x:");scanf("%d,%d",&n,&x);printf("f%d(%d)=%6.2f\n",n,xf(n,x));}运行结果:Input n and x:1,2f1(2)=2.00。