(完整word)高一数学三角函数复习教案

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三角函数(一轮复习教案)

第三章三角函数 (1)第一节角的概念与任意角的三角函数 (2)第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (9)第三节三角函数的图象与性质 (16)第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 (24)第五节和角公式 (37)第六节倍角公式与半角公式 (45)第七节正弦定理和余弦定理 (53)第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 (61)第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节角的概念与任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝lr. (3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180απ)°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．思考：1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？【提示】充分不必要条件．2．终边在直线y ＝x 上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等．学情自测：1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( )A ．2 B.π3 C.π6 D.2π3【解析】点A 的坐标为(3，1)． ∴sin α＝132＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.【答案】C12．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )3xA ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【解析】函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【解析】由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π4，∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.【答案】 4 6π5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y 16＋y2＝－255，解之得y ＝－8. 【答案】－8 典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }，故所求角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }∪{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }＝{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角,变式训练1：若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．【解析】 ∵θ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝π9＋23k π(k ∈Z )，当k ＝0,1,2时，θ3＝π9，7π9，13π9.【答案】 π9，7π9，13π9例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l . (2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【解答】 (1)l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad. (3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3)(cm 2)变式训练2：已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝103π，S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3.又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－32).例3（三角函数的定义）(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【思路】(1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解．(2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论．【解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2＋9，∴cos α＝m m 2＋9＝－45，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16m ＜0，∴m ＝－4.【答案】 C(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tanα的值．【解】 ∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5，从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22，∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.故4sin α－3tan α＝10＋15.小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2013·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)【解析】设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故点P 的坐标为(cos θ，sin θ)．【答案】 A2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.【答案】 C3．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为( )A.55，－2 B ．－55，－12 C ．－255，－2 D ．－55，－2【解析】由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P (－1,2)，则r ＝5，从而cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2，故选D.【答案】 D5．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43【解析】由题意知x ＜0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.【答案】 D6．已知点P (sin 3π4，cos 34π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 【解析】由已知得P (22，－22)，∴tan θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝7π4. 【答案】 D二、填空题7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．【解析】由题意知－a4＝tan 120°，∴－a4＝－3，∴a ＝4 3.【答案】 438．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.【解析】因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0，故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 【答案】 29．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【解析】由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin2π3＝32，x ＝cos 2π3＝－12，故Q (－12，32)．【答案】 (－12，32)三、解答题10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积．【解】 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π3×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin2π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.12．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．【解】由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15， cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．组数一二三四五角 α＋2k π(k∈Z ) －αα＋(2k ＋1)π(k ∈Z )α＋π2－α＋π2正弦 sin α －sin_α －sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α cos_α －cos_α －sin_α sin_α正切 tan α－tan_α tan_α口诀函数名不变符号看象限思考：1．有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你认为正确吗？【提示】不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？【提示】 sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α.学情自测：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513，∴cos α＝513，又α是第四象限角，∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3【解析】由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3，故选D.【答案】 D3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.【答案】 A4．若cos α＝－35且α∈(π，3π2)，则tan α＝( )A.34B.43 C ．－34 D ．－43【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－－352＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.【答案】 B5．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1【解析】因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1.【答案】A典例探究：例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013·潍坊模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2 (2)(2013·银川模拟)已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________.【思路】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解；(2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解答】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55, 变式训练1：(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×(－45)＝－2425.【答案】 A例2（诱导公式的应用） (1)已知tan α＝2，sin α＋cos α＜0，则sin 2π－α·sin π＋α·cos π＋αsin 3π－α·cos π＋α＝________.(2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π，①化简f (α)；②若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tan α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；(2)①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f (α)．【解答】 (1)原式＝－sin α·－sin α·－cos α－sin α·cos α＝sin α，∵tan α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角．又sin α＋cos α＜0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.【答案】－255(2)①f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π＝－cos α·sin α·－tan α－tan α·sin α＝－cos α.②∵cos(α－3π2)＝15，∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.变式训练2：(1)(2013·烟台模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)(2013·台州模拟)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，若f (2 012)＝5，则f (2 013)＝( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)∵f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4 ＝a sin α＋b cos β＋4＝5， ∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝－1＋4＝3. 【答案】 (1)B (2)A例3（sin α±cos α与sin α·cos α的关系）(2013·扬州模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．【思路】(1)利用平方关系，设法沟通sin x －cos x 与sin x ＋cos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．【解答】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π＜x ＜0，∴sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0， ∴cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，7 5.故sin x－cos x＝－(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin x cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175.变式训练3：已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x 的值．【解】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，故sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)得sin x －cos x ＝－75，故由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，得sin x ＝－35，cos x ＝45，∴tan x ＝sin x cos x ＝－3545＝－34.小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．课后作业(十七) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．(2013·郑州模拟)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A.1－k2kB ．－1－k2kC.k1－k 2 D ．－k1－k2【解析】由cos(－80°)＝k ，得cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2，∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k2k.【答案】 B2．(2013·温州模拟)若cos(π2＋θ)＝32，且|θ|＜π2，则tan θ＝( )A ．－ 3 B.33 C ．－33D.3 【解析】 ∵cos(π2＋θ)＝32，∴－sin θ＝32，即sin θ＝－32， ∵|θ|＜π2，∴θ＝－π3，∴tan θ＝tan(－π3)＝－ 3.【答案】 A3．(2013·济南模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝55则sin(－π－α)＝( )A.55B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 ∵sin(－α－3π2)＝－sin(3π2＋α)＝cos α＝55，且α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－525＝－255， ∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α＝－255.【答案】 D4．(2013·保定模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 【答案】 D5．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( ) A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 【答案】 C6．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin －α－3π2sin 3π2－αtan 22π－αcos π2－αcos π2＋αsin π＋α＝( )A.35B.53C.45D.54【解析】方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.【答案】 B 二、填空题7．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．【解析】 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.【答案】328．(2013·青岛模拟)已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 3159．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π6－x )＝________.【解析】原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x )＝－14＋(1－142)＝1116.【答案】 1116三、解答题10．已知函数f (x )＝1－sin x －3π2＋cos x ＋π2＋tan 34πcos x.(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)∵tan α＝－43，∴f (α)＝1－sin α－3π2＋cos α＋π2＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13.11．已知tan(α＋87π)＝a .求证：sin 157π＋α＋3cos α－137πsin 207π－α－cos α＋227π＝a ＋3a ＋1. 【证明】由已知得左边＝sin[π＋α＋87π]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋87π]＝－sin α＋87π－3cos α＋87π－sin α＋87π－cos α＋87π＝tan α＋87π＋3tan α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边，所以原等式成立．12．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.第三节三角函数的图象与性质学习目标：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性.考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan xπ1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】不一定．如常数函数f (x )＝a ，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？【提示】 y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x .对称中心的横坐标都是它们的零点．学情自测：1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠π6＋k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z }【解析】由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π3，k ∈Z ，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2)是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos(x ＋52π)＝2cos(x ＋π2)＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．【答案】 A3．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4. 法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确．【答案】 C 4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0， ∴sin(－π18)＞sin(－π10)．【答案】＞5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4)的最大值为________，此时x ＝________. 【解析】当cos(x ＋π4)＝－1时，函数有最大值5，此时，x ＋π4＝π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝34π＋2k π，k ∈Z . 【答案】 5 34π＋2k π，k ∈Z 典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012·山东高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0C ．－1D ．－1－3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．【思路】(1)先确定πx 6－π3的范围，再数形结合求最值； (2)由tan x －1≠0且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解．【解答】 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin(π6x －π3)∈[－32，1]． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．【答案】 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }, 变式训练1：(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．【解析】 (1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，故函数的定义域为[2k π＋π6，2k π＋56π](k ∈Z )． (2)∵x ∈[π6，76π] ∴－12≤sin x ≤1，又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝1或－12时，y max ＝2. 【答案】 (1)[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) (2)782 例2（三角函数的单调性）(2012·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递减区间．【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f (x )解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx ＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域的考虑．【解答】(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sin x－cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．变式训练2:(2013·武汉模拟)已知函数y ＝sin(π3－2x )，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】由y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)． (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为[－π，－7π12]和[－π12，0]. 例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形； ④在区间[－π6，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【思路】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【解答】若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π3时，sin(2x ＋π3)＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于(π3，0)成中心对称；又f (x )在[－5π12，π12]上是增函数，∴在[－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.【答案】①②⇒③④或①③⇒②④,变式训练3：已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B小结：两条性质1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x －π6)C ．y ＝2sin(x 2＋π3) D ．y ＝2sin(2x －π3) 【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2，代入检验知选B. 【答案】 B2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( ) A ．{x |x ≠π4} B ．{x |x ≠－π4} C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠n π＋3π4，k ∈Z ，故选D.【答案】 D3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 【解析】 f (x )＝(sin x ＋12)2－54， ∵sin x ∈[－1,1]，∴－54≤f (x )≤1， ∴f (x )的值域为[－54，1]．【答案】 C4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为( ) A.5π12 B.11π6 C.11π12D ．以上都不对【解析】函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－k 2π－π12(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小值为5π12. 【答案】 A5．(2013·北京模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3)＝f (0)，又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b . 【答案】 B6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．【答案】 A 二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.【解析】由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝43π，∴ω＝2πT ＝32.【答案】 328．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．【解析】依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)．因为x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，56π]，所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，所以f (x )∈[－32，3]．【答案】 [－32，3]9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，(1)求f (π4)的值；(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12，由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8， (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解】 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，58π＋k π]，k ∈Z .12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π12时，f (x )取得最大值3. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．【解】 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.∵当x ＝π12时，f (x )的最大值为3，∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1.(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin[2(x ＋φ)＋π3]，∵g (x )为奇函数，∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用学习目标：1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 考点梳理：1．2.3.由(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移思考：1．五点作法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移|φω|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．学情自测：1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3【解析】由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，又T ＝6，故选A.【答案】 A2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．2【解析】横坐标变为原来的2倍，则x 变为12x ，故得到的函数解析式为y ＝sin 14x ，故选C.【答案】 C3．将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所π10个单位，得到图象的函数解析式为( )得图象上所有的点向右平行移动A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π20)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)【解析】将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为y ＝sin 12x ，再把所得图象上所有点向右平移π10个单位，得到的图象解析式为y ＝sin 12(x －π10)＝sin(12x －π20)．【答案】 D4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则( )图3－4－1A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】由图象知A ＝1，T ＝4(712π－π3)＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除A ，B ，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 【答案】 D5．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【解析】 ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2(x ＋12)，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可，故选C.【答案】 C 典例探究：例1（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换）(1)(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【思路】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍．【解答】(1)y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.(2)设函数的周期为T ，由题意知kT ＝43π，k ∈Z ，∴T ＝4π3k ，∴ω＝32k ，k ∈Z ，又ω＞0，∴k ＝1时，ω有最小值32，故选C.【答案】 (1)A (2)C 变式训练1：(1)(2013·济南模拟)要得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位(2)(2013·青岛质检)将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin(12x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin(12x －π6)【解析】 (1)∵y ＝sin(2x －π3)＝sin 2(x －π6)，∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位即可．(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π3)的图象，然后。

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

(word版)高一数学必修4三角函数复习学案

[必修4] 第1章三角函数知识要点一、任意角、弧度1、角的概念：2、弧度制：角度制和弧度制的互换1弧度：，1rad= .3、弧长为l所对的圆心角| |= ；扇形的面积S= .二、任意角的三角函数1、任意角的三角函数：sin ，cos ，tan .其中r= .象限符号：2、同角三角函数关系：〔1〕；〔2〕；〔3〕.3、三角函数的诱导公式：口诀“奇变偶不变，符号看象限〞s in(2k)sin()公式〔一〕：cos(2k)公式〔二〕：cos()t an(2k)tan()sin()sin()公式〔三〕：cos()公式〔四〕：cos()tan()tan()sin( ) sin( ) 2 2公式〔五〕：cos( ) 公式〔六〕：cos( )2 2tan( ) tan( )2 2三、三角函数的图象和性质1、三角函数的周期性：如果存在一个非零的常数的T，满足f〔x+T〕= .那么称T为函数f〔x〕的一个周期.正、余弦函数的T= ，正、余切函数的T= .2、三角函数的图象和性质：函数名图象定义域值域周期奇偶性单调性sinxcosxtanx：一、：1、α=6，α的在〔〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2、角α的P〔4a，—3a〕〔a<0〕，以下正确的选项是〔〕A sin B cos 4tan4Dtan3 5343、tan〔－300°〕的〔〕A ．3B.33D.3 334、使log2(sintan)有意的〔〕A．第一象限B．第四象限C．第一象限或第四象限D．右半平面5、函数ysinx〔3x2〕的域〔〕3A [—1，1]B[1,1]C[1,3]D[3,1]2226、函数y3sin(2x)的称方程〔〕4A x=4B x=Cx=-D x=887、假设的关于y 称，必有〔〕A(2k 1) kB2C2k,kZD2k2,k Z8、函数y2s in(2x)(x [0,])增函数的区是⋯⋯⋯⋯⋯⋯(). [0,]B .[,7] C .[,5D.[5,]312 123669、以下关系式中，不正确的是〔〕．．．A sin＜sin 2Bcosπ＜cos3Ctan1＞sin1Dsin1＜cos1＝1－logx ，x 的取范是〔〕10、假设sin〔A 〕[1，4]〔B 〕1，1〔C 〕[2，4]〔D 〕1，44411、函数yco s 2(x12 )sin 2(x)1是( )1 2A、周期是2的奇函数B、周期是的偶函数C、周期是的奇函数D、周期是2的偶函数12、平移函数ysin(2x)的图象得到函数ysin(2x)的图象的平移过程是〔〕3〔A〕向左平移单位〔B〕向右平移单位〔C〕向左平移单位〔D〕向右平移单位663313、函数y4sin2x6cosx6(x2)的值域是〔〕33〔A〕6,0〔B〕[0,1]〔C〕[12,1]〔D〕[6,1] 444二、填空题：14、扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，那么该扇形的面积为15、假设函数f(x〕sin(kx)的最小正周期为2，那么正数k=5316、cos(x)1，那么cos(x3)=.5417、tan3,那么sin2cos.cos3sin18、关于函数f(x)=4sin〔2x＋〕〔x∈R〕，有以下命题：3①由f(x1〕＝f〔x2〕＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos〔2x－)；6y=f(x)的图象关于点(－，0〕对称；6④y＝f〔x〕的图象关于直线x=-对称.6其中正确的命题的序号是(注：把你认为正确的命题的序号都填上.)三、解答题：sin(3)sin(3)tan2(2)19．sin是方程5x7x60的根，求22)cos2(cos(2)cos()2的值？-20．sin1，求sincos和sincos的值。

三角函数复习教案

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的基本概念、性质和公式。

2. 提高学生解决实际问题中涉及三角函数的能力。

3. 培养学生的逻辑思维和运算能力。

二、教学内容1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质特殊角的三角函数值2. 三角函数的图象与性质三角函数的图象特点三角函数的周期性、奇偶性、单调性3. 三角函数公式和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式正弦定理、余弦定理4. 三角函数的应用三角函数在几何中的应用三角函数在物理中的应用三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的基本概念、性质、公式及应用。

2. 难点：三角函数的图象与性质的理解和应用，以及解决实际问题中的三角函数应用。

四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示三角函数的图象和性质。

3. 引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：回顾三角函数的定义与性质，引导学生思考三角函数在实际问题中的应用。

2. 新课：讲解三角函数的图象与性质，通过示例让学生理解并掌握。

3. 练习：让学生通过练习题，巩固所学内容，提高解决问题的能力。

4. 拓展：引导学生思考三角函数在其他领域的应用，如物理、工程等。

5. 小结：总结本节课的主要内容，强调重点和难点。

6. 作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对三角函数概念、性质和公式的理解程度，以及他们能否熟练运用相关知识解决问题。

2. 练习题：通过学生完成练习题的情况，评估他们对于三角函数图象与性质、公式的掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在合作交流中的参与程度，以及他们解决问题的能力。

七、教学反思1. 针对课堂讲解，反思教学方法是否适合学生的学习需求，是否需要调整讲解方式和节奏。

2. 针对练习题，反思习题难度是否适中，是否需要增加或调整习题类型。

高中数学教案：三角函数复习讲义(2)

高中数学教案：三角函数复习讲义(2)主题：三角函数复习讲义（2）目标：1. 复习三角函数的基本性质和特点。

2. 复习三角函数的图像和变换。

教学步骤：一、引入（5分钟）1. 引入三角函数的定义和基本性质。

2. 回顾上节课的内容，鼓励学生复习记忆。

二、复习三角函数的基本性质（15分钟）1. 提问：sin(θ)和cos(θ)的定义是什么？2. 通过学生回答，进行概念的澄清和巩固。

3. 提醒学生注意三角函数在不同象限的值。

三、复习三角函数的图像（20分钟）1. 回顾正弦函数的图像特点，包括振幅、周期和相位。

2. 展示余弦函数的图像特点，与正弦函数进行比较。

讨论两者的关系。

3. 引入切线函数的图像特点，包括极值、周期和对称性。

四、复习三角函数的变换（15分钟）1. 提醒学生熟悉函数的变量表示和坐标系。

引入平移、压缩、拉伸等变换方式。

2. 通过具体例子和练习，让学生掌握三角函数的变换规律和效果。

五、练习题（15分钟）1. 通过练习题检验学生对三角函数的理解和运用能力。

2. 提醒学生注意题目中的关键词和问题的要求。

六、总结（5分钟）1. 总结今天的学习内容，强调重点和难点。

2. 鼓励学生继续复习和巩固所学知识。

3. 预告下节课内容，激发学生的学习兴趣。

讲义附加内容：1. 正弦函数的周期、图像、性质。

2. 余弦函数的周期、图像、性质。

3. 切线函数的周期、图像、性质。

4. 三角函数的变换规律和效果。

教学资源：1. 演示PPT。

2. 三角函数的图像和变换示意图。

3. 复习练习题。

评估方式：1. 学生课堂参与情况。

2. 学生练习题完成情况。

3. 学生对基本概念和图像的理解程度。

三角函数复习教案

三角函数复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）熟练运用三角函数公式进行计算；（3）理解三角函数在实际问题中的应用。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）学会运用归纳法、类比法等方法总结三角函数的性质；（3）提高运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的团队协作精神；二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。

3. 三角函数在实际问题中的应用（1）角度与弧度的互化；（2）三角函数在几何问题中的应用；（3）三角函数在物理问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义与性质；（2）三角函数公式的运用；（3）三角函数在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的三角函数求解。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、讨论法等教学方法；2. 利用多媒体课件辅助教学，增强学生的直观感受；3. 设置适量练习，巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：通过复习三角函数的基本概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解：（1）讲解三角函数的定义与性质，通过示例让学生理解并掌握；（2）介绍三角函数公式，引导学生学会运用公式解决实际问题；（3）讲解三角函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导。

4. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点，鼓励学生课后进行自主复习。

5. 课后作业：布置课后作业，巩固课堂所学知识，提高学生的实际运用能力。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对三角函数定义与性质的理解程度。

三角函数复习教案

三角函数复习教案一、教学目标1. 知识点：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在实际问题中的应用；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。

2. 能力目标：（1）提高学生的逻辑思维能力；（2）培养学生的数学表达能力；（3）提升学生的数学解决问题的能力。

二、教学内容1. 三角函数的定义及性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的性质和公式；2. 利用多媒体课件，直观展示三角函数的图像和实际应用问题；3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识；4. 进行适量练习，巩固所学知识。

四、教学步骤1. 导入新课，回顾三角函数的定义及性质；2. 讲解三角函数公式，并通过例题演示公式的应用；3. 开展小组讨论，让学生自主探究三角函数的性质和公式；4. 利用多媒体课件，展示三角函数在实际问题中的应用；5. 进行课堂练习，巩固所学知识。

五、课后作业1. 复习三角函数的定义及性质；2. 熟练掌握三角函数公式，并进行相关计算；3. 思考实际问题中三角函数的应用。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

关注学生的学习兴趣，激发学生的学习积极性，提高学生的数学素养。

六、教学评价1. 评价内容：（1）三角函数定义及性质的理解；（2）三角函数公式的掌握及运用；（3）实际问题中三角函数的应用。

2. 评价方法：（1）课堂问答；（2）课后作业；（3）小组讨论；（4）测试卷。

七、教学拓展1. 深入了解三角函数在科学、工程、医学等领域的应用；2. 探究三角函数与其他数学学科的联系；3. 研究三角函数的历史发展。

八、教学资源1. 教材；2. 多媒体课件；3. 练习题；4. 相关论文及资料。

(word完整版)高三一轮复习、三角函数教案

富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:1审核人签字:3年级：高三(文) 科目：数学授课人:富县高级中学集体备课教案5审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:7审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:9审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:COS a ；(4)sin a± e os 2sin a±n .4.函数f( a=) acos oF bsin a (a b 为常数),可化为 f( a 寸 a2+ b2 sin( a f( e) a2+ b2 cos(方$)其中$可由a , b 的值唯一确定.二：题型归类深度剖析题型一：三角函数式的化简与求值1 t a【例1】(1)化简：+ atan 2tanz9, sin a 3 = I ，求 cos( a B 的值.题型三：三角函数的给值求角1 II【例I 】已知cos %=-，cos(尸3 e —,且O v 37 14v aV n ，求 3.题型四：三角变换的综合应用1【例4】已知f(x) =1 + sin2x —tanxn n2sin x + 4 sin x — 4 .(1) 若 tan = 2，求 f( 0的值； (2) 若 x €，n ，求f(x)的取值范围.归纳小结：(1) 拆角、拼角技巧：2 a= ( aF 3F ( — 3，a= ( a、a+ 3 a — 3 a — 3 3 a+ 3— 3 3= 2 - 2 ， 2 = a+ 2 - 2F 3 .(2) 化简技巧：切化弦， “1的代换等.a-• 1 + tan (2)求值：［2si n50 ° +sinlO (°tanlO ° \2sin280题型二：三角函数的给值求值 n【例2】已知0V 3V 2< aVn,且 cos a —㊁审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:过程1(3) S = 尹 + b+ c)(r为内切圆半径).1(4) 设p = 2(a+ b + c),则S=寸p p—a p —b p—c .4•解二角形问题一般可用以下几步解答：第一步：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步：三角变换、化简、消兀，从而向已知角(或边)转化第三步：代入求值第四步：反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确二：题型归类深度剖析题型一：利用正弦定理解三角形【例1 】在厶ABC 中，a=^/3, b=^, B = 45° 求A, C 和边c.题型二：利用余弦定理解三角形【例2】在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、cosB bC的对边，且cosC=—2a+ c.(1) 求角B的大小；(2) 若b =浙3, a+ c= 4,求厶ABC的面积. 题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B , C 的对边，acosC+Q3asinC—b—c = 0.(1) 求A;(2) 若a= 2,A ABC的面积为寸3,求b, c.归纳小结：(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角•可能有一解、两解、无解.(2)判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.审核人签字:富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:审核人签字：年月日。

完整word高一数学三角函数复习教案.docx

必修 4 第一章三角函数复习（一）一、基本知识1、任意角：（1）正角：按逆时针旋转所形成的角（2）负角：按顺时间旋转所形成的角（3）零角：没有旋转（始边和终边重合） 2、象限角：终边所在象限 3、与角终边相同的角： n 360o n Z 4、弧度制和角度制的转化：rad180o1R5、弧长公式： l21 扇形面积公式： SR 2 lR26、特殊角三角函数值：角 0 30o45o60o90o 180o270o 360o弧度制3 2 643 22sin1 23 10 1 0222cos3 21 011 222tan31 3不存在不存在37、三角函数公式：（ 1）同角三角函数基本关系： sin 2cos 21tansin （ 2）三角函数诱导公式：cos公式一：角度制： sin(k 360 ) sin弧度制： sin(2k ) sincos( k 360 ) cos cos( 2k ) costan( k 360 ) tantan(2k ) tan公式二：角度制： sin(180 ） sin弧度制： sin(） sin cos(180 ）coscos( ）costan(180） tantan(） tan 公式三： sin( ) sincos( ) costan()tan公式四：角度制： sin(180） sin 弧度制： sin(） sin cos(180 ） cos cos(）costan(180） tantan(） tan 公式五：角度制： sin(90 o)cos 弧度制： sin(2) coscos(90o)sincos(2) sin公式六：角度制： sin(90 o)cos弧度制： sin(2) coscos(90 o)sincos()sin8、周期函数：2f一般地，对于函数 f ( x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有( x ＋ T ＝fx ，那么函数 f ( x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期) ( ))9、正弦函数： y=sinx（ 1）定义域： R 值域： [-1,1] （ 2）图象：五点法画图正弦函数 y=sinx ，x ∈[0 ， 2π ] 的图象中，五个关键点是： (0,0) (,1) (,0) (2（ 3）周期性： 2k π (k ∈Z 且 k ≠ 0) 都是它的周期，最小正周期是 2π（ 4）奇偶性：正弦函数在定义域 R 内为奇函数，图象关于原点对称（ 5）单调性：在［－ 2 ＋ 2k π， 2＋2k π］( k ∈ Z) 上都是增函数；3在［ 2 ＋2k π ， 2＋2k π］( k ∈ Z) 上都是减函数。

高一数学第一章三角函数复习教案必修4

第一章三角函数复习(一) 教学目的【过程与方法】一、知识结构：二、知识要点： 1. 角的概念的推广：(1) 正角、负角、零角的概念： (2) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：}Z ,360|{∈+︒⋅==k k S αββ ① 象限角的集合：第一象限角集合为：；第二象限角集合为：；第三象限角集合为：；第四象限角集合为：； ② 轴线角的集合：终边在x 轴非负半轴角的集合为：；终边在x 轴非正半轴角的集合为：；故终边在x 轴上角的集合为：；终边在y 轴非负半轴角的集合为：；终边在y 轴非正半轴角的集合为：；故终边在y 轴上角的集合为：；终边在坐标轴上的角的集合为： . 2. 弧度制：我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制. 在弧度制下，1弧度记做1rad. (1) 角度与弧度之间的转换： ① 将角度化为弧度：π2360=︒ π=︒180rad01745.01801≈=︒πrad n n 180π=︒② 将弧度化为角度：︒=3602π ︒=180π815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad︒=) 180(πnn(2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示.(3) 上述象限角和轴线角用弧度表示：;α⋅=r l 弧长公式：. 21lR S =扇形面积公式：3. 任意角的三角函数：.0 ),( (1)22>+=y x r y x P 是它与原点的距离，的坐标是其终边上任意一点是一个任意大小的角，设α①;sin sin r yr y =ααα，即的正弦，记作叫做比值 ②;cos cos r x r x =ααα，即的余弦，记作叫做比值 ③.tan tan x y x y =ααα，即的正切，记作叫做比值 (2) 判断各三角函数在各象限的符号：(3) 三角函数线：4. 同角三角函数基本关系式：(1) 平方关系： 1cos sin 22=+αα(2) 商数关系：αααcos sin tan =5. 诱导公式诱导公式(一))Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ诱导公式(二)tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααπααπααπ=+-=+-=+诱导公式(三)tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式(四)sin(π－α)=sin αcos(π －α)=－cos α tan (π－α)=－tan α诱导公式(五)ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=-=--=-对于五组诱导公式的理解：可以是任意角；公式中的α .1. 360,180, 180 , , )Z ( 360 .2符号看成锐角时原函数值的前面加上一个把它的同名三角函数值，于等的三角函数值，括为：这五组诱导公式可以概αααααα-︒-︒+︒-∈+︒⋅k k函数名不变，符号看象限利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：三、基础训练：) ( sin ],2,[,23)(cos .1的值为则且已知αππααπ∈=+23D. 21 C. 21- B. 21 A.±±23 D. 23 C. 21- B. 21 A.) ( )647(-cos .2-的值为π.__________)3cos(,tan )3tan(,101-)sin(3 .3=--=-=+παααπαπ则且若._______)tan()cos(-)sin( .4=--⋅+απααπ化简：) (cot tan ,32cos sin .5的值是则已知θθθθ+=+518- D. 45 C. 49 B. 185A.. _____cos sin ,83cos sin .6=+=⋅ααααα是第三象限角，则且已知四、典型例题：. ),360,360(),2,2()2( _____630(1) 1.中绝对值最小的角，并求出的集合试写出角并且的终边经过点若角象限角；是第角，则后成为角边在按顺时针方向旋转是第二象限角，当其终若例A A P αααααθ︒︒-∈-︒. ,30 125(2) ___,43tan ___,34cos___,3sin2.(1)2求扇形的弧长和半径长弧度，面积为已知扇形的圆心角为计算：例cm πππππ===例3.化简：设Z,∈k .])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k 五、课堂小结1. 任意角的三角函数；2. 同角三角函数的关系；3. 诱导公式.。

三角函数复习课教案

三角函数复习课教案重庆市实验中学校马林刚（邮编：401320）教学目标：通过本节课的教学，让学生对三角函数及解三角形有整体认识，本节课是在已经复习了二轮资料专题二《三角函数及解三角形》之第一讲《三角函数的图像与性质》后，对三角函数及解三角形的综合复习。

目标指向为高考的三角函数备考。

教学重点：分析问题与解决问题的能力培养、整合；思想方法的提炼与掌握；知识点的巩固。

教学难点：思想方法的掌握与熟练运用于解决问题。

落实到一句话：能准确、迅速的解决问题。

教学准备：教师准备好教学用PPT ，学生完成专题二《三角函数及解三角形》之第一讲《三角函数的图像与性质》教学过程：一、热身训练函数f (x )＝(1＋tan x )cos x 的最小正周期为________．师：（1）()1+tan )cos sin cos f x x x y x x ==+（与是同一个函数吗？（2）sin cos y x x =+的奇偶性如何？对称轴方程怎么求？对称中心呢？二、重点突破(一)范围问题例1、在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c 。

设向量且求sinA+sinB 的取值范围。

(,cos ),(,cos ),m a B n b A == ,.m n m n ∥≠1sin cos sin sin ,2sin sin()sin cos cos sin ,11sin cos sin ,sin 0,cos ,220,.3A C C B B A C A C A C C A C C A A A ππ+==+=+∴=≠∴=<<∴= 又又sin 22sin ,sin ,sin 21(sin sin )21sin()]11sin cos )2212sin()625,(0,),(,),a B b B c C A l a b c B C B A B B B B A B B ππππππ====++=++=+++=++=++=∴∈∴+∈ 师：1、考察了哪些知识点？ 2、范围从哪里产生？3、容易忽略的细节在哪里？怎样避免？变式训练：在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设平面向量1(,),(cos ,2),2m a n C c b ==- 且.m n ⊥ （1）求角A 的大小；（2）若a=1，求△ABC 的周长l 的取值范围。

三角函数复习教案整理

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在各象限的符号变化；（3）掌握三角函数的图像和几何意义；（4）学会运用三角函数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）借助图像，理解三角函数的性质；（3）运用数形结合的方法，解决三角函数问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）提高学生对数学美的感知；（3）激发学生学习三角函数的兴趣。

二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数在各象限的符号变化（1）第一象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为正；（2）第二象限：正弦函数为正，余弦函数、正切函数为负；（3）第三象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为负；（4）第四象限：正弦函数为负，余弦函数、正切函数为正。

3. 三角函数的图像与几何意义（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像；（2）三角函数在直角坐标系中的几何意义；（3）三角函数图像的变换。

4. 三角函数的应用（1）已知三角函数值，求角度；（2）已知角度，求三角函数值；（3）运用三角函数解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的定义、性质、图像及应用。

2. 难点：三角函数在各象限的符号变化，三角函数图像的变换。

四、教学方法与手段1. 教学方法：讲解法、演示法、练习法、小组讨论法。

2. 教学手段：多媒体课件、黑板、三角板、教具。

五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引出本节课的主题——三角函数复习。

2. 知识梳理：讲解三角函数的定义、性质、图像及应用。

3. 课堂演示：利用多媒体课件，展示三角函数的图像，引导学生理解三角函数的性质。

4. 实例分析：分析实际问题，运用三角函数解决，巩固所学知识。

5. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检查学习效果。

高中数学复习教案三角函数专题

三角函数专题一．【课标要求】三角函数是中学数学的基本内容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个内容。

其考查内容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。

两倍角的正弦、余弦、正切。

正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。

要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。

了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。

由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等内容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换和解三角形来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。

二．【命题走向】近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。

（1）关于三角函数的图象，立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与y=sinx 的图象关系。

根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。

（2）求值题，这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。

（3）关于三角函数的定义域、值域和最值问题。

（4）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。

一般要先对已知的函数式变形，化为一次一名处理。

（5）关于反三角函数，已多年三年不出现，在立体几何中有所考查。

（6）解三角形问题。

三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，1—2道选择、填空题和1道解答题。

总的分值为17分左右，占全卷总分的约11%左右。

难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数在解答题出现的话，一般放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。

三．【要点精讲】1、诱导公式、倍角公式、和角公式，差角公式、正弦定理，余弦定理。

(完整word版)三角函数及差和倍角公式讲义

教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：学员姓名：辅导科目:数学学科教师：课题三角函数和差公式和倍角公式授课日期及时段教学目的1、学习并掌握三角函数的和差公式的推导过程；2、理解并掌握倍角公式的推导过程及其应用;3、能灵活利用和差公式进行分析求解问题.教学内容一、上次作业检查与讲解；二、学习要求及方法的培养：三、知识点分析、讲解与训练：一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:(1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。

如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），（2）三角函数名互化（切割化弦），(3）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

(4）三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。