53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理）

一、向量的概念及表示

1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。

(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

(2)向量的表示方法：

①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。

(3)向量与有向线段的区别和联系：

①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；

③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。

2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。

3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。

4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。

5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量；

(2)规定与任一向量平行。

6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。

7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。

(1)相等向量：=⇔模相等，方向相同；

(2)相反向量：b a -=⇔模相等，方向相反。

二、向量的加法

1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边

作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。

图示

3、多边形法则

原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点

的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。

图示

运算律

交换律

a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++

1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；

(2)a a =--)(；

(3)0)()(=+-=-+a a a a ；

(4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。

2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知：

(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；

(2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。

四、数乘向量

1、数乘向量的定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作aλ。

(1)长度：|

||

||

|a

a⋅

λ

=

λ，

(2)方向：a

λ(0

≠

a)的方向：当0

>

λ时，与a同方向；当0

<

λ时，与a反方向。

特别地，当0

=

λ或0

=

a时，0

0=

⋅a或0

0=

⋅λ，a

λ中的实数λ叫做向量a的系数。

(3)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。

(4)运算律：设λ、R

∈

μ，则①a

a

aμ

+

λ

=

μ

+

λ)

(，②a

a)

(

)

(λμ

=

μ

λ；③b

a

b

aλ

+

λ

=

+

λ)

(。

2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。

3、两个非零向量a、b的夹角：已知非零向量a与b，记a

OA=、b

OB=，则θ

=

∠AOB(π

≤

θ

≤

0)叫做a与b的夹角。

4、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量θ

⋅

⋅cos

|

||

|b

a叫a与b的数量积，记作b

a⋅，即有θ

⋅

⋅

=

⋅cos

|

||

|b

a

b

a(π

≤

θ

≤

0)。

规定0与任何向量的数量积为0。

5、向量b在a方向上的投影：设θ为a、b的夹角，则θ

⋅cos

|

|b为b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，不是向量。当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当 0

=

θ时投影为|

|b；当

180

=

θ时投影为|

|b

-。

6、向量的数量积的几何意义：数量积b

a⋅等于a的长度与b在a方向上投影θ

⋅cos

|

|b的乘积。

7、向量的运算：

运算向量形式

坐标形式：

)

(

1

1

y

x

a，

=、)

(

2

2

y

x

b，

=

加法

求两个向量和的运算

平行四边形法则：

起点相同，对角线为向量和，

记：AC

AD

AB=

+。

三角形加法法则：

首尾相连，记：AC

BC

AB=

+。

)

(

2

1

2

1

y

y

x

x

b

a+

+

=

+，

减法求

a与b的相反向量b

-的和的运算叫做a与b的差

三角形减法法则：

)

(

2

1

2

1

y

y

x

x

b

a-

-

=

-，