53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

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高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。

2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。

3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。

b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。

c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。

d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。

e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。

4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。

6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。

b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。

7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。

b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。

c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。

这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。

高中数学《平面向量》知识点总结

高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。

以下是对平面向量知识点的总结。

1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。

可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。

2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。

3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。

设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。

4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

平面向量知识点梳理高三

平面向量知识点梳理高三平面向量是高中数学中的一个重要概念，它在几何、代数和物理等领域都有广泛的应用。

作为高三学生，我们需要对平面向量的相关知识点进行归纳和总结，以便更好地理解和掌握这一内容。

本文将对高三平面向量的知识点进行梳理，并以合适的格式进行阐述。

一、平面向量的定义和表示方法平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为（x2-x1, y2-y1）。

当然，平面向量也可以用向量的模长和方向角来表示，其中模长表示向量的长度，方向角表示向量与x轴正方向之间的夹角。

二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量首尾相接形成一个平行四边形，那么这两个向量的和就是平行四边形的对角线向量。

2. 向量的数乘向量的数乘指的是将向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

数乘可以改变向量的长度和方向，当实数为0时，结果向量为零向量。

3. 向量的减法向量的减法可以理解为将减数取相反数后与被减数相加，即A-B=A+(-B)。

4. 向量的数量积数量积是两个向量的乘积，结果是一个实数。

数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A、B表示向量的模长，θ表示两个向量的夹角。

5. 向量的向量积向量积是两个向量的叉乘，结果是一个向量。

向量积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A、B表示向量的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示法向量。

三、平面向量的基本性质和定理1. 平行向量的性质如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量；如果两个向量的模长成比例，那么它们是共线向量。

2. 平面向量的共线定理如果三个向量共线，那么这三个向量的行列式为0。

3. 平面向量的垂直定理如果两个非零向量的数量积为0，那么这两个向量是垂直的。

高考数学向量知识点梳理

高考数学向量知识点梳理向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于多个学科领域，尤其是在高考数学中，向量是一个非常基础且重要的知识点。

本文将对高考数学中的向量知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地掌握和理解这一内容。

一、向量的定义与运算1.1 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段来表示。

向量通常用字母加箭头表示，如→AB。

1.2 向量的表示方法：①点表示法：向量可以由起点A和终点B表示，即→AB；②坐标表示法：向量也可以通过坐标表示，如向量→AB的坐标表示为( x1, y1) - ( x2, y2 )。

1.3 向量的运算：在向量的运算中，主要涉及以下几种基本运算：①向量的加法：→AB + →CD = →AC；②向量的减法：→AB - →CD = →AD；③向量的数乘：k×→AB = →AC，其中k为实数；④向量的共线与共面性：若→AB = k×→CD，则向量→AB与→CD共线；⑤向量的数量积：①两个向量的数量积等于它们长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；②数量积满足交换律，即→AB·→CD =→CD·→AB；③若两个向量的数量积为零，则它们垂直。

二、向量的性质和定理2.1 向量的模与单位向量：向量的模表示向量的长度，记作|→AB|。

单位向量是模为1的向量，记作→e。

2.2 向量的平行与垂直关系：两个向量平行的充分必要条件是它们的方向相同或者相反，记作→AB ∥ →CD。

两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零，记作→AB⊥→CD。

2.3 向量投影：向量→AB在→CD上的投影表示为向量→AD，投影的长度为|→AD|。

2.4 向量的夹角公式：设向量→AB的方向角为α，向量→CD的方向角为β，则有以下夹角公式：① α + β =π，向量方向相反；② α -β = π/2，向量垂直；③ α -β = π/2，向量互余。

三、平面向量的坐标表示对于平面向量→AB，可以用坐标表示来描述它的位置。

对口高考平面向量知识点梳理

对口高考平面向量知识点梳理平面向量是高中数学中的重要概念之一，也是对口高考中的经典考点。

掌握平面向量的相关知识点对于解题和理解几何概念非常重要。

在本文中，将对平面向量的基本概念、运算法则、向量共线以及平面向量与几何知识的关系进行梳理。

一、基本概念1. 平面向量的定义：平面上的箭头表示的有大小有方向的量，我们称之为平面向量。

平面向量通常用小写英文字母加箭头表示，如AB。

2. 平面向量的模：向量AB的模是一个标量，表示向量的长度。

记作|AB|。

3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们即为平行向量。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0，它的方向任意。

二、运算法则平面向量的运算法则是平面向量学习的基础，包括加法、减法和数量乘法。

1. 向量的加法：向量的加法是满足运算律的，即A+B=B+A。

几何上，向量的加法可以理解为将一个向量从起点移动到另一个向量的终点。

2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法就是将向量的模与一个实数相乘，记作kA。

三、向量共线向量共线是指两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行的关系。

判断两个向量是否共线有以下方法：1. 数量积为0：如果两个向量的数量积为0，那么它们一定是共线的。

2. 比较方向：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们也是共线的。

向量共线是几何学中的重要概念，我们可以利用共线的性质来解决一些几何问题。

四、平面向量与几何知识的关系平面向量与几何知识密切相关，它可以帮助我们解决几何问题。

1. 向量的线性运算：通过向量的加法和数量乘法，我们可以将几何问题转化为向量的运算，从而更加简洁地解决问题。

2. 向量的模与距离：平面向量的模可以表示向量的长度，通过计算向量的模，我们可以求解两点之间的距离问题。

3. 向量的数量积：向量的数量积可以计算两个向量之间的夹角，这对于解决角平分线、垂直平分线等几何问题非常有帮助。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳一、平面向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。

物理学中又叫做矢量。

2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a、b、c 等来表示向量，手写时可写成带箭头的小写字母。

3、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作或。

4、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。

零向量的方向是任意的。

5、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。

6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

规定：零向量与任意向量平行。

7、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

8、相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

二、平面向量的线性运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。

（2）平行四边形法则：已知两个不共线的向量、，作，，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量就是与的和。

（3）运算性质：交换律；结合律。

2、向量的减法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 O，作，，则向量叫做与的差，记作，即。

（2）几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。

3、向量的数乘（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。

（2）运算律：结合律；分配律，。

三、平面向量的基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。

2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。

平面向量知识点归纳高考

平面向量知识点归纳高考一、向量的定义和性质在数学中，向量是由大小和方向组成的量。

平面向量可以表示为有序的数对，其中第一个数表示向量在水平方向上的分量，第二个数表示向量在垂直方向上的分量。

即向量a可以表示为a=(a₁, a₂)。

向量的性质有：1. 向量相等：如果两个向量的对应分量相等，那么这两个向量是相等的。

2. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

即a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个常数得到一个新的向量。

即k×a=(k×a₁, k×a₂)。

4. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

即a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。

5. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0表示。

二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，也就是向量的大小。

向量a的模可以表示为|a|=√(a₁²+a₂²)。

2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个固定直线之间的夹角。

一般将向量与x轴正方向之间的夹角称为向量的方向角。

三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积或内积。

数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。

向量a和向量b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。

2. 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积或外积。

向量积的结果是一个向量，垂直于这两个向量所在的平面。

向量a和向量b的向量积可以表示为a×b=(a₁b₂-a₂b₁)。

四、平面向量的运算定律1. 交换律：向量的加法满足交换律，即a+b=b+a；向量的数量积满足交换律，即a·b=b·a。

2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；向量的数量积满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。

高三平面向量的知识点总结

高三平面向量的知识点总结在高中数学的学习过程中，平面向量是一个重要的内容，它不仅是数学学科的基本工具，也常常涉及到物理学、几何学等其他学科中的问题。

在高三这个关键时期，平面向量的知识点更是需要我们熟练掌握。

本文将对高三平面向量的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和运用。

一、平面向量的概念与表示1. 平面向量的定义：平面上的向量是有方向和大小的有序对。

2. 平面向量的表示：用有向线段来表示向量，向量的起点和终点分别代表向量的起点和终点位置。

二、平面向量的运算1. 平面向量的加法：- 几何法：将两个向量的起点放在一起，并在第一个向量的终点处画出第二个向量，连接起点和终点得到所求的向量。

- 代数法：向量的加法可以通过其坐标分量进行运算。

设向量a =a1a +a2a，向量a =a1a +a2a，则向量a+a = (a1+a1)a +(a2+a2)a。

2. 平面向量的数乘：- 几何法：数乘可以改变向量的大小，并保持其方向不变。

数乘为正时，向量与原向量同向；数乘为负时，向量与原向量反向。

- 代数法：向量的数乘可以通过其坐标分量进行运算。

设向量a =a1a +a2a，数a，则a =a1a +a2a。

三、平面向量的基本性质1. 平面向量的共线性：三个向量共线的充分必要条件是其中两个向量的比例相等。

2. 平面向量的共面性：三个非零向量a，a，a共面的必要条件是a，a，a三个向量线性相关。

四、平面向量的数量关系1. 两个向量的夹角：利用向量的数量积可求得两个向量的夹角a，a满足0°≤a≤180°。

2. 两个向量的垂直关系：两个非零向量a，a垂直的充分必要条件是a，a的数量积为0。

即，a•a=0。

五、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积定义：设向量a = (a1, a2)，向量a = (a1, a2)，则a•a = a1a1 + a2a2。

2. 平面向量数量积的性质：- 交换律：a•a = a•a。

高三数学平面向量知识点

高三数学平面向量知识点平面向量是高中数学中的重要内容，既可以用于描述物理问题中的力、速度等概念，也可以应用于平面几何、立体几何等数学领域。

在高三数学中，平面向量的知识点常常涉及向量的表示与运算、向量的共线性与共面性、向量的线性相关与线性无关等内容。

下面将详细介绍这些知识点。

1. 向量的表示与运算平面向量通常用有向线段表示。

设有向线段AB表示向量a，则向量a的起点为A，终点为B。

向量的模长表示了向量的大小，记作|a|。

向量还可以表示为有序数对(a1, a2)，其中a1, a2分别表示向量在坐标系中的横坐标和纵坐标。

对于两个向量a和b，可以进行加法和减法运算。

向量加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点重合，然后将它们的终点相连，所得线段表示了向量a和向量b的和。

向量减法可以通过向量加法和取负得到，即a-b=a+(-b)。

2. 向量的共线性与共面性如果存在一个实数k，使得向量b=k·a，称向量a和向量b共线。

当且仅当k=0时，向量a和向量b重合；当k>0时，向量a和向量b同向；当k<0时，向量a和向量b反向。

设有向线段AB和AC表示向量a和向量b，则向量a和向量b共面的充分必要条件是向量AB和向量AC共线，即向量a和向量b的起点和一个固定点共线。

3. 向量的线性相关与线性无关设有向线段AB, AC和AD分别表示向量a, b和c。

如果存在不全为0的实数k1, k2和k3，使得k1·AB+k2·AC+k3·AD=0，则称向量AB, AC和AD线性相关。

当且仅当k1=k2=k3=0时，向量AB, AC和AD线性无关。

线性相关的向量满足一定的线性关系，可以由其他向量线性表示；线性无关的向量则不存在这样的线性关系。

上述是高三数学中平面向量的几个重要知识点，除此之外，还有向量的数量积、向量的夹角等内容，但因为篇幅有限，无法在此一一展开。

希望通过对这些知识点的学习，能够更好地掌握平面向量的概念和性质，提高解决数学问题的能力。

高考文科平面向量知识点

高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。

在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。

下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。

一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。

在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。

向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。

向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。

计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。

其中，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。

三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。

计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。

其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。

向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。

四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。

共线的向量也叫线性相关向量。

线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。

线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。

五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。

在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。

例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。

六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结高考平面向量知识点总结平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量。

下面是小编为大家整理的高考平面向量知识点总结，欢迎阅读。

1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2．加法与减法的代数运算：(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）则a b=（x1+x2,y1+y2 ）．向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;3．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

(1)｜｜=｜｜｜｜;(2) 当 a＞0时，与a的方向相同；当a＜0时，与a的方向相反；当 a=0时，a=0．两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量共线的`充要条件是有且仅有一个实数，使得b= ．(2) 若 =（）,b=（）则‖b ．平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得 = e1+ e2．4．P分有向线段所成的比：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使 = ，叫做点P分有向线段所成的比。

当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；分点坐标公式：若 = ；的坐标分别为（）,（）,（）；则（－1），中点坐标公式：．5．向量的数量积：（1）．向量的夹角：已知两个非零向量与b，作 = , =b,则AOB= （）叫做向量与b 的夹角。

（2）．两个向量的数量积：已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则 b=｜｜｜b｜cos ．其中｜b｜cos 称为向量b在方向上的投影．（3）．向量的数量积的性质：若 =（）,b=（）则e = e=｜｜cos (e为单位向量);b b=0 （，b为非零向量）;｜｜= ;cos = = ．(4) ．向量的数量积的运算律：b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc．6.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。

高中平面向量知识点总结

高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。

2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。

（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。

（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。

2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。

3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。

4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。

（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。

2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。

高考数学平面向量知识点汇总

高考数学平面向量知识点汇总在高考数学中，平面向量是一个重要的概念。

平面向量既可以表示位移，也可以表示力或速度等物理量。

掌握平面向量的基本概念和相关性质，对于解决与平面向量相关的问题起到至关重要的作用。

下面将对高考数学中与平面向量相关的知识点进行汇总和归纳，供同学们复习和回顾。

一、平面向量的定义与运算平面向量是具有大小和方向的量。

顺便一提，相同大小和方向的向量被认为是相等的。

平面向量通常用字母加粗表示，例如a、b、c 等。

平面向量的加法：设有两个向量a和b，其和记为a+b，既可以利用三角形法则直观地完成向量加法，也可以用坐标法进行计算，即a=(a₁,a₂),b=(b₁,b₂),则a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

平面向量的减法：设有两个向量a和b，其差记为a-b，可以通过a+(-b)来计算。

平面向量的数量积：设有两个向量a和b，其数量积记为a·b，数值上等于|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示夹角。

二、平面向量的性质和定理1. 平移性：任意向量加上一个固定的向量，其结果仍然是平行于原向量的。

2. 平行四边形定理：平面上一点A沿两条有向线段的位移到B 和C两点，那么向量AB和向量AC平行且共线。

3. 平行四边形法则：用任一边为向量的起点，从起点引一条平行于另一边的线段，则这两条边所决定的平行四边形的对角线相等。

4. 平面向量共线定理：两个非零向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例。

5. 平面向量垂直定理：两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的数量积等于零。

三、平面向量的应用平面向量在几何推理中有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用：1. 向量共线判定：可以通过判断向量坐标的比例关系，来确定给定向量是否共线。

2. 向量垂直判定：可以通过计算向量的数量积是否等于零，来判断给定向量是否垂直。

3. 向量位移计算：可以利用向量的平移性质，计算一个物体在平面上的位移。

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平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．（2）单位向量：长度等于1个单位的向量．（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有零向量 )④三点 A、 B、 C共线AB、AC 共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。

a 的相反向量是 -a（6）向量表示：几何表示法AB ；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.uuur r uuur的长度叫做向量r r（7）向量的模：设OA a ，则有向线段OA a 的长度或模，记作：| a | .rx2 r 2 rx2 y2。

）（ | a | y2 , a | a |2（8）零向量：长度为0 的向量。

a＝O ｜ a｜＝O.r r r r【例题】 1.下列命题：（ 1）若a b ，则a b 。

（2）两个向量相等的充要条件是uuur uuur它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC ，则 ABCD 是平行四边形。

（4）若uuur uuur r r r r r r r r r r ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。

（5）若 a b,b c ，则 a c 。

（6）若 a // b,b// c ，r r则 a // c 。

其中正确的是_______r r uur r （答：（4）（5））2. 已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么 | a 3b | ＝_____（答：13 ）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．Crarbr r uuur uuur uuur a b C Cr rrrrr⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律： r r rr r r r r r r；a b ba ；②结合律： a bc a bc ③ r r r r r ．a 0 0 a a⑸坐标运算：设 rrx 2 , y 2r rx 1 x 2 , y 1 y 2 ．a x 1, y 1 ， b，则 a b3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设 r r x 2 , y 2 ，则 r r x 1 x 2 , y 1 y 2 ．a x 1, y 1 ，b a b设、两点的坐标分别为x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，则 uuurx 1x 2 , y 1y 2 ．【例题】uuur uuur uuuruuur uuur uuur；（ 1） ① AB BC CD ___；② AB AD DCuuur uuur uuuruuur ruuur uuur _____③ ( AB CD ) ( AC BD) （答：① AD ；② CB ；③ 0 ）；uuur r uuur r uuur r r r r（ 2）若正方形 ABCD 的边长为 1， AB a, BC b, AC c ，则 | a b c |＝_____（答： 2 2 ）；（ 3）已知作用在点uur uuruurA(1,1)的三个力 F 1 (3,4), F 2 (2, 5), F 3(3,1) ，则合力uruuruur uurF F 1F 2 F 3 的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：r ⑴实数r的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作与向量 aa ．① r r ； a a②当 0 时， r r 的方向相同；a 的方向与 a r当 0 时， r r 的方向相反；当r a 的方向与 a 0 时， a 0 ．⑵运算律：① r r ；②r r r ；③ r r r r aa a a a ab ab ．r x, y ，则 r x, y x, y ．⑶坐标运算：设 a a【例题】（）若（ -3 ，），（，），且 MP 1MN1 M -2 N 6 -1 3，则点 P 的坐标为 _______（答： ( 6,7) ）；r rrr35、向量共线定理：向量，使a a 0 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 r rr x 1 , y 1r x 2 , y 2r r r r 2r r2。

高中数学平面向量知识点归纳总结

高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义和表示
平面向量是具有大小和方向的有向线段，用箭头表示，大小用模表示。

向量可以用有序数组表示，也可以用点的坐标差表示。

2. 平面向量的加法
平面向量的加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

3. 平面向量的数量积
平面向量的数量积又称点积，计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后相加。

4. 平面向量的垂直和平行性
两个非零向量垂直的条件是它们的数量积为零。

两个非零向量平行的条件是它们的差向量为零向量或其坐标成比例。

5. 平面向量的模和单位向量
平面向量的模即向量的长度，可以用勾股定理求得。

单位向量是模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。

6. 平面向量的夹角
两个非零向量的夹角可以通过将它们的数量积除以它们的模的乘积来求得。

7. 平面向量的投影
向量的投影是指向量在某个方向上的投影长度。

向量在某个方向上的投影长度可以用向量在该方向上的单位向量乘以该方向的向量的数量得到。

8. 平面向量的质点和质心
n个向量的质点是它们的和向量，即各个向量对应分量相加得到的新向量。

n个向量的质心是它们坐标的算术平均值。

9. 平面向量的模长和方向角
平面向量的模长可以用勾股定理求得。

平面向量的方向角可以通过将向量的坐标差除以模长得到。

10. 平面向量的位置关系
两个向量相等的条件是它们的对应分量相等。

两个向量相反的条件是它们的坐标差相等。

以上是高中数学平面向量的重要知识点归纳总结。

希望能对你的学习有所帮助。

高中数学：关于平面向量的考点整理

高中数学：关于平面向量的考点整理1、高中数学知识点总结平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。

向量和数量是数学中讨论的两种量的形式，数量是实数。

2、平面向量的三种形式：（1）字母形式：用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量；（2）几何形式；用平面内的有向线段表示向量，零向量是一个点；（3）坐标形式：向量可以在坐标平面内用坐标表示，向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。

3、平面向量的相关概念，（1）模（绝对值）：向量的大小或者向量的长度叫做向量的模，模是大于等于的实数。

模也叫作绝对值、大小、长度，这几个说法是一个意思。

（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），两个相等向量的x，y坐标对应相等。

（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。

一个向量加负号即变为其相反向量，在向量化简和运算中很常见、很重要。

（4）平行（共线）向量：平面内两个向量所在的直线平行或者重合，则说这两个向量平行（或者共线），用平行符号表示。

因为向量可以自由平移，所以对向量来讲平行和共线是一个意思。

两个非零向量平行时，必定方向相同或相反。

规定零向量和任意向量都平行，但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。

（5）垂直向量：两向量所在的直线垂直（或者说夹角为90度），则说这两个向量为垂直向量，用垂直符号表示。

规定零向量和任意向量都垂直，但不能说夹角90度。

（6）零向量：大小为零（或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思）的向量叫做零向量，规定零向量的方向是任意的，不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。

规定零向量和任意向量都平行且垂直。

（7）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。

一个向量除以自己的模得到和这个向量同方向的单位向量；单位向量乘以一个向量的模得到这个向量。

（8）位置向量：向量AB可以表示点B相对点A的位置，所以向量AB可以叫做点B关于点A的位置向量。

（9）方向向量：一个非零向量与一条直线平行，则这个向量叫做这条直线的平行向量。

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结一、向量定义和表示方法在平面上，向量由大小和方向两部分组成。

通常使用箭头AB表示向量，其中A为向量的起点，B为终点。

向量的大小可以用模长表示，通常用符号 ||AB|| 表示，也可以用绝对值表示，即 |AB|。

二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即：AB + BC = AC。

2. 向量的减法：向量的减法可以通过向量的加法来表示，即：AB – BC = AB + (-BC)。

3. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为 AB · BC，结果是一个实数。

计算方式为：AB · BC = |AB| × |BC| × cosθ，其中θ为 AB 和 BC 的夹角。

4. 向量的夹角：两个非零向量的夹角的余弦值可以通过向量的数量积来计算。

5. 向量的共线性判定：如果两个向量的夹角为 0°或者 180°，则称这两个向量共线。

6. 向量的平行判定：如果两个非零向量的夹角为 0°或者 180°，则称这两个向量平行。

三、平面向量的性质和定理1. 平行四边形定理：平行四边形的对角线互相平分。

2. 矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相垂直。

3. 平面向量组线性相关的判定：如果存在不全为零的实数 k1、k2、…、kn，使得 a1 + a2 + … + an = 0，则称向量组 A = {a1, a2, …, an} 线性相关。

4. 平面向量组线性无关的判定：如果向量组 A = {a1, a2, …, an}线性相关的充分必要条件是不存在不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得 k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。

四、平面向量的坐标表示和计算平面向量可以用坐标表示，通常用大写字母表示向量，如 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)。

平面向量的坐标表示可以进行加法、减法和数量积等运算。