实数典型例题(培优)

相交实数典型问题精析（培优）

例1．（2009

）

A ． B

C

．

D

． 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区

别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D.

例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数

是（A ）

A ．第10个数

B ．第11个数

C ．第12个数

D ．第13个数

解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住

了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数

都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿.

解 因为a ※b ＝a2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－

4=1+3 9=3+6 16=6+10

…

1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号.

例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（）

＝3+10 ＝9+16 ＝15+21 ＝18+31

解因为15和21是相邻的两个“三角形数”，且和又是36，刚好符合“正方形数”，所以36＝15+21符合题意，故应选C.（说明本题容易错选B，事实上，25虽然是“正方形数”，而9和16也是“正方形数”，并不是两个相邻“三角形数”）.

例5．（2009

2

()

x y

=+，则x－y的值为（）

A．－1 B．1 C．2 D．3

分析：因为x-1≥0，1-x ≥0，所以x≥1，x ≤1，即x＝1.

而由

2

()

x y

=+，有1+y＝0，所以y＝-1，x－y＝1-（1）＝2.

例6．（2009年宜宾市中考题）已知数据：

1

3

，π，－2．其中无理数出现的频率为( )

A．20％ B．40％ C．60％ D．80％

分析：，

2和开方开不尽的数，所以2

都是无理数；л是无

限不循环小数，也是无理数；而31，-2都是有理数，所以无理数出现的频率为53

＝＝60％，选C ．

例7．(2009年鄂州市中考题)为了求2008322221++++ 的值，可令S

＝2008322221++++ ，则2S ＝20094322222++++ ，因此2S-S ＝12

2009-，所以2008322221++++ ＝12

2009-．仿照以上推理计算出20093255551+++++ 的值是（ ）

A ．152009- B.152010

- C.4152009- D.41

52010- 解析：本题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方

法，利用例题介绍的方法，有：设S ＝20093255551+++++ ，则5S ＝

201020093255555+++++ ，因此5S-S ＝20105-1，所以S ＝4152010-，选D.

说明：你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗试一试.

例8． （2009年枣庄市中考题）a 是不为1的有理数，我们把1

1a -称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知

113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2009a = ．

解析：首先要理解差倒数的概念，再按照要求写出一列数，从中找出规

律，再应用规律来解决问题.根据题意可得到：113a =-，2a ＝433111=--）（，3

a ＝4311

-＝4，4a ＝31411-=-，…，可见这是一个无限循环的数列，其循环周期

为3，而2009＝669×3+2，所以a2009与a2相同，即

2009a =34． 典型例题的探索

（利用概念）例 3. 已知：

是的算术数平方根，

是立方根，求的平方根。 分析：由算术平方根及立方根的意义可知

><=+-><=-+2342,122b a b a 联立<1><2>解方程组，得：

代入已知条件得：

，所以

故M ＋N 的平方根是±

。 练习：1. 已知

，求的算术平方根与立方根。

2. 若一个正数a 的两个平方根分别为和，求的值。 （大小比较）例4. 比较的大小。

分析：要比较

的大小，必须搞清a 的取值范围，由知，由知

，综合得，此时仍无法比较，为此可将a 的取值分别为①；②；③三种情况进行讨论，各个击破。当时，取

，则，显然有

当时，，当时，仿①取特殊值可得

（利用取值范围）例5. 已知有理数a 满足

，求的值。