材料力学第四章 扭转

T2 = M 2 + M 3 = 9.56kN ⋅ m
例题2 已知：一传动轴转数n=300r/min， 例题2 已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。 =500kW，从动轮输出功率P =150kW， =150kW， =200kW。 试求传动轴上所示截面的扭矩。 试求传动轴上所示截面的扭矩。 P
A0：平均半径所作圆的面积
二、切应力互等定理
y
纯剪应力状态：单元体上四个 纯剪应力状态： 侧面上只有切应力，而无正应 dy 力作用
a
γ τ´
dx
τ´
b
τ
c
τ
d t
x
∑m
z
=0
z
τ (t ⋅ dy ) dx = τ '(t ⋅ dx ) dy
τ =τ '
切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上， 切应力互等定理： 切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两 平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交 线。
1
解：
P2
P3
P4
500 P 1 M 1 = 9.55 = 9.55 × 300 n = 15.9(kN ⋅ m)
P2 M 2 = M 3 = 9.55 n 150 = 9.55 × = 4.78(kN ⋅ m) 300
A B C
n D
P4 200 = 6.37(kN ⋅ m) M 4 = 9.55 = 9.55 × n 300
是不是和求轴力的方 法一样啊？
x T Me T
抓住规律，其实学习很简单！！！！！！！
例题2 已知：一传动轴转数n=300r/min， 例题2 已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。 =500kW，从动轮输出功率P =150kW， =150kW， =200kW。 试求传动轴上所示截面的扭矩。 试求传动轴上所示截面的扭矩。 P 解： M 1 = 15.9kN ⋅ m
一、薄壁筒切应力 薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有 正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚 分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转 向一致。
∫ τ ⋅ dA ⋅ r
A
A
0
=T
τ
T
τ
τ ⋅ r0 ⋅ ∫ dA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = T
T T τ= = 2 2π r0 ⋅ t 2 A0t
这部分内容属于考试重点
Me
Ⅰ
T Me T
图中扭矩的正负情况？ 如分析右侧杆段，情况如何？
二、扭矩： 扭矩： 圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合 力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T表示。 2.扭矩的计算： 2.扭矩的计算： 扭矩的计算 截面法
Me
Ⅰ
Me
∑m
x
=0
Me
Ⅰ
T − Me = 0
T = Me
D4 − d 4 ) (
三、等直圆杆扭转横截面上的切应力分析 Tρ τ= IP
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点 切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂 直于圆的半径，且与扭矩的转向一致。
τ
τ min
T
τ
T
τ max
空心圆截面切应力分布图
τ max
实心圆截面切应力分布图
三、等直圆杆扭转横截面上的切应力分析 T ρmax Tr IP τ max = = 令： Wt = ρmax IP IP
1
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T2 = 9.56kN ⋅ m T3 = −6.37kN ⋅ m
A y
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
n D
B
9.56kN·m
C
和轴力图画法一致。
4.78kN·m
x
6.37kN·m
例题4 画出图示杆的扭矩图。 例题4 画出图示杆的扭矩图。
4kN·m 6kN·m Ⅰ Ⅱ 8kN·mⅢ 6kN·m
解：
Ⅰ—Ⅰ截面 Ⅰ
∑m = 0
1.变形的几何条件 变形的几何条件
bb ' ρ dϕ γ= = = ρθ dx dx
I P = ∫ ρ 2 dA
A
O1
γ
O2
称为截面对圆心的极惯性矩 a b极惯性矩 b’ dϕ 2.物理条件（剪切胡克定律） 物理条件（剪切胡克定律） 物理条件 d c Tρ
A 横截面上b点 τ = Gγ τ = Gγ = G ρθ D γ = ρθ 3.静力学条件 静力学条件 τdA b dA ρ
T1 = 4kN ⋅ m
Ⅰ 2m
Ⅱ 2m 1m
T1 − 4 = 0
Ⅲ 3m
Ⅱ—Ⅱ截面 Ⅱ
∑m = 0 ∑m = 0
T3 = 6kN ⋅ m
6kN·m 4kN·m
T2 + 6 − 4 = 0 T2 = −2kN ⋅ m
Ⅲ—Ⅲ截面 Ⅲ
T3 − 6 = 0
2kN·m
§4.3 薄壁圆筒的扭转
结果： 结果：
三、剪切虎克定律 拉压虎克定律 实验表明，在弹性范围内， 切应力与且应变成正比。 dy
a
y
γ τ´
dx
τ´
b
τ
c z
τ
d t
x
τ = Gγ
G：剪切模量（或切变模量）
1.剪切模量的单位？ 2.材料力学中，都哪些参量只与材料自身性质有关？
E G= 2(1 + µ )
四、剪切应变能
有点难，别紧张，了解！不考！！ y
材料力学
Mechanics of Materials
郑新亮 北华大学 交通建筑工程学院
2011-11-27
2011年11月27日星期日
第四章 扭转
§4.1 扭转的概念（了解） §4.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 （掌握） §4.3 薄壁圆筒扭转 （理解） §4.4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件 （熟练掌握） §4.5 圆截面杆扭转的变形及刚度条件 （熟练掌握） §4.6 扭转超静定问题（掌握）
二、扭矩： 扭矩： 圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合 力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T表示。 Ⅰ 1.符号规定： 1.符号规定 符号规定： Me Me 扭矩的正负号，按右 右 手螺旋法则来确定。即右 手螺旋法则 手握住杆的轴线，卷曲四 指表示扭矩的转向，若拇 指沿截面指向外侧，扭矩 为正，反之为负。
二、等直圆杆扭转横截面上的切应力
O1
γ
O2
a
O1 A D B B’ C C’ O2
d A D B B’ C C’
b b’ c c’
dϕ
dx
dx
1.变形的几何条件 变形的几何条件 横截面上b点的切应变 γ
dϕ θ= dx
单位长度扭转角
bb ' ρ dϕ = = = ρθ dx dx
二、等直圆杆扭转横截面上的切应力
① 圆筒表面的各圆周线 形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对 转动。圆周线实际代表一 个横截面，此结果表明横 1 截面仍保持平面，且大小、 薄壁圆筒： 薄壁圆筒：壁厚 t ≤ r0 （r0：为平均半径） 10 形状不变，满足平面假设。
γ：剪切角（切应变）
② 各纵向线长度不变， 切应变： 切应变：直角的改变 但均倾斜了同一微小角度 γ。 量 ③ 所有矩形网络均歪斜 成同样大小的平行四边形。
T T τ max = = d4 Wt π 3 D (1 − 4 ) D 16 16 × 1000 = = 84.9MPa 4 1 π ⋅ 43 [1 − ] 2 d 1 τ min = τ max = 84.9 × = 42.45MPa D 2
称为抗扭截面系数 称为抗扭截面系数 抗扭截面系数的单位？ m3
τ
τ min
T
τ
T
τ max
空心圆截面切应力分布图
τ max
实心圆截面切应力分布图
三、等直圆杆扭转横截面上的切应力分析 T ρmax Tr IP τ max = = 令： Wt = ρmax IP IP
称为抗扭截面系数 称为抗扭截面系数 抗扭截面系数的单位？ m3
A
τB =
B’
dx
2
IP C= T θC’ GI P
O1 A D
c’
O2 B B’ C C’
T = ∫ τ dA ⋅ρ = ∫ G ρ θ dA
A
O2
T
= Gθ ∫ ρ 2 dA = Gθ I P
A
dx
二、等直圆杆扭转横截面上的切应力
I P = ∫ ρ 2 dA
A
称为截面对圆心的极惯性矩 极惯性矩
τ
γ
dx
从理想弹性体制成的构建中取出受纯剪的单元体。 设单元体左侧面固定，则右侧面的剪切内力为 τdydz，由剪切变形，使右侧面向下错动的距离 为γ dx。扭转加载过程中τ- γ关系曲线如图所示： 若切应力有一个增量dτ，切应变的相应增量为dγ， 则右侧面向下位移的增量则应为dγ dx。 剪力τdydz在位移dγ dx上完成的功是 τdydz·dγ dx。在应力从零开始逐渐增加的 z τ 过程中，右侧面上剪力τdydz总共完成的功 γ 应为：dW = τ dydz ⋅ dγ dx ∫0 理想状态下，dW应等于单元体内储存的应变 能 dVε ，故： γ γ dVε = dW = ∫ τ dydz ⋅ dγ dx = ∫ τ dγ dV 0 0 单元体积内的剪切应变能为：
§4.1 扭转的概念
直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与 扭转： 扭转： 直杆的轴线垂直
§4.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩：（了解） 外力偶矩： 工程中外力偶矩是通过功率和转速换算过来的。 若传动轴的传动功率为P，每分钟转数为n
P M e = 9550 (N ⋅ m) n P M e = 7024 (N ⋅ m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） P kW n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
例题1 已知：一传动轴转数n=300r/min， 例题1 已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。 =500kW，从动轮输出功率P =150kW， =150kW， =200kW。 试求各轮产生的外力偶矩。 试求各轮产生的外力偶矩。 P
I P = ∫ ρ 2 dA
A
= ∫ ρ 2 ⋅ 2ρ ⋅ π ⋅ d ρ =
D 2 0
π D4
32
O
d D
极惯性矩与什么 因素有关？ 只与截面的尺寸 和形状有关。
环形界面： I P = ∫ ρ 2 dA
= ∫ ρ ⋅ 2ρ ⋅ π ⋅ d ρ =
2
A D 2 d 2
D
π
32 极惯性矩的单位？ m4
T
Wt = 32
D4 − d 4 ) ( D 2
d 这节内容属于考试重点 令：α = D
τ max
Wt =
d4 = 1 − 4 16 D
π D3
π D3
16
(1 − α 4 )
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm， 例题1 已知空心圆截面的扭矩 ， ， ， 试求该截面内的最大、最小切应力。 试求该截面内的最大、最小切应力。 解：
1
解： M2 T1 M2 M3 T2 Ⅲ—Ⅲ截面 Ⅲ M2 M3
P2
Ⅰ
P3
Ⅱ Ⅲ
P4
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
n D
A M2
B M3 C M1
M4
∑m = 0 M
1
T3
T3 + M 1 − M 3 − M 2 = 0
T3 = −6.37kN ⋅ m
三、扭矩图： 扭矩图： 表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况。
例题3 已知：一传动轴转数n=300r/min， 例题3 已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。 =500kW，从动轮输出功率P =150kW， =150kW， =200kW。 P1 试求传动的扭矩图。 试求传动的扭矩图。 P3 P2 P4 解：T = 4.78kN ⋅ m
1
P2
Ⅰ
P3
Ⅱ Ⅲ
P4
M 2 = M 3 = 4.78kN ⋅ m
M 4 = 6.37kN ⋅ m
M2 Ⅰ—Ⅰ截面 Ⅰ T1
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
n D
∑m = 0
T1 − M 2 = 0
Ⅱ—Ⅱ截面 Ⅱ T2
A M2
B M3 C M1
M4
T1 = M 2 = 4.78kN ⋅ m
M2 M3
∑m = 0
T2 − M 2 − M 3 = 0
实心圆截面的抗扭界面系数
π D4
Wt = 32 = D 16 2
π D3
τ
T
τ max
三、等直圆杆扭转横截面上的切应力分析 T ρmax Tr IP τ max = = 令： Wt = ρmax IP IP
称为抗扭截面系数 称为抗扭截面系数 抗扭截面系数的单位？ m3
空心圆截面的抗扭截面系数
π
τ τ min
1
dy dz
τ
x
γ1 dVε υε = = ∫ τ dγ 0 dV
τ
1
(
1
)
dτ
在弹性范围内：
υε = τγ 或 υε =
1 2
0
τ
2
γ
dγ
γ
2G
§4.4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
一、试验现象： 试验现象： 1.横截面变形后仍为 平面，满足平面截面 假设。 2.轴向无伸缩，横截 面上没有正应力。 3.纵向线变形后仍为 平行线。