独立随机变量期望和方差的性质

第七周多维随机变量，独立性

7.4独立随机变量期望和方差的性质

独立随机变量乘积的期望的性质：

Y X ,独立，则()()()

Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列()

,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====⋅=，

()

1,2,,;

1,2,,i m j n

== ()()

11,m

n

i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()()

11

m n

i j i j

i j x y P X x P Y y =====∑∑()()

1

1

m

n

i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()()

E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质：

Y X ,独立，则()()()

Y Var X Var Y X Var +=+()()()

2

2

Var X Y E X Y E X Y

⎡⎤+=+-+⎣⎦

()222E X XY Y =++()()()()22

2E X E X E Y E Y

⎡⎤-++⎣

⎦

()()()()2

2

22E X E X E Y E Y

=-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()()

2

2

22E X E X E Y E Y

=-+-()()

Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()()

121

n

m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差

我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差

求和的性质。这里我们再回顾一下。

设12,,,n X X X 相互独立，且均服从0-1分布()1,B p ，则12n

X X X X =+++ 对所有n k ,,1 =，()()101k E X p p p =⨯+⨯-=，()()2

101k E X p p p

=⨯+⨯-=()()()2

2k k k Var X E X E X =-()21p p p p =-=-，

()()12n E X E X X X =+++ ()()()12n E X E X E X np

=+++= ()()12n Var X Var X X X =+++ ()()()12n Var X Var X Var X =+++ ()1np p =-***********************************************************************负二项分布随机变量

~(,)Y NB r p ：连续不断且独立地重复进行一个参数为p 的伯努利试验，第r 次“成功”

出现时所进行的试验次数。更细致地考虑由伯努利试验构造参数为r，p 的负二项分布随机变量的过程。从伯努利试验开始到第一次成功，所进行试验的次数是随机的，记为随机变量1X ,则1X 服从参数为p 的几何分布；然后继续独立地进行伯努利试验，到第二次试验成功，我们记从第一次试验成功后开始计算的试验次数为2X ，则2X 仍然服从参数为p 的几何分布；如此进行下去，到第r 次“成功”出现时所进行的总的伯努利试验次数Y 就等于X1加X2一直加到Xr。设12,,, r X X X 相互独立，且均服从几何分布()Ge p ，则12 r Y X X X =+++；

()1k E X p =

，()21k p

Var X p

-=，1,2,, k r =()()()()121 r r r

E Y E X X X E X E X =+++=++=

()()()()()1212

1 r r r p Var Y Var X X X Var X Var X p -=+++=++=

***********************************************************************

例7.4.1设随机变量,X Y 相互独立，已知它们的期望分别为()E X 和()E Y 。令

{}max ,U X Y =，{}max ,V X Y =，求()E UV 。

解：分别考虑X Y ≥和X Y <两种情况，

当X Y ≥时，U X =，V Y =；当X Y <时，U Y =，V X =；所以UV XY =，

()()()()E UV E XY E X E Y ==。