概率统计10-11[1]
概率统计公式大全
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
（3）
一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）
随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
此公式即为贝叶斯公式。
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断。
（17）
伯努利概型
我们作了 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
1° ,
2° ,
3° ,
4° 。
（3）
离散与连续型随机变量的关系
积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）
分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]的概率。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
（2）
（2）
二维随机变量的本质
（3）
联合分布函数
设（X，Y）为二维随机向量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
《统计学》期中考试试卷10-11第二学期[2]
![《统计学》期中考试试卷10-11第二学期[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/10073e70a26925c52cc5bfc3.png)
一、填空：（10分）1. 平均指标和变异指标（或σ和x ）。
2．统计中，标志的承担者是总体单位 。
3．抽样平均误差的实质是样本平均数 的标准差。
4．由组距数列计算平均数，由组中值代表各组标志值的水平，其假定前提是组内标志值均匀分布 。
5．负责向上报告调查内容的单位，称为报告单位 。
6．在统计调查方法体系中，以普查为基础，以抽样调查 为主体。
7．现象总体在轻微偏态情况下，中位数与平均数的距离是平均数与众数距离的 1/3 。
8．社会经济统计学的研究对象是研究大量社会经济现象 总体 的数量方面。
9．在组距数列的条件下，众数的计算公式是 。
10．反映总体中各个组成部分之间数量对比关系的指标是比例相对 指标。
二、单项选择（20分）1．攻读某专业硕士学位的四位研究生英语成绩分别为75分、78分、85分、和88分，这四个数字是：（ D ）A.指标B.标志C.变量D.标志值2．已知：∑2x =2080，∑x =200，总体单位数为20。
则标准差为（ B ）A.1B.2C.4D.103.调查某地区1010户农民家庭，按儿童数分配的资料如下：根据上述资料计算的中位数为（ B ）A. 380B. 2C. 2.5D. 5054．某地区为了了解小学生发育状况，把全地区各小学按地区排队编号，然后按排队编号顺序每隔20个学校抽取一个学校，对抽中学校所有学生都进行调查，这种调查是（ D ）厦门大学《统计学》2010~2011第二学期期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师： 试卷类型：（A 卷）A. 简单随机抽样B. 等距抽样(系统抽样)C. 分层抽样D. 整群抽样5．统计工作中，搜集原始资料，获得感性知识的基础环节是（B ）A.统计设计B.统计调查C.统计整理D.统计分析6．人口普查的调查单位是（ B ）A.全部人口B.每个人C.全部人口数D.每户家庭7．对两工厂工人工资做纯随机不重复抽样，调查的工人数一样，两工厂工资方差一样，但第二个工厂工人数多一倍，则抽样平均误差：（ B ）A.第一个工厂大B.第二个工厂大C.两个工厂一样大D.不能做结论8．必要的样本容量不受下面哪个因素影响（ B ）。
天津科技大学10-11概率论与数理统计(概率论)B卷
① 任意实数； ② 1； ③ 2； ④ 12.3．若随机变量X 的概率密度为(),()xf x aex -=-∞<<+∞，则=a （ 2 ）. ① 12-； ②12； ③1； ④ 32.4．若连续型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论错误的是（ 3 ）.① ()P a X b <≤=)()(a F b F -； ② ()()()P a X b F b F a <<=-； ③ ()()()P a X b F a F b <<≠-； ④ ()0.P X a ==.5．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（ 4 ）。
① 8； ② 16； ③ 28； ④ 44. 三、某校入学考试的数学成绩近似服从正态分布(65,100)N .若85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几?(8分)解: 设X 表示考生的数学成绩，则 ~ (65,100)X N 近似，于是858565{85}1{85}1{}1010X P X P X P -->=-≤=-≤ (4分)1(2)10.9772 2.28%≈-Φ=-= (8分)即数学成绩“优秀”的考生大致占总人数的2.28%。
四、某灯泡厂有甲、乙两条流水线，它们所出产的灯泡中，寿命大于2500小时的分别占80%和90%，从它们生产的灯泡中各自随机地抽取一个，求下列事件的概率：（1）两个灯泡寿命均大于2500小时；（2）两灯泡中至少有一个寿命大于2500小时；（3）两个灯泡中至多有一个寿命大于2500小时.（12分）解：用B A ,分别表示从甲、乙两个流水线上的产品中抽取的灯泡寿命大于2500小时，则它们相互独立.(1) 72.09.08.0)()()(=⨯==B P A P AB P , (4分)22,()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，33,0()0,y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，写出二维随机变量(), X Y 的联合密度函数(), f x y ，并求概率(2,1)P X Y <>. （10分） 解：由随机变量X 与Y 相互独立，得(23)0,0,6,(,)()().0,x y X Y x y e f x y f x f y else -+>>⎧==⎨⎩(5分) 2(23)1(2,1)6x y P X Y dx edy +∞-+<>=⎰⎰(8分) 2234316()()(1)0.0489xyedx edy e e+∞----==-≈⎰⎰(10分)八、 某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率函数；（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于10户且不多于26户的概率的近似值。
天津科技大学10-11概率统计试题(多概A)答案
B=)0.9现从中不放回任意抽取① 1()3y F -； ② )13(+y F ； ③ 1)(3+y F ； ④ 31)(31-y F 4. 随机变量X 与Y 相互独立是0),cov(=Y X 的（ ② ）条件.① 充要； ② 充分； ③ 必要； ④ 即非充分又非必要5.设总体()2~,X N μσ，其中2σ已知，但μ未知，而12,,,n X X X 为它的一个简单随机样本，则下列量中（ ② ）不是统计量：① 11n i i X n =∑；② ()211n i i X n μ=-∑； ③ ()211n i i X Xn =-∑；④.三、某厂有(1)、(2)、(3)三条生产线生产同一种产品，已知各条生产线的产量分别占该厂总产量的25%，35%，40%；各条生产线产品的次品率分别是5%,4%,2%.将该厂所有产品混合投放市场，某消费者购买该厂的一件产品，求这件产品是次品的概率.（10分）解：设事件A 表示“消费者购得一件次品”，事件i B 表示“这件产品是第()i 条生产线的产品” (1,2,3)i =，显然，事件123,,B B B 是互不相容的，且31i i B ==Ω∑，我们有 123()0.25,()0.35,()0.40p B p B p B ===；123(|)0.25,(|)0.04,(|)0.02p A B p A B p A B === （6分） 由全概率公式得31()()(|)0.250.050.350.040.400.020.0345i i i p A p B p A B ===⨯+⨯+⨯=∑ （10分）四、若随机变量X 的概率密度函数为()04,0,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.于是，协方差422cov(,)()()()0933X Y E XY E X E Y =-=-⋅= （10分） 六、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布(65,100)N .如果85分以上（不包括85分）为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几？（10分）解： 用X 表示任意一名考生的数学成绩，则 ~ (65,100)X N 近似， （2分） 于是658565{85}1{85}1{}1(2)10.9772 2.28%1010X P X P X P -->=-≤=-≤≈-Φ=-=即数学成绩“优秀”的考生大致占总人数的2.28%.（10分）七、设总体X 服从指数分布，概率密度函数为1, 0,()0,0.xe xf x x λλ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>为未知参数. 若取得样本观测值为12,,,n x x x ，求参数λ的最大似然估计值.（10分） 解： 似然函数为111()ni ii x nx n i L eeλλλλλ=---=∑==∏ （3分）取对数得 11l n ()l n nii L n x λλλ==--∑（6分）21ln 10nii d L n xd λλλ==-+=∑ （8分）解得λ的最大似然估计值为 11ni i x x n λ===∑ （10分）八、某零件的加工时间（小时）2~(, )X N μσ，现随机抽取9个样品，算得样本均值6x =，样本标准差0.5745s =.若σ未知，求μ的置信水解答题：条件概率等基本概率公式应用、含参数分布函数或概率密度相关计算、随机变量函数分布、中心极限定理应用、点估计量计算、单个正态总体的区间估计、单个正态总体的假设检验三、注意事项原题比例执行开学初规定，此次原题比例约为10%。
概率统计10-11-2复习题
一．填空题1。
设A ，B,C 为三事件，用A ，B,C 的运算关系表示“事件A 发生，B 与C 不发生" 为 C B A .2．设 事 件 A ， B 的 概 率 分 别 为 0.6与 0。
8， 且 A ⊂ B ，则)()()()(A P B P A B P A B P -=-== 0.2 。
3。
设事件A ， B 的概率分别为51 与 41,且 A 与 B 互 斥， 则 =-=)()()(AB P A P B A P =51。
4。
设A ，B 为二事件,()0.6,()0.3P A P B ==。
若A ， B 互不相容,则()P A B ⋃= 0。
95。
设 A ， B 两 事 件 相 互 独 立 ， 且 P （B) = 0。
6，P(A B ） = 0。
9 ， 则 P(A ）= 43。
)()())(1)(()()()()()()()()()(B P B A P B P A P B P A P B P B A P A P AB P B P A P B A P -=-+-=-+= 6. 一 只 袋 中 有 4 只 白 球 ， 2 只 黑 球 ， 另 一 只 袋 中 有 3 只 白 球 和 5 只 黑 球 , 如 果 从 每 只 袋 中 各 摸 一 只 球 ， 则 摸 到 的 一 只 是 白 球 ,一 只 是 黑 球 的 事 件 的 概 率 为 1324 .7。
设 A1 ， A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件， 已知P(A1) = α , P(A2） = β，P(A3） = γ ，则A1 ， A2 ， A3 至少有一个发生的概率是 1- （1- α)(1- β）（1- γ) 。
8。
设随机变量ξ的分布律是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 A = 。
解:()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令 11615=A 得 1516=A 9. 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 ,201}{+==K K X P K = 1, 2， 3， 4， 5， 则 概 率 {}=≤<41X P _______（53）。
2010-2011学年第一学期半期考试时间安排表
32 33 34 35 36
王晓静
大学英语-3
58
3-C207
2010年11月1日(19:30-21:30)
王晓静 吴敏 徐一禾 杨春燕
大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3
65 67 63 59
4-D107 4-D108 4-D209 3-C205
2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30)
四川大学锦江学院2010-2011学年第一学期半期考试时间安排表 四川大学锦江学院2010-2011学年第一学期半期考试时间安排表 2010
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
班级名称 土木工程09(6) 土木工程09(3) 土木工程09(2) 汉语言文学09(1) 广播电视编导09(4) 经济学09(5) 艺术设计09(2) 广播电视编导09(2) 会计学09(1) 文科实验班09(2) 经济学09(3) 电子信息工程09(1) 机械设计制造及其自动 化09(2) 文科实验班09(3) 会计学09(5) 经济学09(2) 计算机科学与技术 土木工程09(5) 土木工程09(7) 土木工程09(8) 国际经济与贸易09(2) 会计学09(6) 通信工程09(2) 艺术设计09(1) 机械设计制造及其自动 化(数控)09(5) 广播电视编导09(1) 会计学09(2) 土木工程09(4) 财务管理(理财方 向)09(3) 计算机科学与技术 会计学09(4) 通信工程09(1) 任课教师 马文佳 刘海燕 刘海燕 任军 李晖 李晖 冉隆嘏 马文佳 金铠 苏羡鸿 金铠 郑希忆 钟昉 周洁 何雪梅 何雪梅 游佳 冯星 代玮伟 方云军 陈昕彤 代玮伟 方云军 冯星 何思颖 甲满 课程名称 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 大学英语-3 参考学生 土木工程09(6) 土木工程09(3) 土木工程09(2) 汉语言文学09(1) 广播电视编导09(4) 经济学09(5) 艺术设计09(2) 广播电视编导09(2) 会计学09(1) 文科实验班09(2) 经济学09(3) 电子信息工程09(1) 机械设计制造及其自动化09(2) 文科实验班09(3) 会计学09(5) 经济学09(2) 计算机科学与技术09(2) 土木工程09(5) 土木工程09(7) 土木工程09(8) 国际经济与贸易09(2) 会计学09(6) 通信工程09(2) 艺术设计09(1) 机械设计制造及其自动化(数控)09(5) 广播电视编导09(1) 会计学09(2) 土木工程09(4) 财务管理(理财方向)09(3) 计算机科学与技术09(1) 会计学09(4) 通信工程09(1) 实际人数 考试教室 38 41 45 55 49 41 52 49 41 37 50 33 43 36 43 48 33 40 51 56 84 82 81 82 66 80 4-D102 4-D405 3-C303 4-D408 4-D404 3-C301 4-D407 4-D406 3-C201 4-D103 4-D402 4-D202 3-C305 4-D204 4-D304 4-D309 4-D105 4-D302 4-D306 4-D308 4-D506 4-D508 4-D510 3-C101 4-D106 3-C202 考试时间 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30) 2010年11月1日(19:30-21:30)
概率论与数理统计第11讲 二项概率公式
泊松(Siméon-Denis Poisson 1781～1840) 是法国数 学家、几何学家和物理学家. 泊松定理于1837年由 泊松引入的.
二项概率的泊松逼近定理
在实际计算中, 当n ≥10, p ≤0.1时,可用近似
ห้องสมุดไป่ตู้
公式
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
k e.
k!
其中 λ=np, k=0,1, …n.
二项概率公式
求证 证明
Pn (k) Cnk pk qnk
设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”, Ai =“第i次试验成功”,Ai =“第i次试验失败”，
则 Bk A1A2 Ak Ak1 An
A1 A2 Ak1 Ak Ak1 Ak2 An
A1 A2 Ank Ank1 An.
二项概率公式
P(A)
5 k 0
P1000 (k )
5 k 0
5k e-5 k!
1 5k e-5 k6 k !
查表
= 1 0.38404 0.61596.
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , np=5
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k
4k
e4
k 2
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
概率论与数理统计第11讲二项概率公式
概率论与数理统计第11讲二项概率公式概率论与数理统计是一门研究随机现象的规律性和不确定性的数学学科。
在概率论与数理统计的学习中，二项概率公式是一个非常重要的内容。
本文将详细介绍二项概率公式的定义、应用以及相关的例题。
一、二项概率公式的定义二项概率公式是描述在n次独立重复试验中，成功的次数X服从二项分布的概率公式。
假设每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，则在n次试验中，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。
二项概率公式的表达式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，p^k表示成功概率p连续发生k次，q^(n-k)表示失败概率q连续发生n-k次。
二、二项概率公式的应用二项概率公式可以应用于很多实际问题的概率计算。
以下是几个常见的应用场景：1. 投硬币问题：假设有一枚公正的硬币，投掷10次，成功定义为正面朝上，失败定义为反面朝上。
求在10次投掷中正面朝上的次数为5的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=5)=C(10,5)*0.5^5*0.5^5=0.24612. 生产线问题：某工厂生产的产品中有10%的次品率。
从该工厂生产的产品中随机抽取20个，求其中有3个次品的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=3)=C(20,3)*0.1^3*0.9^17=0.30833. 游戏问题：某游戏中有一个抽奖系统，每次抽奖的中奖概率为0.02。
玩家连续抽奖100次，求中奖次数为2的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=2)=C(100,2)*0.02^2*0.98^98=0.2707三、二项概率公式的例题1. 掷一枚骰子10次，求得到6点的次数为3的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=3)=C(10,3)*(1/6)^3*(5/6)^72. 一批产品中有10%次品率，从中随机抽取40个，求其中有4个次品的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=4)=C(40,4)*(0.1)^4*(0.9)^363. 有一个有10个球的盒子，其中有4个红球和6个蓝球。
概率论与数理统计课后习题答案 第七章
习题 7.2 1. 证明样本均值 是总体均值
证:
的相合估计
由定理
知 是 的相合估计
2. 证明样本的 k 阶矩
是总体 阶矩
证:
的相合估计量
3. 设总体 (1)
(2)
是
的相合估计
为其样品 试证下述三个估计量
(3)
都是 的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
都是 的无偏估计
故 的方差最小.
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
.从该车床加工的零件中随机抽取
4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2) 置信度 的置信区间为
三、设总体
抽取样本
为样本均值
(1) 已知
求 的置信度为 的置信区间
(2) 已知
问 要使 的置信度为 的置信区间长度不超过 ,样本容量 n 至少应取多
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均
亩产之差作区间估计(
).
解:
查表知
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
概率统计习题 3.4 演示文稿1
解其中记gZ(为x,此y商) 店{经110000销00xy该50种0( y商x)品每{15周00000(所xy, 得y),y的xy利x 润,由题设知Z=g(X,Y),
由题设条件知(X,Y)的联合概率密度为
1 , 10x20,10 y20,
px, y
(x,
y)
{100 0,
其它,
np1(t)[1
F1 (t)]n1
n(1
t
)n1
1
所以
E(Y )
n n
0
t n dt
n n 1
E(Z )
n n
0
t(
t)n1 dt
n 1
14.设随机变量U服从(-2,2)上的均匀分布,定义X和Y如下:
X {1 若U 1, 1 若U-1,
这是贝塔分布Be(10,1),由此得
E(Y )
10 ;Var(Y ) 11
10 11212
5 726
10．系统有n个部件组成，记 Xi为第i个部件能持续工作的时间，如果 X1, X 2 ,L , X n 独立同分布，且 Xi : Exp()，试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：
（1）如果有一个部件在工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作。
解 因为X,Y独立,都服从N(0,1),所以 X Y : N (0, 2). ,又因为
max(X ,Y ) X Y | X Y | 2
由于 X Y : N(0, 2).,所以
E[max( X ,Y )] E( X ) E(Y ) E | X Y | E | X Y |
概率论与数理统计常用的统计分布
Y X ~ N ( 0 ,1) , 2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1)
/ n
2
且 Y 与 2 独立，由 t 分布的定义有
X
X
S/ n
/ n (n 1)S 2 / 2
Y S2/n
~ t(n 1)n 1概率论与数理统计 例1 设 X ~ N (21,22 ), X1, X 2,, X 25 为X的一个样本,求: (1) 样本均值的数学期望与方差; (2) P{| X 21| 0.24}.
试估计未知参数 .
解 E(X )
认为可以用 X 代替 E( X )
ˆ X 是的估计量
ˆ x 172.7是的估计值
概率论与数理统计
点估计没有给出估计值接近总体参数程度 的信息；同时，也可以看到, 对于同一个 参数, 用不同的估计方法求出的估计量可 能不相同。
那么那一个估计量好坏的标准是什么?
概率论与数理统计
定理 1 设总体 X ~ N (, 2 ) ， X1, X2,...Xn 是取自 X 的一个样本， X 为该样本的样本均值，则有 （1） X ~ N(, 2 / n) （2）U X ~ N (0,1)
/ n
概率论与数理统计
本,则
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体 X ~ N(, 2 ) 的样
(1) 样本均值的数学期望与方差;
(2) P{| X 21| 0.24}.
P{| X 21| 0.24} P{21 0.24 X 21 0.24}
P{19.76 21 X 21 21.24 21}
0.4
0.4
0.4
( 21.24 21) (19.76 21) 2(0.6) 1
概率论与数理统计第一章复习题解答
概率论与数理统计第一章复习题解答概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：( 1) 记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分) 。
( 2)生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。
( 3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2 件次品就停止检查，或检查了4 件产品就停止检查，记录检查的结果。
(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：(1)设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0, 1, 2,……,100n。
故随机试验的样本空间S= {i/n|i=0,1,2, ……,100n }。
(2)随机试验的样本空间S= {10,11,12,……}。
( 3)以0 表示检查到一个次品, 1 表示检查到一个正品,则随机试验的样本空间S={ 00, 0100, 0101, 0110, 0111, 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}。
(4)随机试验的样本空间S= {(x,y ) |x2+y2<1}。
2、设A, B, C为三个事件，用A, B, C的运算关系表示下列各事件：(1)A发生，B与C都不发生。
(2)A与B都发生，而C不发生。
(3)A, B, C中至少有一个发生。
(4)A, B, C都发生。
(5)A, B, C都不发生。
(6)A, B, C中不多于一个发生。
(7)A, B, C中不多于两个发生。
(8)A, B, C中至少有两个发生。
解：(1) A BC (2) AB C (3) AU BU C (4) ABC(5)A BC(6) ABC U A B C U A B C U A B C(7) S-ABC (8) ABCJ AB C U A B C U A BC3、(1)设A, B, C 为三个事件，且P (A) =P( B) =P( C) =1/4 , P (AB =P (BC =0，P (AC) =1/8，求A，B, C至少有一个发生的概率。
10-11Ⅰ概率论与数理统计试卷（A）参考答案
10-11Ⅰ概率论与数理统计试卷（A）参考答案| | | | | | | |装|| | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |防灾科技学院2010~2011学年第⼀学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使⽤班级本科各班适⽤答题时间120分钟⼀、填空题（每题3分，共21分）1、设A 、B 、C 是三个事件，4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则=)(B A P1/3 ；2、已知10件产品中有2件次品，在其中任取2次，每次任取⼀件，作不放回抽样，则其中⼀件是正品，⼀件是次品的概率为16/45 ；3、随机变量X 的分布函数是??≥<≤<=.1,110,,0,0)(2x x x x x F ，=)}({2X E X P e21；5、从1,2,3中任取⼀个数，记为X ，再从X ,,1 任取⼀个数，记为Y ，则==}2{Y P 5/18 ；6、设随机变量X 和Y 相互独⽴，且均服从区间[]1,0的均匀分布，则3/4 ；7、设样本4321,,,X X X X 为来⾃总体)1,0(N 的样本，243221)(X X X C X Y +++=，若Y 服从⾃由度为2的2χ分布，则=C 1/3 。
⼆、单项选择题（本⼤题共7⼩题，每题3分，共21分）1、某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击，每次射击命中⽬标的概率为p ，则在第4次射击时恰好第2次命中⽬标的概率为（ B ）(A) 22)1(4p p -； (B) 22)1(3p p -； (C) 22)1(2p p -； (D) 3)1(p p -； 2、设随机变量X 的概率分布律为,2,1,0,!}{===k k A k X P ，则参数=A （ D ）(A) 0 ； (B) 1； (C) e ； (D) 1-e ；3、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数为（ A ）（A ）11()33F y -；（B ） (31)F y +；（C ） 3()1F y +；（D 11()33F y -；4、设连续型随机变量X 的概率密度为?<≥=-.0,0,0,)(x x e x f x λλ，则=≥})({X D X P （ C ）(A) 0 ； (B) 1； (C) 1-e ； (D) e ；5、设随机变量X 与Y 相互独⽴，其概率分布分别为10.40.6XP 01（A ）1}{==Y X P ；（B ）0}{==Y X P ；（C ）52.0}{==Y X P ；（D ）5.0}{==Y X P ；6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来⾃总体)1,0(N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S为样本⽅差，则（C ）（A ）)1,0(~N X n ；（B ）)(~22n nSχ；（C ）)1(~/-n t nS X ；（D ）)1,0(~N X ；7、总体X 的分布律 ()1/,0,1,2,,1P X k N k N ===- .已知取⾃总体的⼀个样本为(6,1,3,5,3,4,0,6,5,2)，则参数N 的矩估计值是 ( A ))(A 8； )(B 7； )(C 6； )(D 5.（本⼤题共2⼩题，每题7分，共14分。
数学实验概率统计课件
第1章 古典概型
从 17 世纪到 19 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、 普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发 展做出了杰出的贡献。为概率论确定严密的理论基础的是数 学家柯尔莫哥洛夫。1933 年，他发表了著名的《概率论的基 本概念》，用公理化结构，明确定义了概率论中的基本概念， 成为了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅 速发展奠定了基础。
(2)至少有 2 个一级品的概率？
（1）>> p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)
运行结果：
p1 =
0.2096
（2）
>> p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoosek(18,1)*nchoosek(32,29))/nchoosek(50,30)
常见分布的概率密度、分布函数生成
【实验内容】 1. 事件 A 在每次试验中发生的概率是 0.3，计算 （1）在 10 次试验中 A 恰 好发生 6 次的概率； （2）生成事件 A 发生次数的概率分布； （3）在 10 次试验中 A 最多发生 6 次的概率； （4）设事件 A 发生次数为 X，且 X 的分布函数为 F(x)，求 F(6.1)；又 已知 F（x）=0.345，求 x。
27
3425371 5496764
随机数的生成
2．产生 7 个服从参数为 6 的泊松分布的随机数。
>> poissrnd(6,1,7) 运行结果为：
ans =
1.6449
24
2. 1 验证性实验
实验二 随机数的生成
【实验目的】 1．掌握常见分布的随机数产生的有关命令 2．掌握利用随机数进行随机模拟的方法 【实验要求】 掌握常见分布的随机数产生命令，如 binornd，normrnd 等
概率统计分布模型
应用举例
例3：某交叉口有左转专用信号相，通过调查分析， 车流符合二项分布，每一周期内平均到达20辆车， 有25%的车辆左转但无右转，试求： <1>到达三辆车中有一辆左转车的概率； <2>某一周期不使用左转信号相的概率？
离散型分布---- 3.负二项分布
基本公式：P(0) p P(k) k 1(1 p) P(k 1) 0 p 1
离散型分布---- 2.二项分布
基本公式：
P(k
)
Cnk
(
t n
)
k
(1
t n
)
nk
参数个数： p t , n
n
递推公式： P(k) Cnk pk (1 p)nk
数字特征：M np D np(1 p)
参数估计:
p m s2 m
n m m2 p m s2
适用条件：二项分布适用于描述比较拥挤，车辆自由行
T闭
3600(1
Qtc
e 3600
Qtc 3600
Qtc
e ) 3600
连续型分布----2.移位负指数分布
t 基本公式：P(ht t) e(t ) P(ht t) 1 e(t ) 参数个数：
密度函数：F(t) 1 e(t) p(t) F(t) e(t)() e(t)
数字特征：M 1
参数估计： 1
m
l
m2 s2
模型简化：
l 1时,
P( ht
t)
11
(t)i
i0
et i!
et
l 2时,
P( ht
t)
21
(2t)i
i0
e2t i!
[1 2t]e2t
会议报告地点安排
2006 年 5 月 13 日(星期六)
地 点 第二报告厅
15:00-15:40 开幕式
16:00-18:10 大会报告
2006 年 5 月 14 日(星期日)
地 点 教室(三)
教室(四)
教室(一)
第一报告厅
教室(七)
教室(六)
教室(五)
8:00-10:20 概率邀请报告 1 概率邀请报告 2
16:30-16:50 16:50-17:10 17:10-17:30 17:30-17:50 17:50-18:10
On a recursive linear distributional equation on R 休息
分组报告（第四组） 极限理论 主 席: 梁宗霞，清华大学 金少华，河北工业大学 关于整值随机变量序列的一个强极限定理 陈进源，兰州大学
地点: 教室(四)
主 席: 巩馥洲，中国科学院
汪荣明，华东师范大学
权益指数年金的定价
刘国欣，河北工业大学
风险理论中的逐段决定马氏过程测度变换方法
茶点、休息
王过京，苏州大学
The Gerber-Shiu expected discounted penalty functions for a risk
processes with stochastic interest 休息
注：上述各报告地点均在省身楼，其中第一报告厅、教室一)在一楼，其余均在二楼。各地点同时标有名称和门牌号，二者的对应关系为：
一楼：第一报告厅：110-111，教室(一) ：104；
二楼：第二报告厅：219-221，教室(三) ：202-203，教室(四) ：205-206，教室(五) ：211-212，教室(六) ：213-214，教室(七) ：215-216，会议室(三)：208-209。
概率论与数理统计浙大第四版习题答案全
概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
概率统计公式大全汇总
概率统计公式大全汇总1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本点数，n(S)表示样本空间的样本点数。
2.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
5.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A的概率。
6.期望值公式：E(X)=∑(x*P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
7.方差公式：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E[X^2]表示X的平方的期望值，E[X]表示X的期望值。
8.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
9.二项分布概率公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，p表示每个元素成功的概率，n表示试验次数。
10.正态分布概率公式：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
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, 二、 （12 分）设随机变量 的密度函数为 f x 1 x 2 0,
⑴ 求常数 c ； ⑵ 求 P 1 ；
c
x 0， x0
⑶ 求 ln 的密度函数。
三、 （8 分）某选择题有 4 个选项，假设只有一个选项正确。已知考生中知道正确解法的概率为 2/3，在已 知正确解法的条件下考生因粗心犯错的概率为 1/4，如果考生不知道解法就乱猜。试求⑴ 该考生答对某选 择题的概率； ⑵ 已知该考生答对了，则他不是瞎猜的概率。 四、 （8 分）若每次射击目标的命中率为 0.1，试用中心极限定理计算在 500 次射击中，击中目标的次数在 区间(49,55)内的概率（计算到可查表为止） 。 五、 （8 分）设随机变量 与 相互独立，且均服从 N
一、填空（每格 2 分，共 20 分） 1、已知 P( A) 0.6, PB | A 0.3 ， P
B 0.5，则 PA B _______， PA B ______
2、有 3 个人在第一层进入 6 层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任一层走出电梯（第 2 层开始） ，则 此 3 个人至少有 2 个人在同楼层走出电梯的概率=______ 3、在区间（0，1）中随机地取两个数，那么两个数之和大于 0.5 的概率等于______ 4、设公交车平均每 10 分钟一班车，但具有随机性，乘客等待时间服从指数分布，则等待时间超过 10 分钟 的概率=______ 。 。 5、已知随机变量 X 服从自由度为 3 的 t 分布，则 X2 服从的分布是=______ 计，进一步，当 a=_____时，η 最有效。 7、盒中有 10 球，设原假设为 8 白 2 黑，备择假设为 2 白 8 黑，任取两球，如果都是黑球则拒绝原假设。 当我们接受原假设时，犯第 1 类错误的概率为________，犯第 2 类错误的概率为________。 二、(10 分)：某商店拥有某产品共计 10 件，其中 4 件次品，已经售出 1 件，现从剩下的 9 件产品中任取一 件 B，求 B 是正品的概率。
为总体的随机样本,记 N 为样本值 1 ,, n 中小于 1 的个数，求：⑴ 的矩估计；⑵ 的极大似然估计 九、 （6 分）已知随机变量 与 相互独立， ~ N 0,4, 试计算 P 。 2 4（ 1 0.8413 ） 。 ~ 0.2 0.5 0.3
12ຫໍສະໝຸດ 3 cx , 0 x y 1 ，求(1)常数 c；(2) P{ 1} 0, 其它
五、 （10 分）设随机变量 ξ 服从二项分布 B(5,0.2), η 服从泊松分布，且 P(η=1)= P(η=2).它们的相关系数为 0.5 设 ζ=2ξ-η，求 E(ζ)和 D(ζ) 六、 （10 分）设总体 ξ 服从 N(μ,2),问样本容量 n 取多大时，才能以 0.95 的概率保证样本均值与总体期望之 差的绝对值不超过 0.2？（正态分布分位数见第九题） 七、 （8 分）上海世博局给聋哑人协会发了 400 张某指定日的特别票，并准备为持这种票入场的聋哑人每人 配 1 位会手语的志愿者。假设每个持特别票的聋哑人在指定日入园的概率为 0.5。世博园当天为此配备了 220 名会手语的志愿者，求能满足需要的概率。(提示：利用中心极限定理近似计算，正态分布分位数见第 九题) 八、 （8 分）设 1， 2，… n 为来自总体 N(0, 2)的一个样本，求 2 的极大似然估计量。 九、 （8 分）假设某批首饰的金含量服从正态分布。现测得 4 个样品中的金含量，计算得其均值为 32.85， 样本标准差为 0.4，在显著性水平 α=0.05 下，能否认为这批首饰的金含量平均值明显高于 32.5？ ( u 0.05
i 1 i
n
S2
1 n 2 i 。 n 1 i 1
分布。 。
: 0 , H1 : 0 时，选取统计量
，当 H 0 成立时，它服从
6、设随机变量 与 相互独立，且均服从 0,3 上的均匀分布，则 Pmin , 1
一、填空（每小题 4 分，共 24 分） 1、设
A, B 为两个随机事件，且 P A 1 , PA B 1 , PB A 1 ，则 PA B
2 3 6
。
2、设随机变量 服从泊松分布，且 P
1 4P 2，则 P 3
。 。
0,1 ，计算 E 。
0 x 1, y x 0, 其它
。
六、 （14 分）设二维随机变量
1, , 的密度函数为 f x, y
⑴ 求边缘密度函数 f
x, f y ；⑵
与 是否相互独立？⑶ 与 是否相关？
七、 （10 分）设总体 ~ N 1,2 2 ， 1 , 2 , 3 , 4 为总体 的一个样本。
6、设1, 2 为来自总体的一个样本，η=aξ1+b2，那么当 a，b 满足___________时 , η 为总体均值的无偏估
三、 （10 分）设随机变量服从区间[1，3]上的均匀分布 (1) 求 的分布函数， (2)求=e2 的密度函数。 四、 （10 分）设(ξ, η)的联合密度函数为 f x, y
⑴ 令
1 2 2 ，问 服从什么分布（说明自由度）？⑵ 3 4 2
设 S 2 为样本方差，计算 D 2S 2 1 。
0 x 1 , 八、 （10 分） 设总体 的概率密度为 f x, 1 , 1 x 2 ， 其中 0 1 是未知参数， 1 , , n 0, 其它
3、设随机变量 与 相互独立，且 D 4D ，则随机变量 2 4、当我们接受原假设时，可能会犯第 类错误。
2
3 与 2 3 的相关系数为
5、设 1 ,, n 是来自总体 N , 2 的样本，其中 当检验假设 H 0
未知， 1
, n
1.6, u 0.025 2, t 0.05 (3) 2.4, t 0.05 (4) 2.1, t 0.025(3) 3.2, t 0.025(4) 2.8,
十、 （6 分）设随机变量服从区间(0,1)上的均匀分布,求 η=[ln(1-ξ)/ln0.3]+1 的分布率以及它的数学期望。这 里方括号[x]表示实数 x 的整数部分。