北师大版高中数学必修1二次函数性质的再研究二次函数的图像课件

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根据下列条件，求二次函数的解析式： (1)图像经过点(0，2)，(1，1)，(3，5)； (2)图像经过(－3，2)，顶点是(－2，3)； (3)二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)最大值为 8.
【解】 (1)设 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵二次函数经过三点(0，2)，(1，1)，(3，5)，
答案：y＝－x2
5．设点(3，1)及(1，3)为二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋b 的图像 上的两个点，求 f(x)的解析式．
解：将点(3，1)及(1，3)分别代入 f(x)＝ax2－2ax＋b 中， 有9aa－－26aa＋＋bb＝＝31，，解得ab＝ ＝－ 52. 12， ∴解析式为 f(x)＝－12x2＋x＋52.
解：∵y＝ax2＋bx＋c 的图像与 y＝－12x2＋2x＋3 的形状相同， 开口方向相反，
∴a＝12，则 y＝12x2＋bx＋c， 又(1，n)，(m，1)两点均在 y＝x－2 上， ∴n1＝ ＝1m－－22，，解得mn＝＝－3，1， 即点(1，－1)和(3，1)均在所求抛物线上，
∴－ 1＝1＝ 92＋12＋ 3bb＋＋c，c，解得bc＝＝－－121.， ∴这个二次函数的解析式为 y＝12x2－x－12.
3 基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．如何平移抛物线 y＝2x2 可得到抛物线 y＝2(x－4)2－1( ) A．向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B．向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C．向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 解析：要得到 y＝2(x－4)2－1 的图像，只需将 y＝2x2 的图像 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位． 答案：D
【方法总结】 抛物线 y＝a(x＋h)2＋k 在平移时，a 不变，只 是 h 或 k 发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶 点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．
如何由函数 y＝2x2 的图像变换为函数 y
＝2x2＋4x－6 的图像？ 解：将 y＝2x2＋4x－6 配方得 y＝2(x＋1)2－8， 因此，把函数 y＝2x2 的图像向左平移 1 个单位长度，得到函
2．作出二次函数的图像应注意什么？ 答：一般采用“一轴五点”，即对称轴、顶点与 x 轴交点、 与 y 轴交点及交点关于对称轴的对称点．若不方便取值时，可列 表取关于对称轴对称的点．
3．二次函数图像平移规律是什么？ 答：图像平移规律“左加右减，上加下减”即把图像向左(右) 平移时，只需把原解析式中的 x 加上(减去)一个正数，向上(下)平 移时只需将原解析式加上(减去)一个正数．
将二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向左平移 2 个单位， 再向上平移 3 个单位，便得到函数 y＝x2－2x＋1 的图像，求 b 与 c.
【解】 ∵函数 y＝x2－2x＋1 可变形为 y＝(x－1)2， ∴抛物线 y＝x2－2x＋1 的顶点坐标为(1，0)． 根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线 y＝x2＋bx＋c 的 图像，即把抛物线 y＝x2－2x＋1 的图像向下平移 3 个单位，再向 右平移 2 个单位就可得到抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图像，此时顶点 B(1，0)平移至点 A(3，－3)处． ∴抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶点是(3，－3)． 即 y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照 y＝x2＋bx＋c，得 b＝－6， c＝6.
2．二次函数 y＝x2＋ax＋b，若 a＋b＝0，则它的图像必经过
点( )
A．(－1，－1)
B．(1，－1)
C．(1，1)
D．(－1，1)
解析：∵a＋b＝0，∴当 x＝1 时，y＝1＋a＋b＝1，∴过点(1，
1)． 答案：C
3．二次函数 ƒ(x)＝a2x2－4x＋1 的顶点在 x 轴上，则 a 的值为
【错因分析】 审题不清，未分清哪个是变换前的函数，哪 个是变换后的函数．
【正解】 g(x)＝4x2－2x－1＝4x－142－54. 将 g(x)＝4x－142－54的图像向左平移14个单位长度，得到 f(x) ＝4x2－54的图像；再将 f(x)＝4x2－54的图像向上平移54个单位长度， 得到 f(x)＝4x2 的图像.
2．图像变换 (1)把 y＝ax2(a≠0)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)移动|h|个单 位长度，得到 y＝a(x＋h)2 的图像． (2)把 y＝ax2(a≠0)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)移动|k|个单 位长度，得到__y_＝__a_x_2_＋__k __的图像．
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1．研究二次函数的图像一般应考虑哪些方面？ 答：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线．研 究图像时一般考虑开口方向，对称轴，顶点．可先将解析式转化 为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式．
2 课堂互动探究
典例精析 规律总结
作出下列函数的图像． (1)y＝x2＋1；(2)y＝2x2－4x＋1.
【解】 (1)对称轴为 y 轴，顶点坐标为(0，1)，x＝±1 时，y ＝2；x＝±2 时，y＝5.
(2)y＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1
对称轴 x＝1，顶点(1，－1).
【方法总结】 二次函数有三种常见形式，求解析式时，要 根据具体情况，设出适当形式．(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2) 顶 点 式 ： y ＝ a(x － h)2 ＋ k(a≠0) ． (3) 两 根 式 ： y ＝ a(x － x1)(x － x2)(a≠0)．
已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像与 y ＝－12x2＋2x＋3 的形状相同，开口方向相反，与直线 y＝x－2 的 交点坐标为(1，n)和(m，1)．求这个二次函数的解析式．
x
－1 0
1
23
y＝2x2－4x＋1
7
1 －1 1 7
【方法总结】 作图时，对称轴一般画虚线，当不方便作出 与坐标轴交点时，可列表，只需在对称轴两侧对称取点即可．
画二次函数 y＝12x2－6x＋21 的图像． 解：y＝12(x2－12x＋36)＋3＝12(x－6)2＋3.
x
4
5
6
7
8
y
5
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∴代入解析式得：
aa· ·0122＋ ＋bb··01＋ ＋cc＝ ＝21， ，即ca＝＋2b，＋c＝1， a·32＋b·3＋c＝5， 9a＋3b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝－2，
c＝2. ∴所求二次函数解析式为 y＝x2－2x＋2.
(2)设 y＝a(x＋2)2＋3(a≠0)． ∵图像过(－3，2)，∴a·(－3＋2)2＋3＝2，a＝－1. ∴所求二次函数解析式为 y＝－(x＋2)2＋3， 即 y＝－x2－4x－1. (3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意得44aaa－c＋4－ba2＋bb2＋ c＝＝c8＝ －，－ 1，1，解得abc＝＝ ＝7－ 4，，4， ∴解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
数 y＝2(x＋1)2 的图像，再向下平移 8 个单位长度，得到函数 y＝ 2(x＋1)2－8 的图像，即函数 y＝2x2＋4x－6 的图像．
要得到函数 f(x)＝4x2 的图像，只需将函数 g(x)＝4x2 －2x－1 的图像怎样变换？
【错解】 g(x)＝4x2－2x－1＝4x－142－54.只需将 f(x)的图像 向右平移14个单位长度，得到函数 f(x)＝4x－142的图像；再将函数 f(x)＝4x－142的图像向下平移54个单位长度，得到 f(x)＝4x－142－ 54的图像．
第二章 函 数
§4 二次函数性质的再研究 4．1 二次函数的图像
1 课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 理解二次函数的图像中 a，b，c，h，k 的作用，领会研究二 次函数图像常用的方法；掌握二次函数解析式的表示法，并能灵 活运用.
1．函数_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠__0_)__叫作二次函数，它的定义域是 _R_．当 b＝c＝0 时，则二次函数变为_y_＝__a_x_2(_a_≠__0_)．它的图像是 一__条__顶__点__为__原__点__的__抛__物__线___．当 a＞0 时，抛物线开口向_上__，a＜0 时，抛物线开口向下___．
() A．0
B．－2
C．2
D．±2
解析：由Δ＝(－4)2－4a2＝0，得 a2＝4，∴a＝±2. 答案：D
4．将函数 ƒ(x)＝－x2＋2x－1 的图像向左平移 1 个单位后， 所得图像的解析式为________．
解析：用 x＋1 代换 x 得解析式为 y＝ƒ(x＋1)＝－(x＋1)2＋2(x ＋1)－1＝－x2－2x－1＋2x＋2－1＝－x2.