微分方程与差分方程习题课总结
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2 是重根
(2) f ( x) = ex[Pl ( x)cosx + Pn( x)sinx] 型
设
y
=
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x)
cosx
+
R(2) m
(
x)
sin
x],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
=
maxl
,
n
k
=
0 1
i不是特征方程的根时; i是特征方程的单根时.
设yx = x ( 0)，代入（1）得
x+1 − ax = 0
即 − a = 0
特征方程
＝a
特征根
于是yx = a x是（1）的一个解， 从而yx = Ca x是（1）的通解.
10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
yx+1 − ayx = f ( x)(a 0为常数，f (x) 0)(2)
y = ex (C1 cos x + C2 sin x)
６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y + py + qy = f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1) f ( x) = ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y = xkexQm ( x) , k = 1 是单根 ,
(1) 当D = (cos − a)2 + sin2 0时
令y
x
=
B1
cosx
+
B2
swk.baidu.comnx( B1 ,
B2为待定系数)，
容易验证，yx = a x y0满足差分方程，令 y0 = C为任意常数，于是差分方程（1）的 通解为Yx = Ca x .
特征根法
yx+1 − ayx = 0(a 0为常数)
(1)
方程（1）变形为
yx + (1 − a)yx = 0(a 0为常数) 根据x = ( − 1)x，
可以看出y x的形式一定为某一指数函数.
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y + py + qy = 0
特征方程为 r 2 + pr + q = 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 = r2
复根r1,2 = i
通解的表达式
y = C1e r1 x + C2e r2 x y = (C1 + C2 x)e r2 x
的齐次方程(1)的通解, 那么 y = Y + y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y + P( x) y + Q( x) y = f1( x) + f2 ( x)
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y + P( x) y + Q( x) y = f1( x)
代入原方程, 得 P dP = f ( y, P ). dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y = C1 y1 + C2 y2也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
(2) 0，1 设yx = x zx
( ) 代入方程得
z x+1 x+1
− a x zx
=
x
pn
x
消去 x，即得zx+1 − azx = pn (x) 类型1
于是yx = x zx .
f ( x) = b1 cosx + b2 sinx型
差分方程为
yx+1 − ayx = b1 cosx + b2 sinx
y = C1 y1 + C2 y2 + + Cn yn 就是方程(1)的通解.
（ C1, C2，，Cn 是任意常数）
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
( )( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
7. 差分方程基本概念
差分的定义
设函数y = f ( x).当x取非负整数时，
函数值可以排成一个数列 :
f (0)，f (1)，，f ( x)，f ( x + 1)，
将之简记为
y0，y1，y2，，y x，
称函数的改变量y x+1
−
y
x为函数y
的差分，
x
也称为一阶差分，记为Δ y x = y x+1 − y x .
的特解,
那么
y* 1
+
y* 2
就是原方程的特解.
9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解
迭代法
yx+1 − ayx = 0(a 0为常数)
(1)
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 = ay0
y2 = ay1 = a2 y0
y3 = ay2 = a3 y0
yx = ayx−1 = a x y0
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
差分方程解题思路
一阶方程 二阶方程
代入法 特征根法 待定系数法
特征方程法
1.微分基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x) 是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = f ( x)
(2)
定理 3 设y* 是(2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
定理 1 如果函数 y1( x), y2 ( x), ， y k ( x ) 是
方程(1)的解,那么 y = C1 y1 + C2 y2 + + Ck yk 也是 (1)的解.（ C1, C2，，Ck 是任意常数）
定理 2：如果 y1 ( x), y2( x)，，yn ( x) 是方程(1)
的 n 个线性无关的特解, 那么
函数y = f ( x)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
Δ2 y x = Δ(Δ y x ) = Δ( y x+1 − y x ) = ( yx+2 − yx+1 ) − ( yx+1 − yx ) = yx+2 − 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yx = (2 yx ), 4 yx = (3 yx )
或G( x, yx , yx−1 ,, yx−n ) = 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
差分方程的解
如果函数y = φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
形如 g( y)dy = f ( x)dx
解法 g( y)dy = f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy = f ( y ) dx x
解法 作变量代换 u = y x
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy + P( x) y = Q( x)
dx
当Q( x) 0,
上述方程称为齐次的．
解,
那么
yx
= Yx
+
y
* x
是
n
阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如
( ) ( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f1 x + f2 x
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f1 x ( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f2 x
(1)
n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式
( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f x (2)
f (x) 0
注：(1)为(2)所对应的n阶常系数齐次线性差分方程.
n阶常系数齐次线性差分方程解的结构
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0 (1)
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y = f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y = P( x), y = P, 代入原方程, 得 P = f ( x, P( x)).
(3) y = f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x.
解法 令 y = P( x), y = P dP , dy
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 变量代换法 常数变易法 特征方程法
待定系数法
一、主要内容——差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
第十章 微分方程与差分方程
习题课
主要内容 典型例题
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
4. 线性方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
相关定理
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分Δ y x ,Δ2 y x ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) = 0
定义2
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 y x , y x+1 ,的方程，称为差分方程. 形式：F ( x, yx , yx+1 ,, yx+n ) = 0
( ) 令yx = xQn( x) = x b0 xn + b1 xn−1 + + bn
综上讨论 设 yx = xkQn ( x)，
0 1不是特征方程的根
k
=
1 1是特征方程的根
f ( x) = x pn (x)型
( ) 方程 2 为 ( ) yx+1 − ayx = x pn x
(1) = 0，1 类型1
一阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一个特解y x ， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为yx = Yx + yx .
f ( x) = pn (x)型
方程(2)为 yx+1 − ayx = pn (x ) 即yx + (1 − a) yx = pn (x)
y + P( x) y + Q( x) y = f2 ( x)
的特解,
那么 y1* +
y
* 2
就是原方程的特解.
５.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) + P1 y(n−1) + + Pn−1 y + Pn y = f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
8.常系数线性差分方程解的结构
n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0
设yx是它的解，代入上式得
yx + (1 − a)yx = pn (x)
由于pn (x)是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是(n − 1)次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 − a 0
令yx = Qn ( x) = b0 xn + b1 xn−1 + + bn
(2) 1是特征方程的根，即1 − a = 0
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y = Ce− P( x)dx （用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y = e− [ P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx + C ] （用常数变易法）
3.可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n) = f ( x) 型
(2) f ( x) = ex[Pl ( x)cosx + Pn( x)sinx] 型
设
y
=
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x)
cosx
+
R(2) m
(
x)
sin
x],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
=
maxl
,
n
k
=
0 1
i不是特征方程的根时; i是特征方程的单根时.
设yx = x ( 0)，代入（1）得
x+1 − ax = 0
即 − a = 0
特征方程
＝a
特征根
于是yx = a x是（1）的一个解， 从而yx = Ca x是（1）的通解.
10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
yx+1 − ayx = f ( x)(a 0为常数，f (x) 0)(2)
y = ex (C1 cos x + C2 sin x)
６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y + py + qy = f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1) f ( x) = ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y = xkexQm ( x) , k = 1 是单根 ,
(1) 当D = (cos − a)2 + sin2 0时
令y
x
=
B1
cosx
+
B2
swk.baidu.comnx( B1 ,
B2为待定系数)，
容易验证，yx = a x y0满足差分方程，令 y0 = C为任意常数，于是差分方程（1）的 通解为Yx = Ca x .
特征根法
yx+1 − ayx = 0(a 0为常数)
(1)
方程（1）变形为
yx + (1 − a)yx = 0(a 0为常数) 根据x = ( − 1)x，
可以看出y x的形式一定为某一指数函数.
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y + py + qy = 0
特征方程为 r 2 + pr + q = 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 = r2
复根r1,2 = i
通解的表达式
y = C1e r1 x + C2e r2 x y = (C1 + C2 x)e r2 x
的齐次方程(1)的通解, 那么 y = Y + y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y + P( x) y + Q( x) y = f1( x) + f2 ( x)
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y + P( x) y + Q( x) y = f1( x)
代入原方程, 得 P dP = f ( y, P ). dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y = C1 y1 + C2 y2也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
(2) 0，1 设yx = x zx
( ) 代入方程得
z x+1 x+1
− a x zx
=
x
pn
x
消去 x，即得zx+1 − azx = pn (x) 类型1
于是yx = x zx .
f ( x) = b1 cosx + b2 sinx型
差分方程为
yx+1 − ayx = b1 cosx + b2 sinx
y = C1 y1 + C2 y2 + + Cn yn 就是方程(1)的通解.
（ C1, C2，，Cn 是任意常数）
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
( )( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
7. 差分方程基本概念
差分的定义
设函数y = f ( x).当x取非负整数时，
函数值可以排成一个数列 :
f (0)，f (1)，，f ( x)，f ( x + 1)，
将之简记为
y0，y1，y2，，y x，
称函数的改变量y x+1
−
y
x为函数y
的差分，
x
也称为一阶差分，记为Δ y x = y x+1 − y x .
的特解,
那么
y* 1
+
y* 2
就是原方程的特解.
9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解
迭代法
yx+1 − ayx = 0(a 0为常数)
(1)
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 = ay0
y2 = ay1 = a2 y0
y3 = ay2 = a3 y0
yx = ayx−1 = a x y0
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
差分方程解题思路
一阶方程 二阶方程
代入法 特征根法 待定系数法
特征方程法
1.微分基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x) 是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = f ( x)
(2)
定理 3 设y* 是(2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
定理 1 如果函数 y1( x), y2 ( x), ， y k ( x ) 是
方程(1)的解,那么 y = C1 y1 + C2 y2 + + Ck yk 也是 (1)的解.（ C1, C2，，Ck 是任意常数）
定理 2：如果 y1 ( x), y2( x)，，yn ( x) 是方程(1)
的 n 个线性无关的特解, 那么
函数y = f ( x)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
Δ2 y x = Δ(Δ y x ) = Δ( y x+1 − y x ) = ( yx+2 − yx+1 ) − ( yx+1 − yx ) = yx+2 − 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yx = (2 yx ), 4 yx = (3 yx )
或G( x, yx , yx−1 ,, yx−n ) = 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
差分方程的解
如果函数y = φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
形如 g( y)dy = f ( x)dx
解法 g( y)dy = f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy = f ( y ) dx x
解法 作变量代换 u = y x
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy + P( x) y = Q( x)
dx
当Q( x) 0,
上述方程称为齐次的．
解,
那么
yx
= Yx
+
y
* x
是
n
阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如
( ) ( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f1 x + f2 x
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f1 x ( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f2 x
(1)
n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式
( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f x (2)
f (x) 0
注：(1)为(2)所对应的n阶常系数齐次线性差分方程.
n阶常系数齐次线性差分方程解的结构
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0 (1)
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y = f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y = P( x), y = P, 代入原方程, 得 P = f ( x, P( x)).
(3) y = f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x.
解法 令 y = P( x), y = P dP , dy
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 变量代换法 常数变易法 特征方程法
待定系数法
一、主要内容——差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
第十章 微分方程与差分方程
习题课
主要内容 典型例题
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
4. 线性方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
相关定理
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分Δ y x ,Δ2 y x ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) = 0
定义2
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 y x , y x+1 ,的方程，称为差分方程. 形式：F ( x, yx , yx+1 ,, yx+n ) = 0
( ) 令yx = xQn( x) = x b0 xn + b1 xn−1 + + bn
综上讨论 设 yx = xkQn ( x)，
0 1不是特征方程的根
k
=
1 1是特征方程的根
f ( x) = x pn (x)型
( ) 方程 2 为 ( ) yx+1 − ayx = x pn x
(1) = 0，1 类型1
一阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一个特解y x ， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为yx = Yx + yx .
f ( x) = pn (x)型
方程(2)为 yx+1 − ayx = pn (x ) 即yx + (1 − a) yx = pn (x)
y + P( x) y + Q( x) y = f2 ( x)
的特解,
那么 y1* +
y
* 2
就是原方程的特解.
５.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) + P1 y(n−1) + + Pn−1 y + Pn y = f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
8.常系数线性差分方程解的结构
n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0
设yx是它的解，代入上式得
yx + (1 − a)yx = pn (x)
由于pn (x)是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是(n − 1)次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 − a 0
令yx = Qn ( x) = b0 xn + b1 xn−1 + + bn
(2) 1是特征方程的根，即1 − a = 0
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y = Ce− P( x)dx （用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y = e− [ P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx + C ] （用常数变易法）
3.可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n) = f ( x) 型