交错级数收敛性的几个结果及其应用
交错级数的求和及应用
交错级数的求和及应用交错级数是一种特殊的数学级数，其项的符号交替出现。
求解交错级数的和以及应用于实际问题中是数学领域中的一个重要问题。
本文将介绍交错级数的概念、求和方法及其在实际中的应用。
一、交错级数的概念交错级数是指级数中的每一项的符号交替出现的级数。
具体地说，交错级数的一般形式可以表示为：S = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...其中，a1、a2、a3...为级数的各个项。
二、求解交错级数的和的方法求解交错级数的和一般有两种方法，分别是绝对收敛法和交错收敛法。
1. 绝对收敛法绝对收敛法适用于满足以下条件的交错级数：当级数的每一项的绝对值都小于等于某一正数L时，级数的和即为有限值。
在绝对收敛法中，我们可以忽略级数项的符号，将其看作是一个正项级数，然后利用常规的求和公式来计算交错级数的和。
2. 交错收敛法交错收敛法适用于无法满足绝对收敛法条件的交错级数。
交错收敛法的基本思想是，通过将级数分解为正项级数与负项级数的和来求解交错级数的和。
具体地，我们可以使用交错级数的部分和序列来逼近级数的和，并且证明这个部分和序列是收敛的。
三、交错级数的应用交错级数在应用中具有广泛的用途，以下列举几个常见的实际问题。
1. 电力传输中的功率调整交错级数可用于描述电力传输中的功率调整问题。
在实际情况中，电力传输系统中的功率会因为各种因素而发生波动，我们可以利用交错级数的求和方法来计算功率调整对整个系统的影响。
2. 金融领域中的投资回报计算在金融领域中，投资回报常常涉及到复利计算。
当投资收益率存在波动时，我们可以将投资回报表示为一个交错级数，并通过求和方法来计算最终的投资回报。
3. 振动系统中的能量转换分析在振动系统中，能量的转换常常涉及到能量的交错性质。
通过将能量转换过程表示为一个交错级数，并求解交错级数的和，可以帮助我们分析振动系统中能量的变化规律及相互转换的关系。
四、总结交错级数的求和及其应用是数学中的一个重要问题。
交错级数审敛法
交错级数审敛法
提及交错级数，我们可以想起微积分中积分方法之一“交错级数定理”，它是“浓厚”理论，从证明角度来看，既复杂又有趣，例如，将求和类型积分表示中的常数变量和一个
无穷级数统一求出所求。
交错级数审档法是一种求解无穷级数的方法。
该方法的工作原理是：
首先，将化简的级数化为符号形式，使级数可以分解成不同的项；
其次，将每一项与相应的系数相乘；
然后，将所有的结果相加；
最后，用完整的数学证明来证明已结果是正确的。
也就是说，交错级数审档法是一种整理无穷级数并计算其值的方法，该方法用于将一
个无穷级数拆分为若干项进行处理，让计算更加容易和准确。
举例来说，假设我们想求解（1+1/2+1/4+1/8+...）的值。
首先，我们可以将级数表
达式拆分为（1 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...），并将每一项乘以其系数，即（1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1/2 + 1 * 1/4 + 1 * 1/8 + ...），最后将所有项相加即可得到最后的结
果为2。
此外，交错级数审档法还可以用于证明数学定理等。
例如，我们想证明ϕ=(1+√5)/2为黄金比例，则可以将这个8次方程式拆分成8个项，并将每项乘以对应的系数
（1+1/2+1/4+1/8+...），然后将所有项相加即可得出1+√5=ϕ^2，从而证明ϕ就是黄金比例。
综上所述，交错级数审敛法是一种简单易用的、方便而有效的数学算法，它可以用来
计算无穷级数的值，也可以用于数学证明。
交错级数发散,原级数收敛的例子
交错级数发散,原级数收敛的例子
摘要：
一、交错级数概念回顾
二、交错级数发散与收敛的判别方法
三、具体例子分析
1.交错级数发散的例子
2.交错级数收敛的例子
四、结论与启示
正文：
在数学分析中，交错级数的概念及发散与收敛的判别方法是基础内容，下面将通过具体例子来进一步了解这一概念。
一、交错级数概念回顾
交错级数是指如下一类级数：
∑(-1)^n * a_n
其中，a_n为级数项，n为自然数。
需要注意的是，交错级数的收敛性与发散性判定方法与非交错级数有所不同。
二、交错级数发散与收敛的判别方法
1.收敛性判别方法：
（1）交错级数的部分和序列单调有界；
（2）交错级数的部分和序列极限为0。
2.发散性判别方法：
（1）交错级数的部分和序列无界；
（2）交错级数的部分和序列极限不存在或非0。
三、具体例子分析
1.交错级数发散的例子：
考虑以下交错级数：
∑(-1)^n * (1/n)
该级数是交错级数，但部分和序列发散，因此整个级数发散。
2.交错级数收敛的例子：
考虑以下交错级数：
∑(-1)^n * (1/n^2)
该级数同样是交错级数，但部分和序列极限为1，因此整个级数收敛。
四、结论与启示
通过以上分析，我们可以发现交错级数的发散与收敛特性与非交错级数存在一定差异。
在实际应用中，要根据级数的性质和条件来判断其收敛性。
对于交错级数，我们可以通过部分和序列的单调性、有界性以及极限值来判断其发散性与收敛性。
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
交错级数的概念与性质
交错级数的概念与性质交错级数是指由一系列交替正负的项组成的无限级数。
正负交替的规律使得其求和结果相对不稳定，因此需要特殊的方法来讨论其性质。
本文将介绍交错级数的概念、收敛性和一些有趣的性质。
一、概念设 ${a_n}$ 是一个单调递减到零的正项数列，则$${\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^{n+1}a_{n}$$称为交错级数。
例如，${1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{6},\cdots }$ 是一个以$\dfrac{1}{n}$ 为项的交错级数。
二、收敛性交错级数的递减性决定了其求和的有限性。
事实上，若交错级数的通项 $a_n$ 递减到零，则其必收敛。
具体而言，根据莱布尼茨判别法，对于单调递减到零的正项数列 ${a_n}$，其对应的交错级数收敛，并有估计式：$${\left|{\sum_{n=1}^{N}}(-1)^{n+1}a_{n}-{\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^{n+1}a_{n}\right|}\leqslant a_{N+1}$$实际上，交错级数的收敛性更一般。
此处给出两个例子：（1）$\ln 2$ 的交错级数 $${\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$$ 显然是递减的正交错级数，但其和为 $\ln 2$，即其收敛。
（2）勒让德定理告诉我们，$\pi$ 可以由如下交错级数计算：$$\dfrac{\pi}{4}={\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}$$ 然而，该级数并不单调递减，其部分和逼近$\dfrac{\pi}{4}$ 的速度也相当缓慢，如下例所示：$$\begin{aligned} {\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}&=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots\\ &=1-\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)+\cdots \\ &\geqslant 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} \\ &=\dfrac{5}{12} \\\end{aligned}$$因此，交错级数虽然具有有限项和无限项和的两种情况，但一定是条件收敛的。
交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
交错级数收敛性的几个结果及其应用
交错级数收敛性的几个结果及其应用作者：蔡敏， 龚水法作者单位：大连交通大学理学院,大连,116028刊名：高等数学研究英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：2009，12(3)被引用次数：0次1.华东师范大学数学系数学分析 20012.同济大学数学教研室高等数学 20031.期刊论文曾静p级数及其在级数与积分敛散性判断中的应用-中国民航飞行学院学报2007,18(2)在比较判别法的极限形式中,以p级数为参照级数,通过求p级数中p的范围,根据此时的p级数的敛散性,来判断待定级数的敛散性,并证明p积分与p级数有相同的敛散性以及p积分在积分敛散性判断中与p级数在待定级数敛散性判断中有相似的作用.2.期刊论文胡彦洲.HU Yan-zhou调和级数与P级数敛散性的简单证法-甘肃高师学报2009,14(2)关于P级数∞∑n=1 1/np的敛散性的证明,本文则给出一个简单的证法.同时本文还给出调和级数发散的一个更为简洁的证法.3.期刊论文阎家灏数列与级数敛散性的关系分析-兰州工业高等专科学校学报2004,11(1)数列与级数是两个不同的数学概念,但在敛散性关系上,有许多异同之处,这是因为二者有着密切的联系.将无穷数列的项进行连加定义了数项级数,且无穷级数的敛散性是通过其部分和数列的敛散性定义的,因此,数列和由它生成的级数,它们的敛散性有着许多联系.由敛散性的定义,经过分析推理得到了数列{xn}与级数∑∞n=1(xn-xn-1)的敛散性是一致的,但数列{xn}与级数∑∞n=1xn的敛散性却不一致的几个结论.4.期刊论文黄力民在定义级数乘法的基础上讨论乘积级数敛散性-高等数学研究2009,12(3)一些微积分教材没有对级数乘积的定义,而是直接研究两个级数的项所有可能的乘积组成的级数,在此情形下讨论两级数相乘的条件并无意义,而且难免会给教学带来不便.基于这样的考虑.应首先定义两级数的乘积级数,再在此基础上讨论乘积级数与原级数的敛散性关系.5.期刊论文胡国华.HU Guo-hua Bernoulli概型引出的一类级数的敛散性-湖南理工学院学报(自然科学版) 2008,21(3)由Bernoulli概型的特殊几何分布引出了一类正项级数,解决了这类级数的敛散性与求和问题,同时归纳和改进了文[3]～[6]的结果.6.期刊论文范新华.FAN Xin-hua关于交错级数敛散性判别法的一些探讨-常州工学院学报2007,20(5)文章就数学分析中交错级数敛散性的判别法加以讨论,结合交错级数自身的特性,提出了交错级数敛散性的一个判别定理.该定理的判别式是极限形式,运用起来十分简便,该判定定理推广了莱布尼兹判别法,并给出了应用.7.期刊论文方巧.胡学刚.简丽华判定级数敛散性的几个定理及应用-内江师范学院学报2006,21(z1)利用级数敛散性的比较原则,得到了若干个判定级数敛散性的定理及应用.8.期刊论文党振才.李晋忠Taylor公式在判断级数敛散性时的应用-高等数学研究2009,12(3)在一些证明级数敛散性的问题中,Taylor公式的应用有时能起到关键作用,通过实例说明如何运用这一思想,讨论级数的敛散性问题.9.期刊论文骆汝九.Luo Rujiu交错级数敛散性的一个判别定理-盐城工学院学报（社会科学版）2000,13(1)提出了交错级数敛散性的一个新的判别定理.该定理的判别式为极限形式,运用其判别交错级数的敛散性非常简便.10.期刊论文胡洪萍数列与级数敛散性判定定理-西安联合大学学报2004,7(5)给出了判定一类数列收敛的定理,并由此定理得到一系列结论:(1)级数敛散性的积分判别法;(2)一类收敛数列;(3)级数∞∑n=1f(an)与数列｛∫ana1f(t)dt｝同敛散;(4)估计某些收敛级数和值与广义积分之值.本文链接：/Periodical_gdsxyj200903010.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：82f76a74-e401-4513-afde-9dca0120a081下载时间：2010年8月6日。
交错级数及其判别法
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究， 共同探索交错级数在解决实际问题中 的应用。
感谢您的观看
THANKS
交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项 都小于或等于前一项，从而证明级数收 敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比 较，利用等比级数的性质判断交错级数的 收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数 被用来分析和处理各种信 号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数 被用来描述和设计各种控 制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数 被用来求解各种优化问题， 如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调 递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足 单调递减的条件，因此该级数发散。
交错级数收敛性的几个结果及其应用
高等数学研究 ST U DIES IN CO L LEG E M AT HEM A T ICS
29
应用篇
交错级数收敛性的几个结果及其应用
蔡敏
摘 要
*
龚水法
( 大连交通大学理学院
大连
116028 )
莱布尼兹判别法只是一个充分条 件 , 有大量交错级数虽然不满足其条 件 , 但却 是收敛的 .
2 n 2 n
所以 , 级数
n= 1
E
]
v2 n 2 2 是正项级数 . 由于 u + u v n + (- 1 ) u nv n
2 n 2 n
lim ny ]
v2 n n 2 u v n + (- 1) u nv n vn u2 n
2 n ]
= lim ny ]
]
u nv n = lim ny ] u v n + (- 1) nu nv 2 n
]
(- 1) nn ( A> 1) 的敛散性. n ( 1 + n) + (- 1) n n 2
n n = lim 1 = 0, lim v = nlim A A -1 y] n ny ] n un ]
取 un = n ( A> 1) , v n = n, 显然有 u n > 0, v n > 0,
对于 无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数 , 利用常 数项级数收敛的定义及相关结果 , 可以证 明在 一定条件下它们都是收敛的 , 并通过实例说明所 得结果的应用价值 . 关键词 级数 ; 敛散性 ; 条件收敛 ; 绝对收敛 . 中图分类号 O122 . 7
莱布尼茨判别法两个条件的交错级数 余项估计
莱布尼茨判别法两个条件的交错级数余项估计莱布尼尼茨判别法是专门用来判断交错级数的收敛性的。
如果交错级数满足下面这两个条件，那么就证明该交错级数收敛，而且收敛于一个比首项小的数。
（1）数列{un}单调递减；（2）数列un收敛于0，即当n趋于正无穷大时，limun=0.这里默认数列{un}的每项都是正数。
而交错级数则是级数各项符号正负间的，即u1-u2+u3-u4+…+（-1）^（n+1）un+…。
证明这个定理可以分别列出交错级数的部分和数列{Sn}的奇数项和偶数项，它们分别记为：S_（2m-1）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1）），S_（2m）=（u1-u2）+u3-u4+…+（u_（2m-1）-u_（2m））。
因为数列{un}是单调递减的，所以（un-u_（n-1））>=0，即上面两个式子的括号内的数都非负。
从而可以知道，数列{S_（2m-1）}递减，而数列{S_（2m）}递增。
又当n趋于正无穷大时，limun=0，因此奇数项数列和偶数项数列的对应项的差S_（2m-1）-S_（2m）=u_（2m）>0，在m趋于正无穷大时，这个差趋于0.这样在{[S_（2m），S_（2m-1）]}之间就形成了一个区间套。
由区间套定理就可以知道，一定存在唯一的一个数S，使得当m趋于正无穷大时，limS_（2m-1）=limS_（2m）=S。
即数列{Sn}收敛于S，也就是说该交错级数是收敛的。
注意，莱布尼茨判别法只是交错级数收敛的充分条件，并不是必要条件，这个很好说明，只要把一个符号莱布尼茨判别法的交错数列的第三项增大到比第一项还大，只要是一个具体的值，则得到的新的交错级数仍是一个收敛级数，但它却不满足莱布尼茨判别法的条件了。
另外满足莱布尼茨判别法的交错级数的和S<u1.因为S_（2m-1）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1））<u1，S_（2m）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1））-u_（2m）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1））-（u_（2m）-u_（2m+1））-u_（2m+1）<u1.同理就可以得到莱布尼茨判别法的一个推论：满足莱布尼茨判别法的交错级数，它的余项估计式|Rn|<=u_（n+1）。
关于交错级数收敛的判定法的补充
高等数学研究Ｖ０１．１０．Ｎｏ．３ＳＴＵＤＩＥＳ１ＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＭａｙ．，２００７关于交错级数收敛的判定法的补充＋周玉霞（四川农业大学都江堰分校四川都江蝮６１１８３０）摘要以交错级数收敛判定法莱布尼兹定理为基础，补充两个结论用来判断某些特殊交错级数的敛散性关键词交错级数收敛莱布尼兹判敛法补充结论中图分类号０１７３．１当“。
＞ｏ（ｎ＝１，２，…），形如∑（一１）”１ｕ。
的级数为交错级数．对于交错级数，除了用莱布尼ｎ＝１兹定理判定其收敛外．我们还可以利用下面的两个结论判定某些交错级数的收敛性．结论１若父错级数荟‘一１ｎ＋ｌＵｎ满足：１‘。
ｌ—ｉｒａ。
ｕｎ２ｏ２·“ｚ州一“２ｎ２。
ｎ则当级数ｎ∑＝ｌ。
ｎ，发散时，原级数发散；当级数ｎ∑＝ｌｃｎ收敛时，原级数收敛·证明１１，∈Ｚ＋则％２（“，咄）＋（ｕｓ咄）＋．．‘＋（ｕ：川吨÷）＝ｃ，＋ｃ：＋．．。
＋Ｃｎ。
矿ｎ２丕ｃｔ若ｎ∑＝ｌｃｎ发散，贝１］。
１．．ｉｍ。
ｃｒｎ不存在，从而！受ｓ：ｎ不存在·故原级数发散·若ｎ∑＝ｌｃｎ收敛于豇贝ｌＪ。
ｌ～ｉｒａＳ：ｎ＝ｌｉｍｃｒ。
＝Ｓ且由１ｌｉｍｕ。
＝０得：。
ｌ—ｉｍ。
ｓ２．一ｔ＝。
１．．ｉｒａ。
（ｓ２’。
一ｕ：。
）＝Ｓ．故原级数收敛．例１判定级数吉一了１＋了１一了１＋百１一可１＋…＋五１一丽１＋…的收敛性解‘．。
ｌ掣ｉｍ。
＝ｏ‰一ｕ：。
＝五１一百１万＝丽砉面＜嘉而ｎ主＝ｌ葺３ｎ２‘收敛．·．级数丢一了１＋了１一了１＋吉一古＋…＋点一五ｂ＋…收敛例２判定级数妻（一１）¨ｌ生掣发散ｎ＝ｌ解‘．…ｌｉｍ警＝ｏ％ｒ嘉‰＝熹．４ｎ＋５．４ｎ＋４２１·’·ＩＬ２ｎ－１一／－Ｌ２ｎ２西再了丽丽＞西再可西丽２瓦百＞再汀而耋击发散．故由结论ｌ知蠢㈠ｎ＋ｌ警发散结论２荟（一１）”１“ｎ为交错级数，若地ｎ（景一１）＞ｏ则级数收敛证明设ｌｉｍｎ（≥一１）＝Ｐ＞０，则当ｎ充分大时－蔓一１＞０即ｕ。
交错级数莱布尼茨定理
交错级数是指由正负项交替出现的无穷级数。
而莱布尼茨定理（Leibniz's theorem）是一个关于交错级数的收敛性的定理。
莱布尼茨定理可以用来判断某些特定形式的交错级数是否收敛。
具体来说，如果一个交错级数满足以下三个条件，那么它是收敛的：
1. 序列的绝对值递减：交错级数的每一项的绝对值都是递减的，也就是说，|a1| >= |a2| >= |a3| >= ... >= |an| >= ...。
2. 序列的极限趋于零：交错级数的每一项的极限为零，即lim(n→∞) an = 0。
3. 序列的交错性：交错级数的正项和负项交替出现，即正项和负项依次排列。
当一个交错级数满足以上三个条件时，根据莱布尼茨定理，该级数的和是有限的。
换句话说，它收敛于一个确定的值。
需要注意的是，莱布尼茨定理只能用于特定形式的交错级数，而不适用于一般的级数。
对于其他类型的级数，可能需要使用其他方法来判断其收敛性。
总结起来，莱布尼茨定理是一种用于判断特定形式交错级数收敛性的定理，通过检查绝对值递减、极限趋于零和交错性这三个条件，可以确定交错级数的收敛性。
交错级数发散,原级数收敛的例子
交错级数发散,原级数收敛的例子交错级数是指由正负项交替出现的级数。
当交错级数的绝对值序列是一个收敛的序列时，我们称该交错级数收敛；当绝对值序列是一个发散的序列时，我们称该交错级数发散。
让我们来看一个例子，考虑以下交错级数：S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...这个级数中，正项为1/n，负项为-1/(n+1)，其中n为自然数。
我们可以观察到这个级数中正负项是交替出现的。
首先，让我们来看这个级数的绝对值序列：|S| = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...这个绝对值序列是一个调和级数，而调和级数是一个已知的发散序列。
因此，根据比较判别法，我们可以得出结论：原交错级数也是发散的。
然而，如果我们只考虑原交错级数本身而不考虑其绝对值序列，我们会得到一个完全不同的结论。
根据莱布尼茨判别法（Leibniz Test），如果一个交错级数满足以下两个条件，则该级数收敛：1. 正项序列是单调递减的；\n2. 正项序列趋于零。
对于我们的例子，正项序列1/n是单调递减的，并且当n趋于无穷大时，1/n也趋于零。
因此，根据莱布尼茨判别法，我们可以得出结论：原交错级数收敛。
这个结论可能会让人感到困惑，因为我们之前已经证明了原交错级数的绝对值序列是一个发散序列。
然而，这正是交错级数的特殊之处。
交错级数在某种程度上可以看作是正负项相互抵消的结果。
虽然绝对值序列发散，但由于正负项的交替出现，它们在求和过程中相互抵消了一部分。
这种抵消现象使得原交错级数整体上保持在一个有限范围内，并最终收敛。
总结起来，我们通过一个例子展示了一个交错级数如何在绝对值序列发散的情况下收敛。
这个例子告诉我们，在处理交错级数时，不能仅仅依靠绝对值序列来判断其收敛性。
莱布尼茨判别法提供了一种有效的方法来判断交错级数的收敛性，但我们仍然需要谨慎对待这类级数，因为它们的性质可能会带来一些出人意料的结果。
交错级数审敛法综述
交错级数是一种数列，它的项是正负交替出现的。
交错级数可以表示成如下形式：
a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ...
交错级数的求和可以使用审敛法。
审敛法是一种求和公式，它可以用来快速求解交错级数的和。
审敛法的基本思想是，将交错级数的每一项分别乘以一个系数，然后再将所有乘积求和。
具体来说，对于交错级数a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ...，它的和可以表示为：
S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ...
= a_1 - (a_2 - a_3) + (a_4 - a_5) + ...
= a_1 - (a_2 - (a_3 - (a_4 - ...)))
这就是审敛法的基本形式。
通常，我们会将交错级数的前几项和后几项分别乘以不同的系数，然后再将乘积求和。
这样就可以得到更为精确的结果。
例如，对于交错级数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，我们可以使用审敛法来求它的和。
具体来说，我们可以将前两项和后两项分别乘以不同的系数，得到如下形式：
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
= 1 - (1/2 - 1/3) + (1/4 - 1/5) + ...
= 1 - (1/2 - (1/3 - (1/4 - ...)))
= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...
这样就可以得到更为精确的结果。
总的来说，审敛法是一种非常有效的求和方法，它可以快速求解交错级数的和。
如果使用正确的系数，审敛法的结果可以达到极高的精度。
它在数学和工程领域都有广泛的应用。
交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛
由于un=1n是单调减小的，且limn→∞un=0，所以该交错级数收敛
且为莱布尼兹型交错级数.
(－1)+2+(－3)+4+(－5)+…+(－
1级数及其审敛法
【例22】
一、 交错级数及其审敛法
由已知条件(1)可知，S2m的每个括号内的值都大于等于0， 因而
S2≤S4≤…≤S2m≤… . 又可将S2m改写成
S2m=u1－(u2－u3)－…－(u2m－2－u2m－1)－u2m
一、 交错级数及其审敛法
一、 交错级数及其审敛法
上式仍是交错级数，也满足定理7的两个条件，所以级数也收敛， 且其和
【例23】
二、 绝对收敛与条件收敛
前面我们已经讨论了正项级数、交错级数收敛性的判别 方法，那么，对于其他的级数又如何来判别呢？下面给出任 意项级数的概念.
设有级数
其中u n(n=1, 2,…)为任意实数，这样的级数称为任意 项级数.
为了判定任意项级数的收敛性，通常先考察其各项的绝 对值所组成的正项级数
二、 绝对收敛与条件收敛
定理8
二、 绝对收敛与条件收敛
定义3
二、 绝对收敛与条件收敛
【例24】
二、 绝对收敛与条件收敛
定义4
二、 绝对收敛与条件收敛
【例25】
二、 绝对收敛与条件收敛
二、 绝对收敛与条件收敛
二、 绝对收敛与条件收敛
注
①若是交错级数首选用莱布尼兹定理.
二、 绝对收敛与条件收敛
都是交错级数. 对于交错级数，我们有下面的莱布尼兹(Leibniz)定理.
m项交错调和级数收敛性及推广应用
m项交错调和级数收敛性及推广应用廖辉;廖平【摘要】In this paper,a definition of m-terms alternative harmonic series,the convergence prop-erty of this kind of series and two limits of its alternative terms an(m)are proposed at first,then formulas to compute the sum of such series are presented. After that,these results are also generalized to alternative series that the denominator of its alternative terms make up an arithmetic sequence (the common difference d>0),and this generalization allow us to deal with more kinds of summation of series.%本文给出了m项交错调和级数概念，得到了交错项an（m）的两个极限值及这类级数的收敛性，给出了这类级数和的积分式及其收敛值，并把结果推广应用到通项分母呈等差数列（公差d ＞0）的一类交错级数求和上，解决了更多级数求和问题。
【期刊名称】《楚雄师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)009【总页数】4页(P5-8)【关键词】调和级数;m项交错调和级数;敛散性;求和【作者】廖辉;廖平【作者单位】四川职业技术学院应用数学与经济系，四川遂宁 629000;四川职业技术学院应用数学与经济系，四川遂宁 629000【正文语种】中文【中图分类】O174.3我们知道，调和级数并不收敛，但对其相邻项给正负符号，组成的交错级数一般地，依次把调和级数相邻m项结合并给正负符号构造交错级数：其中我们把级数（1）叫做m项交错调和级数.从前面的讨论中知道，m＝1时，交错调和级数收敛.下面讨论m项交错调和级数（m≥2，m∈N）的收敛情况.关于m项交错调和级数的交错项，n＝0，1，…，有如下结论：定理证明设，则an（m）＝s（n+1）m-snm＝［s（n+1）m-ln（nm+m）］-［snm-ln （nm）］+ln（n+1）-ln n.（2）（i）对上面（2）式取m→∞时的极限，由为欧拉常数）［2-5］可得（ii）显然，对给定的对上面（2）式取n→∞时的极限，由为欧拉常数），得由定理1（i），有当注：由定理1（ii），得到m项交错调和级数收敛.对于m项交错调和级数的和，首先给出一个引理：引理1［6］下面是几个关于m项交错调和级数的收敛值的定理.定理2证明首先不难得到显然，上式右端的级数当0＜t＜δ（＜1）时一致收敛，故可逐项积分，即由狄利克雷一致收敛判别法知，（4）式右端级数在［0，1］上一致收敛.当δ＝1时，左连续.于是有关于这个积分的计算结果，有下面的结论：定理3证明在积分式（5）中，令tm＝u，得到注意到故有由引理1知，由此又可推出于是令（7）式中，并代入（6）式，得设dt，由定理3，得将级数（1）中的an（m）换成bn（m）构成更一般的m项交错级数：其中a∈R，d＞0，bn（m）对级数（8），给定m∈N，有bn（m）＞bn+1（m＝0，从而它收敛［1］. 采用上面定理2求m项交错调和级数积分和同样的方法，得利用（9）式和定理3结果中Jm的值，即可解决更多类别［7-8］的级数求和问题.例1求解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J6的值，得注：利用J6避免了计算非常繁难的原积分.例2求S＝+…的和.解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J3的值，得例3求的和.解a＝3，d＝4，m＝1，由（9）式、我们还可将（8）式中的bn（m）换成更一般的，只要数列｛un｝单减且得到的m项交错级数都是收敛的.【相关文献】［1］陈传璋，金福临.数学分析（第二版下册）［M］.北京：高等教育出版社，1983.［2］欧阳光中、朱学炎.数学分析（第三版下册）［M］.北京：高等教育出版社，2007.［3］张筑生.数学分析新讲（第二版第3册）［M］.北京：北京大学出版社，1991.［4］舒阳春.高等数学中的若干问题解析［M］.北京：科学出版社，2005.［5］武汉大学数学系.数学分析［M］.北京：人民教育出版社，1978.［6］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第五版下册）［M］.北京：高等教育出版社，2008，317—318.［7］杨传林.等间距交错级数的收敛性及求和法［J］.浙江师大学报（自然科学版）2000，23（2）：115—118.［8］郑继明，唐兴莉.一类双交错级数的收敛性及求和法［J］.重庆师范学院学报（自然科学版），2002，19（1）：33—34.。
交错级数收敛准则的探讨及应用
交错级数收敛准则的探讨及应用
刘斌
【期刊名称】《科技视界》
【年(卷),期】2016(000)025
【摘要】[Abstract]This paper expounds the convergence criterion for alternate series, and give several methods to judge the convergence for alternate series when Leibniz convergence criterion fails. The application of this method is given at the same time.%本文阐述了如何使用该定理证明交错级数的敛散性，并在莱布尼兹审敛法失效时，补充了判定交错级数敛散性的方法，同时给出了本方法的应用。
【总页数】2页(P155-156)
【作者】刘斌
【作者单位】中国矿业大学银川学院基础课部，宁夏银川750011
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关于交错级数收敛性判定的探讨 [J], 瞿勇;张建军;宋业新
2.交错级数收敛性的几个结果及其应用 [J], 蔡敏;龚水法
3.m项交错调和级数收敛性及推广应用 [J], 廖辉;廖平
4.交错级数收敛准则的探讨 [J], 江莹茵
5.交错级数收敛性的一个判别法及其应用 [J], 任文儒
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
利用交错级数理论知识解决相关问题或者案例。
利用交错级数理论知识解决相关问题或者案例。
正项级数之外，如果一个级数没有正项，或者只有有限个正项，或者只有有限个负项，则其收敛问题都可以归结到一个正项级数的收敛问题，所以只需考虑一个级数既有无限个正项又有无限个负项的情形。
在这种级数中，结构最简单的是正负号逐项相间的级数，叫做交错级。
对此有莱布尼茨定理：若一交错级数的项的绝对值单调趋于零，则这级数收敛。
本题本来是求幂级数的收敛半径和收敛域
x=1时，级数为∑(-1)^n*1/(2n)他就是交错级数。
根据莱布尼兹审敛法，liman+1<liman ( an=1/(2n) )
同时，liman=0
所以，级数是收敛的
x=-1时，因为2n+1为奇数，
所以(-1)^(2n+1)=-1,
则级数为∑(-1)^(n+1)*1/(2n)也是交错级数。
根据莱布尼兹审敛法，显然也是收敛的。
交错级数一般都是(-1)^n*a(n)x^n 形式把-1和x合并得
a(n)*(-x)^n，其中a(n)是某系数所以交错级数只是比一般常见的级数多了一个 - 号而已。
在这里，继续运用泰勒级数的各种化简就行了，例如求导法和积分法
常数项级数的敛散性的判别；
对常数项级数的考查，考研考查的方法重点是比较判别法，而作为基准级数的是P-级数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对于无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数 , 利用常数项级数收敛的定义及相关结果 , 可以证明在 一定条件下它们都是收敛的 , 并通过实例说明所得结果的应用价值 . 关键词 级数 ; 敛散性 ; 条件收敛 ; 绝对收敛 . 中图分类号 O122 . 7
关于交错级数收敛性的判别主要采用莱布尼兹判别法 . 莱布尼兹判别法只是一个充分条件 , 要 求数列{ un } 满足单调递减且lim un = 0 . 有大量的交错级数虽然不满足莱布尼兹判别法的条件 , 但
n →∞
却是收敛的 . 下面以定理的形式介绍几个新的判别交错级数收敛性的方法 , 最后通过例子说明这些方法在 判别级数敛散性方面的可行性 . 定理 1 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , 且lim un = + ∞, lim
n →∞
vn vn = 0 , 则当级数 2 收敛时 , 级 n →∞ u n n=1 un
2
lim
n →∞
vn n 2 2 u n v n + ( - 1) u n v n un v n 1 = lim 2 = 1, n 2 = lim n →∞ u n v n + ( - 1 ) u n v n n →∞ vn n vn ( ) 1 + 1 2 un un
2 2
2
∞
因此 , 级数
∞
∞
∑
∑
3 收稿日期 :2008 - 04 - 25 ,修改日期 :2009 - 03 - 26.
30
高等数学研究 2009 年 5 月
vn vn 1 , n 2 < n 2 = n u n + un v n + ( - 1) v n u n v n + ( - 1) v n un + ( - 1) v n
∑
∑
数
n=1
∑u
2
n
( - 1) n v n ( - 1) n 绝对收敛 , 所以 , 级数 收敛 . n n + un v n + ( - 1 ) u n v n n = 1 u n + v n + ( - 1) v n
∞
∑
定理 2 设 un , v n > 0 , lim 证明 由于
( - 1) n v n vn 1 = 0 ,则 收敛时 , 级数 n 2 绝对收敛 . n →∞ u n n = 1 un n = 1 u n + un v n + ( - 1) v n
2
vn vn > 0, 2 2 = 2 n u n + un v n + ( - 1) un v n u n + u n v n [ un + ( - 1 ) v n ]
2 2
2
2
∞
所以 , 级数
n=1
∑
vn 2 2 是正项级数 . 由于 u n + un v n + ( - 1) un v n
2 2
并且lim
vn 1 n = 0 , 可知当 n → ∞时 , un + ( - 1 ) v n > 0 , 故 是正项级数 . 又因为 n n →∞ u n n = 1 un + ( - 1 ) v n
∞
∑
lim
∞
n →∞
1
n un + ( - 1) v n
= lim
n →∞
1
un
un = lim n n →∞ u n + ( - 1) v n
n=1
∑
vn 2 = un
∞
n=1
∑n
α
n
2
∞
=
n=1
∑n
1
3 2
收敛 . 根据定理 1 知 , 级数
n=1
∑n + [ 1 + ( -
( - 1) n
1) n ] n
收敛 .
∞
例 2 判别级数
n=1
∑
( - 1) n n α > 1) 的敛散性 . n 2 ( n ( 1 + n) + ( - 1 ) n
∞
n =1
∞
=
n=1
∑
( - 1 ) n ( un + v n + ( - 1 ) n v n ) - ( - 1 ) n u n = n u n ( un + v n + ( - 1 ) v n )
∞
n=1
∑
∑
( - 1) n v n + 2 n u n + un v n + ( - 1) u n v n
vn 2 n u n + un v n + ( - 1 ) u n v n 1 = lim = 1, n →∞ vn vn n vn 1 + + ( - 1) 2 un un un
∞ ∞
所以级数
∞
n=1
∑
vn vn vn 与级数 2 n 2 同时收敛或同时发散 . 而级数 2 收敛 , 故级 u n + un v n + ( - 1 ) u n v n u u n n n=1 n=1
∞ ∞
n=1
∞
=
n=1
∑
n ( - 1) n [ un + un v n + ( - 1) n v 2 n ] - ( - 1) u n v n = n 2 u n [ un + un v n + ( - 1) v n ]
n=1
∑u
∑u
n
2 ( - 1) n vn n 2 + 2 2 n 2 + un v n + ( - 1 ) v n u n + un v n + ( - 1) u n v n
n →∞ n →∞
lim un = lim n = + ∞, lim
∞
vn n 1 = lim = lim = 0, n →∞ n n →∞ un n
∞
级数
∞
n=1
∑
vn 2 = un
∞
n=1
∑n
n
2
∞
=
n=1
∑n
1
∞
3 2
收敛 , 级数
n=1
∑u v
n
1
=
n
n=1
∑n
1
n
∞
=
n=1
∑n
1
3 2
n
∞
n=1
1
∑n
α
( - 1) n n (α > 1) 绝对收敛 . ( 1 + n) + ( - 1) n n 2
例 3 判别级数
∑n ( 1 +
( - 1) n 的敛散性 . n n) + ( - 1) n
n
解 取 un = n , v n =
n →∞
n , 显然有{ un } 单调递增 , un > 0 , v n > 0 ,
n →∞
∑
( - 1) n v n n 2 绝对收敛 . u n + un v n + ( - 1 ) v n vn vn 1 = 0 , 当级数 均收 2 和 n →∞ u n n=1 un n = 1 un v n
∞ ∞
定理 3 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , lim un = + ∞, lim 敛时 , 级数
,
由此可 知 , 级 数
∞
n=1
∑
2
( - 1) n v n n 2 的收 敛性取 决于 级数 u n + un v n + ( - 1 ) v n
∞
n=1
∑u
n
( - 1) n n 2 和级 + un v n + ( - 1) v n
数
n=1
∑u
2
n
vn vn n = 0 , 可知当 n → ∞时 , un + ( - 1) v n > 0 , 则 2 2 是否收敛 . 因为 lim n →∞ ( ) un + un v n + - 1 u n v n
∞
31
级数
n=1
∑
( - 1) n u n + v2 ( - 1) n n 的敛散性便由级数 n 2 n 2 的敛散性决定 . 因 u n [ un + un v n + ( - 1 ) v n ] n = 1 u n + un v n + ( - 1) v n
∑
lim
∞
n →∞
n 2 un v n + ( - 1 ) v n
收敛 . 根据定理 3 知 , 级
数
n=1
∑
( - 1) n n 收敛 . n n ( 1 + n) + ( - 1 ) n
n
的敛散性 .
解 取 un = n , v n =
n →∞
n , 显然有{ un } 单调递增 , un > 0 , v n > 0 ,
n →∞ n →∞
lim un = lim n = + ∞, lim
∞
vn n 1 = lim = lim = 0, n →∞ n n →∞ un n
∞
且级数
∑
∑
n=1
∑u
n
( - 1) n v n n 2 收敛 . + un v n + ( - 1 ) v n
∞
n →∞
证明 1) 由{ un } 单调递增 , 及lim un = + ∞, 得级数