交错级数收敛性的几个结果及其应用

对于无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数 , 利用常数项级数收敛的定义及相关结果 , 可以证明在 一定条件下它们都是收敛的 , 并通过实例说明所得结果的应用价值 . 关键词 级数 ; 敛散性 ; 条件收敛 ; 绝对收敛 . 中图分类号 O122 . 7
关于交错级数收敛性的判别主要采用莱布尼兹判别法 . 莱布尼兹判别法只是一个充分条件 , 要 求数列{ un } 满足单调递减且lim un = 0 . 有大量的交错级数虽然不满足莱布尼兹判别法的条件 , 但
∞ ∞
n=1
∞
=
n=1
∑
n ( - 1) n [ un + un v n + ( - 1) n v 2 n ] - ( - 1) u n v n = n 2 u n [ un + un v n + ( - 1) v n ]
n=1
∑u
∑u
n
2 ( - 1) n vn n 2 + 2 2 n 2 + un v n + ( - 1 ) v n u n + un v n + ( - 1) u n v n
Vol. 12 ,No . 3 高等数学研究 May. , 2009 STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS
29
应用篇
交错级数收敛性的几个结果及其应用
蔡 敏 龚水法 ( 大连交通大学理学院
摘 大连 116028)
3
要 莱布尼兹判别法只是一个充分条件 , 有大量交错级数虽然不满足其条件 , 但却是收敛的 .
2 2
2
2
∞
由比较原则知 , 级数
n=1
∑
vn vn n 2 收敛时 , 级数 2 2 n 2 也收敛 . 这样 , u n v n + ( - 1) u n v n n = 1 u n + un v n + ( - 1) u n v n
2
2
∞
∑
2
第 12 卷第 3 期
∞
蔡敏 ,龚水法 : 交错级数收敛性的几个结果及其应用
,
由此可 知 , 级 数
∞
n=1
∑
2
( - 1) n v n n 2 的收 敛性取 决于 级数 u n + un v n + ( - 1 ) v n
∞
n=1
∑u
n
( - 1) n n 2 和级 + un v n + ( - 1) v n
数
n=1
∑u
2
n
vn vn n = 0 , 可知当 n → ∞时 , un + ( - 1) v n > 0 , 则 2 2 是否收敛 . 因为 lim n →∞ ( ) un + un v n + - 1 u n v n
n →∞
却是收敛的 . 下面以定理的形式介绍几个新的判别交错级数收敛性的方法 , 最后通过例子说明这些方法在 判别级数敛散性方面的可行性 . 定理 1 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , 且lim un = + ∞, lim
n →∞
vn vn = 0 , 则当级数 2 收敛时 , 级 n →∞ u n n=1 un
∞
∑u
2
n
vn , n + un v n + ( - 1) u n v n
且 un , v n > 0 , 可知 un v n + ( - 1) n u n v n ≥0 . 从而 ,
lim
∞
n →∞
n=1
∑u
2
n
vn 是正项级数 . 又因为 n + un v n + ( - 1) u n v n
n →∞ n →∞
lim un = lim n = + ∞, lim
∞
vn n 1 = lim = lim = 0, n →∞ n n →∞ un n
∞
级数
∞
n=1
∑
vn 2 = un
∞
n=1
∑n
n
2
∞
=
n=1
∑n
1
∞
3 2
收敛 , 级数
n=1
∑u v
n
1
=
n
n=1
∑n
1
n
∞
=
n=1
∑n
1
3 2
∑
∑
n=1
∑u
n
( - 1) n v n n 2 收敛 . + un v n + ( - 1 ) v n
∞
n →∞
证明 1) 由{ un } 单调递增 , 及lim un = + ∞, 得级数
∞
n=1
n=1
∑
( - 1) n 收敛 . 而 un
∑
∞
( - 1) n v n ( - 1) n n 2 un u n + un v n + ( - 1) v n ( - 1) n u n + ( - 1) 2 n v 2 n = n 2 n [ un + un v n + ( - 1 ) v n ]
∞
n=1
∑
vn 2 n 2 与级数 u n v n + ( - 1) u n v n
2
∞
n=1
∑
vn 2 同时收敛或同时发散 . 即当级数 un
∞
n=1
∑u
vn
2
n
收敛时 ,
级数
n=1
∑
vn n 2 也收敛 . 又 u n v n + ( - 1) u n v n
2
vn vn n 2 < 2 n 2 , u n + un v n + ( - 1) u n v n u n v n + ( - 1) u n v n
∞
31
Leabharlann Baidu
级数
n=1
∑
( - 1) n u n + v2 ( - 1) n n 的敛散性便由级数 n 2 n 2 的敛散性决定 . 因 u n [ un + un v n + ( - 1 ) v n ] n = 1 u n + un v n + ( - 1) v n
∑
lim
∞
n →∞
n 2 un v n + ( - 1 ) v n
∞
∑
∞
数
n=1
∑
( - 1) n 收敛 . n u n + v n + ( - 1) v n
∞
n=1
证明 因为
∑
∞
n =1
( - 1) n ( - 1) n n un u n + v n + ( - 1) v n ( - 1) n v n + vn = 2 n u n + un v n + ( - 1) u n v n
n →∞
∑
( - 1) n v n n 2 绝对收敛 . u n + un v n + ( - 1 ) v n vn vn 1 = 0 , 当级数 均收 2 和 n →∞ u n n=1 un n = 1 un v n
∞ ∞
定理 3 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , lim un = + ∞, lim 敛时 , 级数
∞
∞
∑
∑
3 收稿日期 :2008 - 04 - 25 ,修改日期 :2009 - 03 - 26.
30
高等数学研究 2009 年 5 月
vn vn 1 , n 2 < n 2 = n u n + un v n + ( - 1) v n u n v n + ( - 1) v n un + ( - 1) v n
1
<
n 2 un v n + ( - 1) v n
1
,
∞
∞
所以 ,
n=1
∑u v
n
1
n n
∞
2 收敛时 ,
n n=1
+ ( - 1) v n
∞
∑u
2
1
n
+ un v n + ( - 1 ) v
n
2 收敛 , 即
n=1
∑u
n
( - 1) n n 2 绝对 + un v n + ( - 1 ) v n
收敛 . 所以级数
n
的敛散性 .
解 取 un = n , v n =
n →∞
n , 显然有{ un } 单调递增 , un > 0 , v n > 0 ,
n →∞ n →∞
lim un = lim n = + ∞, lim
∞
vn n 1 = lim = lim = 0, n →∞ n n →∞ un n
∞
且级数
收敛 . 根据定理 3 知 , 级
数
n=1
∑
( - 1) n n 收敛 . n n ( 1 + n) + ( - 1 ) n
∑
∑
数
n=1
∑u
2
n
( - 1) n v n ( - 1) n 绝对收敛 , 所以 , 级数 收敛 . n n + un v n + ( - 1 ) u n v n n = 1 u n + v n + ( - 1) v n
∞
∑
定理 2 设 un , v n > 0 , lim 证明 由于
( - 1) n v n vn 1 = 0 ,则 收敛时 , 级数 n 2 绝对收敛 . n →∞ u n n = 1 un n = 1 u n + un v n + ( - 1) v n
vn 2 n u n + un v n + ( - 1 ) u n v n 1 = lim = 1, n →∞ vn vn n vn 1 + + ( - 1) 2 un un un
∞ ∞
所以级数
∞
n=1
∑
vn vn vn 与级数 2 n 2 同时收敛或同时发散 . 而级数 2 收敛 , 故级 u n + un v n + ( - 1 ) u n v n u u n n n=1 n=1
并且lim
vn 1 n = 0 , 可知当 n → ∞时 , un + ( - 1 ) v n > 0 , 故 是正项级数 . 又因为 n n →∞ u n n = 1 un + ( - 1 ) v n
∞
∑
lim
∞
n →∞
1
n un + ( - 1) v n
= lim
n →∞
1
un
un = lim n n →∞ u n + ( - 1) v n
n=1
∑
( - 1) u n + v n ( - 1) n v n 收敛 , 进而推知 n 2 n 2 收敛 . u n [ un + un v n + ( - 1 ) v n ] n = 1 u n + un v n + ( - 1 ) v n
∞
∑
∞
例 1 判别级数
n=1
∑
( - 1) n n n + [ 1 + ( - 1) ]
1
= lim
∞
n →∞
1
un v n
un v n n 2 = lim n →∞ u n v n + ( - 1) v n
1 1 + ( - 1) n
vn un
= 1,
故级数
n=1
∑u v
n
1
n
+ ( - 1) v n
n
2
与级数
n=1
∑u v
n
1
同时收敛或同时发散 . 又因为
n
n 2 un + un v n + ( - 1) v n
∞
n =1
∞
=
n=1
∑
( - 1 ) n ( un + v n + ( - 1 ) n v n ) - ( - 1 ) n u n = n u n ( un + v n + ( - 1 ) v n )
∞
n=1
∑
∑
( - 1) n v n + 2 n u n + un v n + ( - 1) u n v n
n=1
∑
vn 2 = un
∞
n=1
∑n
α
n
2
∞
=
n=1
∑n
1
3 2
收敛 . 根据定理 1 知 , 级数
n=1
∑n + [ 1 + ( -
( - 1) n
1) n ] n
收敛 .
∞
例 2 判别级数
n=1
∑
( - 1) n n α > 1) 的敛散性 . n 2 ( n ( 1 + n) + ( - 1 ) n
∞
1 1 + ( - 1) n
vn un
∞
= 1,
所以 ,
n=1
∑u
1
n
∞
与
n=1
∑u
1
n
+ ( - 1) v n
n
同时收敛或同时发散 . 由
∞
n=1
n=1
∑u
1
n
收敛 , 可得
n=1
∑u
1
n n + ( - 1) v n
收
∞
敛 , 从而 ,
n=1
∑
∞
vn n 2 收敛 , 所以 , u n + un v n + ( - 1 ) v n
n
∞
n=1
1
∑n
α
( - 1) n n (α > 1) 绝对收敛 . ( 1 + n) + ( - 1) n n 2
例 3 判别级数
∑n ( 1 +
( - 1) n 的敛散性 . n n) + ( - 1) n
n
解 取 un = n , v n =
n →∞
n , 显然有{ un } 单调递增 , un > 0 , v n > 0 ,
2
vn vn > 0, 2 2 = 2 n u n + un v n + ( - 1) un v n u n + u n v n [ un + ( - 1 ) v n ]
2 2
2
2
∞
所以 , 级数
n=1
∑
vn 2 2 是正项级数 . 由于 u n + un v n + ( - 1) un v n
2 2
2
lim
n →∞
vn n 2 2 u n v n + ( - 1) u n v n un v n 1 = lim 2 = 1, n 2 = lim n →∞ u n v n + ( - 1 ) u n v n n →∞ vn n vn ( ) 1 + 1 2 un un
2 2
2
∞
因此 , 级数
α
解 取 un = n (α > 1) , v n = n , 显然有 un > 0 , v n > 0 ,
lim
∞
n →∞
vn n 1 = lim α = lim α- 1 = 0 , n →∞ n n →∞ n un
∞
n=1
且级数
n=1
∑u
1
n
∞
=
n=1
∑ α 收敛 . 根据定理 2 知 , 级数