最新导数及其应用知识点经典习题集

导数及其应用

1、函数的平均变化率为

=

∆∆=∆∆x f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111

212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是

，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=

. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

)(x f y =x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：

7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

8.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数

'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区

间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

10．求曲边梯形的思想和步骤

（“以直代曲”的思想） 11.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

a b dx b

a

-=⎰1

性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥⎰b a

dx x f

①推广：1212[()()()]()()()b

b b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±

±=±±

±⎰

⎰⎰⎰

②推广:12

1

()()()()k

b c c b

a a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++

+⎰⎰⎰⎰

12．定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积； （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

13．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

课后练习题：

1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0

2. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-1

3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0

(1)(1)

3lim

x f x f x x →--+=

( )

A ．3

B ．23-

C ． 13

D ．3

2-

4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A.0 B.1 C.3 D.6

5．函数)

0,4(2cos π

在点x y =处的切线方程是 （ ）

A ．024=++πy x

B ．024=+-πy x

C ．024=--πy x

D ．024=-+πy x

6.曲线

3cos (0)

2y x x π=≤≤

与坐标轴围成的面积是 （ ）

A.4

B. 5

2 C.

3 D.2

7．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41

t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的

时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末

8. 8．函数3

13y x x =+- 有 （ ）

A.极小值-1，极大值1

B. 极小值-2，极大值3

C. 极小值-1，极大值3

D. 极小值-2，极大值2

9. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ）

A ． 2012gt

B ．20gt

C ． 2013gt

D ．2

014gt

10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力

所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J 二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)

11．函数

32

y x x x =--的单调区间为___________________________________。 12．设函数

32

()2f x x ax x '=++, (1)f '=9,则a =____________________________. 13. 物体的运动方程是s=－31

t 3＋2t 2－5,则物体在t=3时的瞬时速度为______.

14.有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m 2.

15．220

(3)10,x k dx k +==

⎰

则 , 8

-=

⎰

__________________.

三、解答题

16．计算下列定积分。