函数的递归调用与分治策略
递归与分治算法心得
递归与分治算法心得
递归与分治算法都是常用的算法思想，可以很好地解决复杂问题。
递归算法是通过将问题分解为相同或相似的子问题来解决整个问题，然后再逐步合并回原问题的过程。
递归算法通常需要明确边界条件，以确保递归能够正确地停止。
分治算法是将问题分解成若干个相同或相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后合并这些子问题的解来解决原始问题。
通常，分治算法可以高效地解决问题，但需要注意分解问题的方式和合并子问题的解的过程。
在实际应用中，递归和分治算法可以相互结合，以解决更加复杂的问题。
例如，可以使用分治算法来将问题分解成多个子问题，然后使用递归算法来解决这些子问题。
此外，还可以在递归算法中使用分治算法来对子问题进行分解和合并。
总而言之，递归与分治算法都是非常有用的算法思想，可以在许多领域中得到应用。
但是，在实际使用时，需要仔细考虑问题的性质和算法的复杂度，以确保算法的正确性和效率。
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递归与分治算法心得
递归与分治算法心得
递归与分治算法是算法设计中常见的两种方法，它们在解决问题时都采用了“分而治之”的思想，将问题分解成更小的子问题，然后通过递归调用或者合并子问题的解来得到原问题的解。
通过我的学习和实践，我深刻认识到了递归与分治算法的重要性和优势。
首先，递归算法可以使问题的描述更加简单明了。
通过将问题转化为自身的子问题，我们可以建立起更为简洁优美的数学模型。
其次，递归算法可以使问题的解决过程更加自然。
在递归过程中，我们可以利用已知的子问题解决同类问题，实现代码的复用和模块化。
此外，递归算法还可以解决一些重要的数学问题，如斐波那契数列和二分查找等。
分治算法则更加注重问题的分解和合并。
它将问题划分成若干个规模相同或相近的子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种方法在解决某些复杂问题时具有很大的优势。
例如，在排序算法中，归并排序采用了分治算法的思想，将待排序的序列分成两个长度相等的子序列，然后递归地对子序列排序，最后将子序列合并成有序序列。
这种算法具有较高的稳定性和灵活性，常常被应用于海量数据的排序任务中。
总之，递归与分治算法是算法设计中不可或缺的两种方法。
在解决问题时，我们应该根据具体情况选择合适的算法，并在实践中不断探索、总结和优化。
只有这样，我们才能更好地应对日益复杂多变的计算机科学挑战。
递归和分治法
递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。
它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。
下面，我们来详细了解一下递归和分治法。
1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。
递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。
主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。
2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。
（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。
3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。
分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。
4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。
分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。
总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。
必备算法：递归！无论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它！
必备算法：递归！⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它！递归是⼀种⾮常重要的算法思想，⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它。
在⽇常⼯作中，统计⽂件夹⼤⼩，解析xml⽂件等等，都需要⽤到递归算法。
它太基础太重要了，这也是为什么⾯试的时候，⾯试官经常让我们⼿写递归算法。
本⽂呢，将跟⼤家⼀起深⼊挖掘⼀下递归算法~什么是递归？递归，在计算机科学中是指⼀种通过重复将问题分解为同类的⼦问题⽽解决问题的⽅法。
简单来说，递归表现为函数调⽤函数本⾝。
在知乎看到⼀个⽐喻递归的例⼦，个⼈觉得⾮常形象，⼤家看⼀下：❝递归最恰当的⽐喻，就是查词典。
我们使⽤的词典，本⾝就是递归，为了解释⼀个词，需要使⽤更多的词。
当你查⼀个词，发现这个词的解释中某个词仍然不懂，于是你开始查这第⼆个词，可惜，第⼆个词⾥仍然有不懂的词，于是查第三个词，这样查下去，直到有⼀个词的解释是你完全能看懂的，那么递归⾛到了尽头，然后你开始后退，逐个明⽩之前查过的每⼀个词，最终，你明⽩了最开始那个词的意思。
❞来试试⽔，看⼀个递归的代码例⼦吧，如下：递归的特点实际上，递归有两个显著的特征,终⽌条件和⾃⾝调⽤:✿⾃⾝调⽤：原问题可以分解为⼦问题，⼦问题和原问题的求解⽅法是⼀致的，即都是调⽤⾃⾝的同⼀个函数。
✿终⽌条件：递归必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
结合以上demo代码例⼦，看下递归的特点：递归与栈的关系其实，递归的过程，可以理解为出⼊栈的过程的，这个⽐喻呢，只是为了⽅便读者朋友更好理解递归哈。
以上代码例⼦计算sum（n=3）的出⼊栈图如下：为了更容易理解⼀些，我们来看⼀下函数sum（n=5）的递归执⾏过程，如下：✿计算sum（5）时，先sum（5）⼊栈，然后原问题sum（5）拆分为⼦问题sum（4），再⼊栈，直到终⽌条件sum（n=1）=1，就开始出栈。
✿ sum（1）出栈后，sum（2）开始出栈，接着sum（3）。
✿最后呢，sum（1）就是后进先出，sum（5）是先进后出，因此递归过程可以理解为栈出⼊过程啦~递归的经典应⽤场景哪些问题我们可以考虑使⽤递归来解决呢？即递归的应⽤场景⼀般有哪些呢？✿阶乘问题✿⼆叉树深度✿汉诺塔问题✿斐波那契数列✿快速排序、归并排序（分治算法体现递归）✿遍历⽂件，解析xml⽂件递归解题思路解决递归问题⼀般就三步曲，分别是：✿第⼀步，定义函数功能✿第⼆步，寻找递归终⽌条件✿第⼆步，递推函数的等价关系式这个递归解题三板斧理解起来有点抽象，我们拿阶乘递归例⼦来喵喵吧~1、定义函数功能定义函数功能，就是说，你这个函数是⼲嘛的，做什么事情，换句话说，你要知道递归原问题是什么呀？⽐如你需要解决阶乘问题，定义的函数功能就是n的阶乘，如下：2、寻找递归终⽌条件递归的⼀个典型特征就是必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
matlab function 递归函数
MATLAB递归函数1. 引言MATLAB是一种功能强大的数值计算和科学编程语言，具有丰富的函数库和工具箱。
递归函数是一种特殊类型的函数，它在函数体内调用自身。
递归函数在解决一些复杂问题时非常有用，可以将一个大问题分解成一个或多个更小的子问题进行求解。
本文将详细介绍MATLAB递归函数的定义、用途和工作方式，以及如何编写递归函数来解决实际问题。
2. 函数的定义递归函数是一种在函数体内调用自身的函数。
它可以通过将一个问题分解成更小的子问题来解决复杂的问题。
递归函数通常具有以下几个要素：•基本情况（Base case）：递归函数必须包含一个或多个基本情况，即函数不再调用自身的情况。
基本情况通常是一个简单的问题，可以直接求解而不需要进一步的递归调用。
•递归调用（Recursive call）：递归函数在函数体内调用自身，并将问题规模缩小为一个或多个子问题。
递归调用通常在某个条件满足时发生，否则函数将陷入无限循环。
•问题规模缩减（Problem reduction）：递归函数通过将一个大问题分解成一个或多个更小的子问题来解决复杂的问题。
每次递归调用都会将问题的规模缩小，直到达到基本情况。
3. 递归函数的用途递归函数在解决一些复杂问题时非常有用，特别是那些可以通过将问题分解成更小的子问题来解决的情况。
递归函数的用途包括但不限于以下几个方面：•分治法（Divide and conquer）：递归函数可以将一个大问题分解成一个或多个更小的子问题，并将子问题的解合并成原问题的解。
分治法通常用于解决一些需要分解成子问题的问题，例如排序、搜索和图算法等。
•树和图的遍历：递归函数可以用于树和图的遍历，例如深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
递归函数可以通过递归调用来遍历树和图的节点，并在每个节点上执行相应的操作。
•动态规划：递归函数在动态规划中也经常被使用。
动态规划是一种通过将问题分解成更小的子问题来求解的优化技术。
递归算法思路
递归算法思路一、概念递归算法是指函数自身调用自身的方法，将一个问题分解为更小的同类问题直到问题简单到可以直接解决。
递归算法是由一种表达方式所实现的，这种表达方式就是递归定义。
二、递归算法的思路（1）确定递归函数的参数和返回值确定参数和返回值的关键是看待问题的方法。
递归函数所处理的问题应该是可以分解为若干个子问题的，而这些子问题其实就是原问题的缩小范围。
（2）递归边界问题在递归函数中，我们必须要规定好对应的递归边界，也就是终止条件。
如果没有递归边界，那么整个递归链式结构将不断进行推进，直到系统无法承受，连程序都无法正常运行。
（3）将原问题分解为更小的子问题我们需要在递归函数中对原问题进行分解，即将原问题转化为若干个子问题。
这些子问题与原问题是同类问题，由于子问题的规模比原问题更小，我们可以通过解决子问题来解决原问题。
（4）进行递归调用确定好递归边界和子问题之后，就可以通过递归调用将问题规模不断缩小，使得问题最终可以直接得到解决。
（5）整合所有递归的结果递归算法的最后一步是整合所有递归的结果，将其合并为一个完整的解决方案。
这可能需要对递归结果进行一些计算和转换，然后将它们组合在一起形成最终结果。
三、递归算法的优缺点（1）优点递归算法可以清晰地表达问题的递归结构，很容易理解和实现。
对于复杂的问题，递归算法往往比起迭代算法更具可读性。
同时，递归算法还可以缩小问题的规模，使问题的求解更为高效。
（2）缺点递归算法的缺点在于它可能导致许多不必要的重复计算，这样会大大降低算法的效率。
此外，在调用函数时，需要保存参数、返回值和局部变量等一些额外的信息，这些信息都需要分配内存并占用空间。
当递归调用太深时，可能会引起严重的栈溢出问题。
四、递归算法的应用（1）数学问题递归算法常常在解决数学问题时得到应用。
例如，斐波那契数列、阶乘问题、最大公约数和最小公倍数问题等，都可以通过递归算法来解决。
（2）树形问题当我们需要处理树形问题时，递归算法也可以起到很好的作用。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
计算机专业课《算法》_第二章 递归与分治策略
“Hanoi 塔”问题演示 a 初始 a 步骤1 a
c
b
c
“Hanoi 塔”问题程序
void hanoi(int n,a,b,c)
{ if n == 1 move( 1, a, b );
else { hanoi( n-1, a, c, b );
move(n, a, b ); hanoi( n-1, c,b, a) ;
• 递归优点：结构清晰，可读性强
• 递归缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗 费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
整数划分问题的递归关系q(n,m)
如设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系 • q(n,m):正整数n的不同的划分中，最大加数不 大于m的划分个数个数 q(n,m)=
1 q(n,n) 1+q(n,n-1) q(n,m-1)+q(n-m,m) n=1, m=1 n<m n=m n>m>1
递归函数举例(5)
学习要点
理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。
通过典型范例，学习分治策略设计技巧。
2.1 递归的概念
• 递归算法：一个直接或间接地调用自身的算法 • 递归方程：对于递归算法，一般可把时间代 价表示为一个递归方程 • 递归函数：使用函数自身给出定义的函数 • 解递归方程最常用的方法是进行递归扩展
递归函数举例(1)
• 阶乘函数 n ！=
1 n(n-1)！ n=1 n>1
• Fibonacci数列
1 n=0
F(n)=
1 F(n-1)+F(n-2)
n=1 n>1
初始条件与递归方程是递归函数的二个要素
五大基础算法
五大基础算法算法是计算机科学中的一个重要概念，它是指为解决某一问题而设计的一系列计算步骤的有序集合。
在计算机科学中，算法是非常重要的，它们是计算机程序的核心部分，可以解决各种计算机科学问题，从简单到复杂都有。
基础算法是算法学习中最基本、最常用的一类算法，在日常生活当中也得到广泛应用。
接下来我们就来介绍五大基础算法。
一、排序算法排序算法是将一组数据按照某种规则进行排序的算法。
在日常生活中，我们经常使用排序算法来对一些数据进行排序，例如比赛名次，商品价格等等。
常见的排序算法有冒泡排序、快速排序、选择排序和插入排序等。
冒泡排序是一种较为简单的排序算法，它的基本思想是对相邻的数据进行比较和交换，从而达到排序的目的。
具体实现过程中需要通过两个嵌套的循环来进行比较和交换。
快速排序则是一种比较高效的排序算法，它的基本思想是采用“分治”策略，将数据分为两个子序列，一个比关键字小，一个比关键字大。
通过递归的方式不断进行分治，最终完成排序。
选择排序是通过选择最小的元素放到前面的位置，从而达到排序的目的。
插入排序则是通过将元素插入到已经排好序的序列中，使得整个序列有序。
二、递归算法递归算法是指函数调用自身的一种算法。
在计算机科学中，递归算法是一种基本的算法思想，它可以解决一些复杂的问题。
例如，二叉树的遍历、图的遍历、背包问题等等都可以使用递归算法来解决。
三、查找算法查找算法是在一个数据集中查找某一个元素的算法。
常见的查找算法有线性查找、二分查找和哈希查找等。
线性查找是将数据集中的元素与目标元素逐一比较，直到找到目标元素为止。
二分查找也叫折半查找，它的基本思想是先找到中间元素，再与目标元素进行比较。
通过每次缩小查找范围，最终找到目标元素。
哈希查找则是通过哈希函数将数据集映射到不同的散列表中，从而进行查找的算法。
四、贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的算法思想。
贪心策略是指每一步都选择当前局部最优解，从而最终达到全局最优解的策略。
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
函数的递归调用
函数的递归调用1.递归基本概念所谓递归，简而言之就是应用程序自身调用自身，以实现层次数据结构的查询和访问。
递归的使用可以使代码更简洁清晰，可读性更好。
但由于递归需要系统堆栈，所以空间消耗要比非递归代码要大很多，而且，如果递归深度太大，可能系统资源会不够用。
从理论上说，所有的递归函数都可以转换为迭代函数，反之亦然，然而代价通常都是比较高的。
但从算法结构来说，递归声明的结构并不总能够转换为迭代结构，原因在于结构的引申本身属于递归的概念，用迭代的方法在设计初期根本无法实现，这就像动多态的东西并不总是可以用静多态的方法实现一样。
这也是为什么在结构设计时，通常采用递归的方式而不是采用迭代的方式的原因，一个极典型的例子类似于链表，使用递归定义及其简单，但对于内存定义(数组方式)其定义及调用处理说明就变得很晦涩，尤其是在遇到环链、图、网格等问题时，使用迭代方式从描述到实现上都变得不现实。
因而可以从实际上说，所有的迭代可以转换为递归，但递归不一定可以转换为迭代。
2.C语言中的函数可以递归调用可以直接（简单递归）或间接（间接递归）地自己调自己。
这里我们只简单的谈谈直接递归。
采用递归方法来解决问题，必须符合以下三个条件：（1）可以把要解决的问题转化为一个新问题，而这个新的问题的解决方法仍与原来的解决方法相同，只是所处理的对象有规律地递增或递减。
说明：解决问题的方法相同，调用函数的参数每次不同（有规律的递增或递减），如果没有规律也就不能适用递归调用。
（2）可以应用这个转化过程使问题得到解决。
说明：使用其他的办法比较麻烦或很难解决，而使用递归的方法可以很好地解决问题。
（3）必定要有一个明确的结束递归的条件。
说明：一定要能够在适当的地方结束递归调用。
不然可能导致系统崩溃。
3.递归实例下面用一个实例来说明递归调用。
使用递归的方法求n!当n>1时，求n!的问题可以转化为n*(n-1)!的新问题。
比如n=5：第一部分：5*4*3*2*1 n*(n-1)!第二部分：4*3*2*1 (n-1)*(n-2)!第三部分：3*2*1 (n-2)(n-3)!第四部分：2*1 (n-3)(n-4)!第五部分：1 （n-5）! 5-5=0，得到值1，结束递归。
教你如何简单解决递归问题
教你如何简单解决递归问题递归问题是计算机科学中常见的一个概念，它在编程中经常被用到。
虽然递归算法能够帮助我们解决一些复杂的问题，但是在实际应用中，递归问题可能会导致效率低下、内存溢出等不良后果。
针对这些问题，本文将介绍一些简单有效的方法，帮助你解决递归问题，以提高程序的性能和效率。
1. 迭代代替递归递归算法的本质是函数不断调用自身，但是函数调用会产生额外的开销，尤其是在处理大规模的数据时。
为了简化递归问题，我们可以考虑使用迭代代替递归。
迭代算法使用循环结构来代替函数调用，从而减少开销，提高效率。
2. 减少递归深度递归算法的一个问题是递归深度过深，可能导致栈溢出。
为了解决这个问题，我们可以通过减少递归深度来降低风险。
一种常见的方法是使用尾递归优化。
尾递归是指在递归函数的最后一步调用自身，这样编译器可以将递归转化为迭代，从而减少递归深度。
3. 缓存中间结果递归算法的另一个问题是重复计算相同的子问题，这样会浪费时间和计算资源。
为了解决这个问题，我们可以使用缓存来存储中间结果。
缓存可以避免重复计算，提高计算效率。
一种常见的缓存方法是使用哈希表来记录已经计算过的结果，这样可以在下次遇到相同的子问题时直接查表而不需要重新计算。
4. 分治法分治法是一种常用的解决递归问题的方法。
其基本思想是将问题划分为多个子问题，然后分别解决这些子问题，并将结果合并得到最终的解。
分治法可以通过递归的方式来实现，但是由于分而治之的特点，它可以显著降低递归的复杂度。
5. 动态规划动态规划是一种高效解决递归问题的方法。
它基于问题的最优子结构特性，通过将问题分解为相互重叠的子问题，并使用递推的方式求解。
与递归算法相比，动态规划算法可以避免重复计算，提高效率。
总结：递归问题在计算机科学中广泛存在，但是在实际应用中，我们经常需要解决递归问题导致的效率低下、内存溢出等问题。
通过使用迭代代替递归、减少递归深度、缓存中间结果、分治法和动态规划等方法，我们可以简单解决递归问题，提高程序的性能和效率。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
3
cn2
3
2
cn2
3
分治策略
分治过程
比较过程
分析
• 从图例可以看出，当有8个金块的时候，方法1需 要比较15~16次，方法2只需要比较10次,那么形成 比较次数差异的根本原因在哪里? • 其原因在于方法2对金块实行了分组比较。 • 对于N枚金块，我们可以推出比较次数的公式： 假设n是2的次幂，c(n)为所需要的比较次数。 方法1： c(n)=2n-1 方法2：c(n) = 2c(n/2 ) + 2。 由c(2)=1, 使用迭代方法可知c(n) = 3n/2 - 2。在本 例中，使用方法2比方法1少用了2 5％的比较次数。
问题1：找出伪币
• 给你一个装有1 6枚硬币的袋子。1 6枚硬币中 有一个是伪造的，并且那个伪造的硬币比真 的硬币要轻一些。你的任务是找出这枚伪造 的硬币。 • 为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用 来比较两组硬币重量的仪器，比如天平。利 用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否 相同。
方法1
• 任意取1枚硬币，与其他硬币进行比较，若发现 轻者，这那枚为伪币。最多可能有15次比较。
二分过程
procedure Merge_Sort(var A: ListType; P, R: Integer); var Q: Integer; begin if P <> R then begin {若子序列A中不止一个元素} Q := (P + R - 1) div 2; {计算中间下标Q} Merge_Sort(A, P, Q); {继续对左子序列递归排序} Merge_Sort(A, Q +, Q, R) {对左右子序列归并} end; end;
分治策略
• 所谓分治法就是将问题分而治之。有将问题一 分为二，也有将问题一分为三或一分为N 等份。 对每一等份分别进行解决后，原问题就可以很 快得以解决。因此一个问题能否用分治法解决， 关键是看该问题是否能将原问题分成 n 个规模 较小而结构与原问题相似的子问题。递归的解 决这些子问题，然后合并其结果就得到原问题 的解。当n=2时的分治法又称二分法。 • 使用分治策略的问题常常要借助递归的结构， 逐层求解，当问题规模达到某个简单情况时， 解容易直接得出，而不必继续分解。
递归、分治、动态规划、回溯
n = 1, m = 1 n<m n=m n > m >1
递归举例
Hanoi塔问题 例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座.开始时,在塔座a上有一叠共n个圆 盘,这些圆盘自下而上,由大到小地叠在一起.各圆 盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一 叠圆盘移到塔座b上,并仍按同样顺序叠置.在移动圆 盘时应遵守以下移动规则: 规则1:每次只能移动1个圆盘; 规则2:任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘 之上; 规则3:在满足移动规则1和2的前提下,可将圆盘移至 a,b,c中任一塔座上.
边界条件
递归方程
A(1,0) = 2 A(0, m) = 1 m≥0 n≥2 A(n,0) = n + 2 A(n, m) = A( A(n 1, m), m 1) n, m ≥ 1
递归举例
例3 Ackerman函数 函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这 个函数是双递归函数 双递归函数. 双递归函数 Ackerman函数A(n,m) A(n, Ackerman A(n m)定义如下:
递归举例
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为:
边界条件
n=0 1 n!= n(n 1)! n > 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函 数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出 结果.
递归举例
Fibonacci数列 例2 Fibonacci数列 无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,被 称为Fibonacci数列.它可以递归地定义为:
A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数: M=0时,A(n,0)=n+2 M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2^n .
递推-递归-分治-回溯
递推算法在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。
这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。
典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。
在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。
但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。
下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。
例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。
这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。
我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。
很明显，这是一个菲波拉契数列。
到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。
在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。
我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。
定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。
算法设计与分析：第02章 递归与分治策略
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1
递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
课件第2章
递归与分治策略
算法总体思想
• 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 题。 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
算法总体思想
下面来看几个实例。
2.1
递归的概念
边界条件
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。
2.1
递归的概念
例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，被 称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
2.1
递归的概念
例6 Hanoi塔问题 public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) 当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试 接移至塔座b上即可。 用递归技术来解决这个问题。 { 思考题：如果塔的个数变为a,b,c,d 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个 if (n > 0) 四个，现要将n个圆盘从a全部移动 较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下的最 { 到d，移动规则不变，求移动步数最 大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照 hanoi(n-1, a, c, b); 小的方案。 移动规则从塔座c移至塔座b。 move(a,b); 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， hanoi(n-1, c, b, a); 这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题 的递归算法如下。 } }
递归和分治法
递归和分治法摘要：一、递归与分治法的概念1.递归：函数调用自身的思想2.分治法：把一个大问题分解成若干个小问题二、递归与分治法的联系与区别1.递归通常作为分治法的实现方式2.分治法不一定要用递归实现三、递归与分治法的应用实例1.快速排序算法2.归并排序算法3.汉诺塔问题正文：递归和分治法是两种在计算机科学中经常使用的解决问题的方法。
递归是一种函数调用自身的思想，即函数在执行过程中，会调用自身来完成某些操作。
而分治法则是把一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后再把它们的解合并，得到大问题的解。
这两种方法在某些情况下可以相互转化，递归通常作为分治法的实现方式，但分治法不一定要用递归实现。
递归与分治法之间的联系在于，递归通常是分治法的实现方式。
在分治法中，我们会把一个大问题分解成若干个小问题，然后通过递归的方式，逐个解决这些小问题。
最后，再把它们的解合并，得到大问题的解。
在这个过程中，递归函数的调用栈会随着问题规模的减小而减小，最终回到原点，从而完成问题的求解。
然而，分治法并不一定要用递归实现。
在一些情况下，我们可以通过迭代的方式，逐个解决小问题，然后把它们的解合并。
这种方式虽然不是通过递归函数调用自身来实现的，但它仍然符合分治法的思想，即把大问题分解成小问题，逐个解决。
递归和分治法在实际问题中有很多应用。
例如，快速排序算法和归并排序算法都是基于分治法的思想设计的。
在快速排序算法中，我们选择一个基准元素，然后把数组中小于基准的元素放在左边，大于基准的元素放在右边，再对左右两个子数组递归地执行相同的操作，直到数组有序。
而在归并排序算法中，我们同样把数组分成左右两个子数组，然后递归地对它们进行排序，最后再把排序好的子数组合并成一个有序的数组。
另一个例子是汉诺塔问题。
在这个问题中，有三个柱子和一个大小不同的圆盘。
要求把圆盘从第一个柱子移动到第三个柱子，每次只能移动一个圆盘，并且大盘不能放在小盘上。
C语言与程序设计ppt-第12章递归
第12章 递 归
华中科技大学计算机学院 卢萍
华中科技大学计算机学院C语言课
2021/4/25
程组
1
本章讲授内容
递归（recursion）是一项非常重要的编 程技巧，可以使程序变得简洁和清晰，是 许多复杂算法的基础。本章介绍 递归、递归函数的概念； 递归的执行过程； 典型问题的递归函数设计； 分治法与快速排序； 回溯法； 递归在动态规划等算法中的应用。
12
【例12.3】 设计一个求解汉诺塔问题的算法。
这是一个典型的用递归方法求解的问题。要移动n个 盘子，可先考虑如何移动n 1个盘子。分解为以下3 个步骤：
（1）把A上的n-1个盘子借助C移到B。 （2）把A上剩下的盘子（即最大的那个）移到C。 （3）把B上的n-1个盘子借助A移到C。 其中，第（1）步和第（3）步又可用同样的3步继
2021/4/25
华中科技大学计算机学院C语言课程组
2
12.1 递归概述
递归是一种函数在其定义中直接或间接调用 自己的编程技巧。递归策略只需少量代码就 可描述出解题过程所需要的多次重复计算， 十分简单且易于理解。
递归调用：函数直接调用自己或通过另一函 数间接调用自己的函数调用方式
递归函数：在函数定义中含有递归调用的函 数
续分解，依次分解下去，盘子数目n每次减少1，直 至n为1结束。这显然是一个递归过程，递归结束条 件是n为1。
2021/4/25
华中科技大学计算机学院C语言课程组
13
函数move(n,a,b,c)
为了更清楚地描述算法，可以定义一个函数 move(n,a,b,c)。该函数的功能是：将n个盘 子从木桩a上借助木桩b移动到木桩c上。算法 的第（1）步和第（3）步的实现都是递归调 用，分别为move(n-1,a,c,b)和move(n1,b,a,c)。
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函数的递归调用与分治策
略
This manuscript was revised on November 28, 2020
函数的递归调用与分治策略
递归方法是算法和程序设计中的一种重要技术。
递归方法即通过函数或过程调用自身将问题转化为本质相同但规模较小的子问题。
递归方法具有易于描述和理解、证明简单等优点，在动态规划、贪心算法、回溯法等诸多算法中都有着极为广泛的应用，是许多复杂算法的基础。
递归方法中所使用的“分而治之”的策略也称分治策略。
递归方法的构造
构造递归方法的关键在于建立递归关系。
这里的递归关系可以是递归描述的，也可以是递推描述的。
下面由一个求n的阶乘的程序为例，总结出构造递归方法的一般步骤。
[例1]从键盘输入正整数N（0<=N<=20），输出N!。
[分析]N!的计算是一个典型的递归问题。
使用递归方法来描述程序，十分简单且易于理解。
[步骤1]描述递归关系递归关系是这样的一种关系。
设{U1,U2,U3,…,Un…}是一个序列，如果从某一项k开始，Un和它之前的若干项之间存在一种只与n有关的关系，这便称为递归关系。
注意到，当N>=1时，N!=N*(N-1)!（N=1时，0!=1），这就是一种递归关系。
对于特定的K!，它只与K与(K-1)!有关。
[步骤2]确定递归边界在步骤1的递归关系中，对大于k的Un的求解将最终归结为对Uk的求解。
这里的Uk称为递归边界（或递归出口）。
在本例中，递归边界为k=0，即0!=1。
对于任意给定的N!，程序将最终求解到0!。
确定递归边界十分重要，如果没有确定递归边界，将导致程序无限递归而引起死
循环。
例如以下程序：
#include <>
int f(int x){
return(f(x-1));
}
main(){
cout<<f(10);
}
它没有规定递归边界，运行时将无限循环，会导致错误。
[步骤3]写出递归函数并译为代码将步骤1和步骤2中的递归关系与边界统一起来用数学语言来表示，即
N*(N-1)! 当N>=1时
n!=
1 当N=0时
再将这种关系翻译为代码，即一个函数：
long f(int n){
if (n==0)
return(1);
else
return(n*f(n-1));
}
[步骤4]完善程序主要的递归函数已经完成，将程序依题意补充完整即可。
ey>
j--;
if(i<j)
{
R[i]=R[j];
i++;
}
while( i<j&&R[i].key<
i++;
if(i<j)
{
R[j]=R[i];
j--;
}
}
R[i]=temp;
QuickSort(R,s,i-1);
QuickSort(R,i+1,t);
}
}
[例6]“九宫阵”智力游戏。
[问题描述]一个9×9方阵，由9个“九宫格”组成，每个九宫格又由3×3共9
个小格子组成。
请在每个空白小格子里面填上1～9的数字，使每个数字在每个九宫格内以及在整个九宫阵中的每行、每列上均出现一次。
（1）编程将下面图中的九宫阵补充完整。
（2）讨论是否可能给出“九宫阵”的全部解
[分析]本题可利用回溯法解决，其基本思想为深度优先搜索（DFS），这也是一种以分治策略为基础的算法。
回溯法与纯粹的DFS不同的是，它在搜索过程中不断杀死不合题意的结点。
这一点保证了解法的效率。
首先考虑如何得出全部解的情况。
解空间树容易构造，只需按顺序（从第一行第一个数字开始到第一行最后一个，然后第二行……，一直到最后一行最后一个数字）“尝试”填入数字即可。
为了解决这个问题，我们需要先编写一个函数check，其原型为int check(int i,int j,int k)，用于求第i行第j列能否填上数字k。
如果可以，返回1，否则返回0。
由于我们是按顺序填入数字的，看起来一个数字后面的数字并不在判断能否填的范围内。
但为了解决题中某个特解问题的方便，还是引入较为严谨的判断方法。
函数check代码如下：
int check(int i,int j,int k){
int l,m,pi,pj;
Check the line
for (l=1;l<=9;l++)
if ( (l!=j) && (a[i][l]!=0) && (a[i][l]==k) )
return(0);
Check the column
for (l=1;l<=9;l++)
if ( (l!=i) && (a[l][j]!=0) && (a[l][j]==k) )
return(0);
Check the 3x3 matrix
Check the line
for (l=1;l<=9;l++)
if ( (l!=j) && (a[i][l]!=0) && (a[i][l]==k) )
return(0);
Check the column
for (l=1;l<=9;l++)
if ( (l!=i) && (a[l][j]!=0) && (a[l][j]==k) )
return(0);
Check the 3x3 matrix
// Firstly we will have to check the parent_i(pi) and parent_j(pj) if (i<=3) pi=1;
else if (i<=6) pi=4;
else pi=7;
if (j<=3) pj=1;
else if (j<=6) pj=4;
else pj=7;
// Now we can check it
for (l=0;l<=2;l++)
for (m=0;m<=2;m++){
if ( ((pi+l)!=i) && ((pj+m)!=j) )
if ( ( a[pi+l][pj+m]!=0 ) && ( a[pi+l][pj+m]==k ) ) return(0);
}
return(1);
}
void output(){
int i,j;
cout<<"One solution is:"<<endl;
for (i=1;i<=9;i++)
{
for (j=1;j<=9;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
void backtrack(int i,int j,int k){
int l;
if (check(i,j,k)==1)
{
a[i][j]=k; //Fill in the okay solution
//Generate next i,j
do{
if (j<9) j++;
else { i++; j=1; }
} while (a[i][j]!=0); //End of Generate next i,j
if (i<10)
{
for (l=1;l<=9;l++)
backtrack(i,j,l);
}
else
output();
a[i][j]=0; /*When fails and goes upperwards, the value must be cleared*/
}
}
void init(){
a[1][2]=9; a[1][6]=4; a[1][7]=5; a[1][9]=7;
a[2][3]=3; a[2][5]=7; a[2][6]=9; a[2][7]=4;
a[3][4]=3; a[3][5]=6; a[3][8]=8; a[3][9]=9;
a[4][1]=3; a[4][4]=1;
a[5][3]=4; a[5][8]=2; a[5][9]=3;
a[6][2]=1; a[6][3]=2; a[6][6]=3;
a[7][1]=8; a[7][8]=5;
a[8][2]=6; a[8][4]=2; a[8][5]=9;
a[9][2]=2; a[9][3]=1; a[9][7]=8;
//memset(a,0,sizeof(a));
}
int main(){
int i;
for (i=1;i<=9;i++){
init();
backtrack(1,1,i);
}
system("PAUSE");
return 0;
}
递归方法在算法与数据结构中的应用无所不在，如动态规划（状态方程）、回溯法（深度优先搜索）等等，以上两例只是冰山一角。
只有熟悉掌握函数递归调用的编程方法，深入理解分治策略的重要思想，才能编写出功能强大、高效简明的程序。