信号与系统绪论第一章

系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定 功能的整体。 功能的整体。
通信系统的一般模型
1.3 系统的描述与分类
通信的主要任务：快速、准确、 通信的主要任务：快速、准确、经济的传递信号 信息传输技术的工作对象： 信息传输技术的工作对象：信号 为了完成任务必须研究：信号的特性、系统的分析方法 为了完成任务必须研究：信号的特性、
1.3 系统的描述与分类
例1：若T[e(t)]=ae(t)+b=r(t)，问该系统是否为线性系统？ 解：∵ T [ k1e1 ( t ) + k 2 e 2 ( t )] = a[ k1e1 ( t ) + k 2 e 2 ( t )] + b 而 k1r1 ( t ) + k 2 r2 ( t ) = k1T [ e1 ( t )] + k 2T [ e2 ( t )]
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
信号的运算与波形变换（信号的基本运算有8 信号的运算与波形变换（信号的基本运算有8种）
f 1、相加： 1 ( t ) + f 2 ( t ) 相加：
f1 (t ) f 2 (t )
f (t)
t 0
f1 (t )
0
f2 (t)
t
重要结论：任意信号f 重要结论：任意信号f（t）可分解为偶分量与奇分量之和 证明： 证明： f ( t ) =
5 左移 2 反转 拉伸
解：（1）时移
f ( −2t ) 1 2δ (t − ) 2
5 5 ∵ [ 5 − 2 ( t + )] = − 2 t , ∴ 以 t + 代替 t ， 2 2
而求得－2t，即f(5-2t)左移
5 2
由f（5－2t)时移 f(－2t)
−1
0
1 2
t
（2）反转：f(-2t)中以-t代替t，可求得f(2t),表明f(-2t)的波形 反转：f(-2t)中以- 代替t 可求得f(2t),表明f(-2t)的波形 中以 f(2t),表明f( 以t＝0的纵轴为中心线对褶，注意 的纵轴为中心线对褶，
= k1 [ ae1 ( t ) + b ] + k 2 [ ae2 ( t ) + b ] = a [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] + bk1 + bk 2
显然 T [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] ≠ k1r1 ( t ) + k 2 r2 ( t ) 故系统为非线性系统。
f (t + t 0 )
左移 1
− t0 − 2 − t0 − t0 + 1
0
f (−t + t 0 )
反转
1
0
f (t )
1
t0 − 1 t0
t0 + 2 t
－2
0 1
t
f (t − t 0 )
1 右移 t0 − 2 t0 t 0 + 1 t
− t0 − 1 − t0 − t0 + 2
f (−t − t 0 )
意义：在同样起始条件 下，系统的响应与激励 输入的时刻无关。
t0
t0 +T
t
0
t0
t
波形不变，仅延时 t0
1.3 系统的描述与分类
例3：判断以下系统是否为非时变系统。
(1) r (t ) = T [e(t )] = ate(t ). (2) r (t ) = T [e(t )] = ae(t )
例：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。
f (5 − 2t )
2δ (t − 3)
0
3 2
5 2
3
t
分析: f (t) 压缩 f (2t) 反转 f (−2t ) 平移 f (5 − 2t) → → → 5 ∵−（t − ） 5 − 2t 2 = 2 5 ∴右移 2 求解过程 f (5 − 2t ) → f (−2t) → f (2t ) → f (t) :
1
t
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
尺度变换（横坐标展缩） 8. 尺度变换（横坐标展缩）
f (t )
f ( 2t )
1 f ( t) 2
−1
0
1
t
−
1 2
0
快速播放
1 2
t
− 2
0
2
t
慢速播放
f（at） a为常数 |a|>1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/|a|倍 |a|<1表示f(t)波形在时间轴上扩展|a|倍
4δ (t + 1)
f (t )
比例 由f(2t)
－1 0 1 2
f(t)
t 两边积分，得
证明 δ ( at ) =
a > 0, a < 0,
∫ ∫
∞ −∞ ∞
1 δ(t ) |a|
= 1 a
δ(at)dt
∫ ∫
∞
δ(at)d(at)
−∞
=
1 a
∫
δ(t)dt
=
∫
1 a
δ(t)dt
δ(at)dt
−∞
与
离散时间系统
输入、 输入、输出都是离散时间信 号，其数学模型是差分方程
实际上，这两种系统常组合运用， 实际上，这两种系统常组合运用，称为混合系统 2、即时系统和动态系统（按照系统内是否含有记忆元件） 即时系统和动态系统（按照系统内是否含有记忆元件） 无源系统和有源系统（按系统内是否含源） 3、无源系统和有源系统（按系统内是否含源） 集中参数系统和分布参数系统（按系统的参数是集中的或分布的） 4、集中参数系统和分布参数系统（按系统的参数是集中的或分布的） 线性系统和非线性系统（按其特性分） 5、线性系统和非线性系统（按其特性分） 时不变系统与时变系统（按其参数是否随t而变） 6、时不变系统与时变系统（按其参数是否随t而变） 本课程主要研究：集中参数的、 本课程主要研究：集中参数的、线性非时变的连续时间和离 散时间系统。以后简称线性系统。 散时间系统。以后简称线性系统。
e(t) 输入激励
T[ ]
输入输出
r(t) 输出响应
此图表示系统功能的方 框图，表示单输入、单 输出系统。
故系统也可看作是一个转换（或一种运算）：r ）＝T[e(t)] 故系统也可看作是一个转换（或一种运算）：r（t）＝T[e(t)] ）：
1.3 系统的描述与分类
信号作用于系统产生响应举例：心电图机
1.3 系统的描述与分类
电路与系统很难区分，只是观点和处理问题的角度上的差别。 电路与系统很难区分，只是观点和处理问题的角度上的差别。 电路分析：求解电路中各支路或回路电流及各节点的电压。 电路分析：求解电路中各支路或回路电流及各节点的电压。 系统分析：重点讨论输入、输出关系或运算功能。 系统分析：重点讨论输入、输出关系或运算功能。
ε (t )
t
δ (t )
4 t t
1 0 -1
3
0
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
5、积分 f(t) 0
∫
t
−∞
f ( τ )dτ
e −αt
f(t)= t
0 < t < t0
−α( t −t0 )
t0 >>
1
t0
e −e
−αt
t0 ≤ t < ∞
α
0
t0
t
0<t<t0 α f (τ )dτ =1 −αt 1 −α( t−t0 ) ∫−∞ (1−e )− [1−e ] ( t0≤t<∞) α α t 1 −αt (1−e )
δ (t ) 是偶数，故 是偶数，
1 1 2δ ( − t − ) = 2δ ( t + ) 2 2
1 2δ (t + ) 2
f(2t) 由f(－2t) f(－
− 1 2
反褶
f(2t)
0
1
t
1 t 代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形将是f(2t)波 比例： 代替f(2t)中的t 所得的f(t)波形将是f(2t) f(2t)中的 f(t)波形将是f(2t)波 （3）比例：以 2 形在时间轴上扩展两倍。
心脏跳动
心电图机
心电图波形
1.3 系统的描述与分类
信号作用于系统产生响应举例：汽车系统&照相机系统 脚压力 汽车 汽车制动
光信号
照相机
像片
1.3 系统的描述与分类
二、系统的分类（6大系统)classification of the system
1、 连续时间系统
输入、 输入、输出都是连续时间信 号，其数学模型是微分方程
?
2
f (−t)
2
-4
-2
f (−t +4)
0
2
4
t
-4
-2
f (−2t +4)
0
2
4
t
2
2
0
2
4
6
8
t
0
1 2
3 4
t
1.3 系统的描述与分类
一般来讲，系统是一个由若干互有关联的单元组成的并具有某种功 能以用来达到某些特定目的的有机整体，其意义十分广泛。
控 制 系 统
1.3 系统的描述与分类
一 系统的描述 *什么是系统？ 什么是系统？
k1 y1 (t ) + k 2 y 2 (t )
即
k1 f1 (t ) + k 2 f 2 (t )
故系统是线性系统
1.3 系统的描述与分类
2、时不变性（非时变性） 时不变性（非时变性） 判据：若 T [e(t )] = r (t ) 判据 则 T [e(t − t0 )] = r (t − t0 ) e(t) 若 E 0 则 E 0 T e(t－t0 ) t 0 r(t－t0 ) t r(t)
积分运算可削弱毛刺噪声的影响
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
反转（反褶） （－t）：信号 信号f （－t 6. 反转（反褶）f（－t）：信号f（t）与f（－t）以纵轴镜像对称
f (t )
1 -2 0 1 t -1
1
f (−t )
反 转 离散反转
0
2
t
7、平移（移位） f(t-b) 平移（移位） f(tf (t )
解：方法一、先反转后平移
f (t )
1
－2 0 1 t
1
-1 0
f (−t )
右移
f (−t + t0 )
1
0
2
t
t0 − 1 t0 2 + t0 t
f (− t ) → f ( − t + t 0 ) = f [ −(t − t 0 )]
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
方法二、先平移后反转(注意：是对t 的变换！)
= −
1 a
δ(t)dt
证毕。
1 1 1 ∴ 2δ ( t + ) = 2δ [ ( t + 1 )] = 4δ ( t + 1 ) 2 2 2
作业 2t＋ 的波形。 1、信号f(t)的波形如图所示。画出信号f（－2t＋4）的波形。 信号f(t)的波形如图所示。画出信号f f(t)的波形如图所示
f (t )
1 [ f ( t ) + f ( t ) + f ( − t ) − f ( − t )] 2 1 1 = [ f ( t ) + f ( − t )] + [ f ( t ) − f ( − t )] 2 2 = fe (t) + fo (t)
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
f (t ) f e (t ) f o (t )
t
f 2、相乘： 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) 相乘：
sinΩt sin8Ωt
t
t
sinΩt ×sin8Ωt
t
t
t
3、幅度变化af（t） 幅度变化af（ af
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
4、微分
Байду номын сангаас
df ( t ) dt
f (t )
1 0 1 df (t ) dt 1 3 4 t 1 0
1.3 系统的描述与分类
三、线性时不变系统的基本特性
properties of the LTI system 1、叠加性与齐次性（合称线性性质） 叠加性与齐次性（合称线性性质）
线性系统判据
若 e1 (t ) → r1 (t ) , e2 (t ) → r2 (t )
则 k1e1 (t) + k2e2 (t) →k1r1 (t) + k2r2 (t)
1.3 系统的描述与分类
dy(t ) df (t ) 例2：判断下列系统是否为线性系统？ + a0 y(t ) = b0 f (t ) + b1 dt dt
解：设
f1(t) → y1(t),
f2 (t) → y2 (t);
由已知方程得：
d d k1[ y1(t) + a0 y1(t)]= k1[b0 f1(t) +b1 f1(t)]− − − −(1) dt dt
f(t)右移 右移b b<0,f(t)左移 b∣。 左移∣ b>0, f(t)右移b；b<0,f(t)左移∣b∣。
f (t − b)
f (t + b)
平 移 离散平移
-1
b1
t
-1+b
1 1+b t
-1-b
1-b
t
右移b
左移b
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
例：已知f（t）波形，求 f ( −t − t0 ), f ( −t + t0 )
d d k 2 [ y 2 (t ) + a0 y 2 (t )] = k 2 [b0 f 2 (t ) + b1 f 2 (t )] − − − − (2) dt dt
将（1）＋（2）得：
d [k1 y1(t) + k2 y2 (t)]+ a0[k1 y1(t) + k2 y2 (t)] = d (t) d b0[k1 f1(t) + k2 f 2 (t)]+ b1{ [k1 f1(t) + k2 f 2 (t)]} dt