浙江省温州市龙湾中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题

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浙江省温州中学高三数学3月月考试题理新人教A版

高三理科数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 )(312211S S S S h V++=24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式 h 表示棱台的高334R V π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{2}x A x y ==，{|B y y ==，则A B =( )A ．{0}x x >B ．{0}x x ≥C ．{24}x x x ≤≥或D ．{024}x x x <≤≥或2．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( )A ．[]1,1-B ．[2,0]-C ．[]0,2D ．[]2,2-3．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是( )A ．13cmB ．33cmC ．53cmD ．73cm4．已知条件p ：34k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（）侧视图俯视图A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．将函数)(x f y =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为22cos y x =，则函数)(x f 的表达式可以是（）A ．x sin 2B ．x cos 2C ．x 2sinD ．x 2cos6．如图所示的程序框图，若执行运算111112345⨯⨯⨯⨯，则在空白的执行框中，应该填入（）A ．(1)T T i =⋅+B ．T T i =⋅7．从6名教师中选4名开发A 、B 、C 、D 四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A 课程，则不同的选择方案共有（） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种8．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（）A ．6π B．4π C ．3π D ．2π9．已知点(0,0),(1,1)O A -，若F 为双曲线122=-y x 的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP⋅的取值范围为（） A ．1,1)B ．C ．D ．)+∞10．如图，矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将△ABE沿直线BE 翻转成△A 1BE ，使平面A 1BE ⊥平面ABCD ，则点A 1的轨迹是（）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．以上答案都不是非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．二项式281(x x-的展开式中，含x 的项的系数是________.12．已知,x y 是实数,且2(2i-2)1i 0x x y ++-=(其中i 是虚数单位),则|i |x y +=_____. 13．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量ξ为两人中能达第10题图1A E DCBA标的人数，则ξ的数学期望E ξ为． 14．数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则=n a . 15．已知函数()'()sin cos ,6f x f x x π=+则()6f π的值为 .16．已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y 的最小值是 .17．设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤），则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，正确的是 .①若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+②若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =③若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+ ④若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.19．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++，111111111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T <20．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -底面是菱形，PA ABCD 平面⊥，60ABC ︒∠=,,E F 分别是,BC PC 的中点.（Ⅰ）求证: 平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD所成的最大角为45︒，求二面角E AF C --的正切值.21.（本题满分15分）抛物线2:4C x y =，直线AB 过抛物线C 的焦点F ，交x 轴于点P .（Ⅰ）求证：2PF PA PB =⋅；（Ⅱ）过P 作抛物线C 的切线，切点为D （异于原点），（i ）,,DA DF DB k k k 是否恒成等差数列，请说明理由；（ii ）ABD ∆重心的轨迹是什么图形，请说明理由.22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈）（Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．理科数学参考答案2014.3 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．-56 12．1.6 14．112,13,2nnn+=⎧⎨≥⎩15．-1 16．4 17．②③④三、解答题：18（本小题满分14分）解：（Ⅰ）319．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）13n na=20.四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥面ABCD，∠ABC=060,E,F分别是BC,PC的中点.（1）求证: 面AEF⊥面PAD（2）H是PD上的动点，EH与面PAD所成的最大角为045，求二面角E-AF-C的正切值.(1)设菱形ABCD的边长为2a，则22202(2)22cos603,AE a a a a a=+-⋅=222BE AE AB+=,∴AE⊥BC,又AD||BC, ∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD, ∴PA⊥AE,AE⊥面PAD, ∴面AEF⊥面PAD.（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.过点A作AH⊥PD，连接EH，∵ AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.∵∠AHE＝045，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,CQ=12a,tan∠EGQ=23EQGQ=.21.(1) 即证121y y= (2) 能抛物线24(2)3x y=-22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈）（Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：由()0f x =得：30x ax -=或2ln(1)0x a +-= 可得0x =或2x a =且210x a +-> ∵方程()0f x =有3个不同的根，∴方程2x a =有两个不同的根 ∴0a >又∵210x a +->，且要保证x 能取到0∴10a -> 即1a < ∴01a <<．（Ⅱ）解：∵222222()()(3)ln(1)1x x a f x x a x a x a -'=-+-++-令2x t =，设2()()(3)ln(1)()1t t a g t t a t a f x t a-'=-+-+=+-∴(0)ln(1)0g a a =-->2(1)(1)(3)ln(2)2a g a a a-=--+- ∵01a << ∴21a -> ∴(1)0g >()0g a =2()2()ln(1)ln(1)22222212a a a a a a a a g a a ⋅-=-+=---- ∵01a << ∴11122a <-<，20a -> ∴()02ag <∴存在1(0,)2a t ∈，使得1()0g t =，另外有(,1)2aa ∈，使得()0g a =假设存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =则存在1x ∈，使得1()0f x '=，另外有0f '=，即2x =∴1x =，∴0f '=，即3()324ln(1)034414a a a a a ⋅---+=- 即333(1)ln(1)0442a a a --+= （*）设333()(1)ln(1)442h a a a a =--+∴3333333()ln(1)ln(1)4442444h a a a '=---+=--+∵01a << ∴3ln(1)04a -<∴()0h a '> ∴()h a 在(0,1)上是增函数 ∴()(0)0h a h >=∴方程（*）无解，即不存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x。

浙江省部分重点中学高三下学期3月联考数学(理)试题.pdf

第6　物态变化考纲要求备考指津1.能说出生活环境中的常见温度值。

了解体温计的工作原理。

会测量温度。

2．能区别六种物态变化，能描述六种物态变化的基本特征和条件，并能用这些知识解释生活中的相关现象。

3．能设计实验探究物态变化过程，能从实验数据和现象归纳科学结论。

由于中考注重对实验操作能力和应用知识能力的考查，因而液体温度计的使用、物态变化的实验及现象、对各种物态变化现象的解释等是中考的热点。

预计在今后的中考中涉及的内容会更加注意联系与人们生产和生活关系密切的自然现象。

题目形式活泼、新颖，数理结合，会逐渐从物态变化知识解释自然现象过渡到利用物态变化知识解决实际问题，考查学以致用的能力。

考点1　温度计 (1)温度 ①定义：温度表示物体的冷热程度。

②摄氏温度：用符号t表示，单位是摄氏度，单位符号为℃。

摄氏温度是这样规定的：在标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为0 ℃，把沸水的温度规定为100 ℃，在0 ℃和100 ℃之间分成100等份，每一等份是摄氏温度的一个单位，叫做1摄氏度。

(2)温度计 ①原理：常用温度计是利用液体的热胀冷缩的性质制成的。

②构造：常用温度计的基本构造有：玻璃管、玻璃泡、测温液体、刻度、温标等。

③使用：估：测量前，先估计被测物体的温度；选：根据估计选择合适量程的温度计；认清温度计的量程和分度值，被测温度不能超过温度计的量程；放：测量时要将温度计的玻璃泡浸没入被测液体，不要碰到容器壁和容器底；读：待温度计的示数稳定后读数，读数时，玻璃泡要停留在被测液体中，视线必须与温度计液柱的上表面相平；记：记录测量结果后，取出温度计，测量结果包括数值和单位。

④体温计的测量范围是35～42_℃，分度值是0.1_℃；可以离开人体读数，使用前要甩几下。

⑤实验室温度计、体温计、寒暑表的异同：实验室温度计体温计寒暑表原理液体的热胀冷缩测温液体煤油、水银、酒精等水银煤油、酒精量程－20～110℃35～42 ℃－30～50 ℃分度值1_℃0.1_℃1_℃构造玻璃泡上部是均匀细管金属泡与毛细管间有一段细而弯的“缩口”玻璃泡上部是均匀细管使用方法不能离开被测物体读数，不能甩使用前要甩几下，可离开人体读数放在被测环境中直接读数，不能甩考点2　熔化和凝固 (1)熔化和凝固是两个互逆的物态变化过程：物质从固态变成液态的过程叫熔化，物质从液态变成固态的过程叫凝固。

2021年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷(3月份)(解析版)

2021年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（3月份）一、选择题（共10小题）.1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1 2．一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球（）A．属于随机事件B．可能性大小为C．属于不可能事件D．是必然事件3．抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（0，4）D．（0，﹣4）4．已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．7D．85．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为1.5米，设梯子与地面所夹的锐角为α，则cosα的值为（）A．B．C．D．6．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC7．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．B．C．D．8．如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（）A．﹣1B．1﹣C．﹣1D．1﹣9．如图1，Rt△ABC中，BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D 两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，已知y与x之间的函数关系如图2所示，则a的值是（）A．B．1C．D．10．如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着水平移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（）A．n ＝（m ﹣）2﹣B．n ＝（m ﹣）2 C．n ＝（m ﹣）2﹣D．n ＝（m ﹣）2﹣二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．已知线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是线段a和b的比例中项，线段c＝cm．12．小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：投篮次数20406080120160200投中次数1533496397128160投中的频率0.750.830.820.790.810.80.8估计小亮投一次篮，投中的概率是．13．已知一个扇形的半径为4cm，面积是20cm2，则它的弧长为cm．14．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于．15．如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长为．16．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针旋转，当旋转角度为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝80厘米，DE＝25厘米，EC＝35厘米．则点D'到BC 的距离是厘米；点E和E′两点的距离是厘米．三、解答题（共8题，满分80分）17．（1）计算：﹣2sin60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；（2）已知＝，且a+b＝20，求a，b的值．18．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为；（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，4），（4，3）．（1）在图中画出点P，使点P到A，B，C三点的距离都相等；（2）在图中画出点D，使点D在格点上，且∠ADB＝∠ACB．（画出一种情况即可）20．如图，小叶与小高欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A处测得树顶端D仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求出台阶AC的长；（2）求出树DE的高度．21．如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°．（1）求证：△BPE∽△CEQ；（2）若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长．22．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）求证：∠A＝∠DOC；（2）连接AO并延长交⊙O于点M，若DC＝2，AB＝4，求AM的长．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E 三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．（1）求证：AE＝DH；（2）连接DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；（3）连接HK，KE，在点E的运动过程中，当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE的长．参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．解：A．是二次函数，故本选项符合题意；B．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A．2．一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球（）A．属于随机事件B．可能性大小为C．属于不可能事件D．是必然事件【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．解：一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球属于不可能事件；故选：C．3．抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（0，4）D．（0，﹣4）【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，即要令x等于0，代入抛物线的解析式求出对应的y值，写成坐标形式即可．解：把x＝0代入抛物线y＝2x2+4中，解得：y＝4，则抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（0，4）．故选：C．4．已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．7D．8【分析】先根据垂径定理求出AM＝AB，再根据勾股定理求出AM的值．解：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA＝5，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，由垂径定理知，点M是AB的中点，AM＝AB，由勾股定理可得，AM＝4，所以AB＝8．故选：D．5．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为1.5米，设梯子与地面所夹的锐角为α，则cosα的值为（）A．B．C．D．【分析】根据余弦函数的定义即可求解．解：∵在Rt△BAC中，∠ACB＝90°，AB＝2.5，BC＝1.5，∴cosα＝cos B＝＝＝．故选：A．6．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．7．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，据此可得答案．解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，∴飞镖落在阴影区域的概率是，故选：B．8．如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（）A．﹣1B．1﹣C．﹣1D．1﹣解：如图：正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积＝2S1+S3+S4；②②﹣①，得：S1﹣S2＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝﹣1．故选：A．9．如图1，Rt△ABC中，BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D 两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，已知y与x之间的函数关系如图2所示，则a的值是（）A．B．1C．D．解：由图象得，y＝4为三角形ABC的面积．∴S△ABC＝AC•BC＝4，∵BC＝2，∴AC＝4，如图，x＝a时，点E落在AB上，∵ED∥BC．EF∥AC，∴△BFE∽△EDA∽△BCA，∴，即，解得a＝．故选：C．10．如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着水平移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（）A．n＝（m﹣）2﹣B．n＝（m﹣）2C．n＝（m﹣）2﹣D．n＝（m﹣）2﹣解：∵抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），∴BC的中点M坐标为（，），即点M坐标为（2，1）．∵点C沿着此抛物线运动，点M也随之运动，点M的运动轨迹是抛物线，且经过（2，1），（6，﹣1）∴设抛物线的解析式为y ＝x2+bx+c，则有，解得∴m，n满足，n ＝m2﹣m+8＝（m ﹣）2﹣，故选：D．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．已知线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是线段a和b的比例中项，线段c＝4cm．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．即c2＝ab，则c2＝2×8，解得c＝±4，（线段是正数，负值舍去）．故答案为：4．12．小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：投篮次数20406080120160200投中次数15334963971281600.750.830.820.790.810.80.8投中的频率估计小亮投一次篮，投中的概率是0.8．解：∵0.75≈0.8，0.83≈0.8，0.82≈0.8，0.79≈0.8，…，∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.8左右，∴估计小亮投一次篮，投中的概率是0.8，故答案为：0.8．13．已知一个扇形的半径为4cm，面积是20cm2，则它的弧长为10cm．解：设弧长为L，则20＝L×4，解得L＝10（cm），故答案为：10．14．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于．解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2＝102，解得，x＝6．∴较长边的边长为x+2＝8．∴tanα＝短边：长边＝6：8＝．15．如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长为2．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝6，∴BC＝AB＝12，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝3，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝3，∴BH＝12﹣3＝9，在Rt△ABE中，BE＝＝＝3，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝10，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2，故答案为2．16．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针旋转，当旋转角度为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝80厘米，DE＝25厘米，EC＝35厘米．则点D'到BC 的距离是（40+60）厘米；点E和E′两点的距离是5厘米．解：①过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝80厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝80×sin60°＝40（厘米）．又∵CE＝35厘米，DE＝25厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝60厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（40+60）厘米．∴点D′到BC的距离为（40+60）厘米．②连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝80厘米，DE＝25厘米，∴AE＝＝＝5（厘米），∴EE′＝5厘米．故答案为：（40+60），5．三、解答题（共8题，满分80分）17．（1）计算：﹣2sin60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；（2）已知＝，且a+b＝20，求a，b的值．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用已知得出a＝b，进而代入得出答案．解：（1）原式＝2﹣2×+1﹣3＝2﹣+1﹣3＝﹣2；（2）∵＝，∴a＝b，∵a+b＝20，∴b+b＝20，解得：b＝12，则a＝8．18．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为；（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，4），（4，3）．（1）在图中画出点P，使点P到A，B，C三点的距离都相等；（2）在图中画出点D，使点D在格点上，且∠ADB＝∠ACB．（画出一种情况即可）【分析】（1）利用网格特点作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P，根据线段垂直平分线的性质得到点P到A，B，C三点的距离都相等；（2）以P点为圆心，PA为半径作圆，则圆上的格点（除点A、B、C外）为D点．解：（1）如图，点P为所作；（2）如图，点D为所作．20．如图，小叶与小高欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A处测得树顶端D仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求出台阶AC的长；（2）求出树DE的高度．【分析】（1）过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，进而可得AC的长；（2）结合（1）求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF＝BE，代入解方程求出x的值即可．解：（1）在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∵AB＝3米，∴AC＝2AB＝6（米），（2）如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝3（米），设DE＝x米，在Rt△CDE中，CE＝＝x，在Rt△ABC中，BC＝3（米），在Rt△AFD中，DF＝DE﹣EF＝x﹣3，∴AF＝＝（x﹣3），∵AF＝BE＝BC+CE，∴（x﹣3）＝3+x，解得x＝9．∴DE＝9米．答：树高为9米．21．如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°．（1）求证：△BPE∽△CEQ；（2）若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长．【分析】（1）连接AE，证明∠AQE＝∠BEP后，即可用两组角对应相等判定△BPE∽△CEQ；（2）由△BPE∽△CEQ推出，进而求出BE＝5，再证△ABC为等腰直角三角形得AE＝CE＝BE＝5，AC＝10，AQ＝15，在直角三角形AQP中，使用勾股定理求QP即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵点E为边BC的中点，∴∠AEB＝90°，BE＝CE，∠CAE＝BAC＝45°，∴∠AQE+∠AEQ＝∠CAE＝45°，∵∠PEQ＝45°，∴∠AEQ+∠PEB＝45°，∴∠PEB＝∠AQE，∴△BPE∽△CEQ；（2）解：∵△BPE∽△CEQ，∴，∵BE＝CE，∴BE2＝PB•CQ，∵BP＝2，CQ＝25，∴BE＝5，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形．∵E为BC中点，由三线合一知CE⊥AB，且AE＝CE＝BE＝5．∴AC＝AB＝＝10，∴AQ＝CQ﹣AC＝25﹣10＝15．又AP＝AB﹣BP＝10﹣2＝8，且∠QAP＝90°，∴PQ＝＝＝17．22．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）求证：∠A＝∠DOC；（2）连接AO并延长交⊙O于点M，若DC＝2，AB＝4，求AM的长．【分析】（1）连接AO并延长交BC于N，交⊙O于M，连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠CAN＝∠BAN＝BAC，求得∠CAN＝∠CBD，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，由圆周角定理得到∠ACM＝90°，推出△ACM ∽△BEC，得到＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AO并延长交BC于N，交⊙O于M，连接OB，∵AC＝AB，OC＝OB，∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上，∴AN⊥BC，∴∠CAN＝∠BAN＝BAC，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ANC＝90°，∴∠ACB+∠CAN＝∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠CAN＝∠CBD，∵∠COD＝2∠CBD，∴∠BAC＝∠COD；（2）解：∵∠DCA＝∠ABD，∠CDE＝∠BAE，∴△CED∽△BEA，∴＝，∵DC＝2，AB＝4，∴＝，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM＝90°，∴∠BEC＝∠ACM，∵∠CAM＝∠CBE，∴△ACM∽△BEC，∴＝2，∵AC＝AB＝4，∴CM＝2，∴AM＝＝＝2．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x），整理得y＝﹣5x+500（x为正整数且x≤80）；（2）由题意，得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，∴应降价80﹣70＝10（元），答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：w＝（x﹣40﹣5）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25，由题意得，解得x≤70，∵﹣5＜0，∴x＞72.5时，w随x的增大而减小，∴x＝70时，w最大值＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25＝3750，答：捐款后每月最大利润是3750元．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E 三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．（1）求证：AE＝DH；（2）连接DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；（3）连接HK，KE，在点E的运动过程中，当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE的长．【解答】（1）证明：连接HE，如图1所示：∵矩形ABCD，∴∠DAB＝∠ADC＝90°，∴DE为⊙O直径，∴∠DHE＝90°，∴四边形ADHE是矩形，∴AE＝DH；（2）解：如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝6，AB∥CD，∴AC＝＝＝10，∵DE平分∠ADK，∴∠ADE＝∠EDK，＝，∵DE为⊙O直径，∴DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CAB，∴cos∠ADE＝cos∠CAB＝，即，∴DE＝；（3）若HK＝KE时，过K作MN⊥CD，交CD于M，交AB于N，如图3所示：则，MN＝BC＝6，∴∠EDK＝∠MDK＝∠CAB＝∠DCA，∵∠ADC＝90°，∴DK＝AK＝CK，∵AB∥CD，∴KM＝KN＝3，AN＝CM＝DM＝4，∵DE为⊙O直径，∴∠DKE＝90°，∴tan∠EKN＝tan∠MDK＝，∴NE＝，∴AE＝AN﹣NE＝4﹣＝；若DH＝KE时，∴＝＝，∴tan∠ADE＝tan∠CAB＝，即，∴AE＝；若DH＝HK时，∵∠ADC＝90°，∴∠AKH＝90°，设：DH＝HK＝3x，∵sin∠ACD＝，∴CH＝5x，∵DH+CH＝CD，∴5x+3x＝8，∴x＝1，∴DH＝AE＝3；综合上述可得AE的长为或或3．。

2019-2020学年浙江省温州市高三(下)3月月考数学(理科)试题Word版含解析

2019-2020学年浙江省温州市高三（下）3月月考数学（理科）试题一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则实数m的值是（）A．﹣4 B．4 C．D．2．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．603．（5分）直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，抛物线上一点M与P、Q构成△MPQ的面积为，这样的点M有且只有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．25．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．6．（5分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（）A．f（x﹣a）一定是奇函数B．f（x﹣a）一定是偶函数C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）可以是（）A．B．f（x）=2sin3x C．D．f（x）=2cos3x二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是．14．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为．15．（5分）已知++=，且与的夹角为60°，||=||，则cos＜，＞等于．16．（5分）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81℃，精确度要求±1℃．现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过次试验才能找到最佳温度．三、解答题（70分）17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2+log2x（x≤1）的值域为B．（Ⅰ）求A、B；（Ⅱ）求设A∪B=U，求∁U（A∩B）．18．（12分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．19．（8分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=．（Ⅰ）求角C的取值范围；（Ⅱ）求4sinCcos（C）的最小值．20．（12分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求A的特征值及对应的特征向量．21．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．22．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．2019-2020学年浙江省温州市高三（下）3月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则实数m的值是（）A．﹣4 B．4 C．D．【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可求得m．【解答】解：由向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则•=0，即2m×1+1×（﹣8）=0，解得m=4，故选B．【点评】本题考查平面向量的运用，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．2．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．3．（5分）直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，抛物线上一点M与P、Q构成△MPQ的面积为，这样的点M有且只有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】M在抛物线上，设M（t，），直线与抛物线相交求出弦长PQ，利用点到直线的距离就是△MPQ 的高，即可求出满足题意的M的坐标．即可知道点M的个数．【解答】解：直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点．联立：，解得：x2﹣4x+1=0，则Q（2，1﹣）P（2，1+）|PQ|==2．△MPQ的面积为=2×d×，解得：d=．M在抛物线上，设M（t，），d==解得：=3或=﹣3．令则有：=3…①或=﹣3…②由①△＞0，可知n有两个解．由②化简为（n﹣2）2=0，n有一个解．故M的坐标有3个．故选：C．【点评】本题查了抛物线与直线的关系的运用能力及计算能力．属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．5．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．【分析】由向量的中点公式可得，代入已知式子化简即得．【解答】解：∵D为BC边中点，∴，代入已知可得，即，故可得故选D【点评】本题考查向量的基本运算，利用向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选：C【点评】本题考查旋转体，即圆锥的体积，考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（）A．f（x﹣a）一定是奇函数B．f（x﹣a）一定是偶函数C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数【分析】先确定f（a）的值，再由正弦函数的性质可得到a，φ的关系式，然后代入到f（x+a）根据诱导公式进行化简，对选项进行验证即可．【解答】解：由题意可知sin（2a+φ）=1∴2a+φ=2kπ+∴f（x+a）=sin（2x+2a+φ）=sin（2x+2kπ+）=cos2x．故选D【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性．三角函数的基本性质要熟练掌握．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣2，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣2﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣2﹣4﹣8，i=4；∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4解得S0=10故选D．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．10．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．【分析】确定两个函数的值域，根据f（a）=g（b），可得g（b）∈（﹣1，1]，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：由题可知f（x）=e x﹣1＞﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤1，若有f（a）=g（b），则g（b）∈（﹣1，1]，即﹣b2+4b﹣3＞﹣1，即 b2﹣4b+2＜0，解得．所以实数b的取值范围为故选D．【点评】本题考查函数的值域，考查解不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）可以是（）A．B．f（x）=2sin3x C．D．f（x）=2cos3x【分析】由，可得，故函数f（x）的周期等于2π，据f（﹣x）=﹣f（x），可知函数f（x）是奇函数，检验各个选项．【解答】解：函数f（x）满足，∴，故函数f（x）的周期等于2π．又 f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，同时满足这两个条件的只有B，故选B．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和周期性的应用．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是．【分析】可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．【解答】解：y′=1﹣2sinx=0，在区间[0，]上得x=故y=x+2cosx﹣在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，∴x=时，函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是，故答案为：．【点评】本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般．14．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为 2 ．【分析】①根据抽样方法的定义和特点即可判断；②利用相关性系数r的意义去判断；③根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断．④根据随机变量k2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，判断④是否为真命题．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误，②根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故②正确；③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），则曲线关于直线x=1对称，P（ξ≤5）=P（1＜ξ＜5）+0.5=0.81，则P（1＜ξ＜5）=0.31，故P（﹣3＜ξ＜1）=0.31，即有P（ξ≤﹣3）=P（ξ＜1）﹣P（﹣3＜ξ＜1）=0.5﹣0.31=0.19，故③正确．④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故④错误，故正确的是②③，故答案为：2【点评】本题考查命题的真假判断，涉及抽样方法的概念、相关系数的意义以及正态分布的特点和曲线表示的意义，是一道基础题．15．（5分）已知++=，且与的夹角为60°，||=||，则cos＜，＞等于﹣．【分析】由++=，||=||，可得，从而可得，代入可求，进而可求cos=．【解答】解：∵++=，||=||，∴，∴==3，∴，∴•=•（﹣﹣）==﹣=﹣，∴cos＜，＞===﹣．故答案为：．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的应用，向量的夹角公式的应用，属于向量知识的简单应用．16．（5分）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81℃，精确度要求±1℃．现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过 6 次试验才能找到最佳温度．【分析】由题知试验范围为[60，81]，可得区间长度为21，将其等分21段，共有20个分点，由分数法的最优性定理可得结论．【解答】解：由已知试验范围为[60，81]，可得区间长度为21，将其等分21段，共有20个分点由分数法的最优性定理可知F7=20，即通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点．故答案为：6．【点评】本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：（1）可能的试点总数正好是某一个（F n﹣1）．（2）所有可能的试点总数大于某一（F n﹣1），而小于（F n+1﹣1）．用分数法安排试验，一旦确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．三、解答题（70分）17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2+log2x（x≤1）的值域为B．（Ⅰ）求A、B；（Ⅱ）求设A∪B=U，求∁U（A∩B）．【分析】（Ⅰ）由log3（x﹣1）≥0，解得x≥2，可得A．由x≤1，求得log2x≤0，可得B={y|y≤2}．（Ⅱ）根据A、B以及U=A∪B=R，A∩B={2}，求得 C U（A∩B）．【解答】解：（Ⅰ）由log3（x﹣1）≥0，得x≥2，∴A={x|x≥2}．…（3分）又x≤1，∴log2x≤0，∴2+log2x≤2，∴B={y|y≤2}．…（6分）（Ⅱ）∵A={x|x≥2}，B={y|y≤2}，…（10分）∴U=A∪B=R，A∩B={2}，∴C U（A∩B）={x|x＜2，或x＞2}．…（12分）【点评】本题主要考查对数函数的定义域和最值，两个集合的交集、并集、补集的定义和求法，属于中档题．18．（12分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．【分析】（1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程；（2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程．【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k==，（2分）∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣2），即直线l的方程为x﹣2y=0．（5分）（2）由（1）知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），（6分）∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x=2上，∴a=1，（9分）∴圆心坐标为（2，1），半径r=1，（11分）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．（12分）【点评】本题考查了求直线方程和圆的方程的基本题型，以及对基本公式的简单应用．19．（8分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=．（Ⅰ）求角C的取值范围；（Ⅱ）求4sinCcos（C）的最小值．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理分别求出sinC的取值范围即可求角C的取值范围；（Ⅱ利用三角函数的公式进行化简，即可求4sinCcos（C）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得，．由0＜sinB≤1，得0＜sinC≤，又b＞c，故C为锐角，∴0．（Ⅱ）4sinCcos（C）=4sinC（cosC﹣）=，由0，得，故，∴4sinCcos（C）（当C=时取到等号）∴4sinCcos（C）的最小值是0．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，利用正弦定理求出C的取值范围是解决本题的关键，考查学生的计算能力．20．（12分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求A的特征值及对应的特征向量．【分析】本题（1）根据矩阵A对应的行列多的值，知道矩阵A的逆矩阵存在，用逆矩阵公式，求出A﹣1；（2）先求出矩阵A的特征多项式，令特征多项式为0，求出特征值，再将特征值代入到方程组中，求出该特征值对应的一个特征向量，得到本题结论．【解答】解：（1）∵矩阵A=，∴矩阵A对应的行列式=1×3﹣2×4=﹣5≠0，∴矩阵A可逆，∴A﹣1=，∴A﹣1=．（2）A的特征多项式：f（λ）==（λ﹣1）（λ﹣3）﹣8=λ2﹣4λ﹣5，令f（λ）=0，得：λ=5或λ=﹣1；当λ=5时，由得特征向量，当λ=﹣1时，由得特征向量．【点评】本题考查了逆矩阵、矩阵的特征值和特征向量，本题也可以利用逆矩阵的定义求出逆矩阵，本题难度不大，属于基础题．21．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a=1代入，求出关于p的范围，从而求出p且q的范围；（2）由题意得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）当a=1时，解得1＜x＜4，即p为真时实数x的范围是：1＜x＜4，若p∧q为真，则P真且q真，∴实数x的范围是（2，4）；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B⊂A，由x2﹣5ax+4a2＜0得（x﹣4a）（x﹣a）＜0，∵a＞0，∴A=（a，4a），又B=（2，5]，则a≤2且4a＞5，解得：＜a≤2．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了充分必要条件，是一道中档题．22．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据“好区间”的定义即可求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）根据若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，建立方程组关系即可求m、n的值；（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．。

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理(含解析)

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（） A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：A．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007考点：数列递推式．专题：推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P xx P xx|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P xx P xx|=21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为37 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37点评：本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出b，以及数形结合是解决本题的关键．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．解答：解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．点评：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= 5 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF•DB=DE2=5．解答：解：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF•DB=DE2=5．故答案为：5点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．解答：解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）点评：本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E 的正切值．解答：解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．点评：考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=1，得，由a1=1，得a2=2．当n≥2时，推导出，由此利用累乘法能求出a n=n．（2）由b n====＜，利用放缩法和不等式的性质能证明T n＜．解答：（1）解：∵S n=n•a n+1，n∈N*，∴令n=1，得，由已知a1=1，得a2=2．…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即，即得：，n≥2，…（4分）∴，n≥3，即，n≥3，…（6分）又∵a2=2，∴a n=n，又∵a1=1，∴a n=n，n∈N*．…（7分）（2）证明：∵a n=n，∴b n====＜，…（11分）∴T n=b1+b2+…+b n＜=（）==，∴T n＜．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出|MC2|，利用配方法求其最小值，则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．解答：解：（1）设M（x，y），由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），则|MC2|===．当且仅当M（）时取“=”，∴|MN|的最小值为；（2）设P（x0，），，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），①则，即，设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，∴，，将①代入y=x2得，，由于x0是此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，∴AB的中点D的横坐标x===．∵y=是[2，4]上的减函数，且2≤x0≤4，∴y∈，则x．点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=+x﹣（1+a）=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，＞﹣；从而证明．解答：解：（1）f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=+x﹣（1+a）=；①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；即lnx≤x2﹣x，当＞1时，＞﹣；故+++…+＞﹣+﹣+…+﹣=﹣=；故m（m+n）[+++…+]＞n．点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．37577 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浙江省温州市龙湾中学2020届高三数学下学期3月月考试题含解析

浙江省温州市龙湾中学2020届高三数学下学期3月月考试题（含解析）参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：()1213V S S h =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24V R π= 球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1,2,3,4S ，{}1,4M =，{}2,4N =，那么()()s sM N =（）A. {}3B. {}1,2C. {}1,2,3D. ∅【答案】C 【解析】【分析】根据集合的补集运算可求出s s M N ,，再根据并集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知，{}2,3s M =，{}1,3s N =，所以()(){}1,2,3ssM N =.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的补集运算和并集运算，属于基础题. 2.已知动点P4=，则点P 的轨迹是（）A 双曲线B. 椭圆C. 抛物线D. 圆【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义即可求出结果.【详解】由双曲线的定义可知点P 的轨迹是以()()5,05,0-，为焦点，实轴长为4的双曲线. 故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，属于基础题. 3.复数132iz i-+=-的虚部为（） A.3 B. 3-C. 12i -D. 12-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出312z i =--，进而求出复数z 的虚部. 【详解】因为1331222i z i i -+==---，所以复数z 的虚部为12-.故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和概念，属于基础题. 4.已知函数()y f x =的图象如图所示，其解析式可能是（）A. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭B. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠⎪⎝⎭C. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=+-≤≤≠ ⎪⎝⎭D. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=-+-≤≤≠ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由图像可知函数()y f x =的定义域为[)(],00,ππ-，是偶函数，且()0f x ≥，再结合选项即可求出结果.【详解】由图像可知函数()y f x =的定义域为[)(],00,ππ-，是偶函数，且()0f x ≥，当()0,1x ∈时，1sin 0y x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故选项A 错误；当()1,x π∈时，1sin 0y x x x ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故选项B 错误；当()0,x π∈时，1sin 0y x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，故选项D 错误；综上可知，选项C 正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数图像，考查了学生的数形结合能力，属于基础题. 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 43B. 123C. 12 43【答案】B 【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是底面边长为23的等边三角形，高为22的三棱锥，其中SO ⊥平面ABC ，SD BC ⊥，且D 是BC 的中点，SB SC =，22SO =，23BC =，2AO =，1DO =，根据勾股定理，以及三角形面积公式即可求出结果．【详解】根据几何体的三视图，可知该几何体是底面边长为23的等边三角形，高为22的三棱锥，如下图所示的S ABC -：其中SO ⊥平面ABC ，SD BC ⊥，且D 是BC 的中点，SB SC =，22SO =23BC =2AO =，1DO =，由勾股定理可知，23SA SB SC === 该几何体表面积为1112332233233123222⨯+⨯⨯+⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查了运用空间思维能力解决空间几何体的方法，运用三视图得出空间几何体的结构特征是解题的关键．6.ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】在三角形中，2222cos 2cos 212sin 12sin sin sin B A B A B A >⇔->-⇔<在ABC ∆中，22sin sin 0sin sin B A B A B A <⇔<<⇔<，所以“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的充要条件．故选：C ．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用． 7.随机变量X 的分布列是若()336E X +=，则()D X =（） A. 0 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】由于分布列的概率之和为1，以及()336E X +=，列出关于,a b 的方程，再根据方差公式即可求出()D X ．详解】由题意可知，()111621321363a a b a b b ⎧⎧=⎪++=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+++==⎩⎪⎩，又()()33336E X E X +=+=，所以()1E X =；所以()()()()2221112111212632D X =--⨯+-⨯+-⨯=.故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.在正四面体A BCD -中，P 是AB 的中点，Q 是直线BD 上的动点，则直线PQ 与AC 所成角可能为（）A.12πB.4π C.512π D.2π 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，在利用余弦定理可得242MQ x x =+-，易知PQ MQ =，所以在等腰三角形PMQ 中()2cos 0442QPM x x x ∠=≤≤+-，，即可求出33cos QPM ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，，进而求出结果.【详解】取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，如下图所示：设正四面体A BCD -的棱长为4，()04BQ x x =≤≤，，在BMQ ∆中，22222cos6042MQ BM BQ BM BQ x x =+-⋅︒=+-，在正四面体A BCD -中，易知PQ MQ =，所以在等腰三角形PMQ 中，()2cos 0442QPM x x x∠=≤≤+-所以33cos QPM ∠∈⎣⎦，，所以异面直线PQ 与AC 所成角可能为512π. 故选：C.【点睛】本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.9.已知平面向量,,a b c 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=，则b c -的最小值为（）A.2B.2C.32D.12【答案】A 【解析】【分析】根据题意，易知a 与b 的夹角为60︒，设()=13a ，，()20b =，，(),c x y =，由()()21a c b c -⋅-=，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +--+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】因为2a b a b ==⋅=，所以a 与b 的夹角为60︒，设()=13a ，，()20b =，，(),c x y =，因为()()21a c b c -⋅-=，所以221202x y x +-+=，又(2b c x -=-所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +--+==. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()111n p p a n n +=+，则下列说法正确的是（）A. 当1p =-时，则2019S π<B. 当0p =时，则2019S π>C. 当12p =时，则20191S > D. 当1p =时，则20191S >【答案】B 【解析】【分析】利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果. 【详解】对于选项A ，当1p =-时，()1111*11121n n a n N n n n===-≥∈+++，所以20192019112019201922nn S aπ==≥⨯=>∑，故选项A 错误；对于选项B ，当0p =时，()1*2n a n N n=∈，又11ln 1n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以()1ln 1ln 1ln 1122n n n a n ⎛⎫+=+-⎡⎤ ⎪⎣⎝⎭>⎦ 所以()()()()201920191ln 2ln1ln 3ln 2...ln 2019ln 2018ln 2020ln 202119n n S a =-+-++-+-⎡⎦>⎤⎣=∑1ln 20202π=>，故选项B 正确；对于选项C ，当12p =时，()()31122211111=*111n a n N n n n n n n n n n ==≤-∈++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以201920191111111111...1122320182019201920202020n n S a =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤-+-++-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选项C 错误；对于选项D ，当12p =时，()()()21111=*111n a n N n n n n n n =<-∈+++，所以201920191111111111...1122320182019201920202020n n S a =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<-+-++-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选项D 错误；故选：B.【点睛】本题考查了不等式放缩和数列裂项相消法求和，考查了学生的综合分析能力，属于难题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学名著《算术书》中有如下问题：“分钱人二而多三，人三而少二，问几何人、钱几何？”.其大意是：已知人数及钱数各若干，若每人分得二钱，那么多了三钱；若每人分得三钱，则少两钱，那么一共有______人，______钱. 【答案】 (1). 5 (2). 13 【解析】【分析】根据题意，设一共有x 人，列出方程()3232x x -+=，即可求出结果. 【详解】设一共有x 人，由题意可知，()3232x x -+=，解得5x =，所以一共有5人，一共有25313⨯+=钱. 故答案为：(1). 5；(2). 13.【点睛】本题考查了对文字意思的理解和关系式的建立．属于基础题．12.若x ，y 满足约束条件1y xy ⎧≥⎨≤⎩，则2z x y =+的最小值是______；最大值是______.【答案】 (1). 1- (2). 3 【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小和最大值．【详解】根据题意，作出可行域，如下图所示：在点()1,1A -处，2z x y =+取到最小值，最小值为-1；在点()1,1B 处，2z x y =+取到最大值，最大值为3. 故答案为：(1)1-；(2) 3.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．13.在ABC ∆中，D 是BC 中点，4AB =，10BC =，7AD =，则ABC S ∆=______，sin 2sin BC=______. 【答案】 (1). 8633【解析】【分析】在ABD △中，由余弦定理可得1cos 5B =-，进而求出sin B ，再利用1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅，即可求出ABC S ∆；在ABC 中，由余弦定理，可求出AC ，根据二倍角公式和正弦定理化简可得sin 22cos sin B AC BC AB=，由此即可求出结果. 【详解】在ABD △中，由余弦定理可知1625491cos 2455B +-==-⨯⨯，所以226sin =1cos B B -=，所以1sin 862ABC S AB BC B ∆=⋅⋅= 在ABC 中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，可得233AC =又sin 22sin cos 2cos sin s 3in 35B B B AC B C C AB =-==.故答案为：(1).86 (2) 33. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.14.已知()()676524316701236722x y x y a x a x y a x y a x y a x y a y -+=++++++，则2a =______；0246a a a a +++=______.【答案】 (1). -144 (2). -363 【解析】【分析】由二项式定理的通项公式，即可求出2a 的值；令1x y ==，则012367729a a a a a a ++++++=-……①；令1,1x y ==-，则0123673a a a a a a -+-++-=……②；两式相加即可求出结果.【详解】由二项式定理的通项公式可知4221566222144C C a =⨯-⨯=-；令1x y ==，则()()60123677291221a a a a a a +++++++==--……①；令1,1x y ==-，则()()601236712213a a a a a a -+-++-=+-=……②；①+②，可得()02462726a a a a +++=-，所以0246363a a a a +++-=.故答案：(1) -144； (2)-363. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式以及性质的应用，属于基础题.15.设函数()3,,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围为______.【答案】23 a <【详解】由题意可知，函数3y x x =-的导数为231y x '=-，令0y '=，则33x =±，所以3y x x =-在区间33+33⎛⎫⎛⎫-∞-∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，上单调递增；在区间3333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减；作出函数3y x x =-和y x =-在同一坐标系中的的草图，如下图所示：又当33x =-3y x x =-取极大值为239-，由图像可知，当23a <时，23y x =->()f x 无最大值，故23a <满足题意．故答案为：23a <．【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．16.设有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个小球和编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个盒子.现将这八个小球随机放入八个盒子内，要求每个盒子内放一个球，要求编号为偶数的小球在编号为偶数的盒子内，且至少有四个小球在相同编号的盒子内，则一共有______种投放方法. 【答案】83 【解析】根据题意可知，原问题可分为：有8个小球在相同编号的盒子内；有6个小球在相同编号的盒子内；有5个小球在相同编号的盒子内；有4个小球在相同编号的盒子内；共四类情况，利用特殊位置优先考虑原则，求出每类情况的种数，再根据分类计数原理，即可求出结果. 【详解】由题意可知，要求每个盒子内放一个球，要求编号为偶数的小球在编号为偶数的盒子内，且至少有四个小球在相同编号的盒子内；若有8个小球在相同编号的盒子内，共有1种；若有6个小球在相同编号的盒子内，即有2个小球在编号不同的盒子内，则有24212C =种；若有5个小球在相同编号的盒子内，即有3个小球在编号不同的盒子内，则342216C ⨯=种；若有4个小球在相同编号的盒子内，即有4个小球在编号不同的盒子内，则11223344254C C C C ⨯+=种；综上，满足题意的投放方法一共有112165483+++=种. 故答案为：83.【点睛】本题考查计数原理的运用，考查了分类讨论思想，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.在梯形ABCD 中，//BC AD ，4AD BC =，12BD AB =，椭圆E 以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，则该椭圆的离心率为______.【解析】【分析】设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，()()(),0,,0,,A c B c C m n -，利用相似比可得()45,4D m c n -，根据BD c =，2AD a c =-，利用两点之间的距离公式化简可得2254c mc a ac -+=-，再根据C ，D 在椭圆E 上，代入坐标，列出方程组，化简可得22853mc c a =+，将上述两式联立，化简可得25210e e --=，解方程，即可求出结果.【详解】设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，如图所示：设()()(),0,,0,,A c B c C m n -，则椭圆E 的离心率为c e a=；因为//BC AD ，4AD BC =，则()45,4D m c n -；又12BD AB =，所以BD c =，即()()2224540m c c n c --+-=，整理可得222163548160m c mc n +-+=……①；由椭圆的定义可知，22AD a BD a c =-=-，即()()()22245402m c c n a c -++-=-，整理可得22221615321644m c mc n a ac +-+=- ……②； ②-①可得：2254c mc a ac -+=-……③;又C ，D 在椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上；所以()22222222145161m n ab mc na b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，化简整理可得，22853mc c a =+……④；将④代入③可得，22250a ac c +-=，两边同时除以2a ，可得25210e e --=，解得615e =（负值舍去）. 故答案为：615.【点睛】本题主要考查了椭圆离心率的求法，考查了学生的运算能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.如图，单位圆上有一点022,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，点P 以点0P为起点按逆时针方向以每秒ω弧度作圆周运动，点P 的纵坐标y 是关于时间x 的函数，记作()y f x =.（1）当6π=ω时，求()2f ；（2）若将函数()y f x =向左平移12π个单位长度后，得到的曲线关于y 轴对称，求ω的最小正值，并求此时()24y f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 【答案】（126+（2）ω最小正值为3；值域为2⎡-⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得初相ϕ，再根据正弦函数的周期性，可得()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入6π=ω，即可求出结果；（2）根据图像平移可知sin 12124f x x πππωω⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，所以1242k πππωπ+=+，k Z ∈，由此可得ω最小值为3，可得()24y f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos 34x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数性质，即可求出结果.【详解】（1）点P 是单位圆上一点，它从初始位置022,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭开始，按逆时针方向以每秒ω弧度作圆周运动，设初相为ϕ，∴22cos ,sin 22ϕϕ==，∴4πϕ=．所以()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，当6π=ω时，()26sin 3442f ππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. （2）sin sin 12124124f x x x πππππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦图像关于y 轴对称，则12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，则1242k πππωπ+=+，k Z ∈，得312k ωπ=+，k Z ∈，ω最小值为3.此时()()2sin 32sin 344f x x y x f x πππ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222sin 3cos32sin 3cos3sin 32222x x x x x =+-=-cos 34x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，73,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴21,2y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性等知识，属于基础题．19.已知ABC ∆是边长为2的正三角形，ACD ∆是等腰直角三角形.把ACD ∆沿其斜边AC 翻折到'D ，使'2BD =，设E 为'BD 的中点.（1）求证：平面'AD C ⊥平面ABC ；（2）求二面角'A CE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（27【解析】【分析】（1）取AC 中点O ，由勾股定理可得'D O OB ⊥，又ACD ∆是等腰直角三角形，可证'D O AC ⊥，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（2）方法一：由（1）知，'OD 、OA 、OB 两两垂直，分别以OA 、OB 、'OD 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，即可求出结果；解法二：等积法在ABE ∆和'AED ∆中，分别用余弦定理得：中线CE 长2CE =，2AE =，又勾股定理可证AE EC ⊥①；在'Rt ACD ∆中解得'2CD =，在平面'BCD 内过'D 作'D H CE ⊥②，由等积法得14'4D H =，于是24HE =.由①②得'HD 、AE 所成的角（或其补角）就是二面角'A CE D --的平面角，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】（1）证明：取AC 中点O ，连BO 、'D O ，由已知易得3BO =，'1D O =，于是222''D B D O OB =+，从而'D O OB ⊥，另一方面，ACD ∆是等腰直角三角形，故'D O AC ⊥，且AC 、OB 相交，所以'D O ⊥平面ABC ，于是平面'AD C ⊥平面ABC ；（2）由（1）知，'OD 、OA 、OB 两两垂直，分别以OA 、OB 、'OD 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，由已知得()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，()'0,0,1D ，312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.于是，()2,0,0CA =，311,2CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()'1,0,1D C =--，设平面ACE 的法向量是()1,,n x y z =，则11203102n CA x n CE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩解得03x z y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()10,1,3n =-，同理平面'D CE的法向量()23,1,3n =--，设二面角'A CE D --为θ，则12127sin 27n n n n θ===. （2）解法二：等积法由于E 为'BD 的中点，且设AEB α∠=，在ABE ∆和'AED ∆中，分别用余弦定理得：中线CE 长2CE =，同理2AE =，从而ACE ∆是直角三角形，且AE EC ⊥①.另一方面在'Rt ACD ∆中解得'2CD =，在平面'BCD 内过'D 作'D H CE ⊥②，由等积法得14'D H =，于是2HE =.由①②得'HD 、AE 所成的角（或其补角）就是二面角'A CE D --的平面角.由''AD AE EH HD =++，得2222''2'AD AE EH HD AE HD =+++⋅，设二面角'A CE D --的度数为θ，于是1722788cos 77222θ++-==⋅.【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理的应用和二面角的求法，属于基础题. 20.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，且22642S a =-，3442S a =-，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭满足()*1212113n n n b b b n n N a a a ++++=-∈. （1）求n a ，n b ；（2）若1nn b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =，()*21n b n n N =-∈；（2）31189n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由题意可得3426a a a =-，利用等比数列的通项公式，求得3q =和3nn a =；利用数列的通项公式和前n 项和公式之间的关系可得()*213n n n b n n N a -=∈，进而求出n b ；（2）由（1）知2113n n c -=，利用等比数列前n 项和公式，即可求胡结果.【详解】（1）由()()22346421422S a S a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，（2）-（1）得3426a a a =-，即260q q --=，又0q >，∴3q =.把3q =代入（1）得13a =，∴3nn a =，又∵()*1212113n n n b b b n n N a a a ++++=-∈，当1n =时，1113b a =，当2n ≥时，112111333n n n n n b n n n a -+-⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，因1n =时，1113b a =也符合上式，∴()*213n n n b n n N a -=∈，又3n n a =，∴()*21n b n n N =-∈. （2）由（1）知21113n n n b c a -==， ∴1231352111113333n n n T c c c c -=++++=++++1113139118919n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，同时考查了数列的通项公式和前n 项和公式之间的关系，属于基础题.21.设经过点()(),00M a a <的直线1l 与抛物线24y x =相交于P 、Q 两点，经过点M 的直线2l 与抛物线24y x =相切于点H . （1）当1a =-时，求11PM QM+的取值范围；（2）问是否存在直线1l ，2l使得MH MP MQ =⋅成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）⎫⎪⎪⎝⎭；（2）10a -<<. 【解析】【分析】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为直线l 经过定点()1,0M -，所以可设直线l 的方程为1x my =-，则由214x my y x=-⎧⎨=⎩得2440y my -+=，利用韦达定理和弦长公式，化简可得11PM QM+=，再根据函数的性质即可求出结果；（2）假设存在直线1l ，2l使得MH MP MQ =⋅成立，不妨设1l ：1x m y a =+，2l ：2x m y a =+，则由124x m y a y x =+⎧⎨=⎩得21440y m y a --=，利用韦达定理和弦长公式可得()()221121114MP MQ MP MQ m y y m a ⋅=⋅=+=+-；又224x m y a y x=+⎧⎨=⎩得()222,2H m m ，所以4H a M =；由MH MP MQ =⋅得到()()()211414m a a a =+->--，由此即可求出结果.【详解】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为直线l 经过定点()1,0M -，所以可设直线l 的方程为1x my =-，则由214x my y x =-⎧⎨=⎩得2440y my -+=，()21610m ∆=->得21m >，∴124y y m +=，124yy ，∴11P M M Q +=+122111y y y ⎛⎫=+=⎪⎪⎭2⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭. （2）假设存在直线1l ，2l 使得MH MP MQ =⋅成立，不妨设1l ：1x m y a =+，2l ：2x m y a =+，则由124x m y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y m y a --=，()21160m a ∆=+>得210m a +>， ∴1214y y m +=，124y y a =-，∴()()221121114MP MQ MP MQ m y y m a ⋅=⋅=+=+-，由224x m y a y x=+⎧⎨=⎩得22440y m y a --=，()22160m a ∆=+=得22m a =-，得()222,2H m m ，∴(M mH ==由MH MP MQ =⋅得到()()()211414m a a a =+->--，两边平方得()()22284444a a a a->-，即2448a a -<，得10a -<<.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式，属于中档题. 22.设函数()2ln f x ax x =+.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）若1a =，对于给定实数0m ，总存在实数i k ，使得关于x 的方程()()01,2,3,4i f x k x m i =+=恰有3个不同的实数根.（i ）求实数0m 的取值范围；（ii ）记()()'1,2,3,4i i f x k i ==，求证：1234x x x x +++>【答案】（1）单调递减区间是⎫+∞⎪⎭，⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）（i ）031ln 222m <--；（ii ）证明见详解. 【解析】【分析】（1）当0x >，()21'212ax ax x xf x +=+=，当0a ≥时，可知()'0f x ≥，此时()f x 无单调递减区间；当0a <时，令()'0f x ≤，可得x ≥，再根据()y f x =为偶函数，即可求出函数 ()f x 的单调递减区间；（2）（i ）()20ln i f x x x k x m =+=+20ln i x x m k x+-⇔=，令()()00ln ,0ln ,0m xx x x x g x x m x x x x ⎧-+>⎪⎪=⎨-⎪-+<⎪⎩，则()2021ln 'm x xg x x ++-=，令()201ln m x x x ϕ=++-，利用导数可得()min 22x ϕϕϕ⎛⎛==-⎝⎭⎝⎭；再分别对()min 0x ϕ≥和()min 0x ϕ<，两种情况分类讨论，根据函数的单调性和奇偶性以及对称性进行分析，即可求出结果；（ii ）由()1'2i i i i if x k x k x =⇒+=的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，不妨设1234x x x x <<<，由于()f x 为偶函数，则()1234342x x x x x x +++=+，3334442330332440441212ln ln x k x x k x k x m x x k x m x x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=+⎪+=+⎩化简整理可得()442333443ln11x x x x x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭+=-，令()()()1ln 11t t h t t t +=>-，()()212ln '1t t t h t t --=-，令()()12ln 1t t t t tϕ=-->，根据导数在函数单调性和最值的应用，即可求证结果.【详解】（1）当0x >，()21'212ax ax x xf x +=+=，当0a ≥，()'0f x ≥；当0a <，()212220'a x a a x x x f x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎛⎝⎭==⋅⋅-≤ ⎝⎝，∴x ≥. 又()y f x =为偶函数，∴当0a <时，()f x的单调递减区间是⎫+∞⎪⎭，⎛⎫ ⎪⎝⎭，当0a ≥时，()f x 无单调递减区间.（2）（i ）()20ln i f x x x k x m =+=+()0200ln ,0ln ln ,0i m x x x x x m x x k x x m x x x x ⎧-+>⎪+-⎪⇔==⎨-⎪-+<⎪⎩，令()()00ln ,0ln ,0m xx x x x g x x m x x x x ⎧-+>⎪⎪=⎨-⎪-+<⎪⎩，则()()202202221ln ,01ln '1ln ,0m x xx m x x xg x x m x x x x ⎧++->⎪++-⎪==⎨++--⎪<⎪⎩，令()201ln m x x x ϕ=++-，()1'20x x x x ϕ=-=⇒= ∴()x ϕ在,⎛-∞ ⎝⎭递减，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递增，⎛ ⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增. ()min22x ϕϕϕ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.①当()min 022x ϕϕϕ⎛⎛==-≥⎝⎭⎝⎭时，可得031ln 222m ≥--，此时()'0g x ≥，所以()g x 在(),0-∞递减，在()0,∞+递增，则()i k g x =至多2个零点，不符合题意.②当()min 022x ϕϕϕ⎛⎛==-<⎝⎭⎝⎭，则()0x ϕ=有4个不同实根，即0x >时，201ln 0m x x ++-=有2个不同实根，此时031ln 222m <--.其中()2ln 1A x x x =--，()1'202A x x x x =-=⇒=，31ln 2222A ⎛=-- ⎝⎭，设201ln 0m x x ++-=的4个实根为()12341234,,,0t t t t t t t t <<<<，则1x t =极大，2x t =极小，3x t =极大，4x t =极小，由于()g x 为奇函数，所以极值关于原点对称，220440441ln 0ln 1m t t m t t ++-=⇒=--，()04444444ln 120m t g t t t t t t =-+=+>，∴()()()()34120g t g t g t g t >>>>，当()i i k g t =时()g x 有3个零点.（ii ）由()1'2i i i i if x k x k x =⇒+=的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，不妨设1234x x x x <<<，由于()f x 为偶函数，则()1234342x x x x x x +++=+，33322303344224404423303324404412121ln 221ln ln ln x k x x m x x x k x x m x x k x m x x k x m x x ⎧+=⎪⎪⎪⎧++=++=⇒⎨⎨++=+⎩⎪⎪+=+⎪+=+⎩224343ln ln x x x x ⇒-=-， ∴()()442334334434433ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭+=⋅+=--，令()()()1ln 11t t h t t t +=>-，()()212ln '1t tt h t t --=-，令()()12ln 1t t t t t ϕ=-->，()2221221'10t t t t t tϕ-+=+-=≥，所以()t ϕ单调递增， ()()10t ϕϕ>=，所以()'0h t >，()h t 单调递增，则()()()11ln 1lim21t t t h t h t →+>==-，所以()2342x x +>，()1234342x x x x x x +++=+>【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性、最值、零点和不等式证明中的应用，属于难题.。

浙江省温州市龙湾中学高三数学第一次月考试题文新人教A版【会员独享】

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}R x x y y M ∈-==,12，集合{}R x x y x N ∈-==,92，则=⋂N M （）A ．{}31≤≤-t tB ．{}30≤≤t t C ．()(){}1,2,1,2- D ．φ2．已知3 332212, () , ()52P Q R -===，则 P 、 Q 、 R 的大小关系是（）A ．P Q R <<B ．Q R P <<C ．Q P R <<D ．R Q P <<3.已知向量1(11cos )(1cos )//2a b a b θθ=-=+，，，，且，则锐角θ等于（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 4. 已知函数()sin()(R,0,0,)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>>< 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是 ( ) A ．()2sin() (R)6f x x x ππ=+∈ B ．()2sin(2) (R)6f x x x ππ=+∈ C ．()2sin() (R)3f x x x ππ=+∈ D ．()2sin(2) (R)3f x x x ππ=+∈ 5．设为等差数列的前项和，已知，那么（）A ．2B ．8 C. 18 D ．366．若}{n a 为首项为1的等比数列，n S 为其前项和，已知2,,2432+a S a 三个数成等差数列，则数列}{2n a 的前5项和为（） A ．341 B ．31000C ．1023D ．1024 7．命题甲：22,2,211x x x-⎪⎭⎫⎝⎛成等比数列；命题乙：)3lg(,)1lg(,lg ++x x x 成等差数列；则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知ABC ∆中，4,43AB AC BC ===，点D 为BC 边的中点，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP AD ⋅满足（）A.最大值为8B.为定值4C.最小值为2D.与P 的位置有关 9．不共线的两个向量→→b a ,，且b a 2+与-2垂直，→→→-a b a 与垂直，与的夹角的x2 D ．O 2-5613y余弦值为（）A ．5B ．12C ．14D ．110. 已知()f x 是R 上的奇函数，对R x ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若 (1)2f =，则(2011)f 等于（）A ．2011B ．2C ．1-D ．2-二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．函数y ＝log 2 (x 2-x-2)的递增区间是．12．已知tan 2θ=，则211sin 23cos 2θθ+-= ． 13．已知正△ABC 的边长为1，73CP CA CB =+, 则CP AB ⋅= ．14．已知函数2()2(2)f x x xf =-',则函数)(x f 的图象在点()()2,2f 处的切线方程是15.已知数列{}n a ，对任意的,p q N *∈满足p q p q a a a +=⋅，且11a =-，那么9a 等于16．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1764,8a a a ==，若函数231012310()f x a x a x a x a x =++++的导数为()f x '，则1()2f '= .17.设定义域为R 的函数2|lg |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩, 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. (本题满分14分) 已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．19. (本题满分14分)在锐角三角形ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan tan tan )A B A B -=+，（1）若c 2＝a 2＋b 2—ab ，求角A 、B 、C 的大小；（2）已知向量(sin ,cos ),(cos ,sin ),|32|m A A n B B m n ==-求的取值范围。

浙江省温州市高三数学下学期第三次适应性测试试题理

浙江省温州市高三数学下学期第三次适应性测试试题理数学（理科）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题P ：∃x 0∈R ,20220x x ++≤，则p ⌝是( ▲ ) A ．∃x 0∈R ,20220x x ++>B ．∀x ∈R , 2220x x ++≤C ．∀x ∈R , 2220x x ++>D ．∀x ∈R , 2220x x ++≥ 2．已知a ，b 是实数，则“a >|b |”是“a 2>b 2”的( ▲ )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知m ,n 是两条不同的直线，α,β,γ为三个不同的平面，则下列命题中错误．．的是( ▲ ) A ．若m ⊥α,m ⊥β，则α//βB ．若m ⊥α,n ⊥α，则m //nC ．若α//γ,β//γ，则α//βD ．若α⊥γ,β⊥γ，则α//β4．要得到函数3sin(2)3y x π=+的图象，只需将3sin 2y x =图象上所有的点( ▲ )A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度5．已知向量a ,b ,c ，满足|a |=|b |=|a −b |=|a +b −c |=1，记|c |的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =( ▲ )A ．3B ．2C 3D ．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为F 1，F 2，若双曲线C 上存在一点P ，使得△PF 1F 2为等腰三角形，且cos ∠F 1PF 2=14，则双曲线C 的离心率为( ▲ )A ．43B ．32C ．2D ．37．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为AA 1的中点．M ，N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点（含端点），且满足BM =C 1N ．当M ，N 运动时，下列结论中不正确．．．的是( ▲ ) A ．平面DMN ⊥平面BCC 1B 1 B ．三棱锥A 1−DMN 的体积为定值 C ．△DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π8．若对任意]2,1[∈x ，不等式24210()x x a a a R -+⋅+-<∈恒成立，则a 的取值范围是( ▲ )A ．52a >或2a <-B ．174a >或4a <-C ．174a >或2a <-D ．52a >或4a <-非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分。

浙江省温州市龙湾中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

浙江省温州市龙湾中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 2．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且(2)a b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．03．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．255．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（）A ．35B ．45C ．1D ．856．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（）A ．35B ．45-C ．45D ．357．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( ) A ．{}|02x x ≤< B ．{}|13x x ≤< C ．{}|23x x <≤ D ．{}|02x x <≤8．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为25，则实数m 的取值为A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-9．若直线不平行于平面，且，则（）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交 10．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（）A 11B 37C ．210D 4311．若31n x x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（） A ．85 B ．84 C ．57 D ．5612．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省温州市高一下学期3月份质量检测数学试题

浙江省温州市高一下学期3月份质量检测数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）若∀a∈（0，+∞），∃θ∈R使asinθ≥a成立，则cos（θ﹣）的值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·沈阳模拟) 若，则cos2α的值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·淮南模拟) 函数图像大致图像为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2019高一上·哈尔滨期末) 在内，与角终边相同的角是________.6. （1分）(2018·广元模拟) 若角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，其终边经过点， ________．7. （1分） (2019高一下·上海期末) 若扇形圆心角为，扇形面积为，则扇形半径为________.8. （1分） (2019高一下·上海期末) 方程的解为 ________．9. （1分） (2019高一下·上海月考) 若，则不等式的解集为________．10. （1分） (2016高一下·仁化期中) sin（﹣）的值是________．11. （1分） (2019高一上·永嘉月考) 设分别是第二象限角，则点落在第________象限.12. （1分） (2016高一上·海安期中) 已知sinα= ，α∈（，π），则tanα=________．13. （1分） (2017高一上·无锡期末) 已知cosα= ，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=________．14. （1分） (2020高三上·潮州期末) 函数在处取得最大值，则 ________15. （1分）已知，，则 ________．16. （1分）在等式=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是________三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分） (2016高一下·桐乡期中) 解答题（1）已知角α的终边过点P（3a﹣9，a+2），且cosα＜0，sinα＞0，求a的取值范围；（2）已知角θ的终边经过点，求的值．18. （10分） (2019高三上·和平月考) 已知， .（1）求的值；（2）求的值.19. （10分） (2018高一下·威远期中) 已知函数，若（1）求f(x)的最小正周期及单调减区间；（2）若α∈(0，π)，且＝，求tan 的值．20. （15分） (2018高一下·应县期末) 已知，设 . （1）求的解析式及单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积.21. （15分）(2020·兴平模拟) 已知函数； .（1）判断在上的单调性，并说明理由；（2）求的极值；（3）当时，，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。

2021年浙江省温州市龙湾镇中学高三数学理联考试题含解析

2021年浙江省温州市龙湾镇中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75参考答案：D考点：模拟方法估计概率．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．解答：解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故选：D．点评：本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．2. 18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（）.(A) (B) (C) (D)参考答案：D3. 命题“?x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是（）A．?x0∈（0，+∞），lnx0≠2x0+1 B．?x0?（0，+∞），lnx0=2x0+1C．?x∈（0，+∞），lnx≠2x+1D．?x?（0，+∞），lnx≠2x+1参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“?x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是：“?x∈（0，+∞），lnx≠2x+1”故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题．4. 在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使与的面积都小于4的概率为A. B. C. D.参考答案：A【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，则三角形的高要，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，由于，则三角形的高要，同样，P点到AD的距离要小于，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为：；故选：A．【点睛】本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．5. 设集合,已知,那么k的取值范围是（）A．(－∞,0) B．(0,+∞) C．(－∞,0] D．(1,+∞)参考答案：C∵集合∴集合∵集合，且∴故选C.6. 若关于的方程有三个实根，，，且满足，则的最小值为A． B． C．D．0参考答案：B试题分析：方程有三个实根，函数与函数的图象有三个交点，由图象可知，直线在之间，有3个交点，当直线过点时，此时最小，由于得或，因此点，令化简得，的最小值.考点：方程的根和函数的零点.7. 如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C8. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A．B． C．D．参考答案：D9. “双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的简单性质．【分析】判断充分与必要的条件关系，关键是看题设与条件能否互推，此题双曲线C的渐近线方程为的双曲线是不唯一的，从而进行求解．【解答】解：∵双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”根据双曲线C的渐近线的定义可得：y=；∴双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）?“双曲线C的渐近线方程为y=”；若双曲线C的渐近线方程为y==±x；∴双曲线C的方程还可以为：，∴“双曲线C的渐近线方程为y=”推不出双曲线C的方程为；∴双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的充分不必要条件；故选A．【点评】此题是一道基础题，主要考查充分条件和必要条件的定义，不过这类基础题也是高考中经常考的．10.若，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.参考答案：答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD 的长为．参考答案：【知识点】切割线定理N1解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。

2020-2021学年浙江省温州市龙湾中学高三数学文期末试题含解析

2020-2021学年浙江省温州市龙湾中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，对于下列命题：①函数是周期函数；②函数是奇函数；③对任意满足④函数的定义域是R，且其图象有对称轴其中真命题是（）A．③④ B．②③ C．①④D．①③参考答案：A略2. 已知函数，函数，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的值为的函数值的概率为（）A．B． C. D．参考答案：C3. 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a , b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，( )( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确( C )两个命题都正确 ( D )两个命题都不正确参考答案：D如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．4. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为A.68B.68.2C.69D.75参考答案：A5. 已知集合，，则（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先求出集合B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．【详解】由得x＞0，所以B＝{x|x＞0}．所以A∩B＝{x|0<x<1}．，故选：C．【点睛】本题考查交集、并集的求法及应用，涉及指数函数单调性的应用，是基础题．6. 已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=，n∈A}，则A∩B的子集个数是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 16参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：把A中元素代入B中计算确定出B，进而求出A与B的交集，找出交集的子集个数即可．解答：解：把x=1，2，3，4分别代入得：B={1，，，2}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}，则A∩B的子集个数是22=4．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7. (5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3参考答案：C8. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为参考答案：C9. 偶函数在区间上单调递减，则有（）A. B.C. D.参考答案：A.试题分析：由题意得，，故选A.考点：函数性质的综合运用.10. 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的3个数都成等差数列的概率为（）A.B.C.D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．参考答案：由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．12. 已知集合M={(x ， y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N ＝．参考答案：略13. 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为，，则切线AD 的长为参考答案：略14. 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是．参考答案：15. 给出下列四个命题:①若直线过抛物线的焦点,且与这条抛物线交于A 、B 两点,则的最小值为2;②双曲线的离心率为;③若⊙⊙,则这两圆恰有2条公切线;④若直线与直线互相垂直,则其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)参考答案：2 ;3 略16. 已知递增的等差数列的首项，且,,成等比数列，则数列的通项公式；____.参考答案：，，即17.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．参考答案：7500略三、解答题：本大题共5小题，共72分。