静电场与导体
大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
1、静电场中的导体-13
P
3S + 4S = QB
又电荷守恒，所以有： 1S + 2S = QA
Q A QB 联立得： 1 4 2S QB Q A Q A QB 3 2 2S 2S
两板中间的场强为：
1 2 3 4 E 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 B 2 Q A QB U AB E dl Ed d d A 0 2 0 S
U ab
b
a
E dl
0
导体整体是等势体 导体表面是等势面
E0
三、静电平衡时导体上电荷的分布
导体的静电平衡条件； 根据：
1 静电场的高斯定理： E dS S 0
q
S内
i
(1)导体内部无净电荷，电荷分布在导体表面； 在导体内任作一高斯面S ，则：
1 SE dS 0
球A与壳B之间的电势差为：
q3 q2
q1
R3 R1 R2
U AB
R2
R1
q1 1 1 q1 ( ) dr 2 4 π 0 R1 R2 4 π 0 r
q3 q2
q1
R3 R1 R2
q1 q 2 0 q2 - q1
由电荷守恒定律：
q3 q q2 q q1
考虑电荷分布的对称性，由高斯定理得：
E 0 r R1
q1 E 2 4π 0 r
R1 r R2
E 0 R3 r R2 q1 q E r R3 2 4π o r
S内
q
S内
i
=0
S
qi 0 不存在净电荷
(2)导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外 附近的场强大小成正比；
2、静电场中的导体和电介质
思考题
1. 导体静电平衡时，有什么特点？ 2. 现有甲、乙二人，站在与地绝缘的泡沫板上， 甲带有正电荷，乙不带电。你只有一根导线。 （1）如何让乙也带上正电荷？ （2）如何让乙带上负电荷？ 3. 电极化强度矢量满足何种边界条件？
学习动物精神
11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的， 新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意 与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。
垂直的端面上出现极化电荷。
对于非均匀电介质，除在电介质表面上出现极化
电荷外，在电介质内部也将产生体极化电荷。
2.5.2
电极化强度
当电介质处于极化状态时，在电介质内部任一宏观小 体积元V内分子的电矩矢量和不等于零，即Σp≠0（其中p 为分子电矩）。 为了定量地描述电介质的极化程度，引入电极化强度 矢量P，它等于介质单位体积内分子电矩的矢量和。
导体静电平衡的特点
（1）导体内部任意一点的电场强度等于零。
（2）导体表面上任一点的场强必定垂直于导体表面。
（3）导体为等势体，导体表面是等势面。 （4）电荷都分布在导体的表面上，导体内部任一小体积 元内的净电荷等于零。 （5）导体在电场中达到静电平衡时，其表面上电荷的分
布不一定是均匀的，一般地讲，表面曲率大的地方，电荷
力线只能终止（或起始）于导体表面，并与导体表面垂直，
不能穿过导体进入内部。也就是说，空腔导体内部的物体不 会受到外部电场的影响。 空腔导体使其内部不受外电场影响的性质叫静电屏蔽。 在静电防护领域，为了使对静电敏感的器件不受外界静
电场的影响，通常将敏感器件装在屏蔽袋中。
静电场对导体
+ − ++ − + − r + − − E′ + + − − + −
r E0
r r r E = E0 + E′ − ++ + − − + − − + + − + − + −
静电平衡： 导体内部及表面均无电荷定向运动， 静电平衡： 导体内部及表面均无电荷定向运动， 导体上电荷及空间电场分布达到稳定. 导体上电荷及空间电场分布达到稳定. 条件： 条件：
ρ =0
s
S'
紧贴内表面作高斯面 S r 1 r 1 ∫ E内 ⋅ dS = ε 0 ∑ q内 = ε 0 内表面 内dS = 0 ∫σ s 若
∑q
内
= 0, σ内 ≠ 0.
则必然有σ > 0,σ < 0 处，
s
电力线由 + σ → −σ . ，沿电力线方向电 势降低，导体内表面有电势差 导体内表面有电势差，与静电 势降低 导体内表面有电势差 与静电 平衡条件：导体表面为等势面矛盾。 平衡条件：导体表面为等势面矛盾。 净电荷只能分布于外表面。 所以 σ 内= 0 净电荷只能分布于外表面。
r r r' E内 = E 0 + E = 0 r r r' E表面 = E0 + E ⊥ 表面
导体是等势体 导体表面是等势面。 导体表面是等势面。
或:
要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分布。 要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分布。
二.静电平衡时导体上的电荷分布 1. 导体内无净电荷(ρ = 0)，电荷只分布于导体表面。 导体内无净电荷( ) 电荷只分布于导体表面。 1) 实心导体
06 静电场中的导体和介质
对 B 板内一点 P2 ，其电场为
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 0 （2）
6-1 静电场中导体
P1
A
P2
B
例 3: 两块金属平板 A、B 平行放置，且间距很小， 令两板分别带电 qA 和 qB，求四个板面上的电荷面密 度，设两板面积均为 S 。
S E dS 0
矛盾！证毕！
6-1 静电场中导体
二. 导体处于静电平衡时的特征
3）导体是等势体，导体表面是等势面。
2 1
证明： V2 V1 E dl
2 1
0
V2 V1
证毕。
6-1 静电场中导体
二. 导体处于静电平衡时的特征
4）导体外部距导体表面很近的一点的场强垂直 于导体表面向外，大小为：
6-1 静电场中导体
一. 静电平衡
1. 定义：导体上的自由电荷不作宏观运动的状态。 例如：静电感应
+
++ + +
感应电荷
6-1 静电场中导体
二. 导体处于静电平衡时的特征
1）导体内部场强处处为零。
E0 ＇ E E 0
+ + + + + + + +
E0
＇ E E0 E 0
1 2 3 4
1 4 0 qA 2 3 S
A
B
即电荷只分布在两板内表面。
6-1 静电场中导体
例 3: 两块金属平板 A、B 平行放置，且间距很小， 令两板分别带电 qA 和 qB，求四个板面上的电荷面密 度，设两板面积均为 S 。
[理学]静电场中的导体
![[理学]静电场中的导体](https://img.taocdn.com/s3/m/d5df37ae767f5acfa0c7cdaf.png)
QB
4 0r 2
rA r rB
由于球壳接地有 U A 0 ，根据电势的定义,
则O点的电势为：
UO
UO UA
a E dr
0
rB 0
E1
dr
rA E rB 2
dr
a rA E3 dr
rA E rB 2
dr
rA QB dr
rB 4 r 2
QB
4 0
1 rB
1 rA
•高压设备都用金属导体壳接地做保护
•在电子仪器、或传输微弱信号的导线中都常用 金属壳或金属网作静电屏蔽。
•高压带电操作
U C
外界不影响内部
静电的应用
一、静电的特点
•带电体所带的静电电荷的电量都很小； •静电场所具有的能量也不大； •电压可能很高。
二、静电的应用
•范德格拉夫起电机 •静电除尘 •静电分离 •静电织绒 •静电喷漆 •静电消除器 •静电生物技术
B、C、D处的场强和电势又如何？
解:
（1）据静电平衡条件和高斯定理有：
s1
内球：电荷 q 均匀分布在球面； 球壳：内表面均匀分布 q ；
外表面均匀分布 2q 。
s2
D
C
BA
R3
o R1 R2
（2）由高斯定理，可算得：
E1 0
r R1
E2
q
40r 2
R1 r R2
E3 0
U R1 1r
R2 r
E1
dr
R3
R2
E R1 2
E4 dr
RR243 E23 q0rd2r
r
R3
R3
E4
dr
U2
q
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
静电场对导体的影响
静电场对导体的影响导体是一种具有良好导电性能的物质，而静电场则指的是由电荷分布所形成的电场。
静电场对导体具有重要的影响，本文将就此进行探讨。
I. 导体的基本特性导体是指能够自由流动电子的物质。
它能够在外加电压或电场的作用下，支持电子的移动，形成电流。
导体的特性包括：1. 良好的导电性：导体中存在大量自由电子，当外加电场施加在导体上时，这些自由电子能够相应地移动，形成电流。
2. 自动分布的电荷：在静电平衡下，导体表面的电荷分布是均匀的，且位于导体表面。
II. 静电场对导体的影响静电场对导体的影响主要体现在以下几个方面：1. 电荷分布重分布当一个带电体靠近导体时，导体内的自由电子将会受到带电体的静电力的作用，整个导体内部的电荷将发生重分布。
导体内部的电子会自动移动，直到导体内部电场为零，从而导致导体表面电荷可能发生变化。
2. 静电屏蔽效应导体的一个重要特性是其能够屏蔽外部静电场。
当外部静电场施加在导体表面时，导体内部的自由电子会立即移动，抵消外部电场的影响。
导体能够将外部电场限制在其表面上，不会进一步传播。
3. 静电场内部无电场在一个导体内部，电荷分布是均匀的，不存在电场。
导体内的自由电子会被外部电场吸引，移动到导体表面，使得内部电场完全被消除。
4. 表面电荷积聚导体表面上原本均匀分布的电荷，受到外部电场的影响，可能会在某些地方产生电荷积聚。
这种电荷积聚形成了静电场，并且会对周围的物体产生静电吸引力或静电排斥力。
III. 静电现象的应用由于静电场对导体的影响，静电现象被广泛应用于许多领域，如以下几个例子所示：1. 静电喷涂静电喷涂利用静电吸引力的原理，在带电的喷头上或工件上施加电荷，使得喷涂颗粒在空气中形成涡流，并均匀地附着在工件表面上。
这种喷涂技术具有高效、节能等优点。
2. 静电除尘静电除尘是利用静电排斥力的原理，将带有电荷的涂层放置在除尘设备内部，当粉尘颗粒经过时，会受到涂层排斥并沉积在涂层表面，从而实现除尘效果。
导体静电场
电解电容器
3.1 孤立导体的电容
对于孤立带电小球
V
q 4 0 R
R
q
可以证明，电势与电荷的正比关系对任意形状的导体都成立。 因此有：
q CV
比例常数C叫孤立导体的电容
q C V
3.2电容器及其电容
q q ---- 一极板带电量（电容器的电量） c uA uB uAB ---- 两极板电势差（电容器的电压）
q
+
q
+
+
q
+
结论
1.不接地空腔导体，腔外电场对腔内无影响，
腔内电场对腔外有影响。
+q
-q
+q
2.接地空腔导体，则内外电场都无影响.
+q
-q
静电屏蔽的应用
例 1 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金 8 属球，若使球壳和金属球均带有 q 10 C 的正电荷， 问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1
导体静电场
§2-1 静电场中的导体
一.导体的电结构 ： 导体中有大量自由电荷（自由电子）
和带正电晶体点阵。 . 通常情况下，正负电荷总量相等，导 体呈电中性。
,
放入电场中后,自由电荷发生移动，产
生静电感应现象。
导体与电介质相比： 电结构不同:导体中有大量自由电荷， 介质中为束缚电荷。
电阻率不同:导体: 108 ~ 106 m
8 18 10 ~ 10 m 介质:
二.导体的静电感应 静电平衡
1. 静电感应现象 (electrostatic induction） a)现象:导体在电场中，其自由电荷受电场力
第9章-静电场中的导体和电介质
E 加上外电场后 外 E外
把金属导体置于外电场 中，自由电子将产生宏 观定向运动，导体中电 荷按照外电场特性和导 体形状形成特定的分布
在外电场作用下，引起 导体中电荷重新分布而呈 现出的带电现象，称为
静电感应现象 Electrostatic Induction
问：这种静电感应的过程是否会一直进行下去？
辨析
0 一块无限大均匀带电导体薄板，电荷面密度为 0
问：在它附近一点的场强＝？
解：由无限大带电均匀平面两侧的场强公式，得
二、导体处于静电平衡状态时的场强分布
导体外部近表面处场强 E
方向:与该处导体表面垂直
E
0
n
大小:与该处导体表面电荷面密度 成正比。 E(nˆ )
0
S
ES
S 0
ΔS
P
E
0
E内＝0
讨论：导体表面附近的场强公式
E
0
指导体表面附近场点近旁的导体电荷面密度
一、静电感应 导体的静电平衡条件
无外电场时
无外电场时，导体中 自由电子在金属内作无 规则热运动，而没有宏 观定向运动，整个导体 呈现电中性
无外电场时
导体的静电感应过程
E 外
加上外电场后
导体的静电感应过程
E 外
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E 外
+
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E 外
+ +
E 外
+ + + + +
静电场(导体电介质能量)
r (1) E内 = 0 r (2) E ⊥表面 表
用电势来表述……导体是等势体 导体是等势体, 用电势来表述 导体是等势体 其表面是等势面。 其表面是等势面。
二.在静电平衡时导体上的电荷分布 1.导体内部净电荷处处为零，电荷只能分布在表面上。 导体内部净电荷处处为零，电荷只能分布在表面上。 导体内部净电荷处处为零
U r > R3
q A + qB = 4πε 0 r
如果用导线将A、 连接 连接, 思考 2: 如果用导线将 、B连接 它们的电荷如何分布？ 它们的电荷如何分布？
B
A
R1 R2
R3
S
qB + qA
q3
球与B球内表面的电荷中和 答：A球与 球内表面的电荷中和 球与 球内表面的电荷中和, B球的外表面带电 qB + qA 。 球的外表面带电 思考3: 此时电荷分布的电场、电势？ 思考 此时电荷分布的电场、电势？
S
得到
σ 2 = −σ 3
ε0
=0
板内任一点： 对 A 板内任一点：
σ1 σ 2 σ 3 σ 4 E= − − − =0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0
又已知
σ 1 + σ 2 = σ A = 3µ C / m
2
2
σ 3 + σ 4 = σ B = 7µ C / m
得到 σ 1 = 5µ C / m
σ R 4π R
4πε 0 R
2
σ r 4π r = 4πε 0 r
2
∴σR/σr＝r/R
一导体球壳A带电 带电＋ ，内外半径分别为R 例 一导体球壳 带电＋Q，内外半径分别为 l和R2，另有一导 体球B带电 带电＋ ，半径为r，同心地放在球壳A内 体球 带电＋q，半径为 ，同心地放在球壳 内，两球面距地面 很远． 若球壳 通过导线同地面相接，然后再断开， 若球壳A通过导线同地面相接 很远．(1)若球壳 通过导线同地面相接，然后再断开，求A球壳 球壳 上的电荷分布和电势， 球的电势以及 球的电势以及P点 ＜ 的电势； 上的电荷分布和电势，B球的电势以及 点(r＜rP＜R1)的电势； 的电势 (2)再使 球接地，求A、B上的电荷分布和电势。 再使B球接地， 、 上的电荷分布和电势。 再使 球接地 上的电荷分布和电势
6静电场中的导体和电介质
V表面 常量
2. 导体上电荷分布 1）静电平衡时，导体内无净电荷，电荷只分布在导体 外表面上。 证明： (1)导体内无空腔 .p
E内 ds 0 q内 0
(2)导体内有空腔，腔内无其它带电体
可以看成已经达到静电平衡的实心导体，从中 挖出空腔，由于没有挖去净电荷，不会影响电 荷分布，也不影响电场分布。内表面无净电荷。
r
D1 E1 R1 2 r1 2 1r1 r R1 r1 r : E1 21r1 E1 2 r2 E 2 1r1 同理：r r2 R2 : E2 22 r2
R2
r R2 V d r1 dr2 ln ln 21r1 22 r2 21 R1 22 r R r
q
§6—7 静电场中的电介质 电介质 绝缘体(不导电) 1.电介质的电结构 带负电的电子→束缚电子 每个分子 带正电的原子核 正负重心不重合 两类电介质： 正负重心重合 E 2.电极化现象 E外 0 1）有极分子 2）无极分子
所有负电荷负重心 所有正电荷正重心
有极分子 p p 0 无极分子
q q A B
(3)内球与地相接，设内球带电q’：
R1
q q VA dr dr 2 2 R 4 r R2 4 r o o q 1 1 q q 1 ( ) 0 可解出 q 4o R R1 4o R2 q q 1 VB 4o R2
R
o
R
q
q
4 R 4
o
dq
q
o
2R
0
q q R 2R
q 4o R
第13章-静电场中的导体和电介质汇总
（2）空腔内电场强度处处为零，或者说，空腔内的电势处处相等。
证明：在导体内部作一个包围内表面的闭
q
合曲面，由静电平衡v条件，此曲面
上各点的电场强度 E 0，则通过
Ò闭S合Ev曲d面Sv的 0电通量所为以零，即q：i 0
S
假设导体空腔内表面上分布有等量异号的 电荷，是否可以？
屏蔽作用──导体壳内所包围的区域不受外电场的影响。
第13章 静电场中的导体和电介质
本章重点： 本章作业：
§13.1 静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件
导体在静电场中，两侧出现正、负电
荷的现象叫做静电感应现象。产生的
电荷称为感应电荷。产生外电场的
电荷称为施感电荷。
静电平衡时：
E E0 E 0
E0
E0
E0
静电平衡时，要求表面电荷也不能移动．即表面处的静电场
( R1 r R2 ) (r R2 )
q
R2
R1
R
（2）根据静电平衡条件和电势的定义可得电势的分布为
R
R1
R2
R1 q
U1
r
E1dr
R
E2dr
E3dr
R1
E4dr
R2
R
4π0r 2 dr
R2
4π0r 2 dr
1
4π 0
q R
q R1
qQ R2
(r R)
U2
R1
E2dr
E2
则面元dS所受的电场力为 单位面积上受到的电场力为
F
2
2 0
E2 en
dS
2 2 0
d Sen
例题13-3 半径为R的孤立金属球，接 地,与球心相距 l 处有一点电荷+q, 求球 上的感应电荷q′。
有导体时的静电场问题
有导体时的静电场问题
当存在导体时，静电场问题会有所不同。
导体是一种可以自由移动电荷的材料，因此它可以对静电场产生影响。
在导体表面，电荷会聚集在导体表面，因为在导体内部，电荷会受到相互排斥的力而移动到表面。
这会导致导体表面的电势相等，因为电势是在一点处的电荷与其他电荷之间的势能差异。
因此，在导体表面上，电场与法线方向垂直，且电场强度为零。
在导体内部，电场仍然存在，但只有在导体中存在电荷分布时才会产生。
这个过程可以用高斯定律来描述，即在一个封闭曲面中的电通量与该曲面所包围的总电荷成正比。
因此，当存在导体时，静电场问题需要考虑导体的几何形状、位置和电荷分布，以便准确计算电场和电势。
- 1 -。
第9章导体和电介质中的静电场(精)
第第九九章章导导体体和和电电介介质质中中的的静静电电场场引言：一、导体、电介质、半导体导体：导电性能很好的材料；例如：各种金属、电解质溶液。
电介质（绝缘体）：导电性能很差的材料；例如：云母、胶木等。
半导体:导电性能介于导体和绝缘体之间的材料；二、本章内容简介三、本章重点和难点1. 重点（1）导体的静电平衡性质；（2）空腔导体及静电屏蔽；（3）电容、电容器；2. 难点导体静电平衡下电场强度矢量、电势和电荷分布的计算；第一节静电场中的导体一、静电感应静电平衡1. 静电感应（1）金属导体的电结构从微观角度来看，金属导体是由带正电的晶格点阵和自由电子构成，晶格不动，相当于骨架，而自由电子可自由运动，充满整个导体，是公有化的。
例如：金属铜中的自由电子密度为：nCu=8⨯1028(m-3)。
当没有外电场时，导体中的正负电荷等量均匀分布，宏观上呈电中性。
（2）静电感应当导体处于外电场E0中时，电子受力后作定向运动，引起导体中电荷的重新分布。
结果在导体一侧因电子的堆积而出现负电荷，在另一侧因相对缺少负电荷而出现正电荷。
这就是静电感应现象，出现的电荷叫感应电荷。
2. 静电平衡不管导体原来是否带电和有无外电场的作用，导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动的状态称为导体的静电平衡状态。
（a）自由电子定向运动（b）静电平衡状态3. 静电平衡条件（静电平衡态下导体的电性质）（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直。
（2）在静电平衡时，导体内上的电势处处相等，导体是一个等势体。
E证明：假设导体表面电场强度有切向分量，即τ≠0，则自由电子将沿导体表面有宏观定向运动，导体未达到静电平衡状态，和命题条件矛盾。
dUdU =0,=0E内=0，Eτ=0dldτ因为，所以，即导体为等势体，导体表面为等势面。
二、静电平衡时导体上电荷的分布1. 实心导体（1）处于静电平衡态的实心导体，其内部各处净电荷为零，电荷只能分布于导体外表面。
静电场(导体电介质能量)
U r R1
U R1 R2
qB q A q A 1 q A q A q A qB qA ( )
4 0 r R2 R3
q A q A q A qB ( ) 4 0 R1 R2 R3 1
B
A
R1 R2
R3
U R2 R3
q A qB 4 0 R3
E 介质中的总场强(外电场＋束缚电荷电场)
r称为相对介电常数或相对电容率
P 0 e E, e r 1 e …称为电极化率,
四、束缚电荷与极化强度的关系 以无极电介质为例推导 如图，在电介质表面上取一面 元dS, 并在电介质中沿极化强 度方向取一图所示的斜柱体。
1 2
由电荷守恒:
1 2 0
(1)
由静电平衡条件: B内部E=0 即：E0+E1-E2 = 0
0
E2
1
2
E1
0 1 2 0 2 0 2 0 2 0
E0
0 1 2 0
解（1）（2）的联立，得
(2)
1
0
2
, 2
0
2
E
E in 0
0
3、孤立导体处于静电平衡时，导体表面上的电荷面 密度与曲率成正比。 导体表面曲率半径愈小处(即 曲率愈大处),电荷面密度愈大， 电场也愈大.
尖端放电
雷击尖端
§ 有导体存在时静电场的分析与计算
基本依据: (1)利用导体静电平衡条件 (2)利用电荷守恒定律 (3)利用高斯定理 (4)利用环路定理
= 0 r 称为电介质的介电常数
由电介质中的高斯定理容易证明：无限大均匀电 介质中(或两等势面间充满均匀电介质)的电场：
第8章静电场中的导体和电介质知识点复习
d O'
导 体 板
+
直线
O
x
E2 2 0
由总电场
E E E 0 O 1 2 得 2 d
(3)
二、 静电场中的电介质 1. D 的高斯定理 2. 电容器的电容 3.孤立导体球的电容 4. 电容器的能量 5. 静电场的能量
D d S q 0 内
电容:
(6)
2
2 r L 0 C ln( R 2/R 1)
(5)
例4:两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径 为R2，中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一 个球形电容器。 (1) 求该电容器的电容； (2)设内外球壳 上分别带有电荷+Q和-Q，求电容器储存的能量。 解: (1)设内外球壳上分别带电Q和-Q， 则两球壳中间的场强大小为
Q 20r rL
R2
R1 dr
r
在电场中取体积元 d V ( 2 rL ) d r 则在 dV 中的电场能量为：
L
r
+Q
–QLeabharlann d W0r2
2 E d V
2 R 1 Q d r 2 W W d R 1 r 2 2 L 0 r
2 1 Q R 1 Q ln 2 22 rL R 2 C 0 1
由导体内部场 强为零得
3. 有导体存在时静电场的分析与计算
1
2
3
4
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
S
P
(1)
例1: 同心导体球面，半径分别为R1和R2，电量分别为 Q1和Q2。当把内球接地时，内球带电多少？ 解：内球接地，其电势为零，设其电量为Q1
静电场中的导体和电介质
平行板电容器的电容，与极板的面积成正比，与极板 间的距离成反比。
圆柱形电容器的电容
两柱面间的场强大小 E Q 2 0 Lr 方向沿着径向 两柱面间的电势差
U A U B Edr Q 2 0 L ln R2 R1
R2
Q 2 0 Lr
R1
dr
柱形电容器的电容
dWe we dV
取半径为r，厚为dr的球壳， 电场总能量为： 其体积元为： 2
8r
2
dr
dV 4r dr
2
Q We dWe 8
R2
R1
dr 1 Q2 ( R2 R1 ) 2 r 2 4R2 R1
Q C U
4 0 R
★电量按半径比例进行重新分配
2 1 Q Q 2 Q 3 3 F 2 2 4π 0 R 18π 0 R
二. 电容器及其电容 常见的电容器： 平行板电容器----两块导体薄板； 圆柱形电容器----导体薄柱面； 球形电容器----导体薄球面； 当电容器的两极板分别带有等值异号电荷Q时，电荷Q与 两极板A、B间的电势差 (UA-UB) 的比值定义为电容器的 电容：
外 内
E内 ? S
★电荷只分布在外表面，内表面上处处无电荷
内表=0
E内=0
2、 若导体壳包围的空间（腔）有电荷：
内
q S ★内表面带电总量为-q,内表面上各处 电荷面密度取决于腔内电荷的分布
外
q内表 q
E内 0
3、静电屏蔽
S
A
Q
B
E内 0
在电子仪器中，用金属网罩把电路包起来，使其 不受外界带电体的干扰。 传送微弱电信号的导线，外表用金属丝编成的网 包起来，这种的导线叫屏蔽线。
大学物理第九章导体和介质中的静电场
第九章导体与介质中的静电场Electrostatic field in conductor and dielectric §9-1,2静电场中的导体§9-3电容器的电容§9-6电介质中的高斯定理§9-8 静电场的能量§9-1,2静电场中的导体一、导体的静电平衡( electrostatic equilibrium )1.导体绝缘体半导体1)导体(conductor)导电能力极强的物体(存在大量可自由移动的电荷)2)绝缘体（电介质,dielectric）导电能力极弱或不能导电的物体3)半导体(semiconductor)导电能力介于上述两者之间的物体EE E E iii E e E q F 导体静电平衡条件：导体内任一点的电场强度都等于零Ei E E2. 导体的静电平衡条件导体的内部和表面都没有电荷作任何宏观定向运动的状态.导体的静电平衡状态：静电感应E* 推论(静电平衡状态)证：在导体上任取两点p , ql d E V V i qpq pqp V V 0i Epq导体静电平衡条件：2)导体表面任一点场强方向垂直于表面1）导体为等势体，导体表面为等势面否则其切向分量将引起导体表面自由电子的运动，与静电平衡相矛盾。
3.导体上电荷的分布1)当带电导体处于静电平衡状态时,导体内部处处没有净电荷存在, 电荷只能分布于导体的表面上.qdV iiV证明：在导体内任取体积元dV由高斯定理体积元d v 任取导体带电只能在表面！iiqS d E 01 ,0 i E dVn e En e E E S d e E S d E nS E 0S2).导体表面附近的场强方向与表面垂直，大小与该处电荷的面密度成正比.ne ES结论：孤立的带电导体，外表面各处的电荷面密度与该处曲率半径成反比,410R Q V RRrr R ,44,22rRr R rR q Q r R R rQq1）导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大）电荷面密度较大2）导体表面平坦的地方（曲率较小）电荷面密度较小3）导体表面凹进去的地方（曲率为负）电荷面密度更小rq V r 041rq R Q V V R r 004141l d E 导体内,0l d E 腔沿电场线l d E (违反环路定理)在静电平衡状态下,导体空腔内各点的场强等于零,空腔的内表面上处处没有电荷分布.ld E l d E l d E导体内腔沿电场线二、空腔导体(带电荷Q )1 腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
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第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
③导体表面是一个等势面，且与导体内部的电势相等。
3、导体上的电荷分布（1）导体内部电荷密度处处为零，电荷只能分布在导体表面上。
（2）空腔导体（内无电荷）内表面上无电荷分布。
电荷只能分布在外表面，且导体空腔内部的场强也为零。
（3）孤立带电导体表面电荷面密度σ与表面曲率有关。
一般来说，曲率大的地方电荷面密度较大，曲率小的地方电荷面密度较小。
４、导体表面的场强当导体处于静电平衡时，导体表面场强大小与导体表面处的面电荷密度σ成正比，方向与导体表面垂直，即为表面外法线单位矢。
① E 是由所有场源共同产生。
②01E σε=的关系形式不受场源改变的影响。
当场源改变时，电场分布必要改变，导体表面上的面电荷分布将自行调整，直至达到新的静电平衡，使 01E σε=成立。
5、静电屏蔽空腔导体（不论接地与否）内部电场不受外部电荷影响；接地空腔导体外部电场不受腔内电荷影响，这种现象叫做静电屏蔽。
① 当导体壳接地时，接地线的存在，只提供与地交换电荷的可能性，并不保证壳外壁的电荷密度在任何情况下都为零。
② 导体的静电屏蔽作用是自然界存在两类电荷与导体中存在大量自由电子的结果。
③ 静电屏蔽时，电场线不能穿透金属导体。
这里的电场线代表的是所有电荷共同产生的电场。
6、导体上的电荷分布计算方法（1）根据题设条件分析判断经静电感应达到静电平衡后导体上所带电荷的性质及其分布情况，设出各待求电量Q 或电荷密度σ。
（2）根据导体的静电平衡条件、高斯定理、环路定理和叠加原理，分别列出其场强及电势的表达式。
（3）由已知条件从方程组中解出各待求量。
7、导体附近的场强和电势计算方法（1）确定导体达到静电平衡时所带的电量及电荷分布情况。
（2）根据导体静电平衡条件及导体上电荷稳定分布情况，分析判断其电场分布情况，用高斯定理（或场强叠加原理）再求出场强分布。
（3）用电势定义式（或电势叠加原理）求出电势分布。
8、例题例2.1-1 一面积为S 的很大金属平板A ，带有正电荷，电量为Q ，A 1和A 2是金属板的两个平面，计算两表面上的电荷单独产生的场强和它们的合场强。
解：因导体板的面积很大，厚度很小，可以认为电荷Q 均匀分布在A 1和A 2两个表面上，电荷面密度为每个面可看作无限大的带电平面，设 和 分别代表A 1和A 2表面上的电荷单独产生的电场的场强，表示垂直金属板向右的单位矢量，则n e E ˆ10σε= n e ˆS Q 2=σ2E 1E =1E i ˆ210σε（A 1右侧）σi ˆ210ε-（A 1左侧）A而 例2.1-2 在例1中，若把另一面积亦为S 的不带电的金属平板B 平行放在A 板附近，求此时A 、B 板每个表面上的面密度和空间各点的场强。
解：当B 板放在A 板附近时，由于静电感应，电荷将重新分布，最后达到静电平衡。
用1σ、2σ、3σ、4σ分别表示A 和B 两板每个面上的电荷面密度，如图所示。
根据电荷守恒定律，不管板上的电荷怎样重新分布，每一金属板的总量保持不变，即根据静电平衡条件，每一金属板内的场强为零，若1E 、2E 、3E 和 4E 分别是每一面上的电荷单独产生的场强，则在金属板内任一处取向右的方向为正，把每一个带电面看作无限大带电平面，在金属板A 内，有在金属板B 内，有解以上四个方程式，可得 三个区域中的场强为 012I II III Q E E E S ε===方向如图所示。
由此可见，B 板的引入并不改变A 板上电荷的分布，除B 板内各处的场强为零外，空间其它地方的场强亦未变化。
例2.1-3 在上题中，若将金属板B 接地，求A 、B 两板表面上的电荷密度。
解：B 板接地后，B 板和大地变成同一导体，B 板外侧表面不带电，即根据电荷守恒定律根据静电平衡条件，A 、B 两板内部电场强度为零，故有解以上方程得=+=21E E E i ˆ10σε（A 1右侧）0 （A 1、A 2之间）i ˆ10σε-（A 2左侧）1σS Q =+21σσ043=+σσ04321=+++E E E E 04321=---σσσσ04321=-++σσσσ212σσ==S Q 432σσ-=-=S Q 12σ3σ4A B 1234⋅⋅ⅡⅢ04=σS Q =+21σσ0321=--σσσ0321=++σσσ01=σ32σσ-==S Q即当B 板接地后，原来分布在A 板两个表面上的电荷全部集中到B 板的一个表面上，而在B 板的靠近A 板的那个表面上出现与A 板等量异号的感应电荷，电场只分布在区域II 内。
例2.1-4 在x<0的半个空间内,充满金属，在x=a 处有一电量为q 的正点电荷,如图(a)所示，试计算导体表面的场强和导体表面上的感应电荷面密度。
解：根据场强叠加原理，空间任一点的场强由点电荷+q 单独产生的电场和金属表面感应电荷单独产生的电场叠加而成，如图（2）。
1）若P 1是x<0空间内的一点，其坐标为（-δ，y ），δ→0 ，点电荷q 在P 1点的场强为设金属表面的感应电荷在该点产生的场强为1E 由此得2）若P 2是x>0空间内的一点，其坐标为（δP 1和P 2无限接近，在这两点，点电荷q 的电场强度是相等的，但感应电荷在P 1处的场强1E 和P 2处的场强'E 是不同的，根据导体表面附近一点的场强垂直于导体表面知，q E 和'E大小相等，方向不同，如图（c ）。
图（例2.1-5 电量为q 的点电荷绝缘地放在导体球壳的中心，球壳的内半径为R 1，外半径为R 2，求球壳的电势 解：点电荷位于球壳的中心，球壳内表面将均匀带有总电量-q ，球壳外表面均匀带有总电量q ，电场的分布具有球对称性，此时可用两种方法求球壳的电势。
1）积分法2）叠加法 例2.1-6 两导体球，半径分别为R 和r ，相距甚远，分别带有电量Q 和q ，今用一细导线连接两球，求达到静电平衡时，两导体球上的电荷面密度之比值。
解：当导体球相距甚远时，每一导体球都可以看作为孤立导体处理。
导体球的电势分别为 014QR ϕπε= 当用导线连结时，两导体球上的电荷重新分布，电量变为 'Q 和 'q 但导线很细，分布在导线上的电荷忽2322020)(ˆˆ4ˆ41y a i a j y q e r q E r q +-==πεπε 01=+q E E 23220201)(ˆˆ4ˆ41y a j y i a q e r q E r +-=-=πεπε '1E 23220'1)(ˆˆ4y a j y i a q E +--=πε 23220'1)(ˆ24y a i a q E E E q +-=+=πε )ˆ()(223220i y a aq -+=πεσε01=E 2322)(2y a aq +=πσdr r q r d E R ⎰⎰∞=⋅=2204πεϕ 2041R q πε=201010444R q R q R q πεπεπεϕ+-+=204R q πε=r q 041πεϕ=q E E 'E θ⋅2略不计。
这是两导体球的电势相等，即而由此可求得面电荷密度所以例2.1-7 一导体球通过与一带电金属板反复接触而获得电荷，每当导体球与金属板接触并分后,又重新使金属板带有电量Q ，若q 1是导体球与金属板第一次接触后所带的电量，求导体球可获得的最大电量。
解：导体球与金属板接触时，两者达到电势相等。
设经过第一次接触，导体球的电量为q 1金属板的电量为Q 1，它们的比值为导体球和金属板接触达到静电平衡时电势相等，K 值不变。
根据电荷守恒定律11q Q Q +=，故有金属板第二次被充电到Q 后再与导体球接触，设导体球和金属板的电量分别为q 2和Q 2，则根据电荷守恒定律， ，故有同理，经过第n 次接触，导体球的电量为当n →∞时§2.2电容和电容器1、孤立导体的电容孤立导体是指该导体的附近没有其它导体和带电体。
对于孤立导体，电荷在导体表面的相对分布情况由导体的几何形状唯一确定，因而带一定电量的导体外部空间的电场分布以及导体的电势亦完全确定。
根据叠加原理，当孤立导体的电量增加若干倍时，导体的电势也将增加若干倍，即孤立导体的电势与其电量r q R Q ''=q Q q Q +=+'')('q Q r R R Q ++=)('q Q r R r q ++=R r R Q q R Q R 1)(44'2++==ππσr r R Q q r q r 1)(44'2++==ππσR r r R =σσk Q q =111111+==-k k Q q k q Q q k Q q =22Q q Q q +=+122k q q Q q =-+212)1()(11112Q q q q Q k k q +=++=)1(11122111--+⋯⋯+++=n n n Q q Q q Q q q q Qq q q 11max 11-=11q Q Qq -=成正比：比例系数C 称为孤立导体的电容。