第八章 第三节 圆的方程(优秀经典课时作业练习及答案详解)

[课时作业·巩固练习]实战演练夯基提能

[A组基础保分练]

1．(2020·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为() A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0

解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.

答案：B

2．(2020·银川模拟)方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是()

A．一个椭圆B．一个圆

C．两个圆D．两个半圆

解析：由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直径y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆，选D.

答案：D

3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

解析：由题意知x－y＝0和x－y－4＝0平行，且它们之间的距离为|4|

2

＝22，所以r

＝ 2.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

答案：D

4．(2020·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()

A ．8

B ．－4

C ．6

D ．无法确定

解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m

2，0，即－m

2

＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C

5．(2020·承德模拟)曲线x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)上的点到直线x －y －1＝0的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )

A. 2 B ．2 C.2

2

＋1 D.2－1

解析：因为圆心(0,1)到直线x －y －1＝0的距离为

2

2

＝2＞1，所以半圆x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)到直线x －y －1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0,0)到直线x －y －1＝0的距离，为

12，所以a －b ＝2＋1－12＝2

2

＋1，故选C. 答案：C

6．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6

D ．10

解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A ，B ，C 代入， 得⎩⎪⎨⎪

⎧

D ＋3

E ＋

F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

D ＝－2，

E ＝4，

F ＝－20.

则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.

令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)， 则y 1，y 2是方程y 2＋4y －20＝0的两根，

由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20， 故|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝

16＋80＝4 6.

答案：C

7.(2020·淮北模拟)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，

B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.

(1)圆C 的标准方程为________________；

(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．

解析：(1)记AB 的中点为D ，在Rt △BDC 中，易得圆C 的半径r ＝BC ＝ 2.因此圆心C 的坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.

(2)因为点B 的坐标为(0，2＋1)，C 的坐标为(1，2)，所以直线BC 的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y ＝x ＋2＋1，故切线在x 轴上的截距为－2－1.

答案：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1

[B 组 能力提升练]

1．(2020·四川成都名校联考)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )

A ．－1

2

B ．12

C ．－43

D ．0

解析：在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →

＝1×1×cos 120°＝－12

.

答案：A

2．(2020·北京海淀期末测试)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )

A.3

2

B ．6

2

C.32或－32

D.

62或－62

解析：由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1.因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为

32r ＝32，即d ＝|m |2＝32

，解得m ＝62或m ＝－62，