第八章第三节圆的方程(优秀经典课时作业练习及答案详解)

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高中数学圆的方程经典例题(含详细解析)

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=abb a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=，当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x =也适合题意。

第八章第三节圆的方程课时作业经典高考练习及答案详解

课时作业 A 组基础对点练1．圆M ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0的圆心坐标为( ) A ．(1，3) B.()1，－3 C.()－1，3D ．(－1，－3)解析：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0配方得(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，故圆心坐标为(－1，－3)，选D.答案：D2．(2017·广州测试)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：∵圆心(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：A3．(2017·吉林质检)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A.()－∞，－3∪(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，32 C ．(－3,1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D ．(－∞，－3)∪(1，32)答案：D4．(2017·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B.答案：B5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．6－2 2B ．52－4 C.17－1D.17解析：圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝52－4.故选B.答案：B6．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是 ________.解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．答案：(－2，－4) 57．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．解析：设圆心为(a,0)(a ＞0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝(a －0)2＋(0－5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝98．(2017·绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1. ∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝(k ＋1)2＋32＝(k ＋1)2＋9≥3. ∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2. 答案：29．(2017·佛山一中检测)已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y－2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝2 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝04－2D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1E ＝5F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组能力提速练1．(2017·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A2．(2017·株州模拟)圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝5B ．(x －2)2＋(y －3)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，故⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －7＝0a 2＋(4＋b )2＝r2a 2＋(2＋b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－3，半径r ＝22＋12＝5，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.选D. 法二：利用圆心在直线2x －y －7＝0上来检验，只有D 符合，即(x －2)2＋(y ＋3)2＝5的圆心为(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三个圆心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合题意，故选D.答案：D3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．[4,6)D ．(4,6]解析：易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．答案：A4．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，求半径最大的圆的标准方程．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.5．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，求过点M 的最短弦所在直线的方程．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.。

圆的方程习题含答案

圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆的半径是（）A．B．2C．D．45．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．6．若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2B．C．6D．8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A．B．5C．D．109．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．11．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____12．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．13．设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线上，且与直线相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，的最大值是_______.三、解答题 19．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积；（2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．21．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。

课时作业圆的方程

解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，
所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
14．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
答案：D
8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，
PQ的中点为M(x，y)，则
解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
所以x ＋y ＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
9．(2018·山西晋中二模)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2 均相切，则该圆的标准方程为()
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.
答案：D
6．(2018·福建厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A、B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()
所以圆心坐标为P ，
所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝ .故选B.

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业理(含解析)新人教A版

2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案：A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.答案：D4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6. 答案：B 二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．(xx·杭州模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．(xx·重庆九校联考)已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离 ∴d ＝2R ＝|0－－4|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心，易得l 的方程：2x －y －3＝0.12．如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. [热点预测]13．(1)(xx·安徽亳州摸底联考)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(xx·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0) 所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|15|52＝8.所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A、B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝09 34222 85AE 薮4q39496 9A48 驈25292 62CC 拌28418 6F02 漂35646 8B3E 謾@|26101 65F5 旵39942 9C06 鰆29311 727F 牿X。

(完整版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案.docx

第 8 章直线和圆的方程练习 8.1两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P P 的长度：1 2（ 2） P （ -3， 1）、 P （ 2， 4）（1） P （ 0， -2）、P （ 3，0）121 2 （3） P （ 4， -2）、P （ 1，2）（ 4） P （ 5， -2）、 P （ -1， 6）1 2122.已知 A(2,3) 、 B （ x ， 1），且 |AB |= 13 ,求 x 的值。

3.根据下列条件，求线段 P 1P 2 中点的坐标：（1） P 1（ 2， -1）、P 2（ 3，4）（ 2） P 1（ 0， -3）、P 2（ 5，0）（ 3） P 1（ 3， 2.5）、 P 2（4， 1.5）（ 4） P 1（ 6， 1）、P 2（3， 3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2 中点的坐标：（1） P （ 3， -1）、P （ 3，5）（ 2） P （ -3， 0）、 P （ 5，0）1 21 2（3） P 1（ 3， 3.5）、 P 2（4， 2.5）（ 4） P 1（ 5， 1）、 P 2（5， 3）参考答案：1.(1) 13 ;(2) 34 ;(3)5; (4)102.-1 或 53.(1) ( 5 , 3) ;(2) ( 5 ,3) ;(3) (7, 2) ; (4) (9, 2)222 222 4. (1)(3, 2) ;(2) (1,0) ;(3) (3.5,3) ; (4)(5, 2)练习 8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（）A. 过原点的直线B.垂直于 y 轴的直线C.垂直于 x 轴的直线D. 垂直于坐标轴的直线(2) 若直线 l的斜率为 -1，则直线 l 的倾斜角为（）A.90 B.0 C. 45D. 1352 已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1） 30 , k ____ （ 2）（3）120 ,k____（ 4）参考答案：1. （ 1） C（ 2） D45 , k____150 , k____2. （ 1）3 3;(2) 1 ;(3) 3 ; (4)33练习 8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点 A （2,5），斜率是 4；（2）经过点 B （ 2,3），倾斜角为45；（3）经过点 C（ -1,1），与 x 轴平行；（4）经过点 D （1,1），与 x 轴垂直。

圆的标准方程(经典练习及答案详解)

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。

高考数学一轮复习第八章第三节圆的方程课时作业理含解析北师大版

第三节圆的方程授课提示：对应学生用书第357页〖A 组基础保分练〗1．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3〖解析〗方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4（2a 2＋a －1）＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23．又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，所以仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆．〖答案〗B 2．（2021·河北省九校第二次联考）圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为（） A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 〖解析〗由题意设所求圆的方程为（x －m ）2＋y 2＝4（m >0），则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143（舍去），故所求圆的方程为（x －2）2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0．〖答案〗C 3．已知圆C 1：（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为（） A ．（x ＋2）2＋（y －2）2＝1 B ．（x －2）2＋（y ＋2）2＝1 C ．（x ＋2）2＋（y ＋2）2＝1 D ．（x －2）2＋（y －2）2＝1 〖解析〗圆C 1的圆心坐标为（－1，1），半径为1，设圆C 2的圆心坐标为（a ，b ），由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C2的圆心坐标为（2，－2），又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为（x －2）2＋（y ＋2）2＝1．〖答案〗B 4．（2020·高考全国卷Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为（）A ．55B ．255C ．355D ．455〖解析〗由题意可知圆心在第一象限，设为（a ，b ）． ∵圆与两坐标轴均相切，∴a ＝b ，且半径r ＝a ， ∴圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －a ）2＝a 2． ∵点（2，1）在圆上，∴（2－a ）2＋（1－a ）2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5．当a ＝1时，圆心坐标为（1，1），此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255；当a ＝5时，圆心坐标为（5，5），此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255．综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255．〖答案〗B5．已知圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 对称，则a －b 的取值范围是（） A ．（－∞，0） B ．（－∞，4） C ．（－4，＋∞） D ．（4，＋∞）〖解析〗根据圆的一般方程中D 2＋E 2－4F ＞0得（－2）2＋62－4×5a ＞0，解得a ＜2，由圆关于直线y ＝x ＋2b 对称可知圆心（1，－3）在直线y ＝x ＋2b 上，所以－3＝1＋2b ，得b ＝－2，故a －b ＜4．〖答案〗B 6．（2021·河北五个一名校联盟一诊）已知点P 为圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝4上一点，A （0，－6），B （4，0），则|P A →＋PB →|的最大值为（） A ．26＋2 B ．26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2〖解析〗取AB 的中点D （2，－3），则P A →＋PB →＝2PD →，|P A →＋PB →|＝|2PD →|，|PD →|的最大值为圆心C （1，2）与D （2，－3）的距离d 再加半径r ，又d ＝1＋25＝26，所以d ＋r ＝26＋2．所以|P A →＋PB →|的最大值为226＋4．〖答案〗C7．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4），B （0，－2），则圆C 的方程为_________．〖解析〗圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E （2，－3），r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为（x －2）2＋（y ＋3）2＝r 2＝5．〖答案〗（x －2）2＋（y ＋3）2＝5 8．（2021·银川模拟）已知圆x 2＋y 2＝4，B （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若∠PBQ ＝90°，则线段PQ 中点的轨迹方程为_________．〖解析〗设PQ 的中点为N （x ′，y ′）．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON （图略），则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋（x ′－1）2＋（y ′－1）2＝4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．〖答案〗x 2＋y 2－x －y －1＝0 9．一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．〖解析〗设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）．令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D ．令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E ．由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0．①又因为圆过点A ，B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0．② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0．③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．（1）求直线CD 的方程；（2）求圆P 的方程．〖解析〗（1）由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为（1，2），则直线CD 的方程为y －2＝－（x －1），即x ＋y －3＝0．（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210，所以（a ＋1）2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P （－3，6）或P （5，－2）．所以圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40．〖B 组能力提升练〗 1．圆（x －2）2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是（）A ．（x －3）2＋（y －1）2＝4B ．（x －1）2＋（y －3）2＝4C ．x 2＋（y －2）2＝4D ．（x －2）2＋（y －2）2＝4〖解析〗设圆（x －2）2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为A （a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，∴a ＝1，b ＝3，∴A （1，3），从而所求圆的方程为（x －1）2＋（y －3）2＝4．〖答案〗B2．若直线2ax －by ＋2＝0（a ，b ∈R ）始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是（）A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12C ．⎝⎛⎭⎫－∞，14D ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 〖解析〗∵直线2ax －by ＋2＝0（a ，b ∈R ）始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心（－1，2）在直线2ax －by ＋2＝0上，可得－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a ，∴ab ＝a （1－a ）＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，当且仅当a ＝12时等号成立，因此ab 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14．〖答案〗D 3．已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 将圆C 分为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝（） A ．－ 6 B ．±6 C ．－ 5 D ．±5〖解析〗结合图形（图略）及题意知，圆心C （1，2）到y 轴的距离与到直线y ＝2x ＋b 的距离相等，易知C （1，2）到y 轴的距离为1，则|2×1－2＋b |22＋（－1）2＝1，解得b ＝±5．〖答案〗D4．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6（其中O 为坐标原点），则圆M 的半径为（） A ． 5 B ． 6 C ．7 D ．2 2 〖解析〗圆M 的标准方程为（x －1）2＋y 2＝1－a ，圆心M （1，0），则|OM |＝1，圆的半径r＝1－a （a ＜1）．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝（OM →＋MA →）·（OM →＋MB →）＝（OM →－MB →）·（OM →＋MB →）＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7．〖答案〗C 5．（2021·临沂模拟）已知圆心在直线x －3y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，且截x 轴所得的弦长为42，则圆C 的标准方程为_________．〖解析〗设圆C 的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（a ＞0，b ＞0），由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，a ＝r ，b 2＋8＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3，所以圆C 的标准方程为（x －3）2＋（y －1）2＝9．〖答案〗（x －3）2＋（y －1）2＝96．（2021·福建厦门模拟）在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，A ＝π3，动点P 在以点A 为圆心，半径为1的圆上，则PB →·PC →的最小值为_________．〖解析〗如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A （0，0），B （4，0），C （1，3），设P （x ，y ），则PB →＝（4－x ，－y ），PC →＝（1－x ，3－y ），所以PB →·PC →＝（4－x ）（1－x ）－y （3－y ）＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －322－3，其中⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M ⎝⎛⎭⎫52，32之间距离|PM |的平方，由几何图形可得|PM |min ＝|AM |－1＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－1＝7－1，所以（PB →·PC →）min ＝（7－1）2－3＝5－27．〖答案〗5－277．设m ∈R ，已知直线x ＋my ＝0过定点A ，直线mx －y －2m ＋4＝0过定点B ，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0交于点P ．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）求|P A |·|PB |的最大值．〖解析〗（1）由已知可知，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0分别过定点A （0，0），B （2，4），又m ×1＋m ×（－1）＝0，所以两直线垂直，故两直线的交点P （x ，y ）的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点（1，2），半径r ＝|AB |2＝5，故动点P 的轨迹方程为（x －1）2＋（y －2）2＝5．（2）由（1）可知定点A （0，0），B （2，4），且两直线垂直，P 为圆（x －1）2＋（y －2）2＝5上的点，则P A ⊥PB ，|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝22＋42＝20，则|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝10，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立，所以|P A |·|PB |的最大值为10．〖C 组创新应用练〗1．（2021·海口模拟）已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4（y ≥0），则m ＝3x ＋y 的取值范围是（） A ．（－23，4） B ．〖－23，4〗 C ．〖－4，4〗 D ．〖－4，23〗〖解析〗x 2＋y 2＝4（y ≥0）表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m ．当直线3x ＋y －m ＝0过点（－2，0）时，m ＝－23．设圆心（0，0）到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤2，即⎩⎨⎧m ≥－23，|－m |2≤2.解得m ∈〖－23，4〗．〖答案〗B2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12（x ，y ，k ∈R 且k ＞0）；命题q ：（x －3）2＋y 2≤25（x ，y ∈R ）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是_________．〖解析〗如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部（含边界），命题q 表示的范围是以点（3，0）为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内（或圆上）即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25，解得0＜k ≤6．〖答案〗（0，6〗3．如果直线2ax －by ＋14＝0（a ＞0，b ＞0）和函数f （x ）＝m x ＋1＋1（m ＞0，m ≠1）的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x －a ＋1）2＋（y ＋b －2）2＝25的内部或圆上，那么ba的取值范围为_________．〖解析〗易知函数f （x ）＝m x ＋1＋1（m ＞0，m ≠1）的图像过定点（－1，2），∴直线2ax －by ＋14＝0（a ＞0，b ＞0）过定点（－1，2），∴a ＋b ＝7 ①，又定点（－1，2）在圆（x －a ＋1）2＋（y ＋b －2）2＝25的内部或圆上， ∴a 2＋b 2≤25 ②，由①②解得3≤a ≤4， ∴14≤1a ≤13，∴b a ＝7－a a ＝7a－1∈⎣⎡⎦⎤34，43．〖答案〗⎣⎡⎦⎤34，43。

圆的方程习题精讲,附有详细答案

其中－4
求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。
证明：把所给方程写为：
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：
所以，不论为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点
轴对称
轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
点评：一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4 (06天津卷理)设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .
解由已知圆，即得圆心和半径 .
∵线心距，且，∴ ，即，解得 .
点评：一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题： .
∵圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2 ，
∴圆心到直线的距离小于或等于 .
即，亦即 .故
∴15°
故所求角的范围为[15°，75°].
【点评】解析1采用几何法来处理直线与圆的位置关系问题，而解析2是通过代数的方法来处理.
（4）圆与圆的位置关系——由心心距和半径长确定
【例4】已知两圆和，求：
即x2+y2+4x的最大值为7+2 ，最小值为
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心和半径，即得圆的标准方程；已知圆的标准方程，即得圆心和半径，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文)以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解已知圆心为，且由题意知线心距等于圆半径，即，∴所求的圆方程为，故选(C).

圆的方程(含答案)

圆的方程【知识清单】： 1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.注意：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．【考点突破】：考点一圆的方程(基础送分型考点——自主练透)1．(易错题)(2015·潍坊模拟)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：选D 由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.2．(2016·石家庄一检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．.53B ．213C ．253D ．43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.[谨记通法]：1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度四：建立目标函数求最值问题4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0), B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B 由(x －3)2＋(y －4)2＝1知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即 AP ·BP ＝0，∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝34， ∴0＜m ≤6，即m 的最大值为6.[方法归纳]：求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值：根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点三与圆有关的轨迹问题(重点保分型考点——师生共研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3， ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3；②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1， ∴r 2＝3，∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.已知 OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量 OQ 满足 OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由 OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4[由题悟法]：与圆有关的轨迹问题的4种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B ．22C ．1D ． 2解析：选D 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2.4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________．解析：(x ，y )关于原点P (0,0)的对称点为(－x ，－y )，则(－x ＋2)2＋(－y )2＝5，即(x －2)2＋y 2＝5. 答案：(x －2)2＋y 2＝5二保高考，全练题型做到高考达标3．(2016·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.4．(2016·济南模拟)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 设圆C 1的圆心坐标C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(a ，b )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6] C ．[4,6)D ．(4,6]解析：选A 易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令 r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝27．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9 的外部，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝－3k .∴(－4k )2＋(－3k )2＞9，即25k 2＞9，解得k ＞35或k ＜－35.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 8．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：49．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求 PQ ·MQ 的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ·MQ ＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴ PQ ·MQ ＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2，所以 PQ · MQ 的最小值为－4.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝52．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)， MP ＝(2－x,2－y )，由题设知 CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.【拓展延伸】：题型一：利用基本量的数学思想求圆的方程1、已知方程22240x y x y m +--+=，（1）若此方程表示圆，求圆心坐标及m 的取值范围. （2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于11(,)M x y 、22N(,)x y 两点，且OM ON ⊥,求圆的方程 .2、已知方程222610x y x y ++-+=，直线:m 3l x y += （1）若直线l 和圆C 相切，求实数m 的值；（2）是否存在m 的值，使直线l 和圆C 相交于A,B 两点，且0OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，若存在，试求出m 的值；否则，请说明理由 .题型二：与圆有关的最值问题1、过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且面积最大的圆的方程为________．. 2、（1）已知点P(,)x y 在圆2211x y +-=（）上运动，则12y x --的最大值为________；最小值为________．（2）已知实数x 、y 满足010y 221x y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩________．题型三：点与圆的位置关系1、已知圆22:640C x y x y +-+=，试判断点T(1-，-2）与圆C 的位置关系.2、已知21a (y c M ，）、22a (y cM ，），其中222a - c ,a b c 0b =>且，，，，点F (c ，0）在以MN 为直径的圆P 上，试判断原点与圆P 的位置关系.题型四：直线与圆的位置关系：1、直线1+=ax y 与圆03222=--+x y x 的交点的个数是2、已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆C ：222x a y b r -+-=（）（）覆盖.(1) 试求圆C 的方程；若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.3、已知：以点2C(t t，）(t R 0∈≠，t ）为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B .（1）求证：AOB ∆面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于M 、N 两点，若OM ON =,求圆C 的方程.题型五：与（动）圆有关的定点、定直线问题1、已知圆C 方程：228m 6m+26+10m m x y x y m +--+=∈≠（）（R,0）（1）证明：圆C 恒过一个定点M ，并求出此定点M 坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论.2、已知圆C ：221316x y -+-=（）（），直线:(2m 3)(m 4)220l x y m ++++-=（1）求证：无论m 取任何实数，直线l 必经过一个定点，请求出这个定点坐标；（2）当m 取任意实数时，直线l 与圆C 的位置关系有无不变性？试说明理由；（3）请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短？试求出截得的弦最短时，m 的值以及弦的长度a.3、已知圆C ：221x y += ，直线1l 过点A(3，0）,且与圆C 相切（1）求直线1l 的方程；（2）设圆C 与x 轴相交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线记为2l ，直线PM 交2l 于 'P ，直线QM 交2l 于 'Q ，试证明：以'P 'Q 为直径的圆'C 总经过定点，请求出定点坐标.。

圆的方程练习题

圆的方程练习题圆是几何学中常见的一种形状，其方程是描述圆的数学表达式。

在解决与圆相关的问题时，掌握圆的方程是非常重要的。

本文将介绍一些关于圆的方程的练习题，帮助读者巩固对圆的方程的理解和运用。

练习题1：已知圆心坐标和半径，求圆的方程已知圆的圆心坐标为(x₁, y₁)，半径为r，要求推导出圆的方程。

解答：圆的方程可以表示为：(x - x₁)² + (y - y₁)² = r²练习题2：已知圆上一点坐标和圆心坐标，求圆的方程已知圆上一点的坐标为(x₂, y₂)，圆心坐标为(x₁, y₁)，要求推导出圆的方程。

解答：根据题意，圆上一点到圆心的距离等于半径：√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = r进行平方运算得：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² = r²练习题3：已知圆心和通过圆上两点的直径，求圆的方程已知圆的圆心坐标为(x₁, y₁)，通过圆上两点的直径坐标为[(x₂, y₂), (x₃, y₃)]，要求推导出圆的方程。

解答：通过圆上两点的直径可以求出圆心的坐标：圆心坐标(x₁, y₁) = [(x₂ + x₃) / 2, (y₂ + y₃) / 2]然后利用圆心和圆上一点坐标的求圆的方程公式：(x - x₁)² + (y - y₁)² = r²代入圆心坐标和圆上一点的坐标，可得：(x - [(x₂ + x₃) / 2])² + (y - [(y₂ + y₃) / 2])² = r²练习题4：已知圆在坐标轴上的截距，求圆的方程已知圆在x轴和y轴上的截距分别为a和b，要求推导出圆的方程。

解答：根据题意，圆在x轴和y轴上分别有两个点：(a, 0)和(0, b)。

圆心的坐标为(c, c)，其中c是圆心到x轴和y轴的距离，即c = (a + b) / 2。

圆的方程习题附答案

圆的方程习题附答案方程y=1-x^2表示的曲线是圆x^2+y^2=1的上半圆。

以M(1,0)为圆心，且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是(x-1)^2+y^2=8.已知圆C1：(x+1)^2+(y-1)^2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为(x-2)^2+(y+2)^2=1.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切，圆心在直线y=-x 上，则圆C的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=2.在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1,0)，B(0,1)，则满足|PA|^2-|PB|^2=4且在圆x^2+y^2=4上的点P的个数为2.6．已知动点M(x，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是多少？解析：设点P为M到OA上的垂足，则有OP = 2AP。

根据勾股定理，可得到PM 的长度为 $\sqrt{5} \times 2$。

因此，M 的轨迹是以点 A 为圆心，以 $\sqrt{5} \times 2$ 为半径的圆。

其面积为 $S = \pi \times (\sqrt{5} \times 2)^2 = 20\pi$。

因此，答案为 $20\pi$。

7．当方程 $x^2 + y^2 + kx + 2y + k^2 = 0$ 所表示的圆的面积取最大值时，直线 $y = (k - 1)x + 2$ 的倾斜角 $\alpha$ 是多少？解析：将方程化简，可得到 $(x + \frac{k}{2})^2 + (y +1)^2 = (\frac{k}{2})^2 + 1$。

因此，圆的半径为 $r =\sqrt{(\frac{k}{2})^2 + 1} - \frac{k}{2}$。

为了使圆的面积最大，需要求出 $r$ 的最大值。

对 $r$ 求导，可得到 $\frac{dr}{dk} = \frac{-3k}{4\sqrt{(\frac{k}{2})^2 + 1}} + \frac{1}{2}$。

课时作业3：圆的方程

8.2圆的方程A 级基础达标1．[2014·太原质检]设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定2．[2014·东莞调研]已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定3．[2014·安徽淮北模拟]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －3)2＝1C ．(x －3)2＋(y －2)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝14．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x5．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝06．已知圆C 的圆心在曲线y ＝2x 上，圆C 过坐标原点O ，且与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则△OAB 的面积是( )A ．2B ．3C ．4D ．87．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 8．[2014·东北四校模拟]已知圆C 过点A (1,0)和B (3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为________．9．[2014·泰安模拟]已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．11．已知直线l ：2x ＋y ＋2＝0及圆C ：x 2＋y 2＝2y . (1)求垂直于直线l 且与圆C 相切的直线l ′的方程；(2)过直线l 上的动点P 作圆C 的一条切线，设切点为T ，求|PT |的最小值．12．[2014·绍兴模拟]已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．B 级知能提升1．[2014·烟台模拟]方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是()A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆2．若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A ．－3B ．－4C ．－6D ．－83．[2014·佛山模拟]已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 为圆上的动点，则d ＝|P A |2＋|PB |2的最大值为________，最小值为________．4．[2014·龙岩质检]已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．解析及答案05限时规范特训A 级基础达标1．【解析】：将原点代入x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝(a －1)2>0，所以原点在圆外．【答案】：B2．【解析】：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心(－m 2，0)，即－m2＋3＝0，∴m ＝6.【答案】：C3．【解析】：设圆心坐标为(a ，b )，由题意知a >0，且b ＝1.又∵圆和直线4x －3y ＝0相切，∴|4a －3|5＝1，即|4a －3|＝5，∵a >0， ∴a ＝2.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 【答案】：A4．【解析】：作图可知圆心(1,0)到P 点距离为2，所以P 在以(1,0)为圆心，以2为半径长的圆上，其轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.【答案】：B5．【解析】：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM＝－2，∴k l ＝12.∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.【答案】：D6．【解析】：设圆心C 的坐标是(t ，2t )．∵圆C 过坐标原点，∴|OC |2＝t 2＋4t2，设圆C 的方程是 (x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，故B 点的坐标为(0，4t )．令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，故A 点的坐标为(2t,0)，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为4.故选C.【答案】：C 7．【解析】：方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准方程为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝1－3k 24，∵r 2＝1－3k 24≤1，∴k ＝0时r 最大．此时圆心为(0，－1)．【答案】：(0，－1)8．【解析】：由题意得圆心既在y ＝x 上，又在AB 的中垂线上x ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x ＝2得圆心坐标为(2,2)，r ＝|AC |＝ 5. 故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. 【答案】：(x －2)2＋(y －2)2＝59．【解析】：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，∴y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由|2－k |k 2＋1＝1，得k ＝34，结合图形可知y －2x －1≥34，∴所求最小值为34.【答案】：3410．【解】：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， ∴|P A |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11．【解】：(1)圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，其圆心为C (0,1)，半径r ＝1. 由题意可设直线l ′的方程为x －2y ＋m ＝0.由直线与圆相切可得C 到直线l ′的距离d ＝r ，即|－2＋m |5＝1，解得m ＝2± 5.故直线l ′的方程为x －2y ＋2±5＝0.(2)结合图形可知：|PT |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.故当|PC |最小时，|PT |有最小值．易知当PC ⊥l 时，|PC |取得最小值，且最小值即为C 到直线l 的距离，得|PC |min ＝35. 所以|PT |min ＝|PC |2min －1＝255. 12．【解】：(1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0，设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是 y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 又由在y 轴上截得的线段长为43，知(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得：a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意，故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0，将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13，可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，Δ＝－4(m 2－2m －25)>0，∴m ＝4或m ＝－3，满足Δ>0，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.B 级知能提升1．【解析】：原方程即⎩⎨⎧|x |－1＝1－y －12，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．【答案】：D2．【解析】：依题意得，DE →·DF →＝(DO →＋OE →)·(DO →＋OF →)＝(DO →＋OE →)·(DO →－OE →)＝1－9＝－8，故选D.【答案】：D3．【解析】：设点P (x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2，欲求d 的最值，只需求u ＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点的距离平方的最值．圆C 上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d 的最大值为74，最小值为34.【答案】：74 344．【解】：(1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即a ＋22＋a －02＝a －02＋a －22＝r ，解得a＝0，r ＝2.故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1. 又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝ 216－4d 21＋d 2＋d 21·d 2＝212＋d 21·d 2≤212＋d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.。

圆解方程练习题带答案

圆解方程练习题带答案解方程是数学中重要的内容之一，帮助我们理解数学概念并解决实际问题。

在解方程的学习过程中，练习题是不可或缺的一部分。

本文将提供一些圆解方程的练习题及其答案，帮助读者加深对圆解方程的理解。

练习题1：已知圆的半径为3，求圆的面积。

解答：圆的面积公式为：S = π * r^2将半径r代入公式中，得到：S = π * 3^2S = π * 9S = 9π练习题2：已知圆心坐标为(2, 4)，半径为5，求圆的方程。

解答：圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径。

将已知数据代入方程中，得到：(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 5^2x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 25x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0练习题3：已知圆心坐标为(-1, 2)，过点(4, 1)的直线与圆交于两个点，求这两个点的坐标。

解答：设圆心为C(-1, 2)，过点(4, 1)的直线为l。

首先求直线l的方程：设直线l的斜率为k。

k = (1 - 2) / (4 - (-1)) = -1/5直线l的方程为：y = -1/5 * x + b将过圆心C的直线l带入圆的方程中，求得交点：(-1)^2 + (2 - (-1)/5 * x + b)^2 = r^2x^2 - 2/5x + 2 - 2/5b + b^2 = r^2将直线l的方程代入上式中，得到：x^2 - 2/5x + 2 - 2/5(-1/5 * x + b) + b^2 = r^2x^2 - 2/5x + 2 + 2/25x - 2/25b + b^2 = r^2整理得：(1 + 2/25)x^2 + (-2/5 + 2/25b - 2/25x)x + (2 + b^2) - r^2 = 0令A = 1 + 2/25，B = -2/5 + 2/25b - 2/25x，C = 2 + b^2 - r^2则上式可化为：Ax^2 + Bx + C = 0由已知直线l与圆交于两个点可得到两个解，即求二次方程Ax^2 + Bx + C = 0的解。

2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第八章第三节圆的方程

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课时提升作业(五十二)一、选择题1.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部，则实数m的取值范围是( )()()-＜＜＜A m B0m(C)-2＜m＜2 (D)0＜m＜22.(2013·天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )(A)(-1，1) (B)(-1，0)(C)(1，-1) (D)(0，-1)3.(2013·北京模拟)直线l将圆x2+y2-2x+4y-4=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是( )(A)x-y+1=0,2x-y=0(B)x-y-1=0,x-2y=0(C)x+y+1=0,2x+y=0(D)x-y+1=0,x+2y=04.(2013·济宁模拟)已知圆x2+y2-2x+my-4=0上两点M，N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为( )()()()()A9 B3 C D25.(2013·长春模拟)已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点，点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点，则|MN|的最小值是( )()()()()9413A B 1 C D 5556.(2013·肇庆模拟)在同一坐标系下，直线ax+by=ab 和圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(ab ≠0,r>0)的图象可能是( )7.点P(4，-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) (A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4 (C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=18.(能力挑战题)已知两点A(0，-3)，B(4，0)，若点P 是圆x 2+y 2-2y=0上的动点,则△ABP 面积的最小值为( ) (A)6 (B)112(C)8 (D)2129.若PQ 是圆x 2+y 2=9的弦，PQ 的中点是M(1，2)，则直线PQ 的方程是( ) (A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0 (C)2x-y+4=0 (D)2x-y=010.过点A(11，2)作圆x 2+y 2+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有( ) (A)16条 (B)17条 (C)32条 (D)34条二、填空题11.圆C ：x 2+y 2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是______. 12.(2013·青岛模拟)已知方程x 2+y 2+kx+2y+k 2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=______.13.设二次函数214y x x 133=-+与x 轴正半轴的交点分别为A ，B ，与y 轴正半轴的交点是C ，则过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是______.14.(2013·太原模拟)设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是______. 三、解答题15.(能力挑战题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成,两相接点M,N 均在直线x=5上.圆弧C 1的圆心是坐标原点O,半径为13；圆弧C 2过点A(29,0). (1)求圆弧C 2的方程.(2)曲线C 上是否存在点P,满足PA =？若存在,指出有几个这样的点；若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选C.由已知得m 2+m 2＜8，即m 2＜4，解得-2＜m ＜2.2.【解析】选D.由x 2+y 2+kx+2y+k 2=0知所表示圆的半径r ==当k=0时，max r 1==，此时圆的方程为x 2+y 2+2y=0，即x 2+(y+1)2=1,∴圆心为(0，-1).3.【解析】选C.由已知直线l 过圆x 2+y 2-2x+4y-4=0的圆心(1，-2)，当直线在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为y=kx ，又过(1，-2)点，所以-2=k ，得l 的方程为y=-2x ，即2x+y=0；当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为x y 1a a+=(a ≠0)，将(1，-2)代入得：a=-1，得l 的方程为x+y+1=0. 综上l 的方程为2x+y=0或x+y+1=0.4.【解析】选B.把圆化成标准方程为(x-1)2+(y+m 2)2=5+2m 4.由题意知2x+y=0过(1，m2-)点，代入得m=4,∴半径R=3. 5.【解析】选C.圆心(-1，-1)与点M 的距离的最小值为点(-1，-1)到直线的距离|342|9d 55---==，故点N 与点M 的距离的最小值4MN d 1.5=-= 6.【解析】选D.逐一根据a ，b 的几何意义验证知选项D 中，直线ax+by=ab ，即x y 1ba+=在x,y 轴上的截距分别为b<0和a>0时,D 中圆的圆心亦为b<0和a>0,故选D.7.【解析】选A.设圆上任一点为Q(x 0,y 0)，PQ 的中点为M(x ，y)，则00004x x x 2x 4,22y y 2y 2,y 2+⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨-+=+⎩⎪=⎪⎩，解得，又因为点Q 在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4，即(2x-4)2+(2y+2)2=4，即(x-2)2+(y+1)2=1.8.【解析】选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小.直线AB 的方程为x y143+=-，即3x-4y-12=0，圆心C 到直线AB 的距离为16d 5==， ∴△ABP 的面积的最小值为116115(1).252⨯⨯-= 9.【解析】选B.由圆的几何性质知k PQ 〃k OM =-1， ∵k OM =2,∴k PQ =-12，则PQ 的直线方程为y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0.10.【解析】选C.∵圆的标准方程为：(x+1)2+(y-2)2=132，则圆心为C(-1，2)，半径为r=13.∵|CA|=12，∴经过A 点且垂直于CA 的弦是经过A 的最短的弦，其长度为；而经过A 点的最长的弦为圆的直径2r=26；∴经过A 点且为整数的弦长还可以取11，12，13，14，…，25共15个值，又由圆内弦的对称性知，经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则一定有2条，而最长的弦与最短的弦各只有1条，故一共有15〓2+2=32(条). 11.【解析】因为圆心坐标为(-1,1)，所以圆心到直线3x+4y+14=0的距离为3.=答案:312.【解析】r 1,=当有最大半径时有最大面积，此时k=0,r=1,∴直线方程为y=-x+2，设倾斜角为α,则由tan α=-1且α∈［0，π)得α=34π.答案：34π13.【思路点拨】先由已知求出A ，B ，C 三点坐标，再根据坐标特点选出方程，求方程.【解析】由已知三个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)，易知圆心横坐标为2，则令圆心为E(2，b)，由|EA|=|EC|得b=2故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5. 答案：(x-2)2+(y-2)2=514.【解析】由题意可设圆心A(a,a)，如图，则22+a 2=2a 2，解得a=〒2,r 2=2a 2=8.所以圆C 的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.答案：(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=815.【解析】(1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2+y 2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12). 则线段AM 中垂线的方程为y-6=2(x-17)，令y=0，得圆弧C 2所在圆的圆心为(14,0),又圆弧C 2所在圆的半径为r 2=29-14=15,所以圆弧C 2的方程为(x-14)2+y 2=225 (5≤x ≤29).(2)不存在.假设存在这样的点P(x,y)，则由PO,得x 2+y 2+2x-29=0,由2222x y 2x 290x y 169(13x 5)⎧++-=⎪⎨+=-≤≤⎪⎩，，解得x=-70(舍去). 由()2222x y 2x 290x 14y 225(5x 29)⎧++-=⎪⎨-+=≤≤⎪⎩，，解得x=0(舍去)，综上知，这样的点P 不存在.【误区警示】求圆弧C 2的方程时经常遗漏x 的取值范围，其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.【变式备选】如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上. (1)求证：F ＜0.(2)若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且AB AD 0=，求D 2+E 2-4F 的值.(3)设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH ⊥AB 且垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O ，G ，H 是否共线，并说明理由.【解析】(1)方法一：由题意，原点O 必定在圆M 内，即点(0,0)代入方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0，于是有F ＜0，即证.方法二：由题意，不难发现A ，C 两点分别在x 轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0),C(c,0)，则有ac ＜0.对于圆的方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x 2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，于是有x A x C=ac=F.因为ac ＜0,故F ＜0.(2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 的面积AC BDS 2=，因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8.又因为AB AD 0=，所以∠BAD 为直角，又因为四边形是圆M 的内接四边形，故|BD|=2r=8⇒r=4.对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，可知222D E F r ,44+-=所以D 2+E 2-4F=4r 2=64.(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 则可得点G 的坐标为c d c d (,),OG (,).2222=即又AB =(-a,b),且AB ⊥OH,故要使G ，O ，H 三点共线，只需证AB OG 0=即可. 而bd ac AB OG ,2-=且对于圆M 的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，当y=0时可得x 2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，于是有x A x C =ac=F.同理，当x=0时，可得y 2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B 和点D 的纵坐标，于是有y B y D =bd=F. 所以bd acAB OG 0,2-==即AB ⊥OG. 故O ，G ，H 三点必定共线.关闭Word 文档返回原板块。

高三数学课时作业：第8章第3节圆的方程

课时作业一、选择题1．圆（x＋2)2＋y2＝5关于原点P（0,0)对称的圆的方程为（）A．（x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2）2＝5C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5A [圆上任一点(x，y）关于原点对称点为（－x，－y)在圆（x＋2）2＋y2＝5上，即（－x＋2)2＋(－y)2＝5。

即(x－2)2＋y2＝5。

］2．（2014·郑州第一次质检）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0D ［抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），选项A中圆的圆心坐标为（－1，0），排除A；选项B中圆的圆心坐标为(－0.5，0)，排除B；选项C中圆的圆心坐标为（0。

5，0），排除C.］3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（) A．(x－3)2＋错误!错误!＝1 B．（x－2）2＋（y－1）2＝1C．（x－1）2＋(y－3)2＝1 D.错误!错误!＋（y－1）2＝1B ［依题意设圆心C(a，1）(a＞0），由圆C与直线4x－3y＝0相切，得错误!＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是（x－2)2＋（y－1)2＝1。

］4．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋（y＋1）2＝1 B．(x－2)2＋（y＋1)2＝4C．(x＋4）2＋(y－2)2＝4 D．（x＋2）2＋(y－1）2＝1A ［设圆上任一点为Q（x0，y0)，PQ的中点为M（x，y)，则错误!解得错误!因为点Q在圆x2＋y2＝4上,所以(2x－4）2＋（2y＋2)2＝4，即（x－2）2＋(y＋1)2＝1。

]5．(2014·杭州模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0，关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( ）A．(－∞,4) B．（－∞,0）C．(－4,＋∞) D．（4，＋∞）A [将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3）2＝10－5a，可知,圆心为（1，－3),且10－5a＞0,即a＜2.∵圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上,即－3＝1＋2b，解得b＝－2，∴a－b＜4.］6．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆（x＋1）2＋(y＋1）2＝1上的动点,则｜MN｜的最小值是（) A.错误!B．1C.错误!D.错误!C [圆心（－1，－1）到点M的距离的最小值为点(－1，－1）到直线的距离d＝错误!＝错误!,故点N到点M的距离的最小值为d－1＝错误!。

圆的方程经典题目带答案

圆的方程经典题目1．求满足下列条件的圆的方程（1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ∆的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:22=-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:22=+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m的取值范围（2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程1. 已知圆2522=+y x , 求下列相应值（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长（3）以)2,1(为中点的弦的方程（4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程（5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程2. 已知圆 0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值．3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:22=-+y x C 上.求：（1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围.5、圆034222=-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况已知两圆01010:221=--+y x y x O 和04026:222=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系（2）求它们的公共弦所在的方程（3）求公共弦长（4）求公共弦为直径的圆的方程．题型五、最值问题思路1：几何意义思路2：参数方程思路3、换元法思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足0124622=+--+y x y x（1）求x y 的最小值（2）求22y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:22=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()222342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使22AP BP +取得最小值时的点P 的坐标.4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为5、已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________6、已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________。

圆的方程(带解析)

圆的方程A 级一一保大分专练1.以线段AB : X+ y — 2 =0(0w xw 2)为直径的圆的方程为()A . (X + 1)2+ (y+1)2= 2 C. (X +1)2+ (y+1)2= 8(X — 1)2 + (y — 1)2= 2(X — 1)2 + (y — 1)2= 8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2), (2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为"2,故圆的方程为(X — 1)2 + (y— 1)2= 2.2.若圆X2+ y2+ 2ax — b2= 0的半径为2,则点(a, b)到原点的距离为( )C.V2解析：选 B 由半径 r =討D2+ E2— 4F = ^4a2+ 4b2 = 2,得寸a2+ b2= 2.•••点a, b)到原点的距离d = Q a2+ b2 = 2,故选B.3. 以(a,1)为圆心，且与两条直线2x— y+ 4= 0与2x — y— 6= 0同时相切的圆的标准方程为((X — 1)2 + (y—1)2= 5(X+ 1)2 + (y+ 1)2= 5(X — 1)2 + y2= 5D. X2 + (y—1)2= 5解析：选A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x — y+ 4 = 0|2a— 1 + 4| |2a— 1 — 6| 厂l的距离d = ，解得a = 1,d = a5, •.•直线与圆相切，•丫 = d =寸圆的标准方程为(X— 1)2+ (y— 1)2= 5.4. (2019银川模拟)方程|y|— 1 = 71 — X— 1 2表示的曲线是( )A .一个椭圆B .一个圆C .两个圆 D.两个半圆解析：选D 由题意知|y|— 1>0,则y》1或yw — 1,当y》1时，原方程可化为(X— 1)2+ (y—1)2= 1(y> 1)，其表示以(1, 1)为圆心、1为半径、直线y= 1上方的半圆；当 yw — 1时，原方程可化为(X— 1)2+ (y+ 1)2= 1(y< — 1)，其表示以(1, — 1)为圆心、1为半径、直线y=— 1下方的半圆.所以方程|y|— 1 = P 1 - X- 1 2表示的曲线是两个半圆，选D.a=— 1 时，方程化为 x 2+y 2+4x+ 8y — 5 = 0.配方，得(x+ 2)2 + (y + 4)2= 25, 所得圆的圆心坐标为(一2, — 4)，半径为5.当a = 2时，方程化为X 2+ y 2+ X +2y+1 =0,此时方程不表示圆.故选 A.6.已知圆C 的圆心是直线 x — y+ 1 = 0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+ 3= 0相切, 则圆C 的方程为()X+ y+ 3 = 0相切，所以半径为圆心到切线的距离,即 r = d==V 2,p 12+ 12则圆的方程为(X+ 1)2+ y 2= 2. 7.圆C 的直径的两个端点分别是 A(— 1,2), B(1,4)，则圆C 的标准方程为解析：设圆心C 的坐标为(a, b),—1+ 1 2+ 4则 a = —= 0, b = -^= 3，故圆心 C(0,3). 半径 r = 1|AB|=抑1 ——1 ]2 + 4 — 2 2=返 •••圆C 的标准方程为X 2+ (y — 3)2= 2. 答案：X 2+ (y — 3)2= 2&已知圆C 的圆心在X 轴上，并且经过点 A(— 1,1), B(1,3)，若M(m, U 6)在圆C 内,5. 已知a €R ，若方程a 2X 2+ (a+ 2)y 2+ 4x + 8y+ 5a= 0表示圆，则此圆的圆心坐标为(—2, -4) B.—1,— 1(—2,D .不确定解析：选 A •••方程 a 2x :2+ (a + 2)y 2 + 4x+8y+ 5a = 0 表示圆，二 a 2= a+ 2工 0,解得 a =—1或a= 2.当 A . (X + 1)2+ y 2= 2C. (X — 1)2+ y 2=B .(X+ 1)2 + y 2= 8 D.(X — 1)2+ y 2= 8解析：选A直线X — y+ 1 = 0与X 轴的交点(一1,0). 根据题意，圆 C 的圆心坐标为(一1,0).因为圆与直线则m 的取值范围为解析：设圆心为C(a,O)，由|CA|=|CB|, 得(a + 1)2+ 12= (a — 1)2+ 32,解得 a= 2. 半径 r = |CA|=P 2+ 1 2+ 12=屮0. 故圆C 的方程为(X — 2)2+ y 2= 10. 由题意知(m — 2)2+ (J 6)2v 10, 解得Ov mv 4. 答案：(0,4)9•若一个圆的圆心是抛物线 x 2= 4y 的焦点，且该圆与直线 y= x + 3相切，则该圆的标准方程是解析：抛物线x 2= 4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是X 2+ (y — 1)2=r 2(r>0)，因为该圆与直线y= x + 3相切，所以r = d = "fL迄，故该圆的标准方程是X 2+ (y — 1)2= 2.答案：X 2+ (y — 1)2= 210. (2019德州模拟)已知圆C 的圆心在X 轴的正半轴上，点 M(0, 75)在圆C 上，且圆电5，则圆C 的标准方程为 ________________________ . 511.已知以点P 为圆心的圆经过点 A(— 1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆点C 和D ，且|CD|= 4你.(1) 求直线CD 的方程; (2) 求圆P 的方程.解：(1)直线AB 的斜率k = 1, AB 的中点坐标为(1,2). 所以直线CD 的方程为y — 2=— (X — 1), 即 X + y — 3 = 0.心到直线2x — y= 0的距离为解析: 因为圆C 的圆心在X 轴的正半轴上，设 C(a,O)，且a> 0，所以圆心到直线 2x — y=0的距离d =琵=芈，解得a= 2,所以圆C 的半径r=|CM|=、/4'：5 = 3,所以圆标准方程为 (X — 2)2 + y 2= 9.答案: (X — 2)2 + y 2= 9(2)设圆心 P(a, b),则由P 在CD 上得a + b — 3= 0.① 又直径|CD|= 4你, 所以PA|= 2竝.所以(a + 1)2+ b 2= 40.②a =— 3,由①②解得b= 6所以圆心P( — 3,6)或P(5，— 2),所以圆 P 的方程为(X + 3)2+ (y — 6)2= 40 或(X — 5)2+ (y+ 2)2= 40. 12 .已知 Rt △ ABC 的斜边为 AB ，且 A( — 1,0), B(3,0).求: (1)直角顶点C 的轨迹方程; ⑵直角边BC 的中点M 的轨迹方程.所以沪0.因为 AC JBC,所以 k AC k BC = — 又 k AC = ~, k BC = ~,X+ 1 X — 3 所以丄亠=—1, x+ 1 X — 3化简得 X 2+ y 2— 2x — 3= 0.1法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|=^|AB| =2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A, B , C 三点不共线，所以应除去与 X 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(X — 1)2+ y 2= 4(yM 0).X 0+ 3⑵设M(x,y),C(x 0,y 0)，因为B(3,0) ,M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得 x = _^_ y 0 + 0 十.y= ~2~，所以 X 0= 2x — 3, y 0= 2y.a= 5, 或b =— 2,解：(1)法一：设C(x, y),因为A, B, C 三点不共线,因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 X 2+ y 2— 2x — 3= 0(yM 0).由⑴知，点C 的轨迹方程为(X — 1)2+ y 2= 4(yM 0)，将x o = 2x — 3, y o = 2y 代入得(2x — 4)2 + (2y)2= 4，即(X — 2)2 + y 2= 1.因此动点M 的轨迹方程为(X — 2)2+ y 2= 1(yM 0).B 级一一创高分自选解析：选 B 圆 C i ： (x+1)2+ (y — 1)2= 1,圆心 C i 为(—1,1),半径为 1. 易知点C 1( — 1,1)关于直线X — y — 1 = 0对称的点为 C 2,C 2的圆心为C 2(2, — 2)，半径为1,所以圆C 2的方程为(X — 2)2+ (y+ 2)2= 1.故选B. 2.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx — y — 2m — 1 = 0(m € R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为解析：因为直线mx — y — 2m — 1 = 0(m €R)恒过点(2, — 1)，所以当点(2, — 1)为切点时, 半径最大，此时半径 r=V 2，故所求圆的标准方程为(X — 1)2+ y 2= 2.答案：(X — 1)2+ y 2= 2 3.已知过原点的动直线 l 与圆C 1： X 2+ y 2— 6x + 5= 0相交于不同的两点 A , B.(1)求圆C 1的圆心坐标;⑵求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程.解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(X — 3)2+ y 2= 4, •••圆C 1的圆心坐标为 C 1(3,0).(2)设M(x, y),・.A, B 为过原点的直线I 与圆C 1的交点，且 M 为AB 的中点, •••由圆的性质知：MC 1』MO ,.・.MC 1 MO = 0. 又••MC i = (3 — X,— y), MO = (-x, - y),1. (2019伊春三校联考)已知圆 —1 = 0对称，则圆C 2的方程为(A . (X + 2)2+ (y —1)2= 1 C. (X + 2)2+ (y+ 2)2= 1C 1: (X + 1)2+ (y — 1)2= 1 圆 C2与圆 C 1 关于直线 X — y)B . (X — 2)2+ (y+ 2)2= D.(X — 2)2+ (y — 2)2= 1b — 1一=—1, a + 1设 C 2(a, b),则a — 1b + 1—— ——1 02 2 ' 0,a= 2,解得所以C 2(2 , — 2)，所以圆b=— 2,••X2— 3x+ y2= 0.易知直线I的斜率存在，故设直线 I的方程为y= mx,当直线I与圆C i相切时,圆心到直线I的距离d = l3m—0i = 2,Q m2 + 1解得m=缚.5把相切时直线I的方程代入圆C i的方程化简得59x2— 30x + 25= 0,解得 x=-当直线I经过圆C i的圆心时，M的坐标为（3,0）.又•••直线I与圆C i交于A, B两点，M为AB的中点,5••3<x < 3.•••点M的轨迹C的方程为X2— 3x + y2= 0,其中|<x< 3,其轨迹为一段圆弧.。

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[课时作业·巩固练习]实战演练夯基提能[A组基础保分练]1．(2020·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为() A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.答案：B2．(2020·银川模拟)方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是()A．一个椭圆B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解析：由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直径y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆，选D.答案：D3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：由题意知x－y＝0和x－y－4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r＝ 2.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：D4．(2020·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C5．(2020·承德模拟)曲线x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)上的点到直线x －y －1＝0的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A. 2 B ．2 C.22＋1 D.2－1解析：因为圆心(0,1)到直线x －y －1＝0的距离为22＝2＞1，所以半圆x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)到直线x －y －1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0,0)到直线x －y －1＝0的距离，为12，所以a －b ＝2＋1－12＝22＋1，故选C. 答案：C6．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A ，B ，C 代入，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1，y 2是方程y 2＋4y －20＝0的两根，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，故|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16＋80＝4 6.答案：C7.(2020·淮北模拟)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：(1)记AB 的中点为D ，在Rt △BDC 中，易得圆C 的半径r ＝BC ＝ 2.因此圆心C 的坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)因为点B 的坐标为(0，2＋1)，C 的坐标为(1，2)，所以直线BC 的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y ＝x ＋2＋1，故切线在x 轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1[B 组能力提升练]1．(2020·四川成都名校联考)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12B ．12C ．－43D ．0解析：在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12.答案：A2．(2020·北京海淀期末测试)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B ．62C.32或－32D.62或－62解析：由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1.因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D.答案：D3．(2020·四川成都七中质检)若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，∵P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，又圆心与点P 确定的直线的斜率为1－01－3＝－12，∴弦MN 所在直线的斜率为2，∴弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.答案：D4．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________．解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝45．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132上，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 答案：(x －3)2＋(y －5)2＝376．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解析：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.。