3.2简单的三角恒等变换优质教案

3.2 简单的三角函数恒等变换

授课班级：高一（1）班 授课教师：郭建德 授课日期：2018-1-11

一、教学目标

1．知识与技能

熟练掌握和、差、二倍角公式,会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力

2．过程与方法

通过三角变换,加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识

3．情感、态度与价值观

体会变换中形变而质不变的哲理

二、教学重点和难点

1．教学重点

引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式、积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力

2．教学难点

认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力

三、授课类型和授课方法：

新授课（公开课）；探究合作，先学后练

四、教学过程

1、新课导入

复习倍角公式2S α、2C α、2T α

先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α

。既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？

2、新课讲解、范例演示

半角公式的推导及理解 ：

例1、 试以cos α表示222

sin ,cos ,tan 222α

α

α． 解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12α

α=-和2cos 12sin 2α

α=-来做此题．（二倍角公式中以

α代2α，2

α代α） 解：因为2cos 12sin

2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12α

α=-，可以得到21cos cos 22

α

α+=．

两式相除可以得到222

sin 1cos 2tan 21cos cos 2α

α

ααα-==+． 点评

：⑴以上结果还可以表示为：sin

2cos 2

αα==

tan 2α

=

并称之为半角公式（不要求记忆），符号由α/2角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

变式训练1：求证sin tan 21cos 1cos tan 2sin αα

αααα=

+-= 例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2

αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos 22θϕ

θϕ

θϕ+-+=．

解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．

两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2

αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，

那么,22θϕ

θϕ

αβ+-==．

把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θϕ

θϕ

θϕ+-+=．

点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．（积化和差、和差化积公式公式不要求记忆）

3、课堂练习

1) A . 0 B

. 2 C . 12

D . 1- 2）设()()170,,,,cos ,sin ,sin 2239ππαβπβαββ⎛⎫⎛⎫∈∈=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

且则等于 A . 127 B . 527 C . 13 D . 2327

3）若2

2sin 12()2tan sin cos 22x f x x x x -=-，则()()12f π的值是 A

. 3

- B

. - C

.D . 8 4、课堂小结

1)、降幂公式

2)、公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.

3)、三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.

4)、换元思想.

5、作业布置

1)、课堂作业

课本P143页 习题3.2 A 组 第1题 （1）、（3）、（5）

2）课后作业

阅读课本P139-142，结合步步高学案，完成《课时训练》P154页第1-4，8，9，12，13题 （请各个学习小组组长认真监督组员独立完成并及时收齐上交）

五、教学后记

cos 40cos60cos80cos160(

)︒+︒+︒+︒的值为