3.2简单的三角恒等变换优质教案

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教学设计1：3.2 简单的三角恒等变换

必修四第3章三角恒等变形3.2 简单的三角恒等变换教学目的：知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式能用所学知识解决有关综合问题情感目标：创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学过程：导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α=53,α∈(2π,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：()22sin sin sin cos cos sin sin cos ααααααααα=+=+=的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin2α=2sin αcos α（S 2α）;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 若tan2α=2tan α,则aa 2tan 1tan 2-=2tan α,∴tan α=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）二、例题讲解例1 已知2sin 3α=，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值．解由2sin 3α=，(,)2παπ∈，得cosα又由3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈，得sinβ＝－45，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+＝234()()355-+-=．点拨本例主要介绍正弦和角公式的“正用”．让学生从条件、求解结果等方面展开讨论，自己改编习题，并予以解答.预设三：条件不变，求sin()αβ-的值．预设四：改变角的范围，仍然求sin()αβ+的值.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，对于预设四要请学生对改变条件的合理性进行探讨，如学生改变了角的取值范围，可能会出现矛盾等．教师再予以点拨.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，如已知2sin 3α=-，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值．预设五：把角度限制去掉，即已知2sin 3α=-，3cos 5β=-，求sin()αβ+的值．让学生讨论解的情况，通过以上讨论使学生能从正面熟练应用公式．例2 化简（1）sin14°cos16°＋sin16°cos14°＝ 12；（2）sin()cos cos()sin αββαββ-+-＝ sinα ；（3）cos （70°＋α）sin （170°－α）－sin （70°＋α）cos （10°＋α）＝2．点拨本例目的在于让学生能熟悉两角和与差的正弦公式的逆用．预设六：怎样求 3 sin15°＋cos15°的值？引导学生利用特殊角的三角函数构造两角和的三角函数公式，为后面学习辅助角公式打下伏笔．例3 已知,,.()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈，4cos 5β=，α，β均为锐角，求sinα．帮助学生分析条件，寻找解题的突破口.即让学生发现α＝（α＋β）－β，这样问题就可以得到解决.解 ∵α，β均为锐角，则0°<α＋β<180°，∴sinβ>0，sin （α+β）>0，由5cos()13αβ+=得12sin()13αβ+=，由4cos 5β=得3sin 5β=． ∴sin[()]sin()cos cos()sin αββαββαββ+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=．点拨本例主要介绍利用“变角”，创造应用和角公式的条件，使问题获得解决．常见变角有β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）……预设七：让学生讨论问题：“已知15cos(30),(30,90)17αα-︒=∈︒︒，求sinα的值”.请同学们提出解题方案．可能性解决方案一：将15cos(30)17α-︒=展开，得到115sin 2217αα+=，由α∈（30°，90°）知sinα>0，cosα>0，再结合22sin cos 1αα+=，可求得sinα的值.必须指出此方案运算量大，不易求解．可能性解决方二：变角α＝（α－30°）＋30°，由α∈（30°，90°）知sin(30)0α-︒>，利用正弦的和角公式可以较快地解决此问题.必须指出通过变角，构造应用公式的条件，这是一种创造性的学习，有利于培养学生的创新精神．例4 求证： sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=．预设八：由学生自主完成对本题的分析，找出解决本题的突破口，即将等式中的角统一用A ＋B 及A 来表示，以消除角的差异．证左边＝sin[()]2cos()sin sin A B A A B A A++-+ sin()cos cos()sin 2cos()sin sin A B A A B A A B A A+++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A +-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-==＝右边. ∴等式成立.点拨本题是通过变角达到灵活运用公式的一个典范，通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.例5 求2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值. 预设九：学生讨论，寻找角度之间的关系，使非特殊角与特殊角挂上钩.让学生发现解决本题的关键在于统一角度，不难得到10°＝30°－20°.解原式＝2cos(3020)sin 202(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒=︒︒＝12(cos 20sin 20)sin 2022cos 20︒+︒-︒=︒点拨非特殊角的三角函数求值问题，通常要挖掘题目中的隐含条件，以达到创造使用公式的条件.课堂小结：二倍角的正弦、余弦、正切公式222cos cos sin ααα=-22sin sin cos ααα=22tan tan 21tan ααα=- 板书设计：。

高中数学_3.2 简单的三角恒等变换教学设计学情分析教材分析课后反思

【巩固练习】
1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若cos ＝，则sin 2α＝()
A. B. C．－ D．－
2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈ ，β∈ ，且tanα＝，则()
A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
3．[2016·浙江卷]已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.
4．[2014·重庆卷]已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ) 的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ＝，求cos 的值．
因材施教：
教学后记：
重点难点
重点：用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换。
难点：公式的灵活变形
课型
□讲授□习题□√复习□讨论□其它
教学内容与教师活动设计
Байду номын сангаас学生活动设计
考点1三角函数式的化简与证明
【公式回忆】：
辅助角公式：asinx＋bcosx＝ sin(x＋φ)，
其中sinφ＝________，cosφ＝________ .
【判断正误】：
(1)存在实数α，使cos 2α＝2cosα.()
(2)存在实数α，使sin 2α＝2sinα.()
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tanα.()
[典题1](1)[2017·湖北随州模拟]已知α∈ ，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，则＝________.
(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos 2αcos 2β＝________.
(1)函数f(x)的最小正周期；

必修四3.2简单地三角恒等变换教案设计

标准文档实用文案3.2 简单的三角恒等变换教案 A教学目标一、知识与技能1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．二、过程与方法通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、情感、态度与价值观通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．教学重点、难点教学重点：1．半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．2．三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．教学关键：三角变换思路的引导．教学突破方法：引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形．教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：自主探究，合作交流.教学准备教师准备：多媒体，尺规.学生准备：练习本，尺规.教学过程一、创设情境，导入新课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．教师备课系统──多媒体教案2二、主题探究，合作交流提出问题： ①α与2α有什么关系？ ②如何建立cos α与sin 22a之间的关系？师生互动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22α，将公式中的α用2α代替，解出sin 22α即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中，以α代替2α，以2α代替α，即得cos α=1-2sin 22α，所以sin 22α=2cos 1α-． ①在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中，以α代替2α，以2α代替α，即得cos α=2cos 22α-1，所以cos 22α=2cos 1α+． ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 tan 22α=ααcos 1cos 1+-． ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．三、拓展创新，应用提高例1 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．标准文档实用文案又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？活动：教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．例2．求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=； ① 设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin 3cos y x x =+这种形式我们在前面见过，13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，教师备课系统──多媒体教案4所以，所求的周期2π2πT ω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABC D 是扇形的内接矩形．记∠COP =α，求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S =AB ·BC =(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α-33-sin 2α．求这种y =a sin 2x +b sin x cos x +c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx +φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt △OBC 中，BC =cos α，BC =sin α，在Rt △OA D 中，OADA=tan60°=3，所以OA =33D A =33BC =33sin α．所以AB =OB -OA =cos α33-sin α．设矩形ABC D 的面积为S ，则标准文档实用文案S =AB ·BC =(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63．由于0<α<3π，所以当2α+6π=2π，即α=6π时，S 最大=31-63=63．因此，当α=6π时，矩形ABC D 的面积最大，最大面积为63．点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y =a sin x +b cos x 的函数转化为形如y =A sin(ωx +φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP =α”，结论改成“求矩形ABC D 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设A D=x ，S =x (x x 3312--)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点．四、小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用、换元法、方程思想、等价转化、三角恒等变形的基本手段．课堂作业1．20cos 10cos 20sin 10sin ++的值是（） A ．tan10°+tan20° B ．33C ．tan5°D ．2-3 2．若α-β=4π，则sin αsin β的最大值是（）教师备课系统──多媒体教案6 A．422-B．422+C．43D．13．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos(β-γ)的值是（）A．1 B．-1 C．21D．21-4．若cosαsin x=21，则函数y=sinαcos x的值域是（）A．［23-，21］B．［21-，21］C．［21-，23］D．［-1，1］5．log2(1+tan19°)+log2(1+tan26°)=______________．6．已知函数f(x)=cos2x cos(π3-2x)，求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值．参考答案：1．D 2．B3．D 4．B5．16．f(x)=21［cosπ3+cos(4x-π3)］=21cos(4x-π3)+41，由2kπ≤4x-π3≤2kπ+π(k∈Z)，得原函数的单调递减区间是［π2k+π12，π2k+π3］(k∈Z)，T=π2，最大值是43．教案 B教学目标一、知识与技能1．熟练掌握和、差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形．2．加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、过程与方法通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识．三、情感、态度与价值观体会变换中形变而质不变的哲理．教学重点、难点1．教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、标准文档实用文案半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．2．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．学法讲授式教学．教学设想一、情境设置学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．二、探究新知例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练例2化简:sin50°(1+3tan10°).解：原式=sin50°132(cos10sin10)3sin1022(1)sin50cos10cos10︒+︒︒+=︒⋅︒︒=2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +=2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1. 例3 已知sin x -cos x =21,求sin 3x -cos 3x 的值. 解:由sin x -cos x =21,得(sin x -cos x )2=41，即1-2sin x cos x =41.∴sin x cos x =83.∴sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )(sin 2x +sin x cos x +cos 2x )=21(1+83)=1611.教师备课系统──多媒体教案8点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.例4 求证:2222sin()sin()tan 1sin cos tan αβαββαβα+-=-.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证法一：左边=22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin cos αβαβαβαβαβ+-=222222222222sin cos cos sin cos sin tan 11sin cos sin cos tan αβαβαββαβαβα-=-=-=右边. ∴原式成立.证法二：右边=1-2222222222cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos αβαβαβαβαβ-==22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin cos αβαβαβαβαβ+-=22sin()sin()sin cos αβαβαβ+-=左边.∴原式成立. 三、课堂训练 1．如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝ ( )A ．425B ．-425C ．325D ．-3252．在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A ．54B ． 2C ．1D ．323．函数y ＝2cos 2x 的一个单调递增区间是 ( ) A ．(-π4，π4) B ．(0，π2) C ．(π4，3π4) D ．(π2，π)4．化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α等于 ( )A ．1B ．-1C ．cos αD ．-sin α标准文档实用文案5．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (1)求f (π4)的值； (2)设α∈(0，π)，f (α2)＝22，求sin α的值．7．求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x．参考答案：1．D 2．D 3．D 4．A 5．B6. 解：(1)∵f (x )＝sin2x ＋cos2x ，∴f (π4)＝sin π2＋cos π2＝1． (2)∵f (α2)＝sin α＋cos α＝22．∴sin(α＋π4)＝12，cos(α＋π4)＝±32．sin α＝sin(α＋π4-π4)＝12×22-(±32)×22＝2∓64． ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0．故sin α＝2＋64．７. 证明：左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2x sin 2x ＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x14sin 22x＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18(1－cos4x )＝8－4sin 22x 1－cos4x ＝4＋4cos 22x 1－cos4x＝4＋2(1＋cos4x )1－cos4x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x ＝右边．∴tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x．四、作业教材第143～144页习题3．2．五、小结要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．教师备课系统──多媒体教案10第三章测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα（） A ．1325 B ． 1327 C ． 26217 D ． 2627 2．若βα,均为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（） A ．552 B ． 2552 C ．2552552或 D ． 552-3．ππππ(cos sin )(cos sin )12121212-+=（） A ． 23-B ． 21- C ． 21D ． 23 4．tan70tan503tan70tan50︒+︒-︒︒=（）A ．3 B ．33 C ． 33- D ． 3- 5．=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（） A ． αtan B ． αtan2 C ． 1 D ．21 6．已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（） A ．x sin2 B ．x sin 2-C ．x cos 2D ．x cos 2-7．已知等腰三角形顶角的余弦值等于54，则这个三角形底角的正弦值为（）标准文档实用文案A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103- 8．若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（）A ． 6π-B ．6π C ． 65π D ． 65π-9．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（）A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910．已知2cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为（） A ．23-B ．23C ．49D ．1 11．求π2π3π4π5πcoscos cos cos cos 1111111111=（） A ． 521B ． 421 C ． 1 D ． 012．函数sin 3cos 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是（）A ． 11π3x =B ．5π3x =C ．5π3x =-D ．π3x =-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．共16分． 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tan A ，tan B 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15．若542cos ,532sin -==αα，则角α的终边在象限．16．代数式sin15cos75cos15sin105︒+︒+︒︒= ．三、解答题：本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．教师备课系统──多媒体教案1217．（10分）△ABC 中，已知35cos π,cos π513A B ==，求sin C 的值．18．（10分）已π3π24βα<<<，αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求πsin()4sin2cos21ααα+++的值．20．（12分）已知π(0,)4α∈，(0,π)β∈，且71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（ 12分）已知函数2()cos 3sin cos 1f x x x x =++，x ∈R ．（1）求证)(x f 的最小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C 二、填空题 13．3π414．7- 15．第四 16．1标准文档实用文案三、解答题19.证明：左边=222π2sin()(sin cos )42sin2cos21(sin cos )cos sin ααααααααα++=++++- 22(sin cos )22(sin cos )(sin cos cos sin )2cos ααααααααα+==+++-121522116-==--.6556 13 5 ) 5 4 ( 13 12 5 3 )sin( ) cos( ) cos( ) sin( )] ( ) sin[( 2 sin 54) cos( , 13 5 ) sin( 2 3 , 4 0 43 2 : . 18 - = ⨯ - + ⨯ - = - + + - + = - + + = ∴ - = + = - ∴ < + < < - < ∴ < < < β α β α β α β α β α β α α β α β α πβ α π π β α πα 解 β π ，， ..， 43 17 ∴ 若又由 656313 5 5 3 13 12 5 4 sin cos cos sin ) sin( sin 1312 cos , 180 B A , 120 , 13 12 cos 60 2 3 sin , 13 12 sin 1 cos , 13 5 sin 5sin , 5 cos , : . 2 = ⨯ + ⨯ = + = + = = > + > ∴ - = > ∴ > ± = - ± = = = ∴= ∆ B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故不合题意舍去这时可得中在解 .. ° ° °教师备课系统──多媒体教案14 21．解：（1）2cos3sin cos1y x x x=++cos213sin2122x x+=++131cos2sin21222x x=+++ππ3π3sin cos2cos sin2sin(2)66262x x x=++=++．所以，最小正周期为π，最小值为21，最大值为25．（2）因为函数siny x=的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z，由（1）知π3sin(2)62y x=++，故πππ2π22π()262k x k k-+≤+≤+∈Z，ππππ()36k x k k∴-+≤≤+∈Z，故函数3sin(2)62y xπ=++的单调递增区间为πππ,π()216k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z．4321713417134tan)22tan(1tan)22tan(])22tan[()2tan(24271tan:.20βαββαββαββαβαβαπαββ-=-∴=⨯+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-=解ππππ..，，。

高中数学第3章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换教案(含解析)高一数学教案

3.2 简单的三角恒等变换学习目标核心素养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．(重点)3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难点、易混点)1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算和数据分析的核心素养.2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理的核心素养.3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模的核心素养.1．半角公式 2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝b a)． 1．已知180°＜α＜360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B ．1－cos α2C ．－1＋cos α2D ．1＋cos α2C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，∴cos α2＜0，故应选C.]2．2sin θ＋2cos θ＝( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4B ．22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4C ．22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4D ．2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4C [原式＝22⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin θ×22＋cos θ×22 ＝22⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.]3．函数f (x )＝2sin x ＋cos x 的最大值为． 5 [f (x )＝22＋12sin(x ＋θ)＝5sin(x ＋θ)≤ 5.] 4．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tanθ2的值等于．－3 [由sin θ＝－35，cos θ＜0得cos θ＝－45，∴tan θ2＝sinθ2cosθ2＝2sin θ2cosθ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3.]化简求值问题【例1】 (1)设5π＜θ＜6π，cos 2＝a ，则sin 4等于( )A ．1＋a2B ．1－a 2C ．－1＋a2D ．－1－a2(2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.思路点拨：(1)先确定θ4的范围，再由sin 2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2，去根号，确定α2的范围，化简．(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π，θ4∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2. 又cos θ2＝a ，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.] (2)[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cosα22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．1．已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tanα2的值．[解] ∵π＜α＜3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2＜α2＜3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255，cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cosα2＝－2.(另tan α2＝1－cos αsin α＝1＋35－45＝－2.)三角恒等式的证明【例2】求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos 2α不变，直接用二倍角正切公式变形． [证明] 法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cosα2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边， ∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos 2αtanα21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边， ∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．2．求证：2sin x cos x （sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos xsin x .[证明] 左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x2＝sin x2sin2x2＝cos x2sin x 2＝2cos 2x22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎭⎪3＋x cos ⎝ ⎭⎪3－x －sin x cos x＋14. (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或余弦函数)的性质得出结论．[解](1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －12sin 2x ＋14＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x －32sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －12sin 2x ＋14＝14cos 2x －34sin 2x －12sin 2x ＋14 ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8－12sin 2x ＋14＝12(cos 2x －sin 2x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，函数f (x )的最大值为22.(2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z ，得k π－58π≤x ≤k π－π8，k ∈Z .函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8，k ∈Z .应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤↓↓利用辅助角公式化为f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋k 的形式，研究其性质3．已知函数f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间； (3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，求f (x )的值域．[解] f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋3cos 2x＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(3)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴f (x )∈[0，3].三角函数在实际问题中的应用1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式．【例4】如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？思路点拨：设∠AOB ＝α→建立周长l （α）→求l 的最大值 [解] 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R .∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．在本例条件下，求长方形面积的最大值．[解] 如图所示，设∠AOB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝R sin α，OA ＝R cos α.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2R cos α·R sin α＝R 2·2sin αcos α＝R 2sin 2α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝π2，即α＝π4时，S max ＝R 2. 这时点A ，D 到点O 的距离为22R ，矩形ABCD 的面积最大值为R 2.2．若本例中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．[解] 如图，作∠POQ 的平分线分别交EF ，GH 于点M ，N ，连接OE ，设∠MOE ＝α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，在Rt△MOE 中，ME ＝R sin α，OM＝R cos α，在Rt△ONH 中，N H O N ＝tan π6，得ON ＝3N H ＝3R sin α，则MN ＝OM －ON ＝R (cos α－3sin α)，设矩形EFGH 的面积为S ，则S ＝2ME ·MN ＝2R 2sin α(cos α－3sin α)＝R 2(sin 2α＋3cos 2α－3)＝2R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－3R 2，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S max ＝(2－3)R 2. 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等． 3．常用的三角恒等变换思想方法(1)常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝sin αcos α，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．(3)降幂与升幂由C 2α变形后得到公式：sin 2α＝12(1－cos 2α)，cos 2α＝12(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，就是升幂．(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.1．下列叙述错误的是( )A ．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．B ．若函数f (x )＝A 1sin(ωx ＋φ1)，g (x )＝A 2sin(ωx ＋φ2)(其中A 1＞0，A 2＞0，ω＞0)，则h (x )＝f (x )＋g (x )的周期与f (x )和g (x )的一致．C ．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．D ．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. D [A 、B 、C 均正确，D 应该是sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.] 2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．πC [f (x )＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈[π4，a ＋π4]，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.] 3．函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为．π [因为f (x )＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.] 4.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.[解] 由题意，得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，所以cos θ＋sin θ＝75，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.。

高中数学优质教案2：3.2 简单的三角恒等变换教学设计

3.2简单的三角恒等变换（一）导入新课思路.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开. （二）推进新课、新知探究、提出问题①三角函数y =sin x ，y =cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y =a sin x +b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y =sin x 的周期是2kπ（k ∈Z 且k ≠0），且最小正周期是2π，函数y =sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k ≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y =a sin x +b cos x =22b a +（2222sin ba b x ba a +++cos x ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有a sin x +b cos x =22b a +（sin x cos φ+cos x sin φ）=22b a +sin （x +φ）.因此，我们有如下结论：a sin x +b cos x =22b a +sin （x +φ），其中tan φ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y =sin x ，y =cos x 的周期是2kπ（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动. （三）应用示例思路1例1 如下图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S =AB ·BC =(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α-33-sin 2α. 求这种y =a sin 2x +b sin x cos x +cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx +φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt △OBC 中,BC =cos α,BC =sin α,在Rt △OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA =33DA =33BC =33sin α.所以AB =OB -OA =cos α33-sin α. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC =(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63.由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63. 因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y =a sin x +b cos x 的函数转化为形如y =Asin(ωx +φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD =x ,S =x (x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.例2 求函数y =sin 4x +23sin x cos x -cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解: y =sin 4x +23sin x cos x -cos 4x =(sin 2x +cos 2x )(sin 2x -cos 2x )+3sin2x=3sin2x -cos2x =2sin(2x -6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练已知函数f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4x , (1)求f (x )的最小正周期; (2)若x ∈[0,2π],求f (x )的最大、最小值.解：f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4x ,=(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )-sin2x =cos2x -sin2x =2cos(2x +4π),所以，f (x )的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x +4π∈[4π，45π]. 当2x +4π=4π时，cos(2x +4π)取得最大值22,当2x +4π=π时，cos(2x +4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.例3 已知tan(α-β)=21，tan β=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21， ∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34.从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=.又∵tan α=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π.又tan β=71-<0，且β∈(0,π)，∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sin α等.变式训练若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π.证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ①3sin αcos α=sin2β， ②①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cos αcos2β-sin αsin2β=0，∴cos(α+2β)=0. ∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. （四）课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y =a sin x +b cos x 的函数利用倍角公式转化为形如y =A sin(ωx +φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学. （五）作业。

【优质文档】简单的三角恒等变换教案

3.2 简单的三角恒等变换（第一课时）一、教学目标1.进一步理解并掌握二倍角公式和和差角公式，并能正用、逆用和活用公式进行进行角度变换、函数名变换和结构变换达到简单的三角恒等变换；2.通过运用公式解决问题培养学生的化归、换元、方程、数形结合、逆向使用公式等数学思想，通过与代数变换相比较，体会三角变换的特点，体会三角恒等变形在数学中的应用，培养学生观察、分析、解决问题的能力；3. 培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质和细致严谨的科学态度.二、重点、难点1.教学重点：三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.2.教学难点：运用数学思想方法指导三角恒等变换过程，不断提高从整体上把握变换过程的能力.三、学法与教具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图问题引入回顾所学的三角公式 1. 已知，且在第三象限，求的值.2.上题改为：已知，且在第三象限，求的值. 结果如何？有什么想法？3. 有什么样的关系？以旧引新，设疑创设情境，引导学生展开积极的思维活动半角公式的推导及理解推导半角公式：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．例1.试以表示．解：我们可以通过二倍角和来做此题．因为，可以得到；因为，可以得到．又因为．想一想：结果还可以怎样表示？思考1：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．培养学生运用已有知识获得新知识的能力和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式的来源。

通过讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活应用打下基础，逐步培养自学能力。

《简单的三角恒等变换》教案新人教A

数学：3.2《简单的三角恒等变换》教案
（新人教A必修4）
3.2简单的三角恒等变换
教学目的：能运用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换，包括浓度导出积
化和差、和差化积、半角公式，但不要求记住公式。

教学重点：用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换。

教学难点：例4的教学是本课的难点。

教学过程
一、复习提问
二倍角公式的正弦、余弦、正切。

二、新课
在倍角公式中，"倍角"与"半角"是相对的
例1、求证：
证明：1?在中，以?代2?，代? 即得：∴2?在中，以?代2?，代? 即得：∴3?以上结果相除得：
注意：1?左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。

2?公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切3?上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）
补充：万能公式：求证：
例2、求证：
（1）sin?cos?＝［sin（?＋?）+sin（?－?）］
（2）sin＋sin＝2
例3、求函数y＝sinx＋cosx的周期，最大值和最小值。

解：y＝sinx＋cosx
＝2（）
＝2（）
＝2
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为－2。

例4、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的点，ABCD是扇形的内接矩形。

记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。

练习：P155－156
作业：P156 1、2、3、4、5。

3_2 简单的三角恒等变换教案

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式实行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来表达的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标实行比照、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件实行公式变形，以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的理解，从而加深理解变换思想，提升学生的推理水平．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标实行比照、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件实行公式变形，以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的理解，从而加深理解变换思想，提升学生的推理水平．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提升推理、运算水平．教学难点：理解三角变换的特点，并能使用数学思想方法指导变换过程的设计，持续提升从整体上把握变换过程的水平．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了实行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算水平提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们能够通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，能够得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，能够得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，因为不同的三角函数式不但会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２求证：（１） ()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２） sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，所以我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，表达了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变

3.2 简单的三角恒等变换1.知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(2)通过三角恒等变形将形如a sin x+b cos x的函数转化为y=A sin(x+φ)的函数.2.过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促进学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.3.情感、态度与价值观引导学生以已有的公式为依据,以推导半角公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.三角函数的和积互化(1)三角函数的积化和差公式及推导sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].下面对这组公式进行推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))(S(α+β))+(S(α-β)),(S(α+β))-(S(α-β)),(C(α+β))+(C(α-β)),(C(α+β))-(C(α-β)),得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β,cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,即sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],①cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],②cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],③sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],④公式①、②、③、④叫做积化和差公式.(2)三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin·cos,sin α-sin β=2cos·sin,cos α+cos β=2cos·cos,cos α-cos β=-2sin·sin.下面给出这组公式的推导:在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在积化和差的公式中,如果令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.把这些值代入积化和差的公式①中,就有sin·cos==(sin θ+sin φ).∴sin θ+sin φ=2sin·cos.同样可得:sin θ-sin φ=2cos·sin, cos θ+cos φ=2cos·cos,cos θ-cos φ=-2sin·sin.这四个公式叫做和差化积公式.。

高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)

高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。

2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。

3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。

2、三角恒等变换的方法和步骤。

教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。

教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。

2、黑板和粉笔。

教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。

提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。

2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。

3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。

三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。

教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。

四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。

鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。

五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。

布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。

教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。

但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。

在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。

同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。

高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。

能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

高中数学 3.2简单的三角恒等变换教案2 新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和〔差〕公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：〔１〕、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；〔２〕、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：〔１〕因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；〔２〕由〔１〕得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，〔１〕式是积化和差的形式，〔２〕式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，表达了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．。

人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第1课时)》教学设计

3.2简单的三角恒等变换3.2.2简单的三角恒等变换（第1课时）（李蓉）一、教学目标（一）核心素养这节课通过三角恒等变换在数学中应用的举例，进一步加深理解变换思想，提高学生的推理能力，通过数学实例的解决，促进学生对函数模型多样性的理解，提升学生数学建模的能力.（二）学习目标1．理解并掌握辅助角公式.2.会利用公式进行简单的恒等变形.3.体会三角恒等变形在数学中的应用.能通过数学建模解决实际问题.（三）学习重点1通过三角恒等变换推导辅助角公式． 2．灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.（四）学习难点灵活运用三角公式解决一些实际问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）写一写：复习三角恒等变换的一系列公式及回忆相应公式的使用依据.()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ；cos 2α=2222cos sin 2cos 112sin αααα-=-=- ()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±；sin 2α=2cos sin αα2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 2,2α+（降幂公式）（2）填一填：阅读教材140页例3.把下列式子化成一个角的三角函数sin cos a x b x +=)sin(22ϕ++x b a2．预习自测（1）sin cos x x -等于（）A ．sin 2xB ．2sin )4(π+xC ．2sin )4(π-xD ．sin )4(π-x【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】sin cos x x -cos sin sin cos 44x x x x ππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎪⎭⎭4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【思路点拨】一般地，先提公因式sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭，再令cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+最后利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+．【答案】C ．（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小值等于________．【知识点】二倍角公式【解题过程】y =11sin 2cos 22sin 2cos 2sin 422x x x x x =⨯=，故min 12y =-．【思路点拨】牢记二倍角公式的形式．【答案】12-（3）函数2sin sin cos 1y x x x =++的最小正周期是________，最小值是________．【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】21cos 213sin sin cos 1sin 2122242x y x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期是T π= 【思路点拨】将函数化为()sin y A x ωϕ=+的形式，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：①1sin cos sin 22ααα=，②21cos 2sin 2αα-=,③21cos 2cos 2αα+=．【答案】最小正周期是T π=．（4）已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（） A ．118 B ．1718 C ．89 D【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由1sin cos 3αα+=两边平方得112sin cos 9αα+=，解得8sin 29α=-，所以21cos 21sin 2172sin 42218παπαα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎝⎭．【思路点拨】由1sin cos 3αα+=平方可得8sin 29α=-，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：①1sin cos sin 22ααα=，②21cos 2sin 2αα-=,③21cos 2cos 2αα+=．【答案】B ．(二)课堂设计1．知识回顾（1）两角和差的正余弦公式.（2）二倍角公式及变形.2．问题探究探究公式()sin cos a b αααϕ+=+ 的变形过程.●活动1公式()sin cos a b αααϕ+=+的理论基础.你能把函数()sin f x x x =化成()()sin f x A x ωϕ=+的形式吗？引导学生操作如下三步：①12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若把3x π+看成一个角，你还能把函数()sin f x x x =化成别的一个角的三角函数形式吗？由12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若令1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 在上述两种变换过程中使用了两角和差的正余弦公式【设计意图】连续两个问题的提出让学生动手进行简单的三角恒等变换，既让学生体会到变换结果的不唯一性，也让学生感受从特殊到一般的数学归纳推理方法．●活动2 公式()sin cos a b αααϕ+=+的推导满足“同角（均为α），齐一次，正余全”这样三个特点，形如sin cos a b αα+的式子，能否将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式?如果遇到了符合以上三个条件的式子，可以通过以下三步：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭ ②二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+ 常常称该公式为辅助角公式.【设计意图】通过公式的推导可以加深学生对公式的记忆与利用.在尝试之后对辅助角公式的特点有一个加深的认识.●活动3 使用辅助角公式注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为辅助角公式理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如活动1中的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可视为1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式. 当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的ϕ来代替，再在旁边标注ϕ的一个三角函数值.【设计意图】让学生掌握记忆公式的同时，归纳总结公式适用的条件，培养学生分析问题和解决问题的能力．活动4 巩固基础，检查反馈例1：化简下列三角函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式： (1)sin cos 6y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （2）2sin 2cos sin 2y x x x =-+ 【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】（1）11sin sin sin =sin 223y x x x x x x π∴=-=++⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）21cos 251sin 2cos sin 2sin 22(cos 2sin 2)222x y x x x x x x -=-+=-+=-+()522x ϕ=+其中sin ϕϕ==【思路点拨】（1）将cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭打开（2）用公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==降幂【答案】（1）sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （2）()522y x ϕ=+ 同类训练把函数44cos 2sin cos sin y x x x x =-－化成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式.【知识点】三角恒等变换.【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】y ＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 4x －sin 4x )－2sin x cos x＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－2sin x cos x ＝cos2x －sin2x ＝2)2cos 222sin 22(x x +-2)43sin 2cos 43cos 2(sin ππx x +＝2sin )432(π+x . 【思路点拨】使用降幂公式及两角和差的正余弦公式化简三角函数式． 2sin )432(π+x ． ●活动5 强化提升、灵活应用例2 已知函数f (x )＝sin 2x ＋a sin x cos x －cos 2x ，且()14f π=. (1)求常数a 的值及f (x )的最小值；(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的单调增区间．【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】(1)∵()14f π=， ∴sin 2π4＋a sin π4cos π4－cos 2π4＝1，解得a ＝2.∴f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin2x －cos2x ＝2sin )42(π-x . 当2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，sin )42(π-x 有最小值－1，则f (x )的最小值为－ 2.(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )；又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0≤x ≤3π8. ∴f (x )的单调增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【思路点拨】利用相应三角公式进行三角恒等变换，在对函数sin()y A x ωϕ=+的性质进行研究【答案】(1) a ＝2 (2)30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 同类训练已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=++-+⎪⎪⎭221cos 22sin cos 2x x x x =+-11cos 22cos 22cos 222x x x x x =+-=- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q 52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦()sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦【思路点拨】将26x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26x π-的范围，再判断其正弦值的范围【答案】⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 例3 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP ∠=α ，问当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.【知识点】三角恒等变换及三角函数性质.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】（1）找出S 与α之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S 的最大值【解题过程】DA Rt OBC OB cos ,BC sin .Rt OAD tan 60OA∆=α=α∆==在中，在中，oOA ,AB OB OA cos .===α=-=αα所以所以2ABCD S,S AB BC (cos )sin sin cos =⋅=ααα=ααα设矩形的面积为则11sin 2cos 2)2cos 2))226πααααα=-=+-=+ O A B P50223666626Sπππππππ<α<<α+<αα=最大由得所以当，即时，+==,.【答案】=ABCD6πα当时，矩形同类训练如图所示，已知矩形ABCD中，,AB a AD b==，试求其外接矩形EFGH面积的最大值【知识点】三角恒等变换及三角函数最值.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】以角为变量建立矩形面积的的函数关系，从而求相应的最大值【解题过程】,,CBF EABθθ∠=∠=设则,,,,EB asin BF bcos AE acos HA bsinθθθθ====∴()()S bsin acos bcos asinθθθθ=++矩形EFGH2222b sin cos absin abcos a sin cosθθθθθθ=+++=()222,a b sin abθ++由2|1|sinθ≤，知4πθ=时，S矩形EFGH取得最大值为()2221()221.a b ab a b++=+【答案】()21.2a b+3.课堂总结知识梳理（1）通过三角恒等变换推导辅助角公式并应用到三角函数中，对函数sin()y A xωϕ=+的性质进一步研究.(2)通过用角为自变量建立函数模型，从而求解相应最值，既促进学生对函数模型多样性的理解，也使学生感受到以角为自变量的优点，体现了化归思想.重难点归纳（1）进一步学习三角变换的内容，思想和方法，体会三角变换的特点，提高推理，运算能力.（2）进一步认识三角变换的特点，并熟练运用数学思想方法指导变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力.（三）课后作业基础型自主突破1．3sin x －3cos x ＝（）A ．sin )6(π-xB ．3sin )6(π-x C.3sin )6(π+x D ．23sin )6(π-x 【知识点】辅助角公式．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】3sin x －3cos x ＝23)cos 21sin 23(x x - ＝23)6sin cos 6cos (sin ππx x - ＝23sin )6(π-x .【思路点拨】直接使用公式()sin cos a b αααϕ+=+【答案】D ．2．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为（）A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32]【知识点】三角恒等变换及三角函数值域．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3cos(x －π6)【思路点拨】将cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭打开，整理后再运用辅助角公式．【答案】B3．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【知识点】三角恒等变换及三角函数性质．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝cos(π2－2x )＝sin2x ，而y ＝sin2x 为奇函数，其最小正周期T ＝2π2＝π 【思路点拨】使用公式21cos 2cos ,2αα+=及诱导公式变形．【答案】A.4．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为（）A ．－3, 1B ．－2, 2C ．－3，32D ．－2，32 【知识点】三角函数与二次函数有关的最值．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，则y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2(t －12)2＋32，当t ＝12时，y max ＝32，当t ＝－1时，y min ＝－3．【思路点拨】统一函数解析式中的角及函数名，再通过换元法把函数转化为二次函数求解．【答案】C.5．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于（） A ．2525 B ．255 C ．2525或255 D ．55或525 【知识点】两角和与差的三角函数．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误．【答案】A ．6．已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1. 则f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值为（）A ．2，-2B ．2，1C ．1，-2D ．2，-1 【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值. 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.【思路点拨】打开sin(x ＋π6)，降幂再利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式，再求该函数的区间最值．【答案】D ．能力型师生共研7．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________．【知识点】两角和与差的三角函数【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729．【思路点拨】角α2－β、α－β2的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误．【答案】－239729．8．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)，n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos(θ2＋π8)的值．【知识点】三角恒等变换及三角函数与向量. 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos(θ＋π4)＝21＋cos(θ＋π4)，由已知|m ＋n |＝825，得cos(θ＋π4)＝725.又cos(θ＋π4)＝2cos 2(θ2＋π8)－1，∴cos 2(θ2＋π8)＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos(θ2＋π8)<0. ∴cos(θ2＋π8)＝－45. 方法二：|m ＋n |2＝(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝|m |2＋|n |2＋2m ·n＝(cos 2θ＋sin 2θ)2＋[(2－sin θ)2＋cos 2θ]2＋2[cos θ(2－sin θ)＋sin θcos θ] ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4[1＋cos(θ＋π4)]＝8cos 2(θ2＋π8)．由已知|m ＋n |＝825，得|cos(θ2＋π8)|＝45.又π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8 ∴cos(θ2＋π8)<0. ∴cos(θ2＋π8)＝－45.【思路点拨】思路一：先进行向量坐标运算再三角恒等变换. 思路二：先应用向量的模长运算在利用模长公式结合三角恒等变换.【答案】cos(θ2＋π8)＝－45. 探究型多维突破9.如图，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？最大面积为（）A ．22R B ．2R C ．22RD ．24R【知识点】三角恒等变换及三角函数性质. 【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【解题过程】设圆心为O ，长方形截面面积为S ，∠AOB ＝α，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，S ＝(R sin α)·2(R cos α)＝2R 2sin αcos α＝R 2sin2α.当sin2α＝1时，即α＝π4时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R 2.【思路点拨】（1）设长方形截面面积为S ，∠AOB ＝α找出S 与α之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S 的最大值【答案】B ．10.已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)函数g (x )＝2sin x ·(sin x ＋cos x )－1的图像可由f (x )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到； (2)设h (x )＝f )22(x -π＋4λf (x －π2)，是否存在实数λ，使得函数h (x )在R 上的最小值是－32？若存在，求出对应的λ值；若不存在，说明理由．【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值的逆向问题. 【数学思想】转化化归与分类讨论的数学思想.【解题过程】(1)g (x )＝2sin 2x ＋sin2x －1＝sin2x －cos2x ＝2sin )42(π-x ，先将f (x )的图像向右平移π4个单位长度得到y ＝sin )4(π-x 的图像；再将y ＝sin(x －π4)图像上各点的横坐标变为原来的12倍，得到函数y ＝sin )42(π-x 的图像；最后将曲线上各点的纵坐标2倍得到函数g (x )的图像．(2)h (x )＝cos2x －4λcos x ＝2cos 2x －4λcos x －1＝2(cos x －λ)2－2λ2－1， ⎩⎪⎨⎪⎧λ<－1，1＋4λ＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤λ≤1，－2λ2－1＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧λ>1，1－4λ＝－32.∴λ＝±12.【思路点拨】（1）降幂再利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式，（2）转化为二次函数的最值.【答案】(1)见解题过程. (2) λ＝±12. 自助餐1.下列各值中，函数2sin y x x =+不能取得的是（） A.3B.3.5C.4D.4.5【知识点】三角恒等变换及三角函数的值域. 【数学思想】转化化归数学思想.【解题过程】因为2sin y x x =+14sin 4sin 423x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数2sin y x x =+不能取得的是4.5.【思路点拨】利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式再根据三角函数范围求解. 【答案】D.2．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【知识点】三角恒等变换及三角函数性质．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝(1＋cos2x )·1－cos2x 2＝12(1－cos 22x )＝12(1－1＋cos4x 2)，可知f (x )的最小正周期为π2的偶函数．【思路点拨】使用公式21cos 2sin 2αα-=与21cos 2cos ,2αα+=进行三角恒等变换【答案】D3．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于（）A ．33B ．－33C ．539D ．－69【知识点】两角和与差的三角函数．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误．【答案】C ．4．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．【知识点】两角和与差的三角函数．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45．【思路点拨】先把cos(α－π6)展开再利用辅助角公式化简变形，最后注意分析已知角与未知角之间的关系．【答案】－45．5．已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝________. 【知识点】两角和与差的三角函数．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2A ＋B ＝－53，∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ] ＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712.【思路点拨】角的范围一定要确定准确(注意cos B ＝－34隐含钝角)，以免导致开方时符号错误．【答案】35＋2712． 6．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．【知识点】三角恒等变换及函数最值．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－23)2－73，x∈R，因为cos x∈[－1,1]，所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；当cos x＝23时，f(x)取得最小值－73.【思路点拨】统一三角函数名称及角度，转化为二次函数求解最值.【答案】(1)－94. (2) f(x)取得最大值6，最小值－73.。

《简单的三角恒等变换》教案1(三)

3.2简单的三角恒等变换（三）教学目标（一）知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式．（二）过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．（三）情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力．教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝?，求当角?取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积. 例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,224222R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为R RR 2222=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形. （2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS矩形的面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,cos ,sin αα==OS SP故S 四边形PQRS ααα2sin cos 2sin =⨯=故α为︒45时，1max =S课堂小结建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业1. 阅读教材P.139到P.142;2. 《习案》作业三十五.。

简单的三角恒等变换教案

简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。

高中数学：3.2 简单的三角恒等变换(2)教案

3.2 简单的三角恒等变换（2）一、教学目标：知识与技能：1、加深对和差角、二倍角公式的记忆，推导降幂公式及其它变形形式。

2、理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理解化归思想。

3、能独立分析和解决一些三角问题。

过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感、态度与价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 二．重点难点重点：三角恒等变换的模式难点：降次、化为一个角的三角函数三、教材与学情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a+++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a ba b b a aϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab .在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin (2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0, 3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练1.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π]. 当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.例2. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值.活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x 都成立.又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0. ∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.例3. 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt △OBC 中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt △OAD 中,OADA =tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα.所以AB=OB-OA=c osα33-sinα.设矩形ABCD 的面积为S,则S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63. 因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练2. 已知如图2的Rt △ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos2C B +-cos 2C B -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt △BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt △BAC 中,a AB =sinC,∴mcos 2B =asinC.图2同理,ncos2C =asinB.∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos 2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81. 积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2C B -)=-1, 若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1, ∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π,∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例4. 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34. 从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)，∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.变式训练3.若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π.证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ①3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 六、课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。

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3.2 简单的三角函数恒等变换
授课班级：高一（1）班授课教师：郭建德授课日期：2018-1-11
一、教学目标
1．知识与技能
熟练掌握和、差、二倍角公式,会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力
2．过程与方法
通过三角变换,加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识
3．情感、态度与价值观
体会变换中形变而质不变的哲理
二、教学重点和难点
1．教学重点
引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式、积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力
2．教学难点
认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力
三、授课类型和授课方法：
新授课（公开课）；探究合作，先学后练
四、教学过程
1、新课导入
复习倍角公式2S α、2C α、2T α
先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。

既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？
2、新课讲解、范例演示
半角公式的推导及理解：
例1、试以cos α表示222
sin ,cos ,tan 222α
α
α．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12α
α=-和2cos 12sin 2α
α=-来做此题．（二倍角公式中以
α代2α，2
α代α）解：因为2cos 12sin
2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12α
α=-，可以得到21cos cos 22
α
α+=．
两式相除可以得到222
sin 1cos 2tan 21cos cos 2α
α
ααα-==+．点评
：⑴以上结果还可以表示为：sin
2cos 2
αα==
tan 2α
=
并称之为半角公式（不要求记忆），符号由α/2角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

变式训练1：求证sin tan 21cos 1cos tan 2sin αα
αααα=
+-= 例2：求证：（１）()()1sin cos sin sin 2
αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）sin sin 2sin cos 22θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．
两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2
αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，
那么,22θϕ
θϕ
αβ+-==．
把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．（积化和差、和差化积公式公式不要求记忆）
3、课堂练习
1) A . 0 B
. 2 C . 12
D . 1- 2）设()()170,,,,cos ,sin ,sin 2239ππαβπβαββ⎛⎫⎛⎫∈∈=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且则等于 A . 127 B . 527 C . 13 D . 2327
3）若2
2sin 12()2tan sin cos 22x f x x x x -=-，则()()12f π的值是 A
. 3
- B
. - C
.D . 8 4、课堂小结
1)、降幂公式
2)、公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.
3)、三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.
4)、换元思想.
5、作业布置
1)、课堂作业
课本P143页习题3.2 A 组第1题（1）、（3）、（5）
2）课后作业
阅读课本P139-142，结合步步高学案，完成《课时训练》P154页第1-4，8，9，12，13题（请各个学习小组组长认真监督组员独立完成并及时收齐上交）
五、教学后记
cos 40cos60cos80cos160(
)︒+︒+︒+︒的值为。