华南理工大学高数

第一章 函数与极限
第一节 函数 一﹑变量与函数 二﹑初等函数 三﹑函数的特性
一、 变量与函数
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M, a M, A { a1 , a 2 , , a n }
M { x x所具有的特征}
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B .
故 函数 f ( x 3)的定义域 :[3, 1]
6. 反函数
定义1 设有函数y=f(x)(xD)，其值域W=f(D).若对于W 中每一个y值, 都可由方程f(x)=y确定D中唯一的x值: x=(y), 称为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y), 读“f逆” 。
y
函数 y f ( x )
aห้องสมุดไป่ตู้
4.三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 ) 例如 y arcsin u,
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
x 例如 y cot , y u , 2
o
1 y x
1
x
x 2.指数函数 y a
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
y ax
(a 1)

(0,1)
3.对数函数 y log a x
(a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
例1
求 y =arcsin
2 x
的定义域和值域。
解： 0 2 x 1 函数的定义域为: 1 x 2, 函数的值域为 0 y . : 2
x 例2 求 y cot x arccos 2 的定义域 .
解： x k x k , k 0,1,2, x x0 2 1 得定义域为 x < 0 且 x 1,2,
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
习惯上, 反函数 x= (y)写成 y = (x) = f 1(x).
D
y
反函数y ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
例4 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数
1 2 ，设这一运动花费T秒钟，则t[0,T]。 s gt 2
定义 1.1.1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集，
如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则总有
唯一确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记 作
因变量
y f ( x)
数集D叫做这个函数的定义域
不含任何元素的集合称为空集. ( 记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R , 且a b .
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b )
cosh x sinh x 1 ;
2 2
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x .
2.反双曲函数
反双曲正弦 y ar sinh x ;
y arsinh x ln( x
D : ( ,)
奇函数,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2
解
例3
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
2 解: 当x0时,y1, y x 1 x
y2 1
当x<0时,y<1,x=y-1,
x 2 1, x 1 综上, 得反函数 y . x 1, x1
二、初等函数
1.幂函数 y x
y
y x2
1
(1,1)
(是常数)
y x
y x
初等函数
定义1.1.3 由基本初等函数经过有限次四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个 式子表示的函数,称为初等函数.
双曲函数与反双曲函数
e e 双曲正弦 sinh x 2
x x
y cosh x
D : ( ,),
奇函数.
x
1 x y e 2
x
e e 双曲余弦 cosh x 2
数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
无限区间
x
o
b
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a, ) {x a x a }.
当( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
x 1;
0 x 2;
20
当( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
5.函数概念：
邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据 邮件的重量W确定邮件的费用C。
W C
W1 C1
W2 WN C2 CN
自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形 可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T。 T
o t
真空中初速为零的自由落体，下落路程S与时间t的关系为：
x = f
1(y),
则反函数也是奇函数。
证明： f 1 ( y ) f 1 ( f ( x )) f 1 ( f ( x )) x f 1 ( y ). ∴反函数是奇函数。
x2 1 x 0 的反函数. 例5 求 f ( x) x 1 x 0
y ar sinh x
x 1).
2
在 ( ,) 内单调增加.
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1,)
在 [1,) 内单调增加.
y ar cosh x
反双曲正切 y ar tanh x
y artanh x 1 1 x ln . 2 1 x
y ar tanh x
D : ( 1,1)
奇函数,
在 ( 1,1) 内单调增加.
复合函数：
设 y u, u 1 x 2 ,
定义:
y 1 x2
设函数 y f (u) 的定义域 G , 而函数
u ( x ) 的值域为 E , 若 G E , 则称函 数 y f [( x )]为 x 的复合函数.
x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b]
o a o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b ) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
o a
( , b ) { x x b}
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
x (
(
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
W
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数及常量函数统称为基本初等函数.
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如, 2 x 1, f ( x) 2 x 1,
x u cot v , v . 2
3.复合函数的定义域可能会改变.
e x , 例6 设 f ( x ) x, 求 f [( x )].
x1 x 2, , ( x ) 2 x1 x 1,
x0 x0
,
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
y
函数的图形：
W
y
( x, y)
x
o
x
D
定义: 点集C {( x , y ) y f ( x ), x D} 称为
函数y f ( x )的图形.
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
D : ( ,),
1 x y e 2
y sinh x
偶函数.
sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x x cosh x e e
D : ( ,)
奇函数,
有界函数,
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;

x
a a a o 点a的去心的邻域, 记作U ( a, ).
U (a, ) {x 0 x a }.
o
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
综上所述
1 x 0;
x 2;
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . x 1 e , 0 x 2 x 2 1, x 2
三、函数的特性