2017-2018学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷及答案(理科)

2017-2018学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.4x+7.6，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m的值等于5C．变量x，y之间的相关系数r＝﹣0.4D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）3．（5分）在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N*，且m+n+p＝3r，那么必有a m+a n+a p ＝3a r，类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N*，且m+n+p＝3r，那么必有（）A．b m+b n+b p＝3b r B．b m+b n+b p＝b r3C．b m b n b p＝3b r D．b m b n b p＝b r34．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣5．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.44%）A．7539B．6038C．7028D．65876．（5分）已知m＝3cos（x﹣）dx，则（x﹣2y+3z）m的展开式中，x m﹣2yz项的系数等于（）A．180B．﹣180C．﹣90D．157．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小9．（5分）函数f（x）与它的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）A．（0，4）B．（﹣∞，1），C．D．（0，1），（4，+∞）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+m，若方程f（x）＝0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，则实数m的值等于（）A．﹣2或2B．﹣2C．2D．011．（5分）若m，n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802＝3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m，n）的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（）A．525B．1050C．432D．86412．（5分）若直线y＝ax+b与曲线f（x）＝lnx﹣1相切，则的最小值为（）A．﹣B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去A，B，C三个不同的新节目，且插进的三个新节目按A，B，C顺序出场，那么共有种不同的插入方法（用数字作答）．14．（5分）观察下列各式：1＝1，1＝，1＝，1＝，由此可猜想，若1＝m，则m ＝．15．（5分）假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1﹣p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）＝2cos x﹣sin2x，则f（x）的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知0＜a＜b＜1．（I）试猜想a+lnb与b+lna的大小关系；（II）证明（I）中你的结论．18．（12分）如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？19．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关；（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：20．（12分）已知（x+2）n＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n（n∈N*）．（1）求a0及S n＝a1+a2+…+a n；（2）试比较S n与2n2﹣3n的大小，并用数学归纳法证明．21．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？22．（12分）设a∈R，函数f（x）＝x2e1﹣x﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在（，2）上的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+a（x﹣1﹣e1﹣x），当g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，总有x2g（x1）≤λf′（x1），求实数λ的值．2017-2018学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：化简可得z＝＝＝1+i，∴z的共轭复数＝1﹣i故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：对于A：根据回归系数＝﹣0.4＜0，判断量x，y之间呈现负相关关系，A正确；对于B，根据表中数据，计算＝×（6+8+10+12）＝9，＝×（6+m+3+2）＝，代入回归方程得＝﹣0.4×9+7.6，解得m＝5，B正确；对于C：变量x，y之间的相关系数r≠﹣0.4，C错误；对于D：由线性回归方程一定过（，），且＝9，∴线性回归方程过点（9，4），D正确；故选：C．【点评】本题考查了线性回归方程的定义与应用问题，是基础题．3．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N*，且m+n+p＝3r，那么必有a m+a n+a p ＝3a r，类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N*，且m+n+p＝3r，那么必有b m b n b p＝b r3，事实上，设等比数列{b n}的首项为b1，公比为q，则b m b n b p＝，b r3＝，∵m+n+p＝3r，∴b m b n b p＝b r3，故选：D．【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，考查类比推理的应用，是基础题．4．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取3个球，基本事件总数n＝，所取的3个球颜色不同包含的基本事件个数m＝+，∴所取的3个球颜色不同的概率为p＝＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【解答】解：∵X～N（1，1），∴μ＝1，σ＝1．μ+σ＝2∵P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，∴则P（0＜X＜2）＝68.26%，则P（1＜X＜2）＝34.13%，∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选：D．【点评】本题考查了正态分布、几何概型，属于中档题．6．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：m＝3cos（x﹣）dx＝3sin xdx＝﹣3cos x＝﹣3（cosπ﹣cos0）＝6，则（x﹣2y+3z）m＝（x﹣2y+3z）6 ，x m﹣2yz＝x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6个因式（x﹣2y+3z）的乘积，故其中一个因式取﹣2y，另一个因式取3z，剩余的4个因式都取x，即可得到含x m﹣2yz＝x4yz的项，∴x m﹣2yz＝x4yz项的系数等于•（﹣2）••3•＝﹣180，故选：B．【点评】本题主要考查定积分的运算，乘方的几何意义，二项式定理的应用，属于基础题．7．【考点】CM：条件概率与独立事件．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×＝，其中比赛进行了3局的概率为×+×＝，∴所求概率为＝，故选：B．【点评】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．8．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是E（ξ）＝0×+1×+2×＝p+；方差是D（ξ）＝×+×+×＝﹣p2+p+＝﹣+，∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；p∈（，1）时，D（ξ）单调递减；∴D（ξ）先增大后减小．故选：D．【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）＝，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．【点评】本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x+m，∴f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＝0，则x＝±1，当x＜﹣1，或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；故当x＝﹣1时，函数取极大值m+2，当x＝1时，函数取极小值m﹣2，又∵方程f（x）＝0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2＝0，解得m＝2，故选：C．【点评】本题考查的知识点是利用导数法研究函数的极值，方程根的个数判断，难度中档．11．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分4步进行分析：①，2964的千位为2，其“简单的”的有序对的千位可以为：（0，2）、（1，2）、（2，0），共3种；②，2964的百位为9，其“简单的”的有序对的百位可以为：（0，9）、（1，8），（2，7）、（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（7，2）、（8，1），（9，0）；有10种取法；③，2964的十位为6，其“简单的”的有序对的十位可以为：（0，6）、（1，5），（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）、（6，0）；共7种取法；④，2964的个位为4，其“简单的”的有序对的个位可以为：（0，4）、（1，3），（2，2）、（3，1）、（4，0）；共5种取法；根据分步计数原理知共有3×10×7×5＝1050种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．解题的关键是看出四位数中每一个数字可以有几种情况，分类讨论加以解决．12．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：根据题意，设直线y＝ax+b与曲线f（x）＝lnx﹣1相切的切点为（m，n），f（x）＝lnx﹣1，其导数f′（x）＝，则有f′（m）＝＝a，点（m，n）在直线y＝ax+b上，则n＝am+b＝b+1，又由点（m，n）在曲线f（x）＝lnx﹣1上，n＝lnm﹣1，则有lnm﹣1＝b+1，变形可得b＝lnm﹣2；则＝＝m（lnm﹣2），设t＝m（lnm﹣2），（m＞0）则t′＝（lnm﹣2）+m×＝lnm﹣1，分析可得：当0＜m＜e时，t′＜0，函数t＝m（lnm﹣2）在（0，e）为减函数，当m＞e时，t′＞0，函数t＝m（lnm﹣2）在（e，+∞）为增函数则当m＝e时，t＝m（lnm﹣2）取得最小值，且其最小值为e（lne﹣2）＝﹣e；故选：C．【点评】本题考查利用导数分析函数的最值以及函数的单调性，关键是用m表示的关系．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，原来有8个节目，有9个空位，在9个空位中任选1个，安排A节目，有9种情况，排好后有10个空位，在10个空位中任选1个，安排B节目，有10种情况，排好后有11个空位，在11个空位中任选1个，安排C节目，有11种情况，排好后有11个空位，在ABC的安排方法有9×10×11＝990种，又由三个新节目按A，B，C顺序出场，则不同的安排方法有×990＝165种；故答案为：165．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．14．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：∵1＝1＝，1＝＝，1＝＝＝，1＝＝，由此可猜想，1+＝，∵1＝m，∴m＝＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，不出现故障的概率是p，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2，化简得3p2﹣4p+1＜0，解得：＜p＜1．故答案为：（，1）【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．16．【考点】HW：三角函数的最值．【解答】解：∵函数f（x）＝2cos x﹣sin2x，∴f′（x）＝﹣2sin x﹣2cos2x＝4sin2x﹣2sin x﹣2，令f′（x）＝0，则sin x＝1，或sin x＝，当sin x∈[﹣1，﹣）时，f′（x）＞0，函数为增函数，当sin x∈（，1]时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当sin x＝且cos x＞0时，函数取最大值，此时cos x＝，f（x）＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是三角函数的最值，利用导数研究函数的最值，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【考点】72：不等式比较大小．【解答】解：（I）取a＝，b＝，则a+lnb＝﹣1，b+lna＝﹣2，则有a+lnb＞b+lna；再取a＝，b＝，则a+lnb＝﹣2，b+lna＝﹣3，则有a+lnb＞b+lna．故猜想a+lnb＞b+lna；（II）令f（x）＝x﹣lnx，则f′（x）＝1﹣，当0＜x＜1时，f′（x）＝1﹣＜0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，又因为0＜a＜b＜1，所以f（a）＞f（b），即a﹣lna＞b﹣lnb，故a+lnb＞b+lna．【点评】本题考查两式的大小关系，注意运用归纳猜想，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．18．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C64个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C63C61个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C62C62个四边形．故满足条件的四边形共有N＝C64+C63C61+C62C62＝360（个）．（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C63+C61C42+C62C41＝116（个）．其中含点C1的有C52+C51C41+C42＝36（个）．【点评】本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，如何分类是关键，属于中档题．19．【考点】BL：独立性检验．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；计算K 2＝＝≈8.333＞7.879，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为，所以ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），∴P（ξ＝0）＝••＝，P（ξ＝1）＝••＝，P（ξ＝2）＝••＝，P（ξ＝3）＝••＝；ξ的分布列为：数学期望为；或．【点评】本题考查了二项分布列的性质及其数学期望和独立性检验思想方法，属于中档题．20．【考点】DA：二项式定理；RG：数学归纳法．【解答】解：（1）令x＝1，则a0＝3n，令x＝2，则（2+2）n＝a0+a1（2﹣1）+a2（2﹣1）2+…+a n（2﹣1）n（n∈N*）．即4n＝a0+a1+a2+…+a n，∴S n＝a1+a2+…+a n＝4n﹣3n．（2）要比较S n与2n2﹣3n的大小，只要比较4n与2n2的大小．猜想：4n＞2n2（n∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，4＞2，结论成立．②假设当n＝k（k∈N*）时结论成立，即4k＞2k2，则当n＝k+1时，4k+1＝4×4k＞4×2k2＝2（k2+2k2+k2），因为k∈N*，所以2k2+k2＞2k+1，所以2（k2+2k2+k2）≥2（k2+2k+1）＝2（k+1）2，所以4k+1≥2（k+1）2，即n＝k+1时结论也成立．由①②可知，n∈N*时，4n＞2n2．所以S n＞2n2﹣3n．n∈N*．【点评】本题考查赋值法以及数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力．21．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X＝200）＝＝0.2，P（X＝300）＝，P（X＝500）＝＝0.4，∴X的分布列为：（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n﹣4n＝2n；若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n﹣4n＝2n，若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．∴n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．22．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2e1﹣x﹣（x﹣1），则f'（x）＝（2x﹣x2）e1﹣x﹣1＝，令h（x）＝（2x﹣x2）﹣e x﹣1，则h'（x）＝2﹣2x﹣e x﹣1，显然h'（x）在（，2）内是减函数，又因h'（）＝﹣＜0，故在（，2）内，总有h'（x）＜0，∴h（x）在（，2）上是减函数，又因h（1）＝0，∴当x∈（，1）时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，这时f（x）单调递增，当x∈（1，2）时，h（x）＜0，从而f'（x）＜0，这时f（x）单调递减；（Ⅱ）由题意可知g（x）＝（x2﹣a）e1﹣x，则g'（x）＝（2x﹣x2+a）e1﹣x＝（﹣x2+2x+a）e1﹣x．根据题意，方程﹣x2+2x+a＝0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），∴△＝4+4a＞0，即a＞﹣1，且x1+x2＝2，∵x1＜x2，∴x1＜1．由x2g（x1）≤λf′（x1），其中f'（x）＝（2x﹣x2）e1﹣x﹣a，可得（2﹣x1）（x12﹣a）e1﹣x1≤λ[（2x1﹣x12）e1﹣x1﹣a]，注意到﹣x12+2x1+a＝0，∴上式化为（2﹣x1）（2x1）e1﹣x1≤λ[（2x1﹣x12）e1﹣x1+（2x1﹣x12）]，即不等式x1[2e1﹣x1﹣λ（e1﹣x1+1）]≤0对任意的x1∈（﹣∞，1）恒成立，（i）当x1＝0时，不等式x1[2e1﹣x1﹣λ（e1﹣x1+1）]≤0恒成立，λ∈R；（ii）当x1∈（0，1）时，2e1﹣x1﹣λ（e1﹣x1+1）≤0恒成立，即λ≥，令函数k（x）＝＝2﹣，显然，k（x）是R上的减函数，∴当x∈（0，1）时，k（x）＜k（0）＝，∴λ≥；（iii）当x1∈（﹣∞，0）时，2e1﹣x1﹣λ（e1﹣x1+1）≥0恒成立，即λ≤，由（ii），当x∈（﹣∞，0）时，k（x）＞k（0）＝，∴λ≤；综上所述，λ＝．【点评】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．。