最新导数证明不等式试题教学教材

利用导数证明不等式专题训练

1：已知函数()

ln(1)f x x x

（1） 求()f x 的单调区间 （2）

证明：

11

1ln(n 1)1

23

n

2.已知函数1()ln x

f x x

ax

（1）若()f x 在1,

上为增函数，求实数a 的

取值范围。

（2）求证：111ln 23

n

n

3.

已知函数

2()ln(1)(1,f(1))5x 2y 2ln 21f x ax bx x 在点处的切线为

（1）求实数()a b f x ，的值及的极值 （2）证明: 2

2

2

231

ln(1)

12n n

n

4.已知1()ln(1)

311

f x a x x x

（1）0,()0

x

f x ，恒成立，求a 的取值范围

（2）求证：2222

234

11

ln(21)4

11421431

414

n n n

5.已知函数2()()x f x e kx x R

（1）1

,0,

,()12

k

x f x 求证：当时

（2）求证：

4*4444

2222+1+1+1+1()123e n N n

6.已知函数1()

ln 1f x x

x

（1）求()f x 的单调区间。 （

2

）

设

m R

，对任意

00(1,1),1,()

0a x e ma f x 总存在使得成立，求m 的取值范围。

（3）证明：2

(1)ln1

ln 2...ln 2n n

n

7.已知函数()

ln 3()f x a x ax a R

（1）讨论()f x 的单调性。 （2）求证：

ln 2ln 3ln 4ln 1234

n

n

n

8.设()

e x

f x ax a

（1）若()

01f x x 对一切恒成立，求a 的取值范围

（2）求证：

11008

2

2015()2016

e

导数证明不等式答案

1.（1)

'''1

()

1

,()0,1x 01

1

()0()(1,0),(0,

)

x

f x f x x x f x f x 令得得x>0

的增区间为减区间为

(2)由（1）可知max

()

(0)0,ln(1)0,ln(1)f x f x x x x x

111ln

ln 2131ln

2241ln

3311ln n x

n n n

n n

n

令，则相加得34111

1

ln(2

)12323n n n

2.（1）

'2

1

1

1()01,01

1

,1,0ax ax f x x

ax

a

a

a a a

在恒成立，

或

（2）由（2）可知当

111ln (1)0ln 111ln

121ln

1231ln

23

1ln

1x

x a x f x

x x

n n x n n n n n n

时，令得

相加得2

34111ln()

123123

n

n n

111ln 23n

n

3.(1) 1,1

a

b ,

'

1(23

(x)

2x 1

1

1

x x f x x

'

'

(x)01x 0,(x)0x 01,0(0,

)

()=(0)0

f f f x f 极大值得得增区间

，减区间

(2)由（1）可知

22

2

2

2

2

ln(1)011111ln 2ln 2133ln

2211ln x x x x n n x

n n n n

n n n n

n 在时成立令得

相加得

2

22

3

123

1

ln 2ln +

+ln

+++

2

12

n n n n ，即

22

2

23

1

ln n 1)

+++12n n （ 4.（1）2'

2

3(6)2()

(1x a x a

f x x ）

220(6)2a a x a

当时，3x 有一正一负根，设正根

为2

2

2

2

,+()(0)0,x 0f(x)0x x x f x f 则f(x)在（0，）上为减函数，在（，）上为增函数且时，不恒成立。

''(6)

200,(0)06

()0,()(0,

)()02

a a x f f x f x f x a 当时，对称轴且在上为增函数，