对函数符号f
函数的概念
1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．对函数概念的理解①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．例如，设集合A＝{x|x≠0，x∈R}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝1x就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝1x的定义域，而值域D＝{y|y≠0，y∈R}，显然D≠B，但D⊆B．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝12x-D．A＝Z，B＝Z，f：x→y解析：对于A项，x2＋y2＝1可化为y=x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧判断一个对应关系是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f (x )＝3x 2－5x ＋2．(1)求f (3)，(f ，f (a )，f (a ＋1)；(2)若f (x )＝0，求x ．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x 的方程，求解即可．解：(1)f (3)＝3×32－5×3＋2＝14，f()＝3×()2－5×()＋2＝8＋，f (a )＝3a 2－5a ＋2，f (a ＋1)＝3(a ＋1)2－5(a ＋1)＋2＝3a 2＋a ．(2)∵f (x )＝0，∴3x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝1或23x =．辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199． 答案：17 199 点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点． 实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )．谈重点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x [2，＋∞)，[0,6) [－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}； (2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}； (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]． (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1) [2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．相同，并且对应关系．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．释疑点 满足什么条件的两个函数相等 (1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f (x )＝x 和函数f (x )＝－x 的定义域相同，均为R ；值域也相同，均为R ，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A 项，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C 项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D 项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数． 答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x ) (4)f (x )＝|x |，g (x )．分析：求出函数f (x )与g (x )的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f (x )与g (x )的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f (x )的定义域是{x |x ≠1}，函数g (x )的定义域为R ，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R ，但是f (x )＝x ，g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区 判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y ＝f (x )，x ∈A 与函数u ＝f (t )，t ∈A 是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y = (2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=． 解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0) (0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1． 故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =+的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)． 辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x∈[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．【例5－1】(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．解：(1)设2x＋1＝t，由于函数y＝f(t)的定义域为[1,2]，故1≤t≤2，即1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)设2x＋1＝t，因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，即3≤t≤5，函数y＝f(t)的定义域为[3,5]．由此得函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5．所以函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2,3]．点技巧求抽象函数定义域有技巧(1)正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．【例5－2】若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．分析：f(x)＋f(－x)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x，－x都在[－2,1]这个区间内，从而f(x)＋f(－x)有意义．解：由题意，得2121xx-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x≤1．故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0) (0，＋∞)，值域是(－∞，0) (0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y 1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)224321x x y x x -+=--； (6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)的取值范围求．≥0－1≥－1． ∴函数y－1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求．5142x y x -=+510(42)14442x x +--=+514(42)4442x x +-=+5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)， 又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++，当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭，则212u x +=(u ≥0)， 于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)．∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12． ∴函数y ＝x1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝xt =y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( )①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数． 答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝-的定义域是集合A ，函数g (x )＝+的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}．要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1． 因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0． 故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x+，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1． 于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝3．又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝72． 【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________． 解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2， ∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2．∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2． 故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值． 令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)，于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)． 故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024． 答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x+． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1．证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+．由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+= …个.。
函数中常见符号的含义
函数中常见符号的含义在数学和统计学中，函数是最基本的概念之一、函数是一个关系，它将一个或多个输入值映射到一个或多个输出值。
函数的定义通常使用符号来表示不同的方面和特点。
以下是一些常见的函数符号及其含义。
1.f(x)：这是函数的一般表示形式，其中f是函数的名称，x是输入变量。
f(x)表示函数f对于输入x的输出值。
2.g(x)：这也是函数的常规表示形式，其中g是函数的名称，x是输入变量。
g(x)表示函数g对于输入x的输出值。
这是一个与f(x)不同的函数。
3.h(x)：这是函数的另一种常规表示形式，其中h是函数的名称，x是输入变量。
h(x)表示函数h对于输入x的输出值。
这是一个与f(x)和g(x)不同的函数。
4.y=f(x)：这是函数的等式形式，其中y是输出变量，x是输入变量。
这种表示形式强调函数将输入x映射到输出y。
5.f:X→Y：这是函数的定义形式，其中f是函数的名称，X是输入集合，Y是输出集合。
这种表示形式表明函数f将输入集合X中的元素映射到输出集合Y中的元素。
6.f(x+h)：这是函数中的一个表达式，其中x是输入变量，h是增量。
f(x+h)表示在输入x的基础上加上增量h并计算函数的输出值。
7.f(a,b)：这是函数中的另一个表达式，其中a和b是输入变量。
f(a,b)表示函数f对于输入a和b的输出值。
8.f'(x)：这是函数的导数，其中f表示函数的名称，x表示输入变量。
导数表示函数在特定输入点处的斜率或变化率。
9. ∫f(x)dx：这是函数的积分，其中f表示函数的名称，x表示变量。
积分表示函数在给定区间上的面积或累积变化量。
10.f∘g：这表示函数的复合，其中f和g是两个函数。
f∘g表示首先应用g函数，再将其输出作为f函数的输入。
11.f⁻¹：这是函数的逆函数，其中f表示原始函数。
逆函数表示通过交换输入和输出来反转函数的映射。
12. lim(x→a)：这是函数的极限，其中x表示变量，a表示趋近的值。
f(x)函数知识点
f(x)函数知识点f(x)函数是高中数学中的一个基本概念，也是日常生活和各个领域中常用的一种数学工具。
它可以帮助我们描述和分析各种现象和问题，例如，经济学中的需求函数、物理学中的运动规律、生物学中的生长模型等等。
本文将介绍f(x)函数的定义、符号表示、性质、图像、应用等方面的知识。
一、定义f(x)函数是数学中的一种映射关系，它将一个自变量x映射到唯一的因变量y上。
可以用下式表示：y=f(x)，其中y是函数的值，x是自变量，f(x)是函数名。
例如，y=x²就是一个f(x)函数，它定义了一个平面上的曲线，并将每个x值映射到该曲线上对应的y值。
在这个函数中，如果我们已知一个x值，就可以计算出对应的y值；反之，如果我们已知一个y值，也可以通过求解方程x²=y来计算对应的x值。
二、符号表示f(x)函数可以用多种符号进行表示，主要有以下三种：1.函数符号：y=f(x)，其中y是函数的值，x是自变量，f(x)是函数名称。
2.匿名符号：y=f(x)=x²，这种表示方式将函数名称省略，只保留y和x的关系式。
3.小括号符：f(x)=x³-2x，这种表示方式将自变量x放置于小括号内，使得表达式更加简洁和易读。
三、性质f(x)函数具有以下基本性质：1.定义域和值域：函数的定义域是所有自变量可以取值的范围，值域是所有因变量可以取值的范围。
例如，y=x²的定义域为实数集R，值域为非负实数集[0,+∞)。
2.单调性：如果x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)，即函数在定义域内可以单调递增或单调递减。
3.奇偶性：如果f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果不满足上述条件，则函数是一个一般函数。
4.周期性：如果存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，周期为T。
5.反函数：如果一个函数满足一一映射的条件，则可以定义它的反函数f⁻¹(x)，满足y=f(x)和x=f⁻¹(y)互为反函数。
函数符号f(x)中“对应关系f”特征解读
是个 飞跃 ，接着建立起 了反 映变量之 间相互依赖关系 的 概 念—— 函数关 系 （ 变量说 ） ． 高 中阶段利用 更丰 富的 实
例 引导学生认识 函数是 刻画 日常生活和其他学科规律 的
量之 间的对应关 系 ， 采 用特定 的数 学符号 厂 （ ） 表示． 函数 符号 厂 （ ） 中蕴藏着 函数形式 化的对应关 系 ‘ ． 这就说 明
当Ｃ 为 抛物 线 ＝ ２ ｐ ｘ （ ｐ ＞ Ｏ ） ， 且ｍ≠ｏ ｔ ￣，
而且 圆锥 曲线 Ｃ 在 点Ｐ（ ｘ 。 ， ｙ ｏ ） 处 的切 线 斜 靴 与直
高 中 版 中 ？ 毒 ｊ Ｉ ： ・ ？ 鬟 鬻 麓 圈 豳 ＿
教 教
案 例 点 评
２ ０ １ ３ 年 １ 月
函数概 念具有很 强的系统性 ， 小学 阶段数 、 量、 图、 数
据（ 一批数 ） 是 引导儿童进 入数学 的源 泉 ， 数和 量常常交
织在一起 ，常说数量 ，数是用来刻画量 的大小 的一种工 具． 初 中阶段 ， 有两种 量 （ 常 量和变量 ） ， 或有 些量 是 已知 的， 有一些是 未知的 ， 渗透 未知量 的概念 ， 在量 的认 识上
函数概念的抽象性表明学习函数时要按层 次递进 的
过程进行 ， 这样才能不断深入地抽 象概括 函数概 念 ， 更 好 地把握 函数 的本质．虽然 函数概念 的多元表征体现 了不 同的理解层次 ， 但其 本质是不变的．
另一个量 的变化 ， 这样就建立起 了反映变量之问相互依赖
关 系的概 念一 函数关 系 ， 形成 了简单的函数概念 ， 未 涉
，
像一座桥梁把变量 和Ｙ 联 系起来 了． 二、 剖 析 函数 定 义
１ ． 从 教 材 编 排 来 分 析
(完整版)常用数学符号大全
常用数学输入符号：～～≈ ≡ ≠ ＝≤≥ ＜＞≮≯∷ ±＋－× ÷／∫ ∮∝∞ ∧∨∑ ∏ ∪∩ ∈∵∴//⊥‖ ∠⌒≌∽√（）【】｛｝ⅠⅡ⊕⊙∥αβγδεζηθΔαβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψωΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΧΨΩабвгдеёжзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюяАБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯexp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e xa^x a的x次方；有理数x由反函数定义ln x exp x 的反函数a x同a^xlog b a 以b为底a的对数；b log b a = acos x 在自变量x处余弦函数的值tan x 其值等于sin x/cos xcot x 余切函数的值或cos x/sin xsec x 正割含数的值，其值等于1/cos xcsc x 余割函数的值，其值等于1/sin xasin x y，正弦函数反函数在x处的值，即x = sin yacos x y，余弦函数反函数在x处的值，即x = cos yatan x y，正切函数反函数在x处的值，即x = tan yacot x y，余切函数反函数在x处的值，即x = cot yasec x y，正割函数反函数在x处的值，即x = sec yacsc x y，余割函数反函数在x处的值，即x = csc yθ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量(a, b, c) 以a、b、c为元素的向量(a, b) 以a、b为元素的向量(a, b) a、b向量的点积a•b a、b向量的点积(a•b)a、b向量的点积|v| 向量v的模|x| 数x的绝对值Σ表示求和，通常是某项指数。
下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。
mathtype函数f符号
mathtype函数f符号
MathType 函数 f 符号是数学符号中常见的一个字符。
该字符通常是指代函数的名称，用来描述一个变量与其输出值之间的关系。
在数学公式中，f 符号可以用于表示不同函数
的定义，例如 y = f(x) 。
在 MathType 中，可以通过以下方式插入函数 f 符号：
1. 使用快捷键
在 MathType 中，可以使用快捷键“Ctrl + Shift + F”来插入函数 f 符号。
按下该组合键后，MathType 会自动插入函数 f 符号，并将光标放置在 f 符号中间，方便用户
输入其他内容。
2. 从符号面板中选择
MathType 提供了一个符号面板，其中包含了许多常用的数学符号。
要插入函数 f 符号，可以打开符号面板，然后在“基本符号”或“高级符号”选项卡中找到 f 符号并单
击插入。
3. 输入 LaTeX 代码
除了插入函数 f 符号，MathType 还提供了许多与函数相关的符号，例如圆括号、方
括号、波浪线等，这些符号可以用来表示函数的参数或限制条件。
此外，MathType 还具
有一些高级的函数符号，例如微积分符号、积分符号等，这些符号可以用来表示更复杂的
数学公式。
映射与函数解析式
五、对函数符号f（x）的理解
f ( x 2), x 2 例5 :已知函数f ( x) 1 x , 则f (3)的值为( C ) ( 2 ) , x 2 1 1 A.2 B.8 C. D. 8 2
x2 1 f (2) 变式1 : 函数f ( x) 2 , 则 ( B ) 1 x 1 f( ) 2 3 3 A.1 B. 1 C. D. 5 5
图1
(4) A R, B ( x, y) | x, y R, f : x ( x 1, x 2 1)
对函数要注意：
1、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非 空数集之间的映射才是函数；
2、要克服“函数就是解析式”的片面认识，有 此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可 用列表法图象法表示出来）
函数解析式的常用方法有： 待定系数法 换元法 凑配法 解函数方程组法 代入法
（一）、待定系数法 例1 设二次函数 f ( x) 满足 f ( x 2) f ( x 2) 且图象在 y 轴上的截距为1，在 x 轴截
得的线段长为 2 2 ，求 f ( x) 的解析式。
• 解法一、 设 f ( x) ax bx c(a 0)
设 f ( x) a( x 2) 2 k
x 2
f (0) 1 4a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk 1
1 a , k 1 2
x 2 2 2 2 k 2 2 x1 a
1 2 f ( x) ( x 2) 1 2 1 2 x 2x 1 2
x A. y 1, y x C . y x, y 3 x 3
B. y x 1 x 1, y x 2 1 D. y | x |, y ( x ) 2
mathtype函数f符号
mathtype函数f符号引言mathtype函数f符号是一个用于表示数学函数的符号，它在数学领域被广泛使用。
该符号由MathType软件开发，在数学教学、科学研究以及工程应用中发挥着重要作用。
本文将深入探讨mathtype函数f符号的定义、使用方法和应用范围。
mathtype函数f符号的定义mathtype函数f符号是一个基于LaTeX语言的数学符号，用于表示各种数学函数，包括常见的线性函数、平方函数、指数函数、对数函数等。
它的语法结构包括函数名、自变量和函数体，通常写作：f(x) = 函数体其中，f(x)表示函数名，x表示自变量，函数体描述了函数的具体定义和计算规则。
mathtype函数f符号的使用方法使用mathtype函数f符号可以帮助我们更清晰、准确地表达数学函数。
以下是使用mathtype函数f符号的一些常见方法：1. 表达常见函数mathtype函数f符号可以用于表示各种常见的数学函数，例如：•线性函数：f(x) = ax + b•平方函数：f(x) = x^2•指数函数：f(x) = e^x•对数函数：f(x) = log(x)这些表达方式使得函数的定义更加简洁、易读。
2. 描述函数的性质使用mathtype函数f符号，我们可以更方便地描述函数的性质。
例如，对于一个凸函数，可以用如下方式表示：f’’(x) ≥ 0这表示函数的二阶导数大于等于零，从而说明该函数是凸的。
3. 表示函数的图像使用mathtype函数f符号，我们可以直接在数学文档中插入函数的图像。
这可以通过MathType软件的图表功能实现，只需输入函数表达式，即可生成对应的函数图像。
这种方式使得函数图像的呈现更加直观、生动。
mathtype函数f符号的应用范围mathtype函数f符号在数学教学、科学研究以及工程应用中有着广泛的应用。
1. 数学教学在高中和大学的数学教学中，mathtype函数f符号被用于解析和描述各种数学函数。
1.函数符号与函数的基本问题
2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 059[决胜高考数学母题](第012号)函数符号与函数的基本问题掌握函数,要从认识函数符号f(x)开始,对f(x)我们可以把x 想象为一个口袋,在这个口袋内可以同时填入(赋值)任意一个数或式(包括f(x)自身),由此可充分体现换元方法和整体思想,并产生函数的三类基本问题.[母题结构]:(Ⅰ)(求函数值)已知函数f(x),求f(x 0)的过程,称为求函数值,求函数值的基本方法就是的赋值法.(Ⅱ)(函数方裎)含有未知函数的等式称为函数方程;函数方程的中心问题是求函数的解析式,求函数解析式的基本方法有:待定法、换元法和赋值法.(Ⅲ)(函数迭代)利用了一个函数自身复合多次,这就叫做迭代.一般地,记f (0)(x)=x,f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)),…, f(n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代,并称n 为f (n)(x)的迭代指数.[母题解析]:略.1.求函数值子题类型Ⅰ:(2015年山东高考试题)设函数f(x)=⎩⎨⎧≥<-1,21,3x x b x x,若f(f(65))=4,则b=( ) (A)1 (B)87 (C)43 (D)21[解析]:由f(65)=25-b;①若25-b<1,即b>23;由f(f(65))=4⇒3(25-b)-b=4⇒b=87,不合;②若25-b ≥1,即b ≤23;由f(f(65))=4⇒f(65)=2⇒b=21.综上,故选(D). [点评]:求参数值有而类典型问题:一是求复合函数值,尤其是求分段函数的复合函数值;一般方法是由里至外逐次求解,其中的关键是注意定义域下的函数式.二是问题一的逆向问题,即已知复合函数值,求其中的参数值,要注意分类讨论.[同类试题]:1.(2015年陕西高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-)0(2)0(1x x x x,则f(f(-2))=( ) (A)-1 (B)41 (C)21 (D)232.(2005年江苏高考试题)己知a,b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b= . 2.函数方裎子题类型Ⅱ:(2008年陕西省高考试题)己知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R),f(1)=2,则f(-3)等于( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9[解析]:设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c,与己知f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 比较得a=1,c=0⇒f(x)=x 2+bx,又由f(1)=2⇒b=1⇒f(x)=x 2+x ⇒f(-3)=6.故选(C).[点评]:由二次函数抽象而得到的函数方程模型有:①如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(2m-x)+2f(x)=3(ax 2+bx+c)+2(2am+b)(m-x);②如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c;③如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x)f(y)=af(xy)+c[f(x)+f(y)]+ bxy[a(x+y)+(b-a)]-c(a+c);④如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x-f(y))=f(f(y))+f(x)-2(ax+b)f(y)-c.[同类试题]:3.(2012年安徽高考试题)下列函数中,不满足:f(2x)=2f(x)的是( )(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x| (C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x060 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题4.(2015年浙江高考试题)存在函数f(x)满足:对任意x ∈R 都有( )(A)f(sin2x)=sinx (B)f(sin2x)=x 2+x (C)f(x 2+1)=|x+1| (D)f(x 2+2x)=|x+1| 3.函数迭代子题类型Ⅲ:(2011年山东高考试题)设函数f(x)=x x +2(x>0),观察:f 1(x)=f(x)=x x +2,f 2(x)=f(f 1(x))=43+x x, f 3(x)=f(f 2(x))=87+x x ,f 4(x)=f(f 3(x))=1615+x x ,…,根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x)= f(f n-1(x))= .[解析]:由f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x)分母中的常数项分别为2,22,23,24,猜测f n (x)分母中的常数项=2n ,而一次项系数比常数项少1,为2n-1⇒f n (x)=nnx x 2)12(+-.[点评]:求f (n)(x)的一般解法是先猜后证法:先迭代几次，观察有何规律,由此猜测出f (n)(x)的表达式,然后证明.证明时,常用数学归纳法.[同类试题]:5.(2014年陕西高考试题)已知f(x)=xx+1,x ≥0,若f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +,则f 2014(x)的表达式为 . 6.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x))n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= .4.子题系列:7.(2005年浙江高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||,111||,2|1|2x xx x ,则f(f(21))=( )(A)21 (B)134 (C)-59 (D)41258.(2012年陕西高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥)0()21()0(x x x x,则f(f(-4))= . 9.(2012年福建高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0(1)0(0)0(1x x x ,g(x)=⎩⎨⎧∉∈∈),(0)(1Q x R x Q x ,则f(g(π))的值为( )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)π 10.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-1,21,122x x x x x ,则))2(1(f f 的值为( ) (A)1615(B)-1627 (C)98 (D)18 11.(2010年陕西高考试题)(理)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+1,1,122x ax x x x ,若f(f(0))=4a,则实数a=( ) (A)21 (B)54(C)2 (D)9 12.(2014年浙江高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++)0()0(2222x x x x x ,若f(f(a))=2,则a= .13.(2011年江苏高考试题)已知实数a ≠0,函数f(x)=⎩⎨⎧≥--<+)1(2)1(2x a x x a x ,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为 .2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 06114.(2006年全国高中数学联赛河南预赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b=( ) (A)3 (B)7 (C)-3 (D)-7 15.(2004年湖北高考试题)己知f(x x+-11)=2211x x +-,则f(x)的解析式可取为( ) (A)21x x + (B)-212x x + (C)212x x + (D)-21x x +16.(1984年全国高中数学联赛试题)若F(xx+-11)=x,则下列等式中正确的是( ) (A)F(-2-x)=-2-F(x) (B)F(-x)=F(xx +-11) (C)F(x -1)=F(x) (D)F(F(x))=-x 17.(2011年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f(x)为整式函数且满足f(x+1)+f(x-1)=4x 3-2x,则f(x)= . 18.(2010年全国高中数学联赛江西预赛试题)设多项式f(x)满足:对于任意x ∈R,都有f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,则f(x)的最小值是 .19.(1999年福建省高一数学夏令营选拔试题)关于x 的函数f(x)满足mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x(0<m<n),当x ∈[-1,1]时, f(x)的最小值是 .20.(2006年泰国数学奥林匹克试题)设函数f:R →R,对任意x ∈R,都有f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17.求f(85). 21.(2009年全国高中数学联赛湖南预赛试题)设f(x)为R →R,对任意实数x 有f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,则f(50)的值为( )(A)72 (B)73 (C)144 (D)14622.(2011年北京市中学生数学竞赛高一试题)设函数y=f(x)定义域为R,且对任意x ∈R 都有2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x- 6,则f(60)= .23.(2009年全国高中数学联赛试题)若函数f(x)=21xx +,且f (n)(x)=nx f f f f ]])([[⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则f (99)(1)= .24.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= . 5.子题详解: 1.解:由f(-2)=41⇒f(f(-2))=f(41)=21.故选(C). 2.解:(法一)由f(x)=x 2+4x+3⇒f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a 2x 2+2a(b+2)x+b 2+4b+3=x 2+10x+24⇒a 2=1,2a(b+2)=10,b 2+ 4b+3=24⇒b=3或-7;当b=3时,a=1;当b=-7时,a=-1⇒5a-b=2.(法一)在f(ax+b)=x 2+10x+24中,令x=-5得:f(-5a+b)=-1;又由f(x)=x 2+4x+3=-1⇒x=-2⇒-5a+b=-2⇒5a-b=2. 3.解:若f(x)=kx ⇒f(2x)=k(2x)=2kx,2f(x)=2(kx)=2kx ⇒f(2x)=2f(x)⇒(D)满足条件;若f(x)=k|x|⇒f(2x)=k × |2x|=2k|x|,2f(x)=2(k|x|)=2k|x|⇒f(2x)=2f(x)⇒(A)满足条件;对于(B):当x ≥0时,f(x)=0显然满足条件,当x<0时, f(x)=2x 满足条件⇒(A),(B),(D)满足条件.故选(C).4.解:由f(x 2+2x)=|x+1|=122++x x ;令t=x 2+2x,则f(t)=1+t .故选(D).5.解:由f 1(x)=x x +1⇒f 2(x)=f(f 1(x))=x x 21+⇒f 3(x)=f(f 2(x))=xx31+⇒…⇒f 2014(x)=x x 20141+.6.解:由f 1(x)=f(x)=ax+b ⇒f 2(x)=f(f 1(x))=a 2x+(a+1)b ⇒f 3(x)=f(f 2(x))=a 3x+(a 2+a+1)b ⇒…⇒f 7(x)=a 7x+(a 6+a 5+…+a +1)b ⇒a 7=128,(a 6+a 5+…+a+1)b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5. 7.解:由f(21)=|21-1|-2=-23⇒f(f(21))=f(-23)=134.故选(B).062 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题8.解:由f(-4)=(21)-4=16⇒f(f(-4))=f(16)=4.9.解:由g(π)=0⇒f(g(π))=f(0)=0.故选(B).10.解:由f(2)=22+2-2=4⇒))2(1(f f =f(41)=1-(41)2=1615.故选(A).11.解:由f(0)=2⇒f(f(0))=f(2)=4+2a=4a ⇒a=2.故选(C).12.解:①当a ≤0时,f(a)=a 2+2a+2>0⇒f(f(a))=-(a 2+2a+2)2=2无解;②当a>0时,f(a)=-a 2<0⇒f(f(a))=a 4-2a 2+2=2⇒ a=2.13.解:①当a<0时,f(1-a)=f(1+a)⇒-(1-a)-2a=2(1+a)+a ⇒a=-43;②当a>0时,f(1-a)=f(1+a)⇒2(1-a)+a=-(1+a)-2a ⇒a=-23(舍去).综上,a=-43. 14.解:令x=-2得:f(-2b+c)=-1;由f(x)=-1⇒x=-3⇒-2b+c=-3.故选(C). 15.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒2211x x +-=2222)1()1()1()1(t t t t -++--+=212t t +,所以f(t)=212t t +⇒f(x)=212x x +.故选(C). 16.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒F(t)=t t +-11⇒f(-2-x)=)2(1)2(1x x --+---=-x x ++13,-2-F(x)=-2-xx +-11=-x x ++13.17.解:由方程的右边为三次函数,故设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d,由题知,2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d ≡4x 3-2x ⇒2a=4,2b=0,6a+2c=-2,2b+2d=0⇒a=2,b=0,c=-7,d=0⇒f(x)=2x 3-7x.18.解:由方程的右边为二次函数,故设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c,由题知,2ax 2+2bx+2a+2c ≡2x 2- 4x ⇒2a=2,2b=-4,2a+2c=0⇒a=1,b=-2,c=-1⇒f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2的最小值=f(1)=-2. 19.解:由mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x ⇒mf(t)+nf(-t)=t+3⇒mf(-t)+nf(t)=-t+3⇒f(t)=-m n -1t+nm +1;由x ∈[-1,1]⇒ t=2x-3∈[-5,-1]⇒f(x)的最小值=f(t)的最小值=f(-1)=222m n n -.20.解:在f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17中,用1-x 代替x 得:f(x 2-3x+5)+2f(x 2+x+3)=6x 2-2x+13⇒f(x 2+x+3)=2(x 2+ x)+3;令x 2+x+3=85得:x 2+x=82⇒f(85)=2×82+3=167.21.解:由f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4⇒f(50)=3×50-4=146.故选(D).22.解:由2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2−3x+2)+f(x 2+x)=9x 2−15x,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4,所以f(60)=3×60−4=176. 23.解:由f (1)(x)=f(x)=21x x +,f (2)(x)=f[f(x)]=221x x +,…,f (n)(x)=21nx x +⇒f(99)(x)=2991x x +⇒f(99)(1)=101. 24.解:由f 1(x)=ax+b ⇒f 2(x)=a 2x+ab+b ⇒f 3(x)=a 3x+a 2b+ab+b ⇒…⇒f n (x)=a nx+a n-1b+a n-2b+…+ab+b=a nx+11--a a n b,由 f 7(x)=128x+381⇒a 7=128,117--a a b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5.。
matlab中的f符号
matlab中的f符号
在MATLAB中，符号f通常用来表示函数或变量的名称。
在数学和工程领域中，f符号通常用来表示函数，例如f(x)表示关于变量x的函数。
在MATLAB中，你可以使用符号f来定义和操作符号表达式，进行符号计算和符号求解。
这种符号计算的方法可以帮助你进行精确的数学运算，而不是使用数值逼近。
你可以使用符号f来创建符号变量和符号表达式，进行代数运算，求导，积分，求解方程等操作。
符号计算在一些数学问题的求解中非常有用，特别是涉及到复杂的代数运算和微积分运算时。
另外，在MATLAB中，符号f也可以用来表示频率，特别是在信号处理和通信系统中。
在这种情况下，f通常表示信号的频率，例如f表示信号的频率，单位为赫兹（Hz）。
你可以使用符号f来进行频域分析，设计滤波器，进行信号调制解调等操作。
总之，在MATLAB中，符号f可以表示函数、变量的名称，也可以表示频率。
它在符号计算和数学运算、信号处理领域都有着重要的作用。
希望这个回答能够帮助到你。
(完整word版)高数符号大全
高等数学常用符号大全及符号的含义acsc xy，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc y θ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时i, j, k分别表示x、y、z方向上的单位向量(a, b, c)以a、b、c为元素的向量(a, b)以a、b为元素的向量(a, b)a、b向量的点积a•ba、b向量的点积(a•b)a、b向量的点积|v|向量v的模|x|数x的绝对值表示求和，通常是某项指数。
下边界值写在其下部，上边界值写在Σ其上部。
如j从1到100 的和可以表示成：。
这表示 1+ 2 + … + nM表示一个矩阵或数列或其它|v>列向量，即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量<v|被写成行或可被看成从1×k阶矩阵的向量dx变量x的一个无穷小变化，dy, dz, dr等类似ds长度的微小变化ρ变量 (x2+ y2+ z2)1/2或球面坐标系中到原点的距离r 变量 (x2+ y2)1/2或三维空间或极坐标中到z轴的距离|M| 矩阵M的行列式，其值是矩阵的行和列决定的平行区域的面积或体积||M|| 矩阵M的行列式的值，为一个面积、体积或超体积d2f/dx2f关于x的二阶导数f(2)(x)同样也是f关于x的二阶导数f(k)(x)f关于x的第k阶导数，f(k-1)(x)的导数T 曲线切线方向上的单位向量，如果曲线可以描述成 r(t), 则T =(dr/dt)/|dr/dt|ds沿曲线方向距离的导数κ曲线的曲率，单位切线向量相对曲线距离的导数的值：|dT/ds|NdT/ds投影方向单位向量，垂直于TB平面T和N的单位法向量，即曲率的平面τ曲线的扭率： |dB/ds|g重力常数F力学中力的标准符号k弹簧的弹簧常数pi第i个物体的动量H物理系统的哈密尔敦函数，即位置和动量表示的能量{Q, H}Q, H的泊松括号以一个关于x的函数的形式表达的f(x)的积分函数f 从a到b的定积分。
经常使用数学符号大全(注音及注解)
数学符号及读法大全经常使用数学输入符号：≈≡≠＝≤≥＜＞≮≯∷±＋－× ÷／∫∮∝∞∧∨∑∏∪∩∈∵∴//⊥‖∠⌒≌∽√（）【】｛｝ⅠⅡ⊕⊙∥αβγδεζηθΔ符号含义i -1的平方根f(x) 函数f在自变量x处的值sin(x) 在自变量x处的正弦函数值exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e x a^x a的x次方；有理数x由反函数定义ln x exp x 的反函数a x同 a^xlogb a 以b为底a的对数； b logba = acos x 在自变量x处余弦函数的值tan x 其值等于 sin x/cos xcot x 余切函数的值或 cos x/sin xsec x 正割含数的值，其值等于 1/cos xcsc x 余割函数的值，其值等于 1/sin xasin x y，正弦函数反函数在x处的值，即 x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即 x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即 x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即 x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即 x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc yθ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量(a, b, c) 以a、b、c为元素的向量(a, b) 以a、b为元素的向量(a, b) a、b向量的点积a•b a、b向量的点积(a•b)a、b向量的点积|v| 向量v的模|x| 数x的绝对值Σ表示求和，通常是某项指数。
下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。
如j从1到100 的和可以表示成：。
这表示 1 + 2 + … + nM 表示一个矩阵或数列或其它|v> 列向量，即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量<v| 被写成行或可被看成从1×k阶矩阵的向量dx 变量x的一个无穷小变化，dy, dz, dr等类似ds 长度的微小变化ρ变量 (x2 + y2 + z2)1/2或球面坐标系中到原点的距离r 变量 (x2 + y2)1/2或三维空间或极坐标中到z轴的距离|M| 矩阵M的行列式，其值是矩阵的行和列决定的平行区域的面积或体积||M|| 矩阵M的行列式的值，为一个面积、体积或超体积det M M的行列式M-1矩阵M的逆矩阵v×w向量v和w的向量积或叉积θvw向量v和w之间的夹角A•B×C标量三重积，以A、B、C为列的矩阵的行列式uw在向量w方向上的单位向量，即 w/|w|df 函数f的微小变化，足够小以至适合于所有相关函数的线性近似df/dx f关于x的导数，同时也是f的线性近似斜率f ' 函数f关于相应自变量的导数，自变量通常为x∂f/∂x y、z固定时f关于x的偏导数。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A版必修第一册
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一 函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集． 注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二 函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三 区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点． 实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”． 我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四 同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ， 于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二 已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值． 解 由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三 已知自变量的值求函数值 例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值． 解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四 求函数的值域 例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五 相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析 要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。
数学函数符号读法大全
数学函数符号读法大全1.一元运算符：表示只有一个输入的数学运算符。
例如：f(x)，g(x)，h(x)等。
2.二元运算符：表示有两个输入的数学运算符。
例如：f(x,y)，g(x,y)，h(x,y)等。
3.加法运算符：表示将两个数值相加的运算符。
符号为"+"，例如：a+b，c+d等。
4.减法运算符：表示将一个数值减去另一个数值的运算符。
符号为"-"，例如：a-b，c-d等。
5.乘法运算符：表示将两个数值相乘的运算符。
符号为"×"或"*"，例如：a×b，c*d 等。
6.除法运算符：表示将一个数值除以另一个数值的运算符。
符号为"÷"或"/"，例如：a÷b，c/d等。
7.平方运算符：表示将一个数值进行平方的运算符。
符号为"²"，例如：a²，b²等。
8.开方运算符：表示将一个数值进行开方的运算符。
符号为"√"，例如：√a，√b等。
9.正弦函数：表示角度的正弦值的函数。
符号为"sin"，例如：sin(x)，sin(θ)等。
10.余弦函数：表示角度的余弦值的函数。
符号为"cos"，例如：cos(x)，cos(θ)等。
11.正切函数：表示角度的正切值的函数。
符号为"tan"，例如：tan(x)，tan(θ)等。
12.反正弦函数：表示正弦值的反函数的函数。
符号为"asin"，例如：asin(x)，asin(y)等。
13.反余弦函数：表示余弦值的反函数的函数。
符号为"acos"，例如：acos(x)，acos(y)等。
14.反正切函数：表示正切值的反函数的函数。
符号为"atan"，例如：atan(x)，atan(y)等。
三角f符号
三角f符号“三角f符号”也称为“关于”，是代数学中的符号之一，我们在解方程或者表达式中经常可以看到它。
当我们遇到复杂的代数方程时，它可以大大简化计算过程。
但对于初学者来说，理解和掌握这个符号可能会有些困难。
下面我们就来分步骤详细地阐述一下“三角f 符号”。
一、基本概念“三角f符号”是一个上下两个三角形组成的符号，通常写作“∂（小写的d在上）”，也有些地方写为“∂（小写的d在下）”。
它在代数学和微积分中有着非常广泛的应用，表示对函数（或其他数学对象）的某一变量的偏导数。
二、偏导数的概念在多元函数中，当我们改变其中一个自变量的取值时，函数的取值也会发生相应的变化。
偏导数就是指函数在某个自变量上的响应程度，比如一个函数f(x,y)，我们可以通过对自变量x求偏导数，来反映自变量x对函数f的贡献。
用符号来表示，就是：∂f/∂x意思是对函数f关于自变量x求偏导数。
同样地，我们也可以对其他自变量求偏导数。
例如：∂f/∂y意思是对函数f关于自变量y求偏导数。
由于偏导数的定义涉及到变化率的概念，因此和微积分密切相关。
三、使用方法当我们需要求一个函数在某个点上的偏导数时，就可以使用“三角f符号”。
假设我们有一个函数f(x,y)，需要求出它在点P(x0,y0)处对自变量x的偏导数。
那么我们就可以写成：∂f(x0,y0)/∂x其中，上下标（x0,y0）表示对变量偏导数的计算对象。
在实际应用中，如果需要求出关于另一个自变量y的偏导数，只需要将上式中的x换成y即可。
例如：∂f(x0,y0)/∂y如果需要求出二元函数f(x,y)在一点(x0,y0,z0)关于x的偏导数，则可以表示为：∂f(x0,y0,z0) / ∂x这样，我们就可以使用“三角f符号”来表示偏导数了。
四、注意事项在使用“三角f符号”计算偏导数时，要注意以下几点：1.不要将“∂”和“d”混淆，它们代表的概念是不同的。
前者表示偏导数，而后者表示微元（微小量）。
2.符号的上下标代表的是偏导数的计算对象，不同的变量采用不同的上下标。
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对函数符号f(x)的理解
f(x)表示的是一个整体，是一个函数。
其中，x表示的是这个函数的自变量，f是对应关系，表示的是对x施加的某种法则（或运算），它可以是一个或几个解析式，也可以是图像、表格，还可以是文字描述。
如f(x)=-x2,当x=2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先对2平方，再求相反数。
当x为某一个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如若f(x)=-x2,则f(x-2)=-(x-2)2,f(g(x))=-[g(x)]2.
抽象函数的定义域：抽象函数是指没有具体函数解析式的函数。
（1）已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域应明确两点：
①函数的定义域指的是自变量x的取值范围；
②对于同一个对应法则f，括号内整体的取值范围是相同的，如
果f(x)的定义域是（a,b），那么f(g(x))的定义域是满足a<g(x)<b 的x的取值集合。
（2）已知f(g(x))的定义域，求f(x)得定义域，即求g(x)的值域。
例(1) 已知f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x+1)的定义域；
解:∵f(x)的定义域为【0,2】，∴y=(x+1)中的x满足
0≤x+1≤2，∴-1≤x≤1,故y=f(x+1)的定义域为【-1,1】。
(2) 已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)的定义域；
解：∵ y=f(x+1)的定义域为【0,2】，∴x满足0≤x≤2，
∴ 1≤x+1≤3, 即f(x)的定义域为[1,3].。