新人教版必修五一元二次不等式及其解法(PPT)
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一元二次不等式的解法
学习目标：
学习目标: 1、熟练掌握一元二次不等式的解 法． 2、理解一元二次不等式、一元二次 方程 及二次函数之间的关系．
3、培养学生数形结合的数学思想。
重点难点:
一元二次不等式、一元二次方程 及 二次函数之间的关系．
一次函数
一元一次方程
一元一次不等式
它们之 间有怎 样的联 系？
－3＋4＝－ba，
由 根 与 系 数 的 关 系 得 －3×4＝ac，
即
b＝－a， c＝－12a， ∴不等式 bx2＋2ax－c－3b＜0
可化为－ax2＋2ax＋15a＜0，即 x2－2x－15＜0，
故所求的不等式的解集为{x|－3＜x＜5}．
课堂小结
解一元二次不等式的“四部曲”： (1)把二次项的系数化为正数 (2)计算判别式Δ (3)解对应的一元二次方程 (4)根据一元二次方程的根，结合图像 (或口诀)，写出不等式的解集。概括 为：一化正→二算Δ→三求根→四写 解集
a
a
总结：要解一元一次不等 式，可以先画出一次函数 的图像，再解一元一次方 程，结合图像可得相应的 一元一次不等式的解集。
思考：
类似地，我们能不能将一元 二次不等式的求解与二次函 数以及一元二次方程联系起 来找到其求解方法呢？
试一试：解不等式 x2－x－6>0
（1）作出y=x2－x－6的图像
（2）写出x2－x－6=0的解
（3）根据图像写出
x2－x－6>0的解集
y
{x|x3或 x-2 }
●
●
－2 o 3 x
小结：我们通过二次函数y＝x2 －x－6的图像不仅求得了的x2－ x－6>0解集，还可以求得x2－x －6<0解集.可见利用二次函数的
图像来解一元二次不等式是个 有效的方法.
下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
即m －n 的值是2
演练反馈
1．解下列不等式： （1）3x2－7x+2<0 （2）－6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0 p80练习1 2 习题A1 B1
2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3 ＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的 解集．
首先讨论a>0的情形.请思考下列问题：
（1）如果相应的一元二次方程分别有两 个实根、唯一实根、无实根的话，其相 应的二次函数的图像与轴的位置关系如 何？
（2）请观察表中的二次函数的图像，并 写出相应的一元二次不等式的解集.
y
y
y
o ●x1
● x2 x
o●
x
x1,2
b 2a
Biblioteka Baidux1
x2
b 2a
{x | x x1 { x | x R ,
或x
x2}
x
b} 2a
{ x | x1 x x2}
o
x
R
这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是抓 住相应的二次函数的图像。
记忆口诀：
大于0取两边，小于0取中间.
求一元二次不等式解集的步骤
1.将一元二次不等式的二次项系数化 为正数的形式（若是负数，不等式 两边同时乘以-1）；
【例4】已知不等式x2 － mx+2n<0的
解集是{ x| － 1＜x＜2 }。 求m － n的值。
解：由题意可得－ 1和2是方程x2 － mx+2n=0的两个根，由根与系数的关 系可得m= － 1+2=1,
2 n= － 1 x 2= － 2，所以n= － 1 ，
所以m － n=1 － （ － 1 ）=2
（1）作出函数y=2x－7的图像 （2）解方程2x－7=0 （3）解不等式2x－7>0
y
7
2
o
x
x 7 2
{x | x 7} 2
思考：“三个一次”的联系
by
a
●o
y
b
a
x
o● x
xb a
{x | x b} a
xb a
{x | x b} a
{x | x b} {x | x b}
作业布置： 课本P80 A组1 2 3 4
B组1
1、在春节图片和视频中重温春节生活 的欢快 和喜悦 ，激发 学生对 传统节 日、民 俗文化 的热爱 之情。 2、在送祝福的实践活动中对为社会服 务的劳 动者表 达感谢 之情 3、了解春节的相关习俗，感受春节的 热闹气 氛。 4、知道春节期间有很多人还在辛勤工 作，学 习用自 己的方 式表达 对他人 劳动的 感谢之 情。 5、每年从农历腊月二十三日起到除夕 止，我 国民间 把这段 时间叫 做“迎 春日”， 也叫“ 扫尘日” 。每逢 春节来 临，家 家户户 都要打 扫环境 。 6、 虽 然 有 课 件的展 示，但 重点内 容还是 需要在 板书上 体现， 板书设 计上需 要再思 考。 7.认识到科技的发展能促使人们更好 地利用 自然资 源和自 然规律 。
【思路点拨】 根据已知的解集和有关一元二次 不等式的解集结论逆向推出a，b，c满足的关系， 进而求解另一不等式．
参考答案：
(1){x| 1x2}
(2){x|3x1或x2}
2
3
(3)
(4) R
2【解】 ∵ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|－3＜x＜ 4}， ∴a＜0 且－3 和 4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，
x1或x2}.
2
【2】 例 解不4等 x24x式 10.
解 ： 0， 方4 程 x24x10
的解 x1 是 x2 12 .
原不等式的解集是 x x12 .
【3】 例 解不等 x22x式 30.
解：整理，得 x22x30
0，方x2程 2x30无实数解
不等 x2 式 2x30的解集 . 是
原不等式的解集是 .
2.确定对应方程 ax2bxc0的实
数根；
3.根据对应函数 yax2bxc的草
图得出不等式的解集。
知识应用与解题研究
【例1】解不等式2x2－3x－2>0
解：因为∆>0，方程2x2－3x－2＝0 的解是
b2 4ac 32 4 2 (2)
x1
(1x, 2
1)(x2)
2x2 2
25 0
所以不等式的解集是{x|
学习目标：
学习目标: 1、熟练掌握一元二次不等式的解 法． 2、理解一元二次不等式、一元二次 方程 及二次函数之间的关系．
3、培养学生数形结合的数学思想。
重点难点:
一元二次不等式、一元二次方程 及 二次函数之间的关系．
一次函数
一元一次方程
一元一次不等式
它们之 间有怎 样的联 系？
－3＋4＝－ba，
由 根 与 系 数 的 关 系 得 －3×4＝ac，
即
b＝－a， c＝－12a， ∴不等式 bx2＋2ax－c－3b＜0
可化为－ax2＋2ax＋15a＜0，即 x2－2x－15＜0，
故所求的不等式的解集为{x|－3＜x＜5}．
课堂小结
解一元二次不等式的“四部曲”： (1)把二次项的系数化为正数 (2)计算判别式Δ (3)解对应的一元二次方程 (4)根据一元二次方程的根，结合图像 (或口诀)，写出不等式的解集。概括 为：一化正→二算Δ→三求根→四写 解集
a
a
总结：要解一元一次不等 式，可以先画出一次函数 的图像，再解一元一次方 程，结合图像可得相应的 一元一次不等式的解集。
思考：
类似地，我们能不能将一元 二次不等式的求解与二次函 数以及一元二次方程联系起 来找到其求解方法呢？
试一试：解不等式 x2－x－6>0
（1）作出y=x2－x－6的图像
（2）写出x2－x－6=0的解
（3）根据图像写出
x2－x－6>0的解集
y
{x|x3或 x-2 }
●
●
－2 o 3 x
小结：我们通过二次函数y＝x2 －x－6的图像不仅求得了的x2－ x－6>0解集，还可以求得x2－x －6<0解集.可见利用二次函数的
图像来解一元二次不等式是个 有效的方法.
下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
即m －n 的值是2
演练反馈
1．解下列不等式： （1）3x2－7x+2<0 （2）－6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0 p80练习1 2 习题A1 B1
2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3 ＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的 解集．
首先讨论a>0的情形.请思考下列问题：
（1）如果相应的一元二次方程分别有两 个实根、唯一实根、无实根的话，其相 应的二次函数的图像与轴的位置关系如 何？
（2）请观察表中的二次函数的图像，并 写出相应的一元二次不等式的解集.
y
y
y
o ●x1
● x2 x
o●
x
x1,2
b 2a
Biblioteka Baidux1
x2
b 2a
{x | x x1 { x | x R ,
或x
x2}
x
b} 2a
{ x | x1 x x2}
o
x
R
这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是抓 住相应的二次函数的图像。
记忆口诀：
大于0取两边，小于0取中间.
求一元二次不等式解集的步骤
1.将一元二次不等式的二次项系数化 为正数的形式（若是负数，不等式 两边同时乘以-1）；
【例4】已知不等式x2 － mx+2n<0的
解集是{ x| － 1＜x＜2 }。 求m － n的值。
解：由题意可得－ 1和2是方程x2 － mx+2n=0的两个根，由根与系数的关 系可得m= － 1+2=1,
2 n= － 1 x 2= － 2，所以n= － 1 ，
所以m － n=1 － （ － 1 ）=2
（1）作出函数y=2x－7的图像 （2）解方程2x－7=0 （3）解不等式2x－7>0
y
7
2
o
x
x 7 2
{x | x 7} 2
思考：“三个一次”的联系
by
a
●o
y
b
a
x
o● x
xb a
{x | x b} a
xb a
{x | x b} a
{x | x b} {x | x b}
作业布置： 课本P80 A组1 2 3 4
B组1
1、在春节图片和视频中重温春节生活 的欢快 和喜悦 ，激发 学生对 传统节 日、民 俗文化 的热爱 之情。 2、在送祝福的实践活动中对为社会服 务的劳 动者表 达感谢 之情 3、了解春节的相关习俗，感受春节的 热闹气 氛。 4、知道春节期间有很多人还在辛勤工 作，学 习用自 己的方 式表达 对他人 劳动的 感谢之 情。 5、每年从农历腊月二十三日起到除夕 止，我 国民间 把这段 时间叫 做“迎 春日”， 也叫“ 扫尘日” 。每逢 春节来 临，家 家户户 都要打 扫环境 。 6、 虽 然 有 课 件的展 示，但 重点内 容还是 需要在 板书上 体现， 板书设 计上需 要再思 考。 7.认识到科技的发展能促使人们更好 地利用 自然资 源和自 然规律 。
【思路点拨】 根据已知的解集和有关一元二次 不等式的解集结论逆向推出a，b，c满足的关系， 进而求解另一不等式．
参考答案：
(1){x| 1x2}
(2){x|3x1或x2}
2
3
(3)
(4) R
2【解】 ∵ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|－3＜x＜ 4}， ∴a＜0 且－3 和 4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，
x1或x2}.
2
【2】 例 解不4等 x24x式 10.
解 ： 0， 方4 程 x24x10
的解 x1 是 x2 12 .
原不等式的解集是 x x12 .
【3】 例 解不等 x22x式 30.
解：整理，得 x22x30
0，方x2程 2x30无实数解
不等 x2 式 2x30的解集 . 是
原不等式的解集是 .
2.确定对应方程 ax2bxc0的实
数根；
3.根据对应函数 yax2bxc的草
图得出不等式的解集。
知识应用与解题研究
【例1】解不等式2x2－3x－2>0
解：因为∆>0，方程2x2－3x－2＝0 的解是
b2 4ac 32 4 2 (2)
x1
(1x, 2
1)(x2)
2x2 2
25 0
所以不等式的解集是{x|