函数零点存在性定理.

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函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，

例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．

(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

•函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点

②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．

例题1：

若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论：

（1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点；

（2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点；

（3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点；

（4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减．

其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．

答案

由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．（3）正确，

（1）不能确定，

（2）中零点可能为1，

（4）中单调性也不能确定．

故答案为：（3）

例题2：

已知函数有零点，则实数的取值范围是（）

答案：

例题3：

例题4：

函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）

A. a≥ 1/5;

B. a ≤ -1 ;

C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ;

D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1 答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得

∴（5a-1）（a+1）≥0

∴a≥1/5 或a≤-1

故选D

．

例题5：

若函数f(x)=x2+log2|x|-4的零点m∈(a，a+1)，a∈Z，则所有满足条件的a的和为（）。

答案：-1

例题6：

已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表：

那么，函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有

[] A．5个

B．4个

C．3个

D．2个