分部积分法求不定积分(口诀 例题)
不定积分分部积分公式
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
任务3.3 用分部积分法求不定积分
其中 pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
u Pn (x),dv sin axdx
Pn (x) cos axdx
u Pn (x),dv cos axdx
常见类型（二）
Pn (x) eaxcdx (a 0)
其中 pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
1
1 x
2
dx.
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 11 1 x2 dx.
1 x2 arctan x 1 x 1 arctan x C.
2
22
练习1
计算下列不定积分
(1) ln(2x 1)dx ln(2x 1) x xd ln(2x 1)
x x
ln(2x ln(2x
如 求积分
x cos xdx .
若令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sinLeabharlann xdxu, v 显然，
选择不当，积分更难进行.
例 1 求不定积分 x cos xdx. 解： x cos xdx
将被积表达式写成udv 形
xd sin x. 式，设u x，v sin x x sin x sin xdx. udv uv vdu.
u 和 dv 任意选取
连续两次使用分部积分法时，第二次 与第一次应将同类函数设为u 和 dv .
小结
1 t 2
t2 arctan t
t2 11 ( 1 t 2 )dt
t2 arctan t
(1 1 )dt 1 t2
不定积分的分部积分法
复习引入
（A)一.求下列不定积分：
1.sin xdx 2.sin5x cosxdx 3. xexdx
1 2
x
2
arc
2 tanx
1 2
x
2d
arc
tan
x
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 11 1 x2 dx
1 x2 arctanx 1 x 1 arctanx C
2
22
(B)练习1.求下列不定积分
x
c os x）
C（C1
2C)
(C)练习3：求不定积分 ex cosxdx
常用解题技巧
Ⅲ 与换元法相结合
(C) 例4. e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
(1) xexdx (2) x2 ln xdx
常用解题技巧
(Ⅰ)多次使用分部积分法则
(B)例2.求 x2 sin xdx
解： x2 sin xdx x2d(cosx)
x2 cosx cosxdx2 x2 cosx 2 x cosxdx
x2 cosx 2 xd sin x x2 cosx 2x sin x 2 sin xdx
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。
一、口诀“反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。
将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。
（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对)反*幂->反(幂)对*幂->对(幂)二、相关知识（一）不定积分的公式1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-13、∫1/x dx = ln|x| + C4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠15、∫e^x dx = e^x + C6、∫cosx dx = sinx + C7、∫sinx dx = - cosx + C8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C（二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
不定积分的分部积分法
例4 求不定积分 x arctan xdx.
解
x arctan
x dx
arctan
x
d(
x2 2
)
x2 arctan x 2
x2 2
1
1 x2
dx
x2 arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)
dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C.
2
2
例5 求不定积分 arcsin xdx.
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C.
xe x
(2) (1 x)2 dx.
解
(1
xe x x
)2
dx
xe xd( 1 ) 1 x
xe x 1 d( xe x ) 1 x 1 x
xe x e xdx 1 x
xe x e x C e x C
n 2
I n1
,(n N * ,n 1),
而
I1 x ln xdx
ln
x
d(
x2 2
)
x2
ln x 2
x2 d(ln x)
2
x2 ln x 2
x dx 2
x2
x2
ln x C
2
2
所以对任意确定的n 1 ,由递推公式都可求得In .
例10
求不定积分
e
x
(
1 x
ln
x
)dx
1 x
1 x
(3)
(
x
1
1)e
x
1 x
dx
.
x
解
原式
(x
1
不定积分公式口诀
不定积分公式口诀摘要：一、引言二、不定积分的概念与基本公式1.不定积分的定义2.基本积分公式三、常用初等函数的积分公式1.幂函数的积分公式2.三角函数的积分公式3.指数函数与对数函数的积分公式4.反三角函数的积分公式5.其他常见函数的积分公式四、记忆口诀与技巧1.口诀一：奇偶函数积分规律2.口诀二：高阶导数求积分3.口诀三：分部积分法五、总结正文：一、引言在微积分学习中，不定积分是重要的基础知识之一。
掌握好不定积分的方法和技巧，对于后续学习定积分、微分方程等课程具有重要意义。
本文将为大家介绍一些常用的不定积分公式，并通过口诀形式帮助大家记忆。
二、不定积分的概念与基本公式1.不定积分的定义：设函数f(x) 在区间[a, b] 上有界，F(x) 是f(x) 在[a, b] 上的一个原函数，则称F(x) 在[a, b] 上关于x 的不定积分。
通常用∫(a~b)f(x)dx 表示。
2.基本积分公式：对于一些基本的初等函数，我们可以直接查表或记忆其不定积分公式。
例如：∫(x^n)dx = x^(n+1)/(n+1)、∫(sinx)dx = -cosx +C、∫(ex)dx = ex + C 等。
三、常用初等函数的积分公式1.幂函数的积分公式：对于幂函数f(x) = x^n，其不定积分为F(x) =x^(n+1)/(n+1) + C。
2.三角函数的积分公式：对于正弦函数f(x) = sinx，其不定积分为F(x) = -cosx + C；对于余弦函数f(x) = cosx，其不定积分为F(x) = sinx + C。
3.指数函数与对数函数的积分公式：对于指数函数f(x) = ex，其不定积分为F(x) = ex + C；对于自然对数函数f(x) = lnx，其不定积分为F(x) = xlnx - ln(x) + C。
4.反三角函数的积分公式：对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，其不定积分为F(x) = -√(1-x^2) + C；对于反余弦函数f(x) = arccos(x)，其不定积分为F(x) = √(1-x^2) + C。
不定积分例题(含过程及解析)
例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。
（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。
例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。
其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。
不定积分分部积分法例题及解析
不定积分分部积分法例题及解析说到不定积分，真是个让人又爱又恨的话题。
就像我们每天都要喝水，但有时候喝多了也会觉得腻。
今天咱们就来聊聊分部积分法，这可是解决不定积分的一把好手。
别担心，不会把你淹没在公式里，我会让它变得简单又有趣。
分部积分法就像一个老朋友，帮你把复杂的事情变得简单。
想象一下，你在吃一个超大汉堡。
最开始，汉堡看起来巨无霸，一口咬下去可能觉得咽不下去。
但是，如果把它分成两半，慢慢享用，突然就变得简单了。
这就是分部积分法的魅力。
公式长得像个数学怪兽，但其实它的样子是这样的：(int u , dv = uv int v , du)。
听起来是不是有点晦涩？别担心，咱们一起来拆解它。
选取 (u) 和 (dv) 是关键。
就像选汉堡的配料，你得挑你最喜欢的。
选择 (u) 的时候，通常选那些容易微分的，比如多项式；而 (dv) 通常是剩下的部分，容易积分的。
这个选择就像是搭配衣服，有些组合看起来很美，有些就像灾难现场。
对了，选择好之后，要记得微分 (u)，积分 (dv)。
没错，这就是我们要的材料。
举个简单的例子。
想象一下我们要计算 (int x e^x , dx)。
这里的 (u) 可以选 (x)，而(dv) 自然就是 (e^x , dx)。
所以，微分 (u) 得到 (du = dx)，积分 (dv) 得到 (v = e^x)。
把这些放回公式里，咱们就能得出结论。
这样一来，整个积分问题瞬间变得可口多了。
把 (u) 和 (v) 带回公式，得到的就是 (x e^x int e^x , dx)。
看到没，原本复杂的事情，现在变得一目了然。
简单积分就行了，结果是 (x e^x e^x + C)。
听起来简单吗？其实也就是那么回事儿。
分部积分法不是万能钥匙，有时候也会碰到难题。
这就像考试时遇到让人抓狂的题目，你可能要多花些时间去琢磨。
这时候，不妨再试一次，或者换个角度思考。
数学的魅力就在于它的灵活性，你总能找到出路。
分部积分法顺序口诀
1.有关不定积分用分部积分法做不定积分,有个口诀叫反对幂指三,这个口诀是指的是遇到不定积分，用分部时，按照反对幂指三的顺序来处理，就是类似与加减乘除中，如果同时出现，就先乘除后加减，被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
2.所谓的“反对幂指三”：反三角函数,对数函数,幂函数,指数函数,三角函数.说明白点就是这五种函数都可以在分部积分法中当做是v`（x）dx中的v`(x).因为将它们五种函数放到d中很容易,一般ln, log, e, 和tan, sec, cos, sin，cot, cosec的单数幂的时候优先考虑分部
3.被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
不定积分分部积分法
dx x2 a2
10
3.1 不定积分的换元积分法
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln x2 a2 x
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x2 a2 x C1
x2 a2 dx x
2 类似地可得：
x2 a2 a2 ln 2
x2 a2 x C.
解： ln xdx x ln x xd(ln x) x ln x dx
x ln x x C.
（2） arcsin xdx ；
解： arcsin xdx x arcsin x xd(arcsin x)
1 d(1 x2 )
x arcsin x 2 1 x2 x arcsin x 1 x2 C
x2 cos x 2 x cos xdx ——微出来； x2 cos x 2 xd(sin x)
x2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
x2 cos x 2x sin x 2cos x C. ——算积分。
此例的特点在于需要连续用两次分部 积分公式，关键
在于降幂。
。
9
3.1 不定积分的换元积分法
例 7．求 x2 a2 dx (a 0) 。
解 : x2 a2 dx x x2 a2 xd( x2 a2 )
x x2 a2
x2 dx
x2 a2
x
x2 a2
x2 a2 a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 xnaxdx, xn sin xdx, xn arctan xdx, ex cos xdx 等。
分部积分法不定积分例题
分部积分法不定积分例题分部积分法不定积分例题是数学中非常常见的一类问题，它由一个或多个变量表示的函数在一定范围内变化，从而得到一个或多个函数的定积分。
它要求求解这些变量的变化，以达到某一目的的解法。
本文将以一个具体的例子来讲解分部积分法不定积分的求解过程，以期带领读者对不定积分的概念有更深入的了解。
首先，我们来看一个例子：求$ displaystyleint_{0}^{2}frac{1}{1+x}dx$。
为了求解这个不定积分，我们不妨使用分部积分法，首先它要求我们把积分区间[0,2]分解为n个小积分区间，这里n不定，由用户决定。
例如，如果我们指定n = 4，则我们可以把[0,2]分解成[0,1/2],[1/2,1],[1,3/2],[3/2,2]四个小积分区间。
每个小积分区间的积分值可以用某一点的函数值乘以该小积分区间的宽度来近似表示，这里我们取每个小积分区间的中点作为该小积分区间的函数值。
因此，对于上述例子，我们可以将其分解为：$I_1=frac{1}{1+1/2} timesfrac{1}{2}=frac{1}{3}$，$I_2=frac{1}{1+1}timesfrac{1}{2}=frac{1}{2}$,$I_3=frac{1}{1+3/2}times frac{1}{2} = frac{1}{4}$,$I_4=frac{1}{1+2}timesfrac{1}{2}=frac{1}{3}$。
有了所有的$I_i$ ，最后的结果可以表示为：$ displaystyle int_{0}^{2}frac{1}{1+x}dx approxI_1+I_2+I_3+I_4=frac{2}{3}+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{3} =frac{7}{6}$。
从上面的例子可以看出，分部积分法不定积分求解过程具有较高的效率，只要指定n，就可以得到准确的答案。
当n变大时，小积分区间越来越小，近似值越来越接近正确的答案，这是分部积分法不定积分的优点。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
求不定积分的几种基本方法
x
dx x2
1
1 dt arcsin t C arcsin 1 C.
1 t2
x
综合起来，得
x
dx arcsin 1 C.
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
解 为使被积函数有理化．利用三角公式
令 x a sin t,t ( , ), 则它是
22
sin2 t cos2 t 1
不定积分分部积分法
= x sin x + cos x + C
思考: 思考 如何求 提示: 提示 令 u = x , v′ = sin x, 则
2
原式
机动
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解题技巧: 解题技巧 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 u 后者为 v′.
反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
即： ′的选取按 “三指幂对反” 的排列顺序选取 三指幂对反” v
机动
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例2. 求 ∫ x ln x dx. 解: 令 u = ln x , v′ = x 1 1 2 u′ = , v = x 则 x 2 1 2 1 原式 = x ln x − ∫ xdx 2 2 1 2 1 2 = x ln x − x + C 2 4
原式 = ∫ e3u u4 eu d u = ∫ u4e4u d u ⋅
u4
e
4u
+
4u3
1 e4u 4
−
12u2
1 e4u 42
24u +
1 e4u 43
−
24
0 + −∫
1 e4u 45
1 e4u 44
1 4u 4 3 3 2 3 3 原式 = e ( u − u + u − u + ) + C 4 8 32 4 1 4 4 3 2 3 3 3 = x ( ln x − ln x + ln x − ln x + ) + C 4 4 8 32
1.
第4节分部积分法
1 [secx
2
tan
x
ln
|
secx
tan
x
|]
C
.
7
训练：求下列不定积分
(1)
x cos x dx 2
(2)
ln (1
x x)2
dx
解
(1)
x cos
x 2
dx
2
x
d sin
x 2
2x sin
x 2
2
sin
x 2
dx
2x sin x 4cos x C .
2
2
(2)
ln x
(1 x)2
dx
ln x d 1 ln x 1 x 1 x
1 dx x(1 x)
ln x ( 1 1 )dx ln x ln x C .
1 x x 1 x
1 x 1 x
8
例10
x
x2 a2 dx
x2 a2
x2 dx
x2 a2
1 dx
x2 a2 ln( x x2 a2 ) C
ex cos dx ex (sin x cos x) C 2
5
例7
ln
x dx
x
ln
x
x
1 x
dx
x
ln
x
x
C
.
例8
arcsinx dx x arcsin x
x dx
1 x2
x arcsinx 1 x2 C .
练习：
arctan
x dx
x arctan x
x 1 x2
dx
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C . 2
分部积分法不定积分例题
分部积分法不定积分例题不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积分来解决。
所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。
本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。
一、什么是分部积分分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思想。
二、分部积分法不定积分实例例1：求下列不定积分：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$解：首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和[2.5,3]两段，则可得：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5} ^{3}3x^2+2x+1dx$$设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.125$$$$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1 49.0625$$则最后，可得：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$ 例2：求下列不定积分：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$解：同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和[1,4]两段，则可得：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{ 1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得：$$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$ $$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$ 则最后，可得：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$三、实例总结通过上述两个实例，我们更好的理解了分部积分法的手段，也更加清楚了它的计算流程，即将一个复杂的不定积分，利用区间划分的方法分割成小的不定积分，最终求得总的不定积分的值。
不定积分的分部积分法
1) v 不比 v 复杂 , 2) u 比 u 更简单 .
例2 求不定积分 若
x cos xdx
x cos xdx . x2 cos xd( ) 2
x2 x2 cos x sin xdx 2 2
显然 , u 和 dv 选择不当，积分更难进行. 解
x cos x dx x d(sin x ) x sin x sin x dx
sec x tan x ln sec x tan x sec 3 x dx
1 sec x dx (sec x tan x ln sec x tan x ) C 2
3
例10 求不定积分 sin(ln x )dx . 解
sin(ln x )dx
2
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 解
x arctan xdx .
第三节 不定积分的分部积分法
一、基本内容
x xe dx ? 问题
分部积分口诀
分部积分口诀
分部积分是求解积分的一种方法，它可以将一个函数分解成两个函数的乘积形式，从而使得原来的积分可以转化为更容易求解的形式。
下面是分部积分的口诀：
第一项积第二，第二项积导一，
再减一积第一，积完别忘归，
对于两项积分，首项u，次项dv，
积完别忘归，积得少少离析。
以上是分部积分的基本口诀，其中第一行是对一般情况的概括，第二行是对两项积分的概括。
这些口诀可以帮助我们更好地理解分部积分的方法和流程，并减少出错的概率。
当然，要真正掌握分部积分，还需要多做一些练习，熟练掌握不同情况下的具体操作方法。
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用分部积分法求不定积分
重点：
① ⎰⎰-=vdu uv udv
② 对反幂三指
用分部积分法计算的不定积分：
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
其它两种计算不定积分的方法是凑微分法和第二类换元法。
通常可适用于变形后为“udv ”的不定积分，根据公式(⎰-=vdu uv udv )很容易求解。
证明：由
或
对上式两边求不定积分，即得分部积分公式，也将其简写为
如果将
和
用微分形式写出，则亦可得出
口诀：
“对反幂三指”，分别对应对数函数、反函数、幂函数、三角函数、指数函数。
越往前则可认定在不定积分中充当着u ，越往后则为v 。
例题及答案：
∫（2x+1)e x dx ∫(x2+x)e x dx
∫(2x+1)cosxdx ∫x∙cos2xdx
(2x+1)e x-2e x+c
(x2-x+1)e x+c (2x+1)sinx+2cosx+c 2
1xsin2x+
4
1cos2x+c。