山东省2020届高三12月联考数学试卷
2020届高三数学(理)12月联考试题(含解析)
高三数学12月联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数 5 30 40 50 45 20 10若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15 30 45 60P所以，需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时， 0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。
高三数学12月联考答案页
2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。
2020年12月高三质检数学试题及答案
2020年12月高三质检数学试题及答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆⊆，则集合A 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8解析：选C 由题可得，集合A 的可能性有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,所以有4个.故选C.2.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ） A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+= D.2380x y -+=解析：选A 设所求直线方程为:320l x y n ++=过点(1,2)A -，所以340n -++=，解得1n =-，所以:3210l x y +-=.故选A.3.下列各函数中，与函数y x =是同一个函数的是（ ）A.2y =B.y =C.yD.0y x x =⋅解析：选 C 通过化简后可知，选项A中2,(0)y x x ==≥，选项B中,(0)y x x ==≥，选项C中y x ==，选项D 中0,(0)y x x x x =⋅=≠.故选C.4.已知tan(3)2x π+=-，则sin cos 2sin 3cos x xx x-+的值为（ ）A.4B.3C.3-D.4-解析：选B 由tan(3)2x π+=-可得tan 2x =-，所以sin cos tan 12sin 3cos 2tan 3x x x x x x --=++2132(2)3--==⨯-+.故选B. 5.下列各式化简错误的是（ ） A.21153151a a a-= B.269463()a b a b ---=C.122111333442()()()x y x y x y y --= D.113324115324153525a b cac a b c---=-解析：选D 由题得，2112110531553151a a aaa --++===，所以成立；2226()9()69333()a b ab-⨯--⨯--=46a b -=，所以成立；12212211111101333333442442()()()x y x y x y xyx y y--++-+-===，所以成立；113111135324()2332244115324151533255525a b ca b c ac ac a b c---------=-=-≠-，所以不成立.故选D.6.若实数,x y 满足约束条件3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y z x =的取值范围是（ ）A.14[,]23B.1[,2]2C.4[,2]3D.3[,2]4解析：选B 由题可得，该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域，其三个顶点坐标分别为(1,2),(3,4),(2,1)，代入目标函数，求得函数值分别为412,,32，所以该目标函数的取值范围是1[,2]2.故选B.7.已知直线,m n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面（ ）A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数多个D.不存在 解析：选B 若两条异面直线互相垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面存在，且只有一个；若两条异面直线不垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面不存在.所以满足的条件的平面至多有一个.故选B.8.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：选A 由21x -<解得13x <<，由220x x +->解得2x <-或1x >.因为(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的子集，所以“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件.故选A.9..若函数()f x 是偶函数，当10x -≤<时，2()41f x x x =-+，则当01x <≤时，函数()f x 的解析式为（ ）A.241x x ++B.241x x -++C.241x x --D.241x x ---解析：选 A 因为函数是偶函数，所以满足()()f x f x -=.因为01x <≤，所以10x -≤<，所以22()()4()141()f x x x x x f x -=---+=++=.所以当01x <≤，2()41f x x x =++.故选A.10.首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =-解析：选D 由题可得，21()2333()2313nn n S -==-⋅-，12()3n n a -=，所以32n n S a =-.故选D.11.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ） A.9π B.10π C.11π D.12π解析：选D 由题可得，该几何体是一个圆柱与球的组合体，所以该几何体的表面积为422312S ππππ=++⨯=.故选D.12.若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为（ ） A.6πB.3πC.32π D.65π 解析：选B 因为2a b a b a +=-=，所以a b ⊥且3b a =，所以()cos a b a a b aθ+⋅=+22122aa==，所以夹角为3π.故选B.13.如图所示，已知正四棱锥S ABCD -侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ ）A.90B.60C.45D.30解析：选B 连接,AC BD 交于点O ，连接EO ，则//EO SC .所以OEB ∠为所求角.OEB ∆是直角三角形，26,2OE OB ==，所以tan 3OBOEB OE∠==，所以60OEB ∠=.故选B.俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 32 214.若函数()y g x =的定义域为[3,5]-，则(21)y g x =+的定义域为（ ） A.[5,11]- B.[3,5]- C.[2,2]- D.[2,3]- 解析：选C 由题可得，3215x -≤+≤，解得22x -≤≤，所以函数的定义域为[2,2]-.故选C.15.已知双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ） A.2 B.3解析：选A 由双曲线的定义式可知：122AF AF a -=，因为1253AF AF =，所以可得：125,3AF a AF a ==，因为122F F c =，由2AF x ⊥轴可知12AF F ∆是以21AF F ∠为直角的直角三角形.故有2224925c c a +=，解得2224c e a==，即2e =.故选A.16.函数2log 1y x =-的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：选D 由题可得，令2log 10x -=，解得2log 1x =±，当2log 1x =时，解得2x =，即2x =±；当2log 1x =-，解得12x =，即12x =±.所以函数的零点有4个.故选D.17.若,x y≤恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A.2B.1解析：选 C≤恒成立，即a ≥恒成立，即max a ≥恒成立.因为21112==+≤+=，≤a ≥所以实数a，故选C.18.如图，在长方形ABCD 中，3,1AB BC ==，E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C 时，则K 所形成的轨迹的长度为（ ）A.2π B.3πC.32D.233解析：选B 由题可得，'D K AE ⊥，所以K 的轨迹是以'AD 为直径的一段圆弧'D K .设'AD 的中点为O ，因为长方形'ABCD 中，3AB =，1BC =，所以'3D AC π∠=，所以'23D OK π∠=，所以K 所形成的轨迹的长度为3π.故选B .非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)A ，则p = ，其准线方程为 . 解析：2;1x =- 由题可得，24p =，解得2p =.所以准线方程为12px =-=-. 20.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当nS 取最大值时，n 的值为 .解析：9 因为等差数列{}n a 的公差d 满足21179d -<<-，所以{}n a 是递减数列.又因为11a =，0d <，所以令1(1)0n a a n d =+->，即111d a n d d-<=-，因为21179d -<<-，所以19.5110n d <=-<，所以9n ≤.即9n ≤时，0n a >，当10n ≥时，0n a <.所以当9n =时，n S 取到最大值.21.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积4222c b a S -+=，则角C =____________．解析：4π 因为2221sin 42a b c S ab C+-==，所以2222sin 2cos a b c ab C ab C +-==，所以sin cos C C =，即tan 1C =，解得4C π=.22.设,0a b >，且满足21a b +=.若不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，则实数t 的取值范围是 .解析：94t ≤ 因为对于任意的正数,0a b >，不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，即不等式可转化为1211t a b +≥++恒成立.因为121211()111142a b a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭51159142(1)2(1)44b a a b ++=++≥+=++，当且仅当112(1)2(1)b a a b ++=++，即13a b ==时，取到最小值.因为1211t a b +≥++恒成立，所以有94t ≤. 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()22C f =，且2c ab =，试判断ABC ∆的形状.解：(1)2()2cos cos 1f x x x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+所以22T ππ==. 所以函数的最小正周期为π. (2)()2sin()226C f C π=+=，因为02C π<<，所以解得3C π=.又因为222222cos c ab a b ab C a b ab ==+-=+-， 所以2()0a b -=，即a b =所以ABC ∆是正三角形.24.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点(2,3)P ，且它的离心率21=e . (1)求椭圆的标准方程；(2)与圆1)1(22=++y x 相切的直线:l y kx t =+交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得：22222491,1,2a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得4,23,2a b c ===所以椭圆的标准方程为：1121622=+y x . (2)因为直线:l y kx t =+与圆22(1)1x y ++=相切，所以211t kd k-==+，解得212(0)t k t t -=≠. 把y kx t =+代入1121622=+y x 并整理得222(34)8(448)0k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)M x y N x y ，则有122834ktx x k+=-+， 121226()234ty y k x x t k +=++=+，因为1212(,)OC x x y y λ=++所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上，所以1)43(3)43(4222222222=+++λλk t k t k ， 解得22222211134()()1t k t tλ==+++ 因为02>t ，所以 11)1()1(222>++tt 所以102<<λ所以λ的取值范围为)1,0()0,1( -. 25.设函数()(,)f x x x a b a b R =-+∈. (1)当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；(2)若不存在正数a ，使得不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数b 的取值范围.解：(1)当0a >时，22,,(),x ax b x a f x x x a b x ax b x a⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩当x a ≥时，函数2()f x x ax b =-+在[,)a +∞上单调递增；当x a ≤时，函数2()f x x ax b =-++在(,]2a -∞上单调递增，在[,)2a a 上单调递减. 所以函数()y f x =的单调递增区间为(,]2a -∞和[,)a +∞，单调递减区间为[,)2a a . (2)由题可得，0b ≥时显然成立； 当0b <时，()0f x <即b x a x -<-，即b b x a x x<-<-， 所以有,b x a xb x a x ⎧+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩.所以不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立即为max min ,b x a x b x a x ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩由maxb x a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可得1b a +<， 由minb x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭可得当10b -<<时，a >； 当1b <-时，1b a ->.所以当1b <-时，11b a b +<<-，符合题意的正数a 总是存在的. 当10b -<<时，当1b +≥时符合题意的正数a 不存在，此时解得30b -+≤<.综上可得，3b ≥-+。
山东省日照市2020届高三数学12月月考试题 理
日照市2020学年度高三上学期模块考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷上规定的位置。
2.第I 卷共2页，答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，在试卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}等于则N M ，R x x y y N R x y y M x I ∈==∈==,|,,2|2（A ）()∞+，0 （B ）[)∞+，0 （C ）{}42， （D ）()(){}16442，，，（2）设函数x x x f 6)(2-=，则)(x f 在0=x 处的切线斜率为（A ）0 （B ）-1 （C ）3 （D ）-6（3）一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是 （A ）3 （B ）π34 （C ）8 （D ）24（4）下列命题中的真命题是（A ）23cos sin ,=+∈∃x x R x 使得 （B ）()1,,0+>+∞∈∀x e x x （C ）()x x x 32,0,<∞-∈∃（D ）()x x x cos sin ,,0>∈∀π （5）如图所示，已知,,,,2c OC b OB a OA BC AB ====则下列等式中成立的是（A ）a b c 2123-=（B ）a b c -=2 （C ）b a c -=2（D ）b a c 2123-=（6）函数)20)(sin()(πϕϕω<>+=，A x A x f 其中的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将)(x f 的图象（A ）向右平移6π个长度单位（B ）向右平移3π个长度单位 （C ）向左平移6π个长度单位（D ）向左平移3π个长度单位 （7）下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）①③（8）由直线x y y x x cos 0,3,3===-=与曲线ππ所围成的封闭图形的面积为 （A ）21 （B ）1（C ）23 （D ）3（9）若函数b a x f x +=)(的图象如右图，其中a ，b 为常数，则函数)(1)(b x og x g a +=的大致图象是（10）已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（A ）βαβα//,,则若⊥⊥m m （B ）αα⊥⊥n m n m 则若,,//（C ）n m n m //,,//则若=βααI（D ）βαβα⊥⊂⊥则若,,m m （11）如果不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥01,2,0y kx x y x 表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（A ）5121或 （B ）3121或 （C ）4151或 （D ）2141或 （12）已知0x 是函数nx x x f 111)(+-=的一个零点，若),(),,1(0201+∞∈∈x x x x ，则 （A ）0)(,0)(21<<x f x f（B ）0)(,0)(21>>x f x f （C ）0)(,0)(21<>x f x f（D ）0)(,0)(21><x f x f保密★启用前 试卷类型：A2020学年度高三上学期模块考试理科数学 2020.12注意事项：第II 卷共7页，考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在指定答题区域内作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。
2020届高三12月联考理科数学参考答案
数学参考答案（理科）2.【解析】集合(2,1)B =-，所以{2,1,2}U A B =- （） ，有3个元素。
3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于0，反过来不成立。
4.【解析】3927=3.14161250，355=3.141592113 ，22=3.1428577，故选B。
5.【解析】(1)1((1)1)f f +=--+，所以(1)3f -=-。
6.【解析】11=1n n k a n kn k++=+--，由k 是正数及反比例函数的单调性知50k -<且60k ->，故选D。
7.【解析】1211109895040sum =⨯⨯⨯⨯=，判断框在12,11,10,9,8i =都满足条件，7i =不满足，故选B8.【解析】(1()322f f ππ=-=-，，故选A。
9.【解析】球心是AC 的中点，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C10.【解析】设1910a b x x a b+=⇒+=-，于是199(10)()(101016a bx x a b a b b a -=++=++≥+=所以210+16028x x x -≤⇒≤≤，所以a b +的最小值是2（当13,22a b ==时取得）11.【解析】设点001(,)P x x ，切线l 方程为20012y x x x =-+，所以002(2,0),(0,)A x B x ，点001(,)P x x 是AB 中点，S 2AOB = ,命题（1）（2）都正确。
过原点作倾斜角等于15 和75 的2条射线与曲线的交点为,M N ,由对称性知OMN 是等边三角形,命题（3）正确。
过原点作2条夹角等于45 的射线与曲线的交点为,M N ,当直线OM 的倾斜角从90 减少到45 的过程中，OM ON 的值从+∞变化到0,在这个过程中必然存在OM ON 的时刻,此时OMN 是等腰直角三角形,命题（4）正确.12.【解析】解1：222||2132a b a b a b a b -=+-=-，由题设=()1||||1=||1a b a b c a b c a b +-≤+-+- ，所以22221||2132a b a b a b a b a b +≤+=++=+（），得212a b ≤ （），所以a b -≤≤ ，因此，||1a b -≤ ，易见等号可以取得，故选D。
山东2024届高三12月全省大联考数学试题(解析版)
山东中学联盟2021级高三12月全省大联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.）1. 设集合{}14A x x =<<，2{|ln(23)}B x yx x ==−−，则A B = （ ） A. ()1,4 B. ()3,4C. ()1,3D. ()1,2【答案】B 【解析】【分析】集合2{|ln(23)}B x y x x ==−−表示的是函数的定义域，求出定义域后和集合A 求交集即可. 【详解】集合2{|ln(23)}B x y x x ==−−中函数成立，只需2230x x −−>， 得一元二次不等式的解集为(,1)(3,)B =−∞−+∞ ，所以(3,4)A B = . 故选：B. 2. 复数2i2iz −=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.【详解】因22i (2i)34i 2i (2i)(2-i)5z −−−===++， 故34i5z +=第一象限. 故选：A ．3. 若点,,A B C 不共线，则“BA 与BC的夹角为钝角”是“BA BC AC +< ”的（ ）在A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先将不等式BA BC AC +< 转化为BA BC BA BC +<− ，平方后得到0BA BC ⋅<后，排除掉BA 与BC的方向相反即可.【详解】不等式BA BC AC +<等价于BA BC BA BC +<− ，两边平方可得：40BA BC ⋅< ，即0BA BC ⋅<，其中0BA BC ⋅< 当且仅当BA 与BC 的夹角为钝角或BA 与BC的方向相反， 由于点,,A B C 不共线，所以0BA BC ⋅< 当且仅当BA 与BC的夹角为钝角，故选：B .4. 地震级别常用里氏级M 表示，它与地震强度E 满足的关系为lg M E =.如中国汶川2008年地震是8.0级，中国玉树2010年地震是7.1级，则2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的（ ）倍（参考数值lg20.3≈） A. 3 B. 6C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】利用地震级别M 与地震强度E 之间的关系式，代入由对数运算法则计算即可求得128E E ≈. 【详解】设中国汶川2008年地震强度为1E ，中国玉树2010年地震强度为2E ； 即可得128.0lg 7.1lg E E == ，两式相减可得11228.07.1lg lg lg E E E E −−，可得12lg0.9E E =，所以0.93lg 2lg8121010108E E =≈==， 因此2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的8倍. 故选：C5. 调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为()sin2e 1x xf x =−，它的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数在()4,0−内的零点个数和奇偶性判断.【详解】解：令()0f x =，则sin 20x =，2π,Z x k k =∈，解得π,Z 2k x k ∈， 则在()4,0−内有π,π2−−两个零点，故排除选项A ，D ， 又()f x 不具有奇偶性，则图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除选项C ， 故选：B6. 已知()3cos 5βα−=，1tan tan 2αβ=，则()cos2αβ+=（ ） A. 225−B.2325C.225D. 2325−【答案】D 【解析】【分析】利用三角恒等变换求解即可.【详解】()3cos cos cos sin sin 5βαβαβα−=+=， sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==，2sin sin cos cos αβαβ=. 所以12sin sin ,cos cos 55αβαβ==. 所以()()()22cos22cos 12cos cos sin sin 1αβαβαβαβ+=+−=−−123212525=×−=−. 故选：D7. 已知双曲线2221(0)2x y b b −=>，抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M 到直线1:4380l x y −+=和2:3l x =−的距离之和的最小值为（ ） A.115B.145C.165D.215【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F 的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.【详解】双曲线2221(0)2x y b b−=>的渐近线0bx ±=，右焦点F ，=b =，因此抛物线的焦点为(2,0)F ，方程为28y x =，其准线为2x =−，由243+8=0=8x y y x− 消去x 并整理得：26160y y −+=，264160∆=−×<，即直线1l 与抛物线28y x =相离，过点F 作1FP l ⊥于点P ，交抛物线于点M ，过M 作2MQ l ⊥于点Q ，交直线2x =−于点N ，则有21||||||||||||||1||115MP MQMP MN NQ MP MF FP +=++=++=+==，在抛物线28y x =上任取点M ′，过M ′作1M P l ⊥′′于点P ′，作2M Q l ⊥′′于点Q ′，交准线于点N ′，连,M F FP ′′，如图，显然||||||||||||||1||||M P M Q M P M N N Q M P M F FP FP ′′′′′′′′′′′′′′+=++=++≥≥，当且仅当点M ′与点M 重合时取等号，所以抛物线上一动点M 到直线1:4380l x y −+=和2:3l x =−的距离之和的最小值为215. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.8. 已知函数()2e xf x =,()1g x x =+,对任意1R x ∈,存在()21,x ∈−+∞,使()()12f x g x =成立,则21x x −的最小值为（ ）A. 1ln22−B. 1C. 11ln222−+ D. 2ln2−+【答案】C 【解析】【分析】令()()120,f x g x m ==>将12,x x 用m 表示,从而可将21x x −构造为关于m 函数,再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】由题意,令()()120,f x g x m ==>则122e ,1,x m x m =+=所以121ln ,1,2x m x m ==− 故2111ln .2x x m m −=−−令()()11ln 0,2h m m m m =−−>则()11,2h m m =−′令()0,h m ′=得1,2m = 所以当10,2m∈时,()()0,h m h m ′<单调递减; 当1,2m ∞∈+时,()()0,h m h m ′>单调递增.的所以当12m =时,()h m 有最小值11ln222−+,即21x x −的最小值为11ln222−+.故选：C .【点睛】本题考查导数的综合应用,利用导数研究函数的单调性与最值,化归转化思想,属中档题.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知()1210,0a b a b+=>>，则下列结论正确的是（ ）A. ab 的最小值为8B. a b +的最小值为3+C.21a b +的最大值为2 D.2214a b +的最小值为12【答案】ABD 【解析】【分析】由121a b+=得2a b ab +≥A 判断；由“1”的代换结合基本不等式即可对B 判断；由21322a b b +=−<即可对C 判断；由22222221214214142a b a b ab a b a b +=++×≤+++即可对D 判断；【详解】对A ：由121a b+=，得2a b ab +≥8ab ≥，当且仅当2,4a b ==时取等号，故A 正确；对B ：()12233a b a b a b a b b a+=++=++≥+，当且仅当2b ==+时取等号，故B 正确； 对C ：由121a b +=，得121a b =−，所以2132a b b+=−，因为0b >，所以322b −<，故C 错误；对D ：22222221214214142a b a b ab a b a b +=++×≤+++，令2214,0t t a b =+>，得21t ≥，解得12t ≥，当且仅当12a b=，即2,4a b ==时取等号，故D 正确. 故选：ABD.10. 已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于5,012−对称B. 函数()f x 在1,14的值域为 −C. 函数()f x 在73,62单调递减D. 要得到函数()()cos g x A x ωϕ=+的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移14个单位 【答案】BCD 【解析】【分析】根据图象求解出()f x 的表达式，然后逐项判断即可求解. 【详解】由题中图可知2A =1113124=−=，得1T =，所以2π2πT ω==，所以()()2sin 2πf x x ϕ=+， 当112x =时，112sin 2π21212f ϕ =×+= ，即πsin 16ϕ+=，所以ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以函数()π2sin 2π3f x x=+. 对A ：55ππ2sin 2π2sin 2121232f−=−×+=−=−，故A 错误；对B ：当1,14x∈时，π5π7π2π,363x+∈ ，所以()f x ∈− ，故B 正确；对C ：当73,62x∈时，π8π10π2π,333x+∈ ，此时()f x 单调递减，故C 正确；对D ：将函数()π2sin 2π3f x x=+的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为 ()()1ππππ2sin 2π2sin 2π2cos 2π43323h x x x x g x=++=++=+=，故D 正确.故选：BCD.11. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60ADC ∠=°，将ACD 沿AC 翻折为三棱锥−P ABC ，点P 为翻折过程中点D 的位置，则下列结论正确的是（ ）A. 无论点P 在何位置，总有AC PD ⊥B. 点P 存在两个位置，使得1P ABC V −=成立C. 当PB =ADD. 当2PB =时，M 为PB 上一点，则AM CM +的最小值为 【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A ，设菱形ABCD 对角线的交点为O ，AC OP ⊥，AC OD ⊥，在旋转过程中一直成立，得AC ⊥平面OPD ，AC PD ⊥成立；对于选项B ，平面APC ⊥平面ADC 时，使得1P ABC V −=成立，不存在两个解；对于选项C ，当PB =易得平面APC ⊥平面ADC ，边AD 旋转所形成的曲面是“以A 为顶点，以OP 为半径的圆锥”的一部分，求解即可；对于选项D ，AM CM +取最小值时，由对称性，可以判断点M 为PB 中点，求解即可.【详解】选项A ，设菱形ABCD 对角线的交点为O ，如上图所示，无论点P 在何位置，总有AC OP ⊥，AC OD ⊥，因为AC OP ⊥，AC OD ⊥，OP ⊂平面OPD ，OD ⊂平面OPD ，OP OD O ∩=， 所以AC ⊥平面OPD ；又因为PD ⊂平面OPD ，且AC ⊥平面OPD ，所以AC PD ⊥成立，选项A 正确； 选项B ，点P 旋转到使得平面APC ⊥平面ADC 成立时，P ABC V −取得最大值，其中11||||||||136A P ABC CD V S OP AC OD OP −=⋅⋅=⋅⋅= ，使得1P ABC V −=成立，只有平面APC ⊥平面ADC 成立时的一个点，选项B 错误；选项C ，由于OP OD ==PB =OP OD ⊥，边AD 旋转所形成的曲面是“以A 为顶点，以OP 为半径的圆锥”的表面的14，其面积为112π242××，C 正确； 选项D ，当2PB =时，易得,PAB PCB 都为正三角形，AM CM +取最小值时，点M 为PB 中点，AM CM +的最小值为，D 不正确；故选：AC.12. 已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()()123f x g x ++−=，()()11f x g x −−−=，且()12g −=，()1g x −为偶函数，下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的周期为4B. ()32g =C.20241()4048k g k ==∑D.20241()4048k f k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】对A ：由于()1g x −为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()g x 图象关于=1x −对称； 所以()()()()()()21111g x g x g x g x −=−+−=−−−=−所以()()()()1213f x g x f x g x ++−=++−=①，而()()11f x g x −−−=②，将两式相加得：()()114f x f x ++−=， 则()()24f x f x ++=③，所以()()()()()()4224244f x f x f x f x f x +=++=−+=−−=， 所以4是()f x 一个周期，故A 正确； 对B 、C 、D ：由A 项知令1x =，由③得()()134f f +=，由①()()()21223f g f +−=+=， 得()21f =，由②得()()()01021f g f −−=−=，()03f =则()()403f f ==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()202412024840484k f k ==×=∑， 故D 正确；由①令=1x −，得()()()01313f g g +=+=，()10g =， 由()()123f x g x ++−=，()()11f x g x −−−=，得()()33f x g x +−=，()()11f x g x −−−= 两式相减得()()312g x g x −+−−=， 即()()312g x g x −+−=，且()g x 关于()2,1−对称，()21g −=， 所以()()22g x g x ++=④，所以()()()()()()4222222g x g x g x g x g x +=++=−+=−−=， 所以()g x 是周期为4的周期函数，所以()()312g g =−=，故B 正确；由④令2x =，得()()242g g +=，所以()()()()12344g g g g +++=，所以的()202412024420244k g k==×=∑，故C 错误； 故选：ABD.【点睛】关键点睛：分别求出()g x ，()f x 的奇偶性及周期，从而求解.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数()2log ,0sin ,0x x f x x x > = −≤ ，则π4f f−=______. 【答案】12−##0.5− 【解析】【分析】先求出π4f−f 即可求解.【详解】由题意得ππsin 44f−=−−，所以2π1log 42f f f−==−. 故答案为：12−. 14. 已知圆C 上的点()2,0A 关于直线360x y +−=的对称点仍然在这个圆上，且圆C 的圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程是___________. 【答案】22(6)16x y −+= 【解析】【分析】由题意可知直线360x y +−=过圆心，进而求圆心和半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知直线360x y +−=过圆心，且直线360x y +−=与x 轴的交点为(6,0)， 则(6,0)C ，可得4r CA ==，所以圆C 的标准方程是22(6)16x y −+=.故答案为：22(6)16x y −+=.15. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2，侧棱长为______.【解析】【分析】根据棱台和球的性质得外接球的球心O 落在直线12O O 上，根据勾股定理列式求出球的半径，即可求解.【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为1O ，下底面中心为2O ， 由棱台的性质可知，外接球的球心O 落在直线12O O 上，由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为则1O A =，2O B =，AB =所以12O O =设外接球的半径为R ，2OO h =，则1OO h =，则()(22211222OO O A R h R +=−+=，解得h =R =，所以该米斗的外接球的体积为34π3R =，. 16. 已知数列{}n a 满足132a =，()2*11n n n a a a n +=−+∈N ，数列1n a的前n 项和为nS，设x ∈R ，[]x 表示不大于x 的最大整数.则[]2023S =______.【答案】1 【解析】【分析】根据已知关系式可得()2110n n n a a a +−=−>，知数列{}n a 为递增数列；采用裂项相消法可求得1121n n S a +=−−，知20232024121S a =−−，由数列单调性可求得20242a >，由此可推导得到202312S <<，从而求得结果.【详解】因为()2111n nn n n a a a a a +−=−=−，则()11111111n n n n na a a a a +==−−−−， 即111111n n n a a a +=−−−， 可得121122311111111111111111−+=++⋅⋅⋅++=−+−+⋅⋅⋅+−−−−−−−nn n n n S a a a a a a a a a a 1111112111++=−=−−−−n n a a a ， 即20232024121S a =−−；又因为211n n n a a a +=−+，则()221211n n n n n a a a a a +−=−+=−，且132a =，则10n a −≠，可得10n n a a +−>，所以数列{}n a 为递增数列； 且1322a =<，22117124a a a =−+=<，2322371216a a a =−+=>， 即20242023432>>⋅⋅⋅>>>a a a a ，则20241011<<−a ，可得202411221<−<−a ，所以[]20231S =. 故答案为：1.【点睛】关键点睛：本题解题关键是能够将数列递推关系式进行变形，得到10n n a a +−>、111111n n n a a a +=−−−，从而确定2023S 的表达式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=−>的最小正周期为π.（1）求2π3f 的值； （2）在ABC 中内角，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a c =，b =，()12f B =，求c 的值.【答案】（1）1− （2【解析】【分析】（1）由三角恒等变换公式将()f x 化简成正弦型函数，再根据周期求ω，最后代入解析式求2π3f的值.（2）由()12f B =得3B π=，再根据余弦定理求c. 【小问1详解】()2cos cos f x x x xωωω=−111cos2sin 22262x x x πωωω−−=−−由函数()f x 的最小正周期为π，即22ππω=，得1ω=， ()1sin 262f x x π =−− ，213f π=−. 【小问2详解】 由()12f B =得，sin 216B π−=， 角B 为三角形ABC 的内角，3Bπ∴=.3a c =，b =，1cos 2B =，由余弦定理222cos 2a c b B ac+−=， 得12=，即227c =，c ∴.18. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 和为n S ，2310a a +=，10110S =，数列{}n b 的前n 项和为n T 满足321n n T b =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）把数列{}n a 和数列{}n b 中的相同项按从小到大的顺序组成新数列{}n c ，n M 是数列{}n c 的前n 项和，求n M .【答案】（1）2n a n =，()12n n b −=−（2）1443n n M +−=【解析】【分析】（1）根据等差数列定义即可求出2n a n =，再由321n n T b =+的关系式可得()12n n b −=−；（2）由（1）可知数列{}n c 是以4为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可得1443n n M +−=. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2312310a a a d +=+=，1011045110S a d =+= 解得2d =，12a =，可得()()112212n a a n d n n =+−=+−=.因为321n n T b =+① 所以当2n ≥时11321n n T b −−=+② ①－②可得，12n n b b −=− 当1n =时，11b =.所以数列{}n b 是以1为首项，2−为公比的等比数列. 所以()12n n b −=−即2n a n =，()12n n b −=−【小问2详解】由（1）可知，数列{}n a 和数列{}n b 的相同项即为数列{}n b 的所有大于等于3的奇数项，即是22，42，62，82，102，122，…，即224n nn c ==， 可知数列{}n c 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以()141444143n n nM +−−==−. 19. 设函数()e 1xf x ax =−−（1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程. （2）讨论函数()f x 在区间[]0,1上零点的个数. 【答案】（1）()e 11y x =−− （2）答案见解析 【解析】【分析】（1）先求得导函数，()1e 1f ′=−是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；（2）先对参数a 分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可. 【小问1详解】因为()e 1xf x x =−−，所以()e 1xf x ′=−，则()1e 1f ′=−，()1e 2f =−所以，切线方程为()()()e 2e 11y x −−=−− 即()e 11y x =−− 【小问2详解】由（1）知，()e xf x a ′=−.①当1a ≤时，()f x ′在区间()0,1上大于零，()f x 在区间[]0,1上单调递增，且()00f =，所以()f x 在区间[]0,1上有一个零点.②当e a ≥时，()f x ′在区间()0,1上小于零，()f x 在区间[]0,1上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间[]0,1上有一个零点.③当1e a <<时，()f x ′在区间()0,ln a 上小于零，()f x ′在区间()ln ,1a 上大于零， 所以()f x 在区间[]0,ln a 上单调递减，在(]ln ,1a 上单调递增， 而()1e 1f a =−−.当e 10a −−≥，即1e 1a <≤−时，()f x 在区间[]0,1上有两个零点. 当e 10a −−<，即e 1e a −<<时，()f x 在区间[]0,1上有一个零点. 综上可知，当1a ≤或e 1a >−时，()f x 在[]0,1上有一个零点， 当1e 1a <≤−时，()f x 在区间[]0,1上有两个零点.20. 如图，在四棱锥P ABCD −中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，12PF FD = ．（1）求证：PB 平面ACF ；（2）在线段PB 上是否存在一点H ，使得CH 与平面ACF PH 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，PH =PH =【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于M ，由12BM BC MD AD ==，可证BM PF MD FC=，可得PB FM ∥，即可证得结论；（2）取AD 中点O ，则PO AD ⊥，结合已知条件可证得PO ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面ACF 的一个法向量，设)01(PH PB λλ=≤≤，用向量法表示CH 与平面ACF所成角的正弦值得λ的方程，求解即可． 【小问1详解】 连接BD 交AC 于M ，BC AD ，12BM BC MD AD ∴==， 12PF FD = ，12PF FD ∴=， BM PF MD FD∴=，PB FM ∴∥， 又FM ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ，PB ∴ 平面ACF ． 【小问2详解】设线段PB 上存在一点H ，使得CH 与平面ACF， 即CH 与平面ACF，设)01(PH PB λλ=≤≤ ，取AD 中点O ，连接,OC OP ，,PA PD PO AD =∴⊥ ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD AD =，PO ⊂侧面PAD ，PO ∴⊥底面ABCD ，∵,,222BC AD AB AD AD AB BC ⊥===∥，CO AD ∴⊥， 以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()121,0,0,0,1,0,(0,,),0,0,1,1,1,033C A F P B −−，的则42(1,1,0),(,3,30)AC AF == ， 设平面ACF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,4233n AC x y n AF y z ⋅=+=⋅=+=令1y =，则1,2x z =−=−， ∴平面ACF 的一个法向量为()1,1,2n =−−，又(1,1,1)PB −−，())1,1,1(,,PH λλλλ∴=−−=−−，又()1,0,1CP =− ，(1,,1)CH CP PH λλλ∴+−−−+，设CH 与平面ACF 所成角θ，则sin cos ,n CH n CH n CHθ⋅===整理得23410λλ−+=，解得1λ=或13λ=， 当1λ=时，PH PB ==，当13λ=时，13PH PB ==故在线段PB 上存在一点H ，使得CH 与平面ACFPH =或PH =21.已知圆22:100C x y ++−=，点P 是圆C上的动点，点)F 是圆C 内一点，线段PF 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆C 上运动时点Q 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）设M ，N 是曲线E 上的两点，直线MN 与曲线()2220x y bx +=>相切.证明：当MN=,,M N F 三点共线.【答案】（1）2213x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据圆方程可求得()C ，再根据垂直平分线性质以及对称性可得QC QF +=>，即可求出E 的方程；（2）设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理和点到直线距离可求得MN =时，直线方程为y x =y x =−+，恒过点F ，即可得出证明.【小问1详解】由22100x y ++−=，得(2212x y +=，故()C ，半径QC = 由题意知QP QF =，如下图所示：QC QF QC QP ∴+=+=>∴对Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆.设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>则a =c =1b =所以椭圆方程为2213x y +=；【小问2详解】由（1）得曲线为()2210x y x +=>，表示右半圆，即为图中虚线圆的右半部分（不包括和y 轴交点）； 由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0，由对称性可设直线():,0MN y kx m km =+<，()()1122,,,M x y N x y ，如下图所示：由直线MN 与曲线()2210x y x +=>1=，所以221m k =+， 联立2213y kx m x y =+ += 可得()222136330k x kmx m +++−=， ()()()222222Δ641333*********km k m k m k =−+−=−+=>， 所以122613km x x k +=−+，21223313m x x k−⋅=+，可得MN ====， 化简得()22310k −=，所以1k =±，所以1k m = =或1k m =− =:MN y x=或y x =−+，所以直线MN 过点)F ， 即可得,,M N F 三点共线.【点睛】关键点点睛：在求解,,MN F 三点共线时，由于已知)F ，因此可证明直线MN 过点F 即可；将问题转化为直线过定点并求出直线MN 方程即可得出结论. 22. 已知函数()2ln ,R a x f x x a x =+∈. （1）当12a =−时，求函数()f x 的极值； （2）若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f xx x +>+.【答案】22. 有极小值1,无极大值；23. 证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导函数研究函数的极值即可；（2）根据题意得出12x x ，是方程22ln 20x a x a −+=的两个根，结合函数表达式将问题转化为证12a x x >，利用极值点偏移构造函数()()a H x h x h x =−，判定其单调性计算即可. 【小问1详解】 当12a =−时，函数()()()22ln ln 10x x x f x x x f x x x+′−=−>⇒=， 易知()2ln 1g x x x =+−在定义域上单调递增，且()10g =， 所以当()0,1x ∈时，()()00g x f x ′<⇒<，即此时()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()()00g x f x ′>⇒>，即此时()f x 单调递增， 故()f x 在1x =时取得极小值，()11f =，无极大值；【小问2详解】由()()2ln a x f x x f x x =+⇒′= 令()0f x ′=，即22ln 20x a x a −+=，由题意可知12x x ，是方程22ln 20x a x a −+=的两个根， 则2112222ln 202ln 20x a x a x a x a −+= −+= ， 欲证()()12124f x f x x x +>+， 即证221212121212121212122ln 2ln 22224a x a x x a x a x x x x x x x x a x x x x x x ++++++++==+>++， 即证12a x x >，令()()()22222ln 20x a h x x a x a x h x x −=−+>⇒=′， 若0a ≤，()()0h x h x ′>⇒定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去； 则0a >，可知在(x ∈时，()()0h x h x ′<⇒单调递减，在)x ∈+∞时，()()0h x h x ′>⇒单调递增，要符合题意则需()33ln 0e ,h a a a a ∞−<⇒∈+， 又0x →时，()0h x >，x →+∞时，()0h x >，此时不妨令120x x <<<，构造函数()()(0a H x h x h x x =−<< ()()222223222220a a x a x a a x H x a x x x x − −− ⇒=+⋅′=≥，即()H x 定义域内单调递增，即()()0a H x H h x h x <=⇒<， 所以()()121a h x h x h x =<，因为120x x <<<，所以1a x >，且在)x ∈+∞时，()h x 单调递增，故2121a x x x a x <⇒<，得证. 【点睛】本题关键在于先转化问题为证12a x x >，利用极值点偏移构造函数()()(0a H x h x h x x =−<< ，判定其单调性及最值得出()()121a h x h x h x =< 即可. 在。
2020届山东省潍坊市高三上学期12月份月结学情数学试题(解析版)
2020届山东省潍坊市高三上学期12月份月结学情数学试题（解析版）一、单项选择题1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A B =（ ）A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,3D. ()1,3-【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得出集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 【详解】集合A ＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x ＜1}， B ＝{x|x （x ﹣3）＜0}＝{x|0＜x ＜3}， 则A ∪B ＝{x|﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选D ．【点睛】本题考查集合的运算，是基础题． 2.若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 0C. －12D. －1【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】设z ＝bi ，b ∈R 且b ≠0，则11iai++＝bi ，得到1＋i ＝－ab ＋bi ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1. 故选：D.【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.3.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A. 24 B. 36C. 48D. 60【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有22A 种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有2323A A 种排法；∴23223224A A A =故选：A.4.已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A.12B. 12-C. 1-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-， 41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+， 2018212a a ∴==， 故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.5.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A. 1 C. 2D. 4【答案】B 【解析】由题意知60B =︒，由余弦定理，262x ππ-=，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选：B6.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A. 3π B. 4πC. 5πD. 6π【答案】C 【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==2452S ππ==，故选C. 7.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a的值可以为（ ） A.5π12B.7π12C.19π24D.41π24【答案】C 【解析】 【分析】因为结果得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭已知，可以逆向思考，反向得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，确定相等关系．【详解】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+ 5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=．答案选C ． 【点睛】由函数sin ()y x x R =∈的图像经过变换得到sin()y A x ωϕ=+的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x 值而言，故先伸缩后平移时要把x 前面的系数变为1．当前后两个函数名称不同的，可先运用诱导公式，化为同名函数，再进行图像平移．8.当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心， 51313a b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，f ′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0）， 则M 纵坐标y 0=32001533x x -+，又f ′（x 0）=2002x x -， ∴切线的方程为：()()322000015y 233x x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭又直线过定点113⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()322000011521333x x x x x ⎛⎫∴--+=--- ⎪⎝⎭，得30x ﹣03x -2=0，()()300210xx x --+=，即()()2000120x x x +--=解得：021x =-或 故可做两条切线 故选C点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．二、多项选择题9.下列判断正确的是（ ） A. 若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B. 已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C. 若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D. 22am bm >是a b >的充分不必要条件. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），则曲线关于x ＝1对称，即可判断A ；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B ；运用二项分布的期望公式E ξ＝np ，即可判断C ；可根据充分必要条件的定义，注意m ＝0，即可判断D ． 【详解】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β． ∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，14），则E ξ＝4×0.25＝1，故C 对； D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对；故选：ABCD ．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A. a ，b ，c 依次成等差数列C. 2a ，2b ，2c 依次成等差数列D. 3a ，3b ，3c 依次成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用等差数列的性质，建立211tan tan tan B A C=+，进一步利用正弦定理和余弦定理的关系式变换求出结果.【详解】解：ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列， 则：211tan tan tan B A C=+， 利用sin tan cos ααα=，整理得：2cos cos cos sin sin sin B C AB C A=+，利用正弦和余弦定理得：2222222222222a c b a b c b c a abc abc abc+-+-+-⋅=+， 整理得：2222b a c =+，即：222,,a b c 依次成等差数列.此时对等差数列222,,a b c 的每一项取相同的运算得到数列a ，b ，c 或a ，b ，c 或3a ，3b ，3c ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a b c ==，但题目没有说ABC 是等边三角形， 故选：ABD.【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的性质应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦和余弦定理的应用及相关的运算问题.11.函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（ ）A. 2B. 2-C. 0D. 1【答案】ABC 【解析】 【分析】()()g x f x x a =-+只有一个零点可化为函数()f x 与函数y x a =-有一个交点，作函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象，结合图象可直接得到答案.【详解】解：∵()()g x f x x a =-+只有一个零点， ∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点； 当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =.综合得：0a ≤或2a =. 故选：ABC.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题. 12.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）A. 游客至多游览一个景点的概率14B. ()328P X == C. ()1424P X == D. ()136E X =【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A ；由题意得随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD.【详解】解：记该游客游览i 个景点为事件i A ，0,1i =，则()0211111111322224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3211321211511113232224P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⋅⋅-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以游客至多游览一个景点的概率为()()0115124244P A P A +=+=，故A 正确； 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4;()01(0)24P X P A ===， ()15(1)24P X P A ===，213211(2)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭2232113113228C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；23211(3)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭33311713224C ⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3211(4)3212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故C 错误；数学期望为：1597()012324242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯2134246+⨯=，故D 正确， 故选：ABD.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题.三、填空题13. 如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上) 【答案】①④ 【解析】对于①，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AE ，又,EA AB PA AB A ⊥⋂=，所以EA ⊥平面PAB ，从而可得EA PB ⊥，故①正确．对于②，由于PA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 与平面PBC 不可能垂直，故②不正确．对于③，由于在正六边形中BC AD ∥，所以BC 与EA 必有公共点，从而BC 与平面PAE 有公共点，所以直线BC 与平面PAE 不平行，故③不正确．对于④，由条件得PAD ∆为直角三角形，且PA ⊥AD ，又2PA AB AD ==，所以∠PDA=45°．故④正确． 综上①④正确． 答案：①④【此处有视频，请去附件查看】14.在32nx x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．【答案】7 【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得8n =，88831883()()(1)?2?2r r r r r r r r r x T C C x x----+=-=-，令48063r r -==，，可得常数项为7.15.已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．【答案】48322- 【解析】【详解】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B 22M 02-，，，，，，∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅++⎣⎦，，()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322- 16.已知*1ln (),()()1x kf xg x k N x x+==∈-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()f c f a g b ==，则k 的最大值为__________．【答案】3. 【解析】分析：对1c ∀>，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()f c f a g b ==成立，等价于1x >时，()g x 的图象始终在()f x 的图象下方，从而利用数形结合可得结果. 详解：当1k =时，作函数()1ln 1x f x x +=-与()()kg x k N x*=∈的图象如图,1k =，对1c ∀>，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()f c f a g b ==成立，正确；当2k =时，作函数()1ln 1x f x x +=-与()()kg x k N x*=∈的图象如图，2k =，对1c ∀>，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()f c f a g b ==成立，正确；当3k =时，作函数()1ln 1x f x x +=-与()()kg x k N x*=∈的图象如图，3k =，对1c ∀>，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()f c f a g b ==成立，正确；当4k =时，作函数()1ln 1x f x x +=-与()()kg x k N x*=∈的图象如图，4k =，不正确，故答案为3.点睛：数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解..四、解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中22b a =，45b a =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()()()11212n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，12n n b -=（2）()1522n n T n +=+-⋅【解析】 【分析】（1）根据数列的通项与前n 项和的关系1n n n a S S -=-可求数列{}n a 的通项，根据2245,b a b a ==可求数列公比，进而求正项等比数列{}n b 的通项公式． （2）数列{}n c 的前n 项和可用错位相消法求解．【详解】（1）当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=22(1)[(1)(1)1]n n n n -+----+ =22n -， 所以1(1)22(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．所以22b =，48b =于是2424b q b ==，解得2q 或2q =-（舍）所以22n n b b q -=⋅=12n -．（2）由以上结论可得，1(1)(1)2(2)n nn c n n =⎧=⎨-⋅≥⎩ 所以其前n 项和123n n S c c c c =++++n S =23411122232(2)2(1)2n n n n -+⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ 2n S =34512122232(2)2(1)2n n n n ++⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ -得，n S -=234112222(1)2n n n +-+++++--⋅=12(12)3(1)212n n n +--+--⋅-所以n S =1(2)25n n +-⨯+．【点睛】错位相消法是求数列较常用的一种方法，它适用的数列必须是等差数列与等比数列积形成的复合数列，过程如下：（1）列出前n 项和；（2）在前n 项和式子的两端同乘以公比，（3）二式相减，并利用公式计算，整理得到结果．18.已知函数()()23sin cos sin10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =31CD =，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）1ω=，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2） 33ABC S +=△【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22ππω=，即可求ω的值，可得()f x 的解析式即可求函数()f x 的单调递减区间；（2）根据()1f B =，求解B 角，在ADC 中利用余弦定理求解cos C ，再求解A 角，即可求解三角形ABC 的面积.【详解】（1）()1cos 2121sin 22262x f x x x ωπωω-⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭. 因为相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以T π=，即22ππω=，所以1ω=. 故()1in 26s 2f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=. 令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()1sin 2162f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，即1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由02B π<<得72666B πππ<+<，所以5266B ππ+=，解得3B π=.再由己知：AC =1CD =，2AD =.∴在ADC 中，由2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅，得cos 2C =， 又0,2C π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，∴4C π∠=，∴712BAC B C ππ∠=-∠-∠=.又7sinsin 12344πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 在ABC 中，由sin sin AB ACC B=，得2AB =，∴11sin 222ABC S AB AC BAC =⋅⋅⋅∠=⨯=△【点睛】本题考查了三角函数的化简能力和正余弦定理的灵活运用以及计算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，1AD AB ==，BC =(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足2CH HD =，若直线PC 与平面PBD 6，求二面角H PB C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（227【解析】试题分析：（I ）由直角三角形可得BC BD ⊥，由线面垂直的性质可得BC PD ⊥，从而可得BC ⊥平面,PBD 进而可得结论；（II ）以D 点为坐标原点，,,DA DC DP 分别,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面HPB 与平面PBC 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（I ）由,//,1AD CD AB CD AD AB ⊥==，可得2BD =，又2,,.4BC BC BD π=∠=∴⊥从而2CD =，PD ⊥底面ABCD ，BC PD ∴⊥PD BD D ⋂=，BC ∴⊥平面,PBD 所以平面PBD ⊥平面PBC .（II ）由（I ）可知BPC ∠为PC 与底面PBD 所成角. 所以6tan BPC ∠=3,1PB PD == 又23CH HD =及2CD =，可得64,55CH DH ==, 以D 点为坐标原点，,,DA DC DP 分别,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()41,1,0,0,0,1,0,2,0,0,,05B P C H ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面HPB 的法向量(),,n x y z =.则由00n PB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得4050y z x y z ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩取()1,5,4n =--同理平面PBC 的法向量为()1,1,2m = 所以27cos ,7m n m n m n ⋅==- 又二面角H PB C --为锐角.所以二面角H PB C --. 【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）不同的样本的个数为432418C C . （2）①分布列见解析，()E ξ97=. ②线性回归方程为0.6533.60y x =+.可预测该同学的物理成绩为96分. 【解析】 【分析】（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.（2）7名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数ξ服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.【详解】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为724442⨯=名， 18名男同学中应抽取的人数为718342⨯=名， 故不同的样本的个数为432419C C .（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， ∴ξ的取值为0，1，2，3.∴()34374035C P C ξ===，()21433711835C C C P ξ===，()12433712235C C C P ξ===，()33375313C C P ξ===.∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P435 1835 1235 135∴()41812190123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ②∵5260.65912b =≈，830.657633.60a y b x =-⨯=-⨯=. ∴线性回归方程为0.6533.60y x =+. 当96x =时，0.659633.6096y =⨯+=. 可预测该同学的物理成绩为96分.【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】 【分析】（1）由已知条件得1c =，2a =，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点P ，分别求出直线BM 的斜率不存在、直线BM 的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+因为·PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握 22.已知函数()()245x af x x x a R e=-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；()Ⅱ设()()x g x e f x =，当m 1≥时，若()()()122g x g x g m +=，且12x x ≠，求证：122x x m +<.【答案】（1）[)2,a e ∈+∞（2）见解析 【解析】试题分析：（1）()f x 在R 上是单调递增函数等价于在x R ∈上，()240xaf x x e =-+≥'恒成立，即：()42x a x e ≥-，构造新函数求最值即可；（2）要证122x x m +<，即证122m x x ->，记()()245xx x x e ϕ=-+，易证()x ϕ在x R ∈上递增，转证()()122m x x ϕϕ->． 试题解析： 解：()1()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,∴在x R ∈上，()240xa f x x e=-+≥'恒成立，即：()42xa x e ≥- ∴设()()42x h x x e =- R x ∈ ∴ ()()22x h x x e =-'，∴当(),1x ∈-∞时()0h x '>，∴ ()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数， ∴当()1,x ∈+∞时()0h x '<，∴ ()h x 在()1,x ∈+∞上为减函数， ∴ ()()max 12h x h e ==()max 42x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦∴ 2a e ≥， 即[)2,a e ∈+∞ .()2方法一：因为()()245x g x e x x a =-+-，所以()()2'10x g x e x =-≥，所以()g x 在(),-∞+∞上为增函数，因为()()()122g x g x g m +=，即()()()()12g x g m g m g x -=-， ()()()()12g x g m g m g x --和同号，所以不妨设12x m x <<,设()()()()22(1)h x g m x g x g m x m =-+->≥，…8分 所以()()()222'211m x x h x e m x e x -=---+-，因为2m x x e e -<，()()()()2221122220m x x m m x ----=--≤， 所以()'0h x >，所以()h x 在(),m +∞上为增函数，所以()()0h x h m >=，所以()()()()222220h x g m x g x g m =-+->， 所以()()()()22122g m x g m g x g x ->-=，所以212m x x ->，即122x x m +<.方法二：()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴ ()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-∴ ()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+ ∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴ ()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴ ()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'= 令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞设()()()F x m x m x ϕϕ=++-, ()0,x ∈+∞，∴ ()()()2211m x m x F x m x e m x e +----'=+-0x >∴ 0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴ ()0F x '>， ()F x 在()0,x ∈+∞上递增，∴ ()()()02F x F m ϕ>=，∴ ()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞令1x m x =- ∴ ()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又 ()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴ ()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ-> ()x ϕ在x R ∈上递增∴ 122m x x ->，即：122x x m +<得证.。
山东省2020届高三高考数学12月模拟试题卷附答案解析
山东省2020届高三高考数学12月模拟试题一、单选题 1．设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A ．(){}1,1B ．(){}2,4-C ．()(){}1,1,2,4-D ．∅2．已知(),a bi a b +∈R 是11ii -+是共轭复数，则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．13．设向量()()()1,1,1,3,2,1==-=a b c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=（ ） A ．3B ．2C ．2-D ．3-4．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ） A ．210-B ．120-C ．120D ．2105．已知三棱锥S ABC -中，,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是（ ）A ．4B ．6C ．D ．6．已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．D ．7．设命题:p 所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为（ ） A ．所有正方形都不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是正方形 C ．有的正方形不是平行四边形 D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 8．若1a b c >>>且2ac b <，则（ ） A ．log log log a b c b c a >> B ．log log log c b a b a c >> C ．log log log b a c c b a >>D ．log log log b c a a b c >>二、多选题9．下图为某地区2006年~2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年~2018年（ ）A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．已知双曲线C 过点(且渐近线为3y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为周期函数C ．()3f x +为奇函数D ．()4f x +为偶函数三、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种．14．已知cos sin 65a πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则11sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭______． 15．直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B 两点，则p =______，11AF BF+=______． 16．半径为2的球面上有,,,A B C D 四点，且,,AB AC AD 两两垂直，则ABC ∆，ACD ∆与ADB ∆面积之和的最大值为______． 四、解答题17．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，1525,3,81b a b b ===-，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<？18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF BC ⊥且DF AC =． （1）若D 为BC 的中点，且CDF ∆的面积等于ABC ∆的面积，求ABC ∠； （2）若45ABC ∠=︒，且3BD CD =，求cos CFB ∠．19．如图，四棱锥S ABC -中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,AD SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．（1）证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线； （2）若12EF BC =，求二面角B SC D --的余弦值．20．下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y （单位：kg ）和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年~2018年的年份代码x 分别为1~7）．（1）根据散点图分析y 与x 之间的相关关系； （2）根据散点图相应数据计算得77111074,4517ii i i i yx y ====∑∑，求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．（精确到0．01）附：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,niii nii x x yy b a y bx x x ==--==--∑∑．21．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎛⎝⎭F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF x ⊥轴，F 的半径为PF ．（1）求E 和F 的方程； （2）若直线(():0l y k x k =>与F 交于,A B 两点，与E 交于,C D 两点，其中,A C 在第一象限，是否存在k 使AC BD =？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．22．函数()()01a x f x x x+=>+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为112．（1）求a ；（2）讨论()()()2g x x f x =的单调性； （3）设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln71n n a --<．解析山东省2020届高三高考数学12月模拟试题一、单选题 1．设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A ．(){}1,1 B ．(){}2,4-C ．()(){}1,1,2,4-D ．∅【答案】C【解析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x+=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2．已知(),a bi a b +∈R 是11ii -+是共轭复数，则a b +=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】D【解析】化简11i ii -+=-，结合共轭复数的概念得到+a b 的值.【详解】 由1(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i ---==-++-，从而知a b +=i i ， 由复数相等，得0a =，1b =， 从而1a b +=. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数概念，考查计算能力，属于基础题. 3．设向量()()()1,1,1,3,2,1==-=a b c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=（ ） A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】A【解析】由题意得到(1,13)a b λλλ-=+-，利用向量垂直的坐标形式得到3λ=. 【详解】由题，得(1,13)a b λλλ-=+-，由()λ-⊥a b c ，从而2(1)1(13)0λλ⨯++⨯-=， 解得3λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题.4．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ） A ．210- B ．120- C ．120 D ．210 【答案】B【解析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2104r -=，则r ＝7，将r ＝7代入通项公式计算可得答案． 【详解】由二项展开式，知其通项为10210110101()(1)rr r r r r r T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令2104r -=，解得7r =.所以4x 的系数为7710(1)120C -=-.故选：B. 【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题．5．已知三棱锥S ABC -中，,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是（ ）A ．4B ．6C ．D ．【答案】C【解析】由题意明确SA ABC ⊥平面，结合棱锥体积公式得到结果. 【详解】由4SB =，2AB =，且2SAB π∠=，得SA =；又由2AB =，6BC =，且2ABC π∠=，得AC =因为222SA AC SC +=，从而知2SAC π∠=，即SA AC ⊥所以SA ABC ⊥平面.又由于12662ABCS=⨯⨯=，从而11633S ABC ABCV S SA -=⋅=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 6．已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．D ．【答案】A【解析】设4,A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，并设点A 到圆22(2)1x y -+=的圆心C 距离的平方为()g x ，利用导数求最值即可. 【详解】（方法一）设4,A x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，并设点A 到圆22(2)1x y -+=的圆心C 距离的平方为()g x ，则2222416()(2)2412(0)g x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+-+> ⎪⎝⎭，求导，得433388()414x x g x x x x --⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭，令()0g x '=，得2x =. 由02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.从而()g x 在2x =时取得最小值为(2)16g =，从而点A 到圆心C 4==，所以||AB 的最小值为413-=.故选：A（方法二）由对勾函数的性质，可知44y x x=+≥，当且仅当2x =时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4（）时能使点A 到圆心的距离最小，最小为4，从而AB 的最小值为413-=.故选：A 【点睛】本题考查两动点间距离的最值问题，考查利用导数求最值，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题. 7．设命题:p 所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为（ ） A ．所有正方形都不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是正方形 C ．有的正方形不是平行四边形 D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”）， 即p ⌝为有的正方形不是平行四边形 故选：C. 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 8．若1a b c >>>且2ac b <，则（ ） A ．log log log a b c b c a >> B ．log log log c b a b a c >> C ．log log log b a c c b a >> D ．log log log b c a a b c >>【答案】B【解析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A ：由a b c >>，从而log log 1a a b a <=，log log 1b b c b <=，log log 1c c a c >=，从而选项A 错误；对选项B ：首先log log 1c c b c >=，log log 1b b a b >=，log log 1a a c a <=，从而知log a c 最小，下只需比较log c b 与log b a 的大小即可，采用差值比较法：222lg lg (lg )lg lg (lg )lg lg 2log log lg lg lg lg lg lg c b a c b b a b a c b a c b c b c b+⎛⎫- ⎪-⋅⎝⎭-=-=≥⋅⋅ 222lg (lg )20lg lg b b c b⎛⎫-⎪⎝⎭>=⋅， 从而log log c b b a >，选项B 正确；对于选项C ：由log log 1a a b a <=，log log 1c c a c >=，知C 错误； 对于选项D ：可知log log c b b a >，从而选项D 错误； 故选：B（方法二）取5a =，4b =，3c =代入验证知选项B 正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型.二、多选题9．下图为某地区2006年~2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年~2018年（ ）A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 【答案】AD【解析】先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A 正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B 错误，选项D 正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C 错误;故选：AD. 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 10．已知双曲线C过点(且渐近线为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【解析】根据题意得到双曲线C 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由已知y x =，可得2213y x =，从而设所求双曲线方程为2213x y λ-=，又由双曲线C过点(，从而22133λ⨯-=，即1λ=，从而选项A 正确；对于选项B：由双曲线方程可知a =1b =，2c =，从而离心率为c e a ===，所以B 选项错误；对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为()2,0，满足21x y e-=-，从而选项C 正确；对于选项D：联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，整理，得220y ++=，由2420∆=-⨯=，知直线与双曲线C 只有一个交点，选项D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力. 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离. 【详解】对选项A ：（方法一）以D 点为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D 、(1,0,0)A 、1(1,0,1)A 、1,1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭、10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.从而1(0,0,1)DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误；（方法二）取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取BC 的中点为M ，连接1A M 、GM ，则1A M AE ∥，GM EF ∥，易证1A MG AEF 平面∥平面，从而1A G AEF ∥平面，选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且1D H AH ==1A D，所以132AD HS ∆==，而113948AD H AEFD S S ==四边形△，从而选项C 正确；对于选项D ：（方法一）由于111111112222224GEF EBG BEFG S S S ∆∆⎛⎫=-=+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭梯形，而11112228ECF S ∆=⨯⨯=，而13A GEF EFG V S AB -∆=⋅，13A ECF ECF V S AB -∆=⋅，所以2A GEF A ECF V V --=，即2G AEF C AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的二倍.从而D 错误.（方法二）假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误. 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是平行和垂直，记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅速解题的关键，同时考查截面的画法及计算，以及空间异面直线所成的角的求法，属于基础题和易错题． 12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为周期函数C ．()3f x +为奇函数D ．()4f x +为偶函数【答案】ABC 【解析】利用()1f x +与()2f x +都为奇函数，可知()f x 是以2为周期的函数.从而得到结果.【详解】由(1)f x +与(2)f x +都为奇函数知函数()f x 的图象关于点()1,0-，()2,0-对称， 所以()(2)0f x f x +--=，()(4)0f x f x +--=， 所以(2)(4)f x f x --=--，即()(2)f x f x =-+ 所以()f x 是以2为周期的函数.又()1f x +与()2f x +都为奇函数，所以()f x ，(3)f x +均为奇函数. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.三、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种． 【答案】36【解析】根据分步计数原理即可得到结果. 【详解】从6名守擂选手中选1名，选法有166C =种；复活选手中挑选1名选手，选法有16C 种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有6636⨯=种． 故答案为：36 【点睛】本题考查分步计算原理，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.14．已知cos sin 65a πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则11sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 【答案】45-【解析】由题意可得π3cos sin sin 62265πααααα⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合诱导公式可得结果.【详解】由π3cos sin sin626πααααα⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4sin65πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭而11πππ4sin sin2sin6665ααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：45-【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型. 15．直线l过抛物线()2:20C y px p=>的焦点()1,0F，且与C交于,A B两点，则p=______，11AF BF+=______．【答案】2 1【解析】由题意知12p=，从而2p=，所以抛物线方程为24y x=．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】由题意知12p=，从而2p=，所以抛物线方程为24y x=．（方法一）将1x=代入，解得2AF BF==，从而111AF BF+=．（方法二）设AB的方程为()1y k x=-，联立()214y k xy x⎧=-⎨=⎩，整理，得()2222240k x k x k-++=，设()11,A x y，()22,B x y，则212212241kx xkx x⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x xAF BF x x x x x x x x+++++=+===+++++++．（方法三）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题. 16．半径为2的球面上有,,,A B C D四点，且,,AB AC AD两两垂直，则ABC∆，ACD∆与ADB∆面积之和的最大值为______． 【答案】8【解析】AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角，故22216x y z ++=，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值． 【详解】如图所示，将四面体A BCD -置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设AC x =，AD y =，AB z =2=，即22216x y z ++=．记111222ABC ACD ADB S S S S yz xy zx =++=++△△△． 从而有()()()()222222240x y zS x y y z z x ++-=-+-+-≥，即432S ≤，从而8S ≤．当且仅当x y z ==，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．四、解答题17．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，1525,3,81b a b b ===-，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<？【答案】答案不唯一，见解析【解析】从三个条件中任选一个，利用等差、等比数列的基本知识解决问题即可. 【详解】因为在等比数列{}n b 中，23b =，581b =-，所以其公比3q =-， 从而()()222333n n n b b --=-=⨯-，从而511a b ==-．若存在k ，使得1k k S S +>，即1k k k S S a +>+，从而10k a +<； 同理，若使12k k S S ++<，即112k k k S S a +++<+，从而20k a +>．（方法一）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-，所以316n a n =-，当4k =时满足50a <，且60a >成立；若选②：由4427a b ==，且51a =-，所以数列{}n a 为递减数列， 故不存在10k a +<，且20k a +>； 若选③：由()155352552a a S a +=-==，解得35a =-，从而211n a n =-， 所以当4n =时，能使50a <，60a >成立．（方法二）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-， 所以公差5233a a d -==，1213a a d =-=-， 从而()()21111332922n n n S a d n n -=+⨯=-； ()()()()()()()1123129132922312913229222k k k k k k k k S S S S k k k k +++⎧⎡⎤+-+-⎣⎦>⎪>⎧⎪⇔⎨⎨<⎡⎤⎡⎤+-++-+⎩⎪⎣⎦⎣⎦<⎪⎩，解得101333k <<， 又k *∈N ，从而4k =满足题意．【点睛】本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题.18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF BC ⊥且DF AC =． （1）若D 为BC 的中点，且CDF ∆的面积等于ABC ∆的面积，求ABC ∠； （2）若45ABC ∠=︒，且3BD CD =，求cos CFB ∠． 【答案】(1) 60ABC ∠=︒(2)【解析】（1）根据ABC CDF S S =△△可得2BC AB =，又90A ∠=︒，从而30ACB ∠=︒，即可得到结果； （2）由45ABC ∠=︒，从而AB AC =，设AB AC k ==，则BC =．结合余弦定理可得结果.【详解】（1）如图所示，D 为BC 的中点，所以BD CD =．又因ABC CDF S S =△△，即111224AB AC CD DF BC AC ⨯=⨯=⨯，从而2BC AB =， 又90A ∠=︒，从而30ACB ∠=︒，所以903060ABC ∠=︒-︒=︒．（2）由45ABC ∠=︒，从而AB AC =，设AB AC k ==，则BC =．由3BD CD =，所以34BD BC ==，4CD =． 因为DF AC k ==，从而BF ==，CF ==． （方法一）从而由余弦定理，得2222229172cos 2k k k CF BF BC CFB CF BF +-+-∠===⨯．（方法二）所以cos DF DFB BF ∠==从而cos BD DFB BF ∠==；cos DF DFC CF ∠== 从而1sin 3CD DFC CF ∠==． 所以()cos cos CFB CFD DFB ∠=∠+∠=． 【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，正弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题. 19．如图，四棱锥S ABC -中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,AD SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．（1）证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线； （2）若12EF BC =，求二面角B SC D --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD EF ⊥，EF SC ⊥，转证线面垂直即可；（2）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCS 与平面SCD 的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点G ，连接EG 、FG ．因为四边形ABCD 为矩形，且E 、F 分别是AD 、SC 的中点， 所以EG CD ，且FGSA ．又SA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥平面ABCD ，所以GF AD ⊥．又AD GE ⊥，GE GF G =，所以AD ⊥平面GEF ，所以AD EF ⊥． 因为EF 与平面ABCD 所成的角为45︒，所以45FEG ∠=︒， 从而GE GF =．所以SA AB =．取SB 的中点H ，连接AH 、FH ，则由F 、H 分别为SC 、SB 的中点，从而12FH BC AE ，从而四边形AEFH 为平行四边形． 又由SA AB =，知AH SB ⊥．又BC ⊥平面SAB ，所以AH BC ⊥． 又SB BC B ⋂=，从而AH ⊥平面SBC ．从而EF ⊥平面SBC ．SC ⊂平面SBC ，从而EF SC ⊥． 综上知EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线．（2）因为12EF BC =，设1BC =，则1EF =，从而2GE GF ==，所以SA AB == 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则)B、()0,2,0D、(S、)C，从而，(2,2,SC =，()0,2,0BC =．设平面BCS 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则110n SC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，令11z =，从而得()11,0,1n =．同理，可求得平面SCD 的一个法向量为(2=n ． 设二面角B SC D --的平面角为θ，从而1212cos 2θ⋅===n n n n ． 【点睛】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，向量法求二面角，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．20．下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y （单位：kg ）和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年~2018年的年份代码x 分别为1~7）．（1）根据散点图分析y 与x 之间的相关关系； （2）根据散点图相应数据计算得77111074,4517ii i i i yx y ====∑∑，求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．（精确到0．01）附：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑．【答案】(1) 正相关关系；(2) 221853ˆ287yx =+． (3) 拟合效果较好．【解析】（1）根据散点图判断y 与x 之间的相关关系； （2）利用最小二乘法求线性回归方程；（3）根据残差图判断线性回归方程的拟合效果． 【详解】（1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且当x 由小变大时，y 也由小变大，从而y 与x 之间是正相关关系； （2）由题中数据可得()1123456747x =++++++=，11074107477y =⨯=， 从而717222222222211745177107442217ˆ123456774287i ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯⨯===++++++-⨯-∑∑，1074221853ˆˆ47287ay b x =-⋅=-⨯=， 从而所求y 关于x 的线性回归方程为221853ˆ287yx =+． （3）由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查散点图与残差图，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 21．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E过点⎛⎝⎭F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF x ⊥轴，F 的半径为PF ．（1）求E 和F 的方程； （2）若直线(():0l y k x k =>与F 交于,A B 两点，与E 交于,C D 两点，其中,A C 在第一象限，是否存在k 使AC BD =？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) E 的方程为2214x y +=．F的方程为(2214x y +=．(2) 满足题设条件的直线l 不存在．理由见解析【解析】（1）利用待定系数法求出椭圆与圆的方程；（2）若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立方程，利用韦达定理可得12CD x =-=224441k k ++，显然与题意矛盾，故不存在. 【详解】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=．由2e =，从而得222222314a b b e a a -===-，从而2214b a =，即224a b =．又椭圆过点⎛ ⎝⎭，从而得221314a b +=，解得24a =，21b =， 从而所求椭圆E 的方程为2214x y +=．所以)F，令x =12PF r ==， 所以F的方程为(2214x y +=． （2）不存在，理由如下：若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立(2214y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，整理，得()2222411240k x x k +-+-=．设()11,C x y 、()22,D x y，则12212212441x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩．从而12CD x =-=224441k k +==+由1DC =，从而224441k k +=+，从而41=，矛盾． 从而满足题设条件的直线l 不存在．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题． 22．函数()()01a x f x x x+=>+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为112．（1）求a ；（2）讨论()()()2g x x f x =的单调性； （3）设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln71n n a --<．【答案】(1) 7a = (2) ()g x 在()0,∞+上单调递增．(3)证明见解析 【解析】（1）由题意知切点坐标为11,2a +⎛⎫⎪⎝⎭，切线方程为：()11124a a y x +--=-，结合条件列方程即可得到结果；（2）由（1）知()271x g x x x +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，对()g x 求导，得()()()()227471x x x g x x +-+'=+，从而可知()g x 在()0,∞+上的单调性；（3）欲证222ln ln71n n a --<，即证12ln 1n n a --<．只需证11ln 2n -<．不妨设nb =，由此可得1n b +=．因此，欲证11ln2n -<，只需证11ln 2n n b b -<． 【详解】（1）由题意知切点坐标为11,2a +⎛⎫⎪⎝⎭． 对()f x 求导，得()()211af x x -'=+，从而()114af -'=． 所以切线方程为()11124a a y x +--=-，令0x =，得1111224a a+-=-，解得7a =． （2）由（1）知()71x f x x +=+，从而()271x g x x x +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，对()g x 求导，得()()()()2274701x x x g x x +-+'=>+，从而可知()g x 在()0,∞+上单调递增． （3）（方法一）欲证222ln ln71n n a --<，即证12ln 1n n a --<．只需证112n -<．不妨设n b =，由此可得1n b +=．因此，欲证11ln2n -<，只需证11ln 2nn b b -<． 由于不动点为1，下面研究n b 与不动点的大小关系：()11111nnbb+--=-=，即11nb+-与1nb-是异号的．由于11b=<，由此，得211nb-<，21nb>．当n为奇数时，11ln ln2n nb b-<，此时1nb<，11nb->．故只需证1nb<nb>．当n为偶数时，欲证11ln ln2n nb b-<，此时1nb>，11nb-<．故只需证nb<，即证n b=<．)1x>>)01x<<<成立．构造函数()1g x=-，则()10g=，()0g x'=≥>=则()g x单调递增，由此可得11ln ln2n nb b-<．因此，111111111ln ln2222n n n n nb b----<=<=．故不等式得证．（方法二）令()71xf x xx+==+，解得x=从而((111111nnnnnnaaaaaa++⎧-⎪=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎪⎩=，1n n-==，从而11nn na⎤⎥+⎥⎣⎦=⎛-．所以2ln 7n a =． 当n为偶数时，211ln 2ln 2ln 711nnn n na ++⎝⎭⎝⎭==--； 当n为奇数时，21ln 2ln 2ln 2ln 71nn n a +⎝⎭===-． 故无论n为奇数还是偶数，21ln 2ln 71nn n a +⎝⎭=-．下只需证明111ln 21nn n -+⎝⎭<⎛-．当1n =时，有ln 712<，满足题意； 当2n ≥时，122ln ln 1111nn n n⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎝⎭=+<⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦．故只需证12121nn -<⎛⎫-，即证21nn >+．而当2n ≥时，1143222221n nn n n nn C -⎛=+>+⋅>>+ ⎝． 故不等式得证． （方法三）要证222ln ln71n n a --<，只需证112n -<，只需证12<()f x 在()0,∞+上单调递减，且0n a>． 若n a>，则()1n n a f a f+=<=1<<，只需证121ln n +⎫<，12211n n n a a ++⎫<⇔>n a ． 由（2）知()21n n n a a g a g +=>=若n a <，则()1n na f a f +=>=1<<，只需证12ln n a ⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭．12211n n n a a ++⎫<⇔<n a <． 由（2）知，()21n n n a a g a g +=<=．综上所述，)11,2n n *<≥∈N 成立．所以，11111ln 7222n n --⎛⎫⎛⎫<=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 易知，211ln 7ln 122e <=，所以112n -<成立． 故原不等式得证．【点睛】本题是数列与函数的综合问题，考查了数列递推关系的推导应用，不等式证明，切线的几何意义，以及函数单调性与数列的单调性，需要具备一定的基础知识和解题方法，属于难题．。
2020-2021学年山东省中学联盟高三(上)大联考数学试卷(12月份)(附答案详解)
2020-2021学年山东省中学联盟高三（上）大联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若集合A ={−3,−1,1，3}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {−3,−1,1}B. {−1,1，3}C. {−3}D. {3}2. 已知i 是虚数单位，则(1+√3i2i)2在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量a ⃗ =(2,3，−4)，b ⃗ =(−3,x ，y)分别是平面α，β的法向量，若α//β，则( ) A. x =92，y =6 B. x =−92，y =6 C. x =−92，y =−6D. x =92，y =−64. 已知圆C ：x 2+y 2+4x −2y −4=0关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则原点O到直线l 的距离为( )A. 4√3737B. 1C. 4√55D. √555. “∀x ∈[−2,1]，x 2−2a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a ≥0B. a ≥1C. a ≥2D. a ≥36. 设p =ln2，q =lg3，则( )A. p −q >pq >p +qB. p −q >p +q >pqC. p +q >pq >p −qD. p +q >p −q >pq7. 已知实数x ，y 满足x +1x +9y +1y =17，其中x >0，y >0，则1x +1y 的最小值为( )A. 116B. 1C. 2D. 168. 正三角形ABC 的内切圆圆心为Q ，点P 为圆Q 上任意一点.若QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围( )A. [−1,1]B. [−12,12]C. [−√22,√22] D. [−√2,√2]二、多选题（本大题共4小题，共12.0分）9. 函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1的图象的一个最值点为( )A. (π3,32)B. (5π6,12)C. (5π6,52)D. (4π3,52)10. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，若双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，则下列说法正确的是( )A. 实轴长√2B. 双曲线的离心率为2C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为√6D. 存在点P ，使得|F 2P|=111. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x.设函数g(x)=f(x)−kx −k ，下列结论成立的是( )A. 函数f(x)的一个周期为2B. f(43)=−23C. 当实数k >−1时，函数g(x)在区间[1,2]上为单调递减函数D. 在区间[−1,3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k 的取值范围是(0,14]12. 棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，下列结论成立的是( )A. PB 1//平面BC 1DB. 动点P 一定在线段AD 1上C. |PB 1|∈[1,√2]D. PB 1与平面BC 1所成角的正弦值可以是√32三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 与棱长为√2的正方体所有棱都相切的球的体积为______ ． 14. 近两年，中国移动推动5G 和4G 技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原4G 线路传输资源，并高效建设5G 基站.如图，南北方向的公路l ，城市A 地(看作一点)在公路正东√3km 处，城市B 地(看作一点)在A 北偏东60°方向2km 处，原有移动4G 线路PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等.现要在线路PQ 上一处M 建一座5G 基站，则这座5G 基站到城市A ，B 两地的总距离最短时为______ km ．15. 已知数列{1(2n−1)(2n+3)}的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立，则实数a 的取值范围是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω>0)在[0,π]有且仅有3个零点，则函数f(x)在[0,π]上存在______ 个极小值点，实数ω的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =5，cosB =35．(1)求△ABC 的面积的最大值； (2)若√2csin B+C 2=asinC ，求△ABC 的周长．18. 已知数列{a n }的前n 项和是A n ，数列{b n }的前n 项和是B n ，若A 3=14，a n+1=2a n ，n ∈N ∗.再从三个条件：①B n =−n 2+21n ；②B n+1+2=B n +b n ，b 1=20；③b n =22−2log 2a n ，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答． (1)求数列{b n }的通项公式；(2)定义：a ∗b ={a,a ≤bb,a >b .记c n =a n ∗b n ，求数列{c n }的前100项的和T 100．19. 某工厂有一批材料被预定制作“阳马”(中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体)，材料是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”.材料的尺寸如图所示，BE =1，DG =4，AB =2．(1)求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度；(2)求平面AEFG与底面ABCD所夹锐角的余弦值．20.某地方舱医院的建设中，为了使得内部环境更加温馨，在儿童病区采用了如图所示的一个窗户(该图为轴对称图形)，其中上半部分曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线E1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cosx−1，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ1(t)；曲线E2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ2(t)；窗户的下半部分中，AB，BC，CD是矩形ABCD的三条边，由总长度为6米的材料弯折而成，记BC边的长度为2t米(1≤t≤32).(1)分别求函数ℎ1(t)、ℎ2(t)的表达式；(2)为了使得点O到BC边的距离最大，窗户的上半部分应选择曲线E1还是曲线E2？请说明理由，并求出此时矩形部分的BC边长度应设计成多少米．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(−1,√32)，短轴的一个端点到焦点的距离为2．(1)求椭圆E的方程；(2)定义k PQ为P，Q两点所在直线的斜率，若四边形ABCD为椭圆的内接四边形，且AC，BD相交于原点O，且k AC=14kBD，试判断k AB与k BC的和是否为定值.若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．22.函数m(x)=alnx+x2．(1)当a≠0时，若函数m(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)=−x2m′(x)+lnx+2x3，a∈R．(ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+n，求实数a，m的值；(ⅰ)对于曲线y=f(x)上的两个不同的点M=(x1,f(x1))，N=(x2,f(x2))，记直线)<k．MN的斜率为k，若；的导函数为f′(x)，证明：f′(x1+x22答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合B={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，又集合A={−3,−1,1，3}，所以A∩B={−1,1，2}．故选：B．先利用一元二次不等式的解法求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合交集定义的理解和应用，一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为(1+√3i2i )2=(1+√3i)2(2i)2=−2+2√3i−2=1−√3i，所以(1+√3i2i)2在复平面内对应的点的坐标为(1,−√3)，位于第四象限．故选：D．先利用复数乘法的运算法则将复数化为代数形式，然后利用复数的几何意义进行分析求解即可．本题考查了复数乘法运算法则的运用，复数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(2,3，−4)，b⃗ =(−3,x，y)分别是平面α，β的法向量，∵α//β，∴a⃗//b⃗ ，∴−32=x3=y−4，解得x=−92，y=6．故选：B．由α//β，得a⃗//b⃗ ，利用向量平行的性质能求出x，y．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：圆C 的标准方程为(x +2)2+(y −1)2=9，则圆心C(−2,1)， 因为圆C 关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则圆心C(−2,1)在直线l 上，则有−2−2a +4=0，解得a =1， 故直线l 的方程为x −2y +4=0， 所以原点O 到直线l 的距离为d =√12+(−2)2=4√55． 故选：C ．先求出圆C 的标准方程，从而得到点C 的坐标，利用圆的对称性，可知点C 在直线l 上，从而求出a 的值，得到直线l 的方程，由点到直线的距离公式求解即可． 本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆关于直线对称性问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意可知2a ≥x 2在[−2,1]上恒成立． 由函数y =x 2图象可知在[−2,1]上y 的最大值是4，∴2a ≥4， ∴a ≥2． 故选：D ．解出a 的取值集合，从选项中找其真子集可解决此题．本题考查充分不必要条件的意义、函数思想，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为1<2<e ，所以ln1<ln2<lne ，即0<p <1， 而1<3<10，所以lg1<lg3<lg10，即0<q <1， 所以p +q >p −q ，故A ，B 错误，因为0<lg3<lg1012=12，0<lne 12=12<ln2，所以p >12,0<q <12，因为p−q pq =1q −1p >0，所以p −q >pq ，故选项C 错误，综上可得，p +q >p −q >pq ，故选项D 正确． 故选：D ．利用对数函数的单调性求出0<p <1，0<q <1，从而判断选项A ，B ；再将p ，q 与特殊值0，12比较，即可判断选项C ，D ．本题考查了函数值大小的比较，主要考查了利用对数的单调性将函数值与特殊值进行比较，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设a =1x +1y ，b =x +9y ，则a +b =17， ∵ab =(1x+1y )(x +9y)=9y x+x y+10≥2√9+10=16，当且仅当9y x=xy时取等号，∴ab ≥16，又∵a +b =17，∴a(17−a)≥16，即a 2−17a +16≤0，解得1≤a ≤16， ∴1≤1x +1y ≤16，∴1x +1y 的最小值为1． 故选：B ．设a =1x +1y ，b =x +9y ，得到a +b =17，再利用基本不等式求出ab ≥16，转化为a 的一元二次不等式即可求解．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，又由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则QP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 变形可得：(m +n)2−3mn =14， 又由mn ≤(m+n)24，则有(m +n)2≤1，解可得：−1≤m +n ≤1，即m +n 的取值范围为[−1,1]； 故选：A ．根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量数量积的运算性质可得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形可得：(m +n)2−3mn =14，结合基本不等式的性质，变形分析可得(m +n)2≤1，解可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及正三角形的性质和基本不等式的性质和应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1=1−cos2x 2+√32sin2x =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+32，当sin(2x −π6)=1，即2x −π6=π2+2kπ,k ∈Z ，即x =π3+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值52，当sin(2x −π6)=−1，即2x −π6=−π2+2kπ,k ∈Z ，即x =−π6+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值12，故选项A ，C 错误，选项B ，D 正确． 故选：BD ．先利用二倍角公式以及辅助角公式化简f(x)的解析式，然后利用正弦函数的最值以及整体代换，求出f(x)的最值情况，对照选项判断即可．本题考查了三角函数最值问题的求解，涉及了二倍角公式以及辅助角公式的运用，正弦函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，可得2c =4√2，即c =2√2，ba =√3，8=a 2+b 2，解得a =√2，b =√6， 所以实轴长为2√2，A 不正确；双曲线的离心率为：2√2√2=2，所以B 正确；双曲线的焦点到渐近线的距离为b =√6，所以C 正确； c −a =2√2−√2=√2>1，所以D 不正确． 故选：BC ．利用双曲线的渐近线方程以及焦距，求解a ，b ，c ，然后判断选项的正误即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A ，因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)， 令x −1=t ，则x =t +1，所以f(t)=f(t +1+1)=f(t +2)，所以对于任意的x ∈R ，f(x +2)=f(x)， 则函数f(x)的周期为2，故选项A 正确； 对于B ，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，所以f(43)=f(−23+2)=f(−23)=f(23)=23，故选项B 错误； 对于C ，设x ∈[1,2]，则2−x ∈[0,1]，所以f(2−x)=2−x ，因为f(2−x)=f(−x +2)=f(−x)=f(x)， 所以f(x)=2−x ，x ∈[1,2]， 因为函数g(x)=f(x)−kx −k ，所以当x ∈[1,2]时，g(x)=2−x −kx −k =−(k +1)x −k +2， 当k >−1时，k +1>0，所以−(k +1)<0， 所以g(x)在[1,2]上为单调递减函数，故选项C 正确； 对于D ，因为g(x)=f(x)−kx −k ，所以函数g(x)在[−1,3]内的零点个数等价于函数f(x)的图象与直线y =kx +k =k(x +1)在[−1,3]内交点的个数， 作出两条函数图象如图所示，在区间[−1,3]内，因为函数g(x)由4个零点，则实数k 的取值范围为0<k ≤1−03−(−1)=14，即k ∈(0,14]，故选项D 正确． 故选：ACD ．利用偶函数的性质以及周期函数的定义判断选项A ；利用周期性，将f(43)转化为f(23)，再利用已知的解析式求解，即可判断选项B ；求出f(x)在x ∈[1,2]上的解析式，从而得到g(x)在x ∈[1,2]上的解析式，由解析式即可确定函数g(x)的单调性，从而判断选项C ；将函数的零点问题转化为两个图象的交点问题，利用数形结合法进行分析求解，即可判断选项D ．本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的周期性、奇偶性、单调性的应用，函数解析式的求解，函数零点的应用，综合性强，对学生的能力要求较高，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：作出图形如图所示，对于B ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1，所以AD 1⊥CD ，因为AD 1⊥A 1D ，且CD ∩A 1D =D ，A 1D ，CD ⊂平面A 1CD ，所以AD 1⊥平面A 1CD ，因为A 1C ⊂平面A 1CD ，所以A 1C ⊥AD 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，因为AB 1∩AD 1=A ，AB 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1，因为P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，则PB 1⊂平面AB 1D 1，因为平面AB 1D 1∩平面ADD 1A 1=AD 1， 所以P ∈线段AD 1，故选项B 正确；对于A ，因为在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD//C 1D 1，且AB =CD =C 1D 1， 所以四边形ABC 1D 1是平行四边形，故AD 1//BC 1，又AD 1⊄平面BC 1D ，BC 1⊂平面BC 1D ，所以AD 1//平面BC 1D ， 同理可证AB 1//平面BC 1D ，又AB 1∩AD 1=A ，AB 1⊂平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1//平面BC 1D ，又B 1P ⊂平面AB 1D 1，故B 1P//平面BC 1D 1，故选项A 正确；对于C，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，所以AB1=B1D1=AD1=√2，故△AB1D1是边长为√2的正三角形，所以|PB1|∈[(√2)，故|PB1|∈[√62,√2]，故选项C错误；对于D，在在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ADD1A1//平面BCC1B1，所以PB1与平面BCC1B1(即平面BC1)所成的角等于PB1与平面ADD1A1所成的角，连结A1P，因为A1B1⊥平面ADD1A1，所以∠B1PA1就是PB1与平面ADD1A1所成的角，因为√22≤A1P≤1，所以在Rt△B1A1中，B1P=√A1B12+A1P2=√1+A1P2∈[√62,√2]，所以sin∠B1PA=|A1B1||B1P|=1|B1P|∈[√22,√63]，因为√32>√63，所以PB1与平面BC1所成角的正弦值不可能是√32，故选项D错误．故选：AB．利用线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理和性质定理即可判断选项A；利用平面的基本定理判断选项B；利用△AB1D1是边长为√2的正三角形，求解|PB1|的范围，即可判断选项C；利用线面角的定义找到对应的角，然后由边角关系求解，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何知识的综合应用，涉及了线面位置关系，点与直线位置关系，线面角等知识的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．13.【答案】4π3【解析】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：2，故R=1，所以该球的体积为43πR3=4π3．故答案为：4π3．正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长，即可求出该球的体积．本题是基础题，考查球的体积，确定与正方体的棱相切球的半径，是解决本题的关键．14.【答案】2√3【解析】解：建立如图所示的坐标系：直线l 方程为：x =−√32，A(√32,0)，B(3√32,0)， 弧线PQ 的方程为，y 2=2√3x ，由抛物线的定义可知点M 到点A 的距离与到直线l 的距离相等， 故当直线BN 垂直直线l 且与曲线PQ 相交于点M 时MB +MA 的值最小， 此时最小值为2√3， 故答案为：2√3．利用题中的条件，建立直角坐标系，转化成抛物线的问题，进而可以解决．本题考查了抛物线的定义，学生的逻辑推理能力，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】(−∞,−1]∪[2,+∞)【解析】解：由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，可得T n =14(1−15+13−17+15−19+...+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3) =14(1+13−12n+1−12n+3)=13−14(12n+1+12n+3)<13， 任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立， 可得a 2−a ≥6×13， 解得a ≥2或a ≤−1，则a 的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[2,+∞)．由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，运用数列的裂项相消求和可得T n ，由不等式的性质可得T n <13，由不等式恒成立思想，结合二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查数列的裂项相消求和和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】1 [13π6,19π6)【解析】解：当x ∈[0,π]时，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，由于函数f(x)在[0,π]上有且仅有3个零点，则2π≤ωπ−π6<3π， ∴136≤ω<196，∴ω的取值范围为[13π6,19π6).令t =ωx −π6，则2π≤t <3π，作出函数y =sint 在区间[−π6,ωπ−π6]上的图象如图所示，∴函数f(x)在[0,π]上有且仅有1个极小值点． 故答案为：1，[13π6,19π6).由x ∈[0,π]可得，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，根据题意可得2π≤ωπ−π6<3π，令t =ωx −π6，作出函数y =sint 的图象，利用数形结合即可．本题考查了正弦型函数求解零点的个数问题，涉及到换元法，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为cosB =35，所以sinB =45，由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2accosB ，即25=a 2+c 2−65ac ≥2ac −65ac ， 当且仅当a =c 时取等号， 故ac ≤1254，所以S =12acsinB ≤12×1254×45=252，所以△ABC的面积的最大值为252；(2)因为√2csin B+C2=asinC，由正弦定理得√2sinC⋅sinπ−A2=sinA⋅sinC，因为sinC≠0，所以√2sinπ−A2=sinA，即√2cos A2=sin A2⋅cos A2，又cos A2≠0，故sin A2=√22，则A=90°，又因为sinB=45=ba，所以a=254，则c=a⋅cosB=254⋅35=154，故周长为a+b+c=254+5+154=15．【解析】(1)由同角三角函数关系求出sin B，由余弦定理以及基本不等式求出ac的最大值，利用三角形的面积公式求解即可得到答案；(2)利用正弦定理将已知的等式边化角，再利用三角恒等变换进行化简，求出角A，利用边角关系求出a，c，即可得到△ABC的周长．本题考查了解三角形问题，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式求最值的应用，三角恒等变换以及三角形面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知得，{a n}为等比数列，公比为q=2，则a1+2a1+22a1=14∴a1=2∴a n=2n选择①当n=1时，b1=B1=20，当n≥2时，b n=B n−B n−1=22−2n，∴b n=22−2n．选择②B n+1−B n=b n−2，即b n+1=b n−2，所以{b n}是首项为20，公差−2的等差数列，∴b n=22−2n．选择③b n=22−2log22n=22−2n．(2)由(1)知：c n=a n∗b n={2n,1≤n≤322−2n,n≥4(n∈N∗)所以，T 100=a 1+a 2+a 3+b 4+b 5+b 6+⋅⋅⋅+b 100=a 1(1−q 3)1−q+97(b 4+b 100)2=2(1−23)1−2+97(14−178)2=24−2−7954=−7940．【解析】(1)由已知得，{a n }为等比数列，公比为q =2，求出通项公式， 选择①，利用b n =B n −B n−1求解通项公式即可．选择②B n+1−B n =b n −2，推出{b n }是首项为20，公差−2的等差数列，求解通项公式． 选择③，利用已知条件化简求解即可．(2)利用新定义，化简通项公式，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设点F(0,0，ℎ)，且有A(2,2，0)，G(2,0，4)，E(0,2，1)，因为几何体是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的， 所以平面ADG//平面BCFE ，又平面ADG ∩平面AEFG =AG ，平面BCFE ∩平面AEFG =EF ， 所以AG//EF ，同理AE//GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(0,−2,4)=(0,−2,ℎ−1)，得ℎ=5 易知制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ， 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+4+25=√33， 所以FA 的长为√33．(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 由(1)知，AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,4)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1) 设平面AEFG 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则由{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2y +4z =0−2x +z =0，即{y =2z x =z 2 令z =2，所以n⃗ =(1,4,2)，所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1×√1+16+4=√21=2√2121， 所以平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值为2√2121．【解析】(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.判断四边形AEFG 是平行四边形．说明制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ，利用空间向量的距离公式求解即可．(2)求出平面ABCD 的一个法向量，平面AEFG 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值即可．本题考空间点、线、面距离的求法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)曲线E 1解析式为y =cosx −1，所以点D 的坐标为(t,cost −1)，点O 到AD 的距离为1−cost ，而AB =DC =3−t ，则ℎ1(t)=(3−t)+(1−cost)=−t −cost +4，(1≤t ≤32)， 关于曲线E 2，可知抛物线的方程为x 2=−94y ．所以点D 的坐标为(t,−49t 2)，点O 到AD 的距离为49t 2， 又AB =DC =3−t ，可得ℎ2(t)=49t 2−t +3(1≤t ≤32)． (2)因为ℎ′(t)=−1+sint <0， 所以ℎ1(t)在[1,32]上单调递减，所以当t =1时，ℎ1(t)取得最大值为3−cos1． 又ℎ2(t)=49t 2−t +2(1≤t ≤32)二次函数开口向上，在[1,98]上单调递减，在[98,32]上单调递增， 当t =32时，ℎ2(t)取得最大值为52经比较，cos1>cos π3=12，所以3−cos1<3−12=52 所以，选用曲线E 2，满足点O 到BC 边的距离最大， 此时2t =3，即矩形部分的BC 边长度设计成3米．【解析】(1)利用题中的条件易解出ℎ1(t)，ℎ2(t)，即可解出； (2)由(1)知分别对两个函数进行求导，解出最值，即可解决．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−1,√32)，所以1a 2+34b 2=1， 又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为2，即a =2， 联立方程{1a 2+34b 2=1a =2．解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)k AB +k BC =0.理由如下：设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 2+4y 2=4，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， ∴△=(8km)2−4(4k 2+1)×4(m 2−1)=16(4k 2−m 2+1)≥0，{x 1+x 2=−8km1+4k 2x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2， 因为k AC =14k BD，所以k OA k OB =14，所以4y 1y 2=x 1x 2，又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， ∴(4k 2−1)x 1x 2+4km(x 1+x 2)+4m 2=0． ∴(4k 2−1)4(m 2−1)1+4k 2+4km −8km1+4k 2+4m 2=0．整理得4k 2=1，∴k =±12， ∵A ，B ，C ，D 可以轮换，∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是−12， ∴k AB +k BC =0．【解析】(1)利用椭圆过点P(−1,√32)，结合短轴的一个端点到焦点的距离为2，求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率，推出结果即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)函数m(x)=alnx +x 2(a ≠0)的定义域为(0,+∞)，∴m′(x)=ax +2x =2x 2+a x，①当a >0时，m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增， 取x 0=e −1a ，则(e −1a )=−1+(e −1a )2<0，因为m(1)=1，所以m(x 0)m(1)<0，此时函数m(x)有一个零点， ②当a <0时，令m′(x)=0，解得x =√−a2，当0<x <√−a2时，m′(x)<0，所以m(x)在(0,√−a2)m′(x)<0上单调递减，当x >√−a2时，m′(x)>0，所以m(x)在(√−a2,+∞)上单调递增，要使函数m(x)有一个零点，则m(√−a 2)=aln √−a 2−a2=0，即ln(−a2)=1，解得：a =−2e ，综上，若函数m(x)恰有一个零点，则a =−2e 或a >0． (2)(ⅰ)∵f(x)=lnx −2a ，∴f′(x)=1x −a ，∵曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =2x +m ， ∴{f′(1)=1−a =2f(1)=−a =2×1+m ，解得：{a =−1m =−1； (ⅰ)证明：f(x 1)−f(x 2)=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)， k =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2x 1−x 2−a ，又f′(x)=1x −a =1−ax x，f′(x 1+x 22)=2x 1+x 2−a ，f′(x 1+x 22)−k =2x1+x 2−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x1−x 2[2(x 1−x 2)x 1+x 2−ln x 1x 2]=1x1−x 2[2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x1x 2]，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，即2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt ．令ℎ(t)=2(t−1)t+1−lnt(t >1)，则ℎ′(t)=−(t−1)2(1+t)2t <0，因此ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0， 又0<x 2<x 1，所以x 1−x 2>0，所以f′(x 1+x 22)−k <0，即f′(x 1+x 22)<k ．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a 的范围即可；(2)(i)结合切线方程得到关于a ，m 的方程组，解出即可； (ii)表示出k ，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，得到2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt.令ℎ(t)=2(t−1)−lnt(t>1)，求出函数ℎ(t)的导数，结合函数的单调性证明即可．t+1本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
山东省济南市2020届高三数学12月考试题新人教B版
济南市高三12月考数 学 试 题1.本试卷为发展卷，采用长卷出题、自主选择、分层记分的方式，试卷卷面满分180分；考生每一部分的题目都要有所选择，至少选做120分的题目，多选不限；2.本试卷命题范围是高中代数部分的全部内容，除个别题目外文、理学生都可任意选择；3.试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟；4.选择题答案请用2B 铅笔填涂到答题卡上，填空题和解答题请用签字笔或钢笔写到答题纸上；5.本试卷.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.不能使用计算器.测试时间120分钟.第Ⅰ卷（共72分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题4分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集R =U ，集合}1|(>=x x A ，集合}3|(x y x B -==，则B A ⋂=A.)0,(-∞B. )1,(-∞C. ),1[+∞D. ]3,1(2.已知)0,4(,54cos παα-∈=，则=αsin A ．53- B ．53 C ．53± D ．以上都不对3．函数)12lg(13)(-+-=x xx x f 的定义域为A ．)1,(-∞B ．]1,0(C ．)1,0(D ．),0(+∞ 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ．)R (3∈+=x x x y B ．)R (3∈=x y xC ．)R 0(log 2∈>-=x x x y ，D ．)0,R (1≠∈=x x xy 5.已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边，ο60,3,2===B b a ，则A =A.ο135 B.ο45 C.ο135或ο45 D.90o6.复数z 满足(12)7i z i -=+，则复数z 的共轭复数z =A.i31+ B. i 31- C. i +3 D. i -37．32()32f x ax x =++,若4)1(=-'f ,则a =A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 8.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a 9a =225a ，2a =2，则1a = A.21B.22C.2D.29.已知向量a ),2(x =，b )8,(x =，若a ∥b ，则x = A.4-B.4C.4±D.1610.下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为：“若0xy =，则0x ≠” B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x ，使得2210x -<”的否定是：“R ∈∀x ，均有2210x -<” D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题11．已知a 是函数x x f x21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足A ．0)(0=x fB ．0)(0>x fC ．0)(0<x fD ．)(0x f 的符号不能确定12．若O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0，则ABC ∆的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形13．定义在R 上的函数f (x )在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则A.f (－1)＜f (3)B.f (0)＞f (3)C.f (－1)＝f (3)D.f (0)＝f (3) 14．在△ABC 中，“B A sin sin >”是“B A >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 15.已知函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f y =的图象可由函数x y sin =的图象（纵坐标不变） 变换如下A.先把各点的横坐标缩短到原来的21倍，再向右平移12π个单位 B.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位 C.先把各点的横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位16. )(x f 是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x 、R ∈y 都有)()()(y x f y f x f +=，若))((,21*1N n n f a a n ∈==，则数列{}n a 的前n 项和n S 为 A ．12121+-=n n S B ．1211+-=n n SC.n n S 211-= D ．n n S 2121-=17．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)(x f '为)(x f 的导函数，已知)(x f y '=的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的取值范围是A ．)21,31(B ．),3()21,(+∞⋃-∞C ．)3,21( D ．)3,(-∞18. 已知数列{}n a 满足 则na n的最小值为A ．10 B.11 C.12 D.13数 学 试 题第Ⅱ卷（非选择题 共108分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 请将答案写到答题纸上. 19.已知向量a ·b =5-，且|a |=2，|b |=5，则<a ，b >= .20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若477a a =，则713s s = .1136,2,n n a a a n +==+21．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)],5([10,3)(n n f f n n n f ，其中*N ∈n ，则)8(f = .22.设z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，当z 的最大值为6时，k 的值为_ ____.23.已知32cos 2,cos sin ,43sin ππx x -依次成等比数列，则x 在区间[)π2,0内的解集为 .24.下列命题中，真命题的序号有________.（写出所有真命题的序号）①当0>x 且1≠x 时，有2ln 1ln ≥+xx ；②函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a x x 1； ③函数2)(x e x f x-=在2=x 处取得极大值；④若31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，则5cot tan =βα. 三、解答题：本大题共9个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写到答题纸上 .25．（本小题满分8分）已知函数)R (1sin 3cos )(∈+-=x x x x f . （Ⅰ）求函数=y ()f x 的最大值，并指出取得最大值时相应的x 的值； （Ⅱ）求函数=y )(x f 的单调增区间.26. （本小题满分8分）设函数)1ln()(2++=ax x x f 的定义域为A . （Ⅰ）若1A ∈，3A -∉，求实数a 的范围；（Ⅱ）若函数=y ()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.27．（本小题满分8分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且bc c b a ++=222（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试求内角B 、C 的大小. 28. （本小题满分8分）已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式：（Ⅱ）等比数列}{n b 满足：1,2211-==a b a b ，若数列n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S .29．（本小题满分8分）设函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图象在0=x 处的切线方程为01224=-+y x . （Ⅰ）求c ，d ；（Ⅱ）若函数在2=x 处取得极值16-，试求函数解析式并确定函数的单调区间.30.（本小题满分8分）已知平面向量a )1,3(-=,b )23,21(=（Ⅰ）若存在实数t k 和,满足x )2(+=t a )5(2--+t t b ，y k -=a 4+b 且x ⊥y ，求出k关于t 的关系式)(t f k=；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数)(t f k =在)2,2(-∈t 上的最小值.31. （本小题满分12分）已知定义在实数集R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2，且当)1,0(∈x 时，142)(+=xxx f （Ⅰ）求函数)(x f 在)1,1(-上的解析式； （Ⅱ）判断)(x f 在)1,0(上的单调性； （Ⅲ）当λ取何值时，方程λ=)(x f 在)1,1(-上有实数解？32. （本小题满分12分）济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设)(n f 表示前n 年的纯收入.（)(n f =前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额） （Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业； ②纯利润最大时，以160万元出售该企业； 问哪种方案最合算？33．（本题满分12分）已知函数)R (ln )(2∈+=a x ax x f (Ⅰ)当2=a 时，求)(x f 在区间],[2e e 上的最大值和最小值；(Ⅱ)如果函数)(),(),(21x f x f x g 在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<， 那么就称)(x g 为)(),(21x f x f 的“伴随函数”.已知函数x a ax x a x f ln )1(2)21()(221-++-=，ax x x f 221)(22+=.若在区间),1(+∞上，函数)(x f 是)(),(21x f x f 的“伴随函数”，求a 的取值范围.高三数学发展卷答题纸一、 选择题（本大题共18个小题，每小题4分，共72分） 二、 填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 19.______________ 20. ______________ 21. ______________ 22.______________ 23. ______________ 24. ______________ 三、解答题（本大题共9个小题，共84分）班级________________________姓名_______________________ 准考证号___________________ 密封线内不得答题 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25.（本小题满分8分）26.（本小题满分8分）27.（本小题满分8分）28.（本小题满分8分）29.（本小题满分8分）30.（本小题满分8分）班级________________________姓名_______________________ 准考证号___________________ 密封线内不得答题 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------31.（本小题满分12分）32.（本小题满分12分）33.（本小题满分12分）数学参考答案说明：此卷为发展卷，卷面满分为150分，学生自主选择题目做，得分超过120分按120分计，不足120分按实际得分计。
山东省诸城市2020届高三数学12月月考 理 新人教B版
山东省诸城市2020届高三12月月考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号。
3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设非空集合A ，B 满足A ⊆B ，则A ．o x ∃∈A，使得x o ∈B B ．x ∀∈A,有 x∈BC ．o x ∃∈B，使得x o ∉AD ．x ∀∈B,有x∈A2．集合|,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，中的角所表示的范围（阴影部分）是3．已知a r 、b r 、c r 是共起点的向量，a r 、b r 不共线，且存在m ，n∈R 使c ma nb =+r r r成立，若a r 、b r 、c r的终点共线，则必有A ．m+n=0B ．m －n= 1C ．m+n =1D ．m+ n=－1 4．“22ab>”是22log log a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数212()log (32)f x x x =-+的值域是A ．RB ．（1,2）C ．[2,+∞）D ．（－∞,l ）U （2,+∞）6． 若向量(1,2),(4,)a x b y =-=r r相互垂直，则93x y +的最小值为A ．6B ．C ．D ．127．已知f （x ）＝sin （x+2π），()cos()2g x x π=-，则()f x 的图象 （ ）A ．与g （x ）的图象相同B ．与g （x ）的图象关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得到g （x ）的图象 D ．向右平移2π个单位，得到g （x ）的图象8．设二元一次不等式组1,4,60x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为M ，使函数xy a =（a>0,a≠1）的图象过区域M 的a 的取值范围是A ．[1,3]B ．9]C ．[2,9]D ．[2,5]9．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈u u r u u r。
山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期12月联合调研检测数学试题
新高考质量测评12月联合调研监测高三数学考试用时120分钟，满分150分．一、选择题1. 已知集合405x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}35B x x =≤<，则A B =（ ） A. ()3,6 B. [)3,6C. [)4,5D. ()4,5D求出集合A 后可得A B .()404,55x A x x ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭，故()4,5A B ⋂=，故选：D.2. ()123iz a a i+=∈+R ，若z 为实数，则a 的值为（ ） A .23B.12C.13D.32D利用复数代数形式的除法运算法则计算可得；解：222212(12)(3)2366(23)3(3)(3)99i i a i a ai i i a a iz a i a i a i a i a ++-+--++-====++--+， z 为实数，a R ∈，230a ∴-=，解得32a =．故选：D ． 3. 若非零向量m ，n 满足m n =，则“3223m n m n -=+”是“m n ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件， B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件C将|32||23|m n m n -=+两边平方可得，0m n ⋅=，再根据数量积的定义可知，“|32||23|m n m n -=+”是“m n ⊥”的充要条件．解：因为||||m n =，|32||23|m n m n -=+等价于0m n ⋅=，由数量积的定义可知，0m n ⋅=等价于m n ⊥，故“|32||23|m n m n -=+”是“m n ⊥”的充要条件．故选：C ． 4. 已知变量x ，y 之间的一组数据如下表：x1 2 3 4 5y3.47.59.113.8m若y 关于x 的线性回归方程为ˆ31y x =+，则m 的值为（ ） A. 16 B. 16.2 C. 16.4 D. 16.6B求出样本中心坐标代入回归直线方程，求解即可． 解：由题意可知：1234535x ++++==， 3.47.59.113.833.855m my +++++==，样本中心33.83,5m +⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归直线方程可得33.83315m +=⨯+． 解得16.2m =．故选：B ．5. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°C将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB 与CD 所成角的大小.如图所示：将多面体放置于正方体中，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2则()()()()1,0,2,0,1,2,0,2,1,1,2,0A B C D()1,1,0AB =-，()1,0,1CD =-，设异面直线AB 与CD 所成角为θ 所以1cos 222AB CD AB CDθ⋅===⋅⋅，故60θ=故选：C 6. 为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有（ ） A. 60种 B. 34种 C. 31种 D. 30种D根据题意，分“选出的3人为2男1女”和“选出的3人为1男2女”2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，相加即可得答案．解：根据题意，要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，分2种情况讨论：选出的3人为2男1女，有214318C C =种安排方法，选出的3人为1男2女，有124312C C =种安排方法，则有181230+=种选法，故选：D ．7. 已知函数()y f x =的图像如图所示，则此函数可能是（ ）A. ()2e e 2x xf x x x --=+-B. ()2e e 2x xf x x x --=+-C. ()22e e x x x xf x -+-=-D. ()22e ex x x x f x -+-=-A根据题意，依次分析选项中函数的定义域、奇偶性以及f (x )函数值的符号,验证与函数图象是否一致，综合可得答案.对于A ，2()||2x xe ef x x x --=+-，有2||20x x +-≠，解可得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，又由22()()||2||2x x x xe e e ef x f x x x x x -----===-+-+-，()f x 为奇函数， 在区间(0,1)上，0x x e e -->，2||20x x +-<，()0f x <，在区间(1,)+∞上，0x x e e -->，2||20x x +->，()0f x >，符合题意，对于B ，2()||2x xe ef x x x --=+-，有2||20x x +-≠，解可得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(0,1)上，0x x e e --<，2||20x x +-<，()0f x >，与图象不符，不符合题意，对于C ，2||2()x x x x f x e e-+-=-，有0x x e e --≠，解可得0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠，与图象不符，不符合题意，对于D ，2||2()e ex x x x f x -+-=-，有0x x e e --≠，解可得0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠，与图象不符，不符合题意，故选：A8. 对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数．已知数列{}n a 的通项公式n a =前n项和为n S ，则[][][]1240S S S ++⋅⋅⋅+=（ ） A. 105 B. 120C. 125D. 130B先求出n S ，对于k ∈N ，考虑满足22243k k n k k +≤<++的n 的个数，从而可计算[][][]1240S S S ++⋅⋅⋅+的值.因为n a ==故11n n S ++=，对于k ∈N ，若22243k k n k k +≤<++，则111k n k ≤+-<+，所以11n k ⎡⎤+-=⎣⎦即[]n S k =，取0k =，则03n ≤<，故[][]120S S ==， 当1k时，满足[]n S k =的n 有2243223k k k k k ++--=+个，故[][][]12400215273941156120S S S ++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选：B.思路点睛：对于数列中与取整函数有关的计算问题，可以根据取整函数的性质确定出满足条件的项的个数，从而便于数列和的计算. 二、选择题9. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）A. 在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平B. 若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元C. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元D. 若“金融业生”产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元 AC根据图2中第三产业中各行业比重，即可判断选项A 正确，B 错误，C 正确，再结合图1中国内三大产业比重，计算可知选项D 错误．解：对于选项A ：在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和所占比为16%16%32%+=，“其他服务业”的生产总值占比32%，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项A 正确，对于选项B ：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比6%，所以第三产业生产总值为150002500006%=亿元， 又因为“房地产业”生产总值占比13%，所以“房地产业”生产总值为13%25000032500⨯=亿元，故选项B 错误，对于选项C ：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为4200026250016%=亿元，故选项C 正确， 对于选项D ：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为4200026250016%=亿元，又因为第三产业生产总值占比57%，第一产业生产总值占比6%，所以第一产业生产总值为2625006%2763157%⨯≈亿元，所以选项D 错误，故选：AC ． 10. 已知点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一个对称中心，其中ω为常数且()0,3ω∈，则以下结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 将函数()f x 的图像向右平移π12个单位所得的图像关于y 轴对称C. 函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为D .若12ππ2x x <<<，则()()12f x f x > BC首先利用函数的对称中心求出函数的关系式，进一步利用函数的关系式的应用和函数的图象的平移变换和单调性的关系判定A 、B 、C 、D 的结论．解：因为点(6π，0)是函数()2sin()3f x x πω=-图象的一个对称中心，所以()06f π=，即2sin()063ππω⨯-=，解得26k ω=+，k Z ∈，又因为(0,3)ω∈，所以2ω=．所以()sin()f x x π=-223，A ．最小正周期为222T πππω===．故错误． B ．()sin()f x x π=-223向右平移12π个单位得函数2sin 22sin 22cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2cos 2y x =-关于y 轴对称，故正确．C ．当[0x ∈，]2π时，2[33x ππ-∈-，2]3π，所以sin(2)[3x π-∈1]所以()[f x ∈2]，所以函数()f x 在[0，]2π上的最小值为D ．因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2π5π2,333x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 当11,212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，232,332x πππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，()f x 单调递减，即1211122x x ππ<<<时，则12()()f x f x > 当11,12x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，352,323x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，所以121112x x ππ<<<，则12()()f x f x <，故错误．故选：BC ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．11. 已知a ，b 是不同直线，α，β是不同平面，且a α⊥，//b β，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 若a b ⊥，则//αβB. 若//a b ，则αβ⊥C. 若αβ⊥，则//a bD. 若//αβ，则a b ⊥BD根据线线，线面，面面的位置关系，以及判断定理和性质定理，判断选项. A.若a b ⊥，则//αβ或,αβ相交，此时b 平移于,αβ的交线；B.若//a b ，a α⊥，则b α⊥，且b β//，根据线面平行性质定理可知，存在c β⊂，使//b c ， 所以c α⊥，又c β⊂，则αβ⊥，故B 正确；C. 若αβ⊥，则//a b ，或相交，异面，故C 不正确；D.若//αβ，a α⊥，则a β⊥，又b β//，则a b ⊥，故D 正确.故选：BD 12. 已知函数()sin 1xx f x e +=，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 在()0,π上单调递减 B. 函数()f x 在()π,0-上有极小值 C. 方程()12f x =在()π,0-上只有一个实根 D. 方程()1cos x x f x e x =+在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上有两个实根 ABD求得函数()f x 的导数，求得函数()f x 的单调性，可判定A ，由函数()f x 的单调性和极值的概念，可判定B ，利用函数()f x 的单调性，极值、端点的函数值，可判定C ；将非常的解转化为两个函数图象交点的个数，结合图象，可判定D ，即可得到答案. 由题意，函数()sin 1x x f x e +=，可得()cos sin 1xx x f x e --'=，当()0f x '>，即cos sin 10x x -->，所以3cos()4x π+>，所以3322,444k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得22,2k x k k Z πππ-<<∈，当0k =时，02x π-<<；当1k =时，322x ππ<<，当()0f x '<，即cos sin 10x x --<，所以3cos()4x π+<，所以5322,444k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得222,2k x k k Z ππππ-<<-∈， 当0k =时，22x ππ-<<-；当1k =时，302x π<<，所以当(0,)x π∈时，()()0,f x f x '<单调递减，所以A 正确； 又因为当(,)2x ππ∈--时，()0f x '<，当(,0)2x π∈-时，()0f x '>，所以()f x 在2x π=-出取得极小值，所以B 正确； 因为(),()0,(0)12f e f f πππ-=-==，所以()12f x =在(,0)π-上不只有一个实数根，所以C 不正确； 因为方程()1cos x x f x e x =+，即sin 11cos x x x x e e x+=+， 即sin cos x x x e x =，所以tan xe x x=，正切函数tan y x =在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调递增函数，又由函数e x y x=，可得2(1)x e x y x '-=，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭和()0,1x ∈时，0y '<，当π1,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，且当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0xe y x=<，作出两函数的大致图象，如图所示，由图象可得，当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数tan y x =与exy x=的图象有两个交点，所以D 正确.故选：ABD.利用导数研究函数的单调性（区间）的方法：（1）当导函数不等式可解时，解不等式()0f x '>或()0f x '<，求出函数的单调区间； （2）当方程()0f x '=可解时，解出方程的实根，依据实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间()f x '的符号，从而确定函数的单调区间；（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据()f x '结构特征，利用图像与性质确定()f x '的符号，从而确定单调区间. 三、填空题13. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P -,则cos2α=______．35根据三角函数的定义，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值． 由三角函数的定义，r 5= 可得：sinα5y r == 可得：cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×（5235=-．故答案为35-．本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14. 若2nx x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）． 35由题意利用二项展开式的通项公式，求得n 、r 的值，可得结论．解：2()n x x x-的展开式的通项公式为7221(1)r n r rr nTC x-+=⋅-⋅，展开式中第5项为常数项，故当4r =时，7202rn -=，7n ∴=， 该展开式的常数项为447(1)35C ⋅-=，故答案为：35．15. 已知奇函数()y f x =满足条件()()11f x f x -=+，且当()0,1x ∈时，()324x f x =+，则12log 5⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 2-首先得到函数的周期2T =，再利用函数的周期和奇偶性，化简求值.()()11f x f x -=+，2T ∴=，且函数是奇函数，所以化简 ()()12222255log 5log 5log 52log log 44f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()25log 0,14∈，25log 425353log 224444f⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭， 12log 52f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.故答案为：-2关键点点睛：本题的关键是利用函数的周期性和奇函数的性质化简1225log 5log 4f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16. 矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．(1). 4π (2).3π12由题设可得AC 的中点O 为四面体外接球的球心，故求出半径后可得球的表面积. 在ADC 中过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，连接BE ，在ABC 中过E 作EH AC ⊥，与AB 交于H ，连接DH ，在DEH △中过D 作直线EH 的垂线，垂足为F ，连接BF ，设二面角D AC B --的平面角为θ，可求32ππθ≤≤，从而可求D 的运动轨迹的长度.如图，在四面体D ABC -中，取AC 的中点为O ，连接,DO BO ， 由,ADC ACB 均直角三角形可以得到DO AO CO BO ===，故O 为四面体D ABC -外接球的球心，故外接球的半径为1113122AC =+=， 故外接球的表面积为4π.在ADC 中过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，连接BE ，则331DE ==在ABC 中过E 作EH AC ⊥，与AB 交于H ，连接DH ，则1332EH ==， 且3AHE π∠=，故23EHB π∠=. 又DEH ∠为二面角D AC B --的平面角，设该角为θ， 在DEH △中过D 作直线EH 的垂线，垂足为F ，连接BF ， 因为DE EH E ⋂=，故AC ⊥平面DEH ，而AC ⊂平面ABC ， 故平面DEH ⊥平面ABC ，因为DF ⊂平面DEH ，平面DEH ⋂平面ABC EH =，DF EH ⊥， 故DF ⊥平面ABC ，而FB ⊂平面平面ABC ，故DF FB ⊥， 因为3sin sin 2DF DE θθ==，33cos cos 62FH EH DE θθ=-=-，故222122BF θθ⎫⎫⎛⎫=+--⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2733cos cos 424θθ=-+， 所以222733353cos cos sin cos 424422BD θθθθ=-++=-，所以7535cos 4222θ≤-≤，故10cos 2θ≤≤，故32ππθ≤≤，故D 所在的弧对应的圆心角为6π（以E 为圆心，DE 为半径的圆），故其轨迹的长度为612DE π⨯=，故答案为：4π方法点睛：空间中动点的轨迹的长度的计算，关键在动点轨迹的刻画，注意根据动点的几何性质得到轨迹，计算过程中注意把已知的量归结到可解的三角形中. 四、解答题17. 已知等差数列{}n a 满足37a =，2620a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，236b a =，1n n b b +>，求满足2021n S ≤的n 的最大值．（1）32n a n =-；（2）10.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，求出这两个量的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，根据已知条件求出q ，利用等比数列的求和公式求出n S ，然后解不等式2021n S ≤，即可求得满足条件的n 的最大值. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=． 因为37a =，2620a a +=，所以11272620a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩，所以32n a n =-；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，因为11b a =，236b a =，所以()1221116b b q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11b =，2q =±. 因为1n n b b +>，所以2q，所以()1122112n n nS ⨯-==--．因为2021n S ≤，所以212021n -≤，即22022n ≤，101121024202220482=<<=，所以10n ≤，所以n 的最大值为10.18. 在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，②()sin sin sin sin a A c C A b B +-=，③tan tan cos A B b A=+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对的边，b =______． （1）求角B ； （2）求2a c +的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）π3B =；（2）（1）选择①：利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1sin()62B π-=，结合范围0B π<<，可求B 的值．选择②：由正弦定理化简已知等式可得222a c b ac +-=，由余弦定理可得1cos 2B =，结合范围0B π<<，可求B 的值．选择③：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得tan B =0B π<<，可求B 的值．（2）由（1）及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2)a c A ϕ+=+，结合203A π<<，且ϕ为锐角，可得存在角A 使得2A πϕ+=，利用正弦函数的性质即可求解最大值．解：（1）选择①：由π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得11cos cos 22B B B +=+11cos 22B B -=， 所以π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，故ππ66B -=， 所以π3B =．选择②：由正弦定理，()sin sin sin sin a A c C A b B +-=可化为222a c b ac +-=，由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0πB <<，所以π3B =，=， 又()sin sin sin sin cos cos sin sin tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B CA B A B A B A B A B+++=+===．tan tan A B =+sin cos cos C A B =， 因为sin 0C >，所以tan B = 因为0πB <<，所以π3B =．（2）在ABC 中，由（1）及b =4sin sin sin 2b a c B A C ====， 故4sin a A =，4sin c C =，所以224sin 8sin 4sin 8sin π3a c A C A A ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭4sin 4sin 8sin A A A A A =++=+()A ϕ=+，因为20π3A <<且ϕ为锐角， 所以存在角A 使得π2A ϕ+=， 所以2a c +的最大值为解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19. 已知函数32113f xx ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．（1）89；（2）存在，12a =.（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解.（2）求导()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56求解.（1）当1a =时，()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，所以()11f '=-，又()113f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113y x -=--，即3340x y +-=，直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为43， 所以三角形的面积为14482339S =⨯⨯=．（2）()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =． 当022a <<，即01a <<时，当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减； 当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增．则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12a =，当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，则()()min 8524136f x f a ==-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56．方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．20. 在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3DAB ∠=，11A AD A AB ∠=∠，111A B =，12AA =，1π6A AC ∠=．（1）证明：BD ⊥平面1ACA ； （2）求二面角11C BB A --的余弦值． （1）证明见解析；（2）7（1）先证明1AO BD ⊥，AC BD ⊥，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式直接求解即可． （1）证明：连接1A B ，1A D ，设AC 与BD 相交于点O ， 因为AB AD =，11A AD A AB ∠=∠， 所以11A AD A AB ≌△△， 所以11A D A B =，连接1A O ，因为O 为BD 的中点，所以1AO BD ⊥． 又因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，因为1AO AC O ⋂=，1,AC AO ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ， （2）解：在1A AO 中，21π43223cos 16AO =+-⨯⨯⨯=，所以11A O =， 因为222114A O AO AA +==，所以1A O AC ⊥，因为1AO BD ⊥，AC BD O =，,AC BD ⊂平面ABCD ．所以1A O ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,1C -，131,,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0B ，)3,0,0A．设平面11C B B 的法向量()1111,,x n y z =，1131,02C B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，131,12B B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由1111100n C B n B B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111113102231022x y x y z +=⎪+-=⎩，取11x =，则13y =-10z =，所以()11,3,0n =-，设平面1ABB 的法向量()2222,,n x y z =，()AB =，131,,122B B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由22100n AB nB B ⋅=⋅=得222220102y x y z ⎧+=+-=，取21x =，则2y =2z (2n =，所以121212cos ,2n n n n n n ⋅===⨯， 由图知二面角11C BB A --是钝角，所以二面角11C BB A --的余弦值是 本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21. 潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案： 方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取l 个批次检测．（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率； （2）求方案甲检测次数X 的分布列；（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由．（1）35；（2）答案见解析；（3）方案乙的效率更高．理由见解析.（1）由题意即可求解；（2）先求出X 的可能取值，然后求出对应的概率，进而可以求解；（3）设方案乙的检测次数为Y ，求出Y 的可能取值，然后求出对应的概率，再求出方案甲和乙的数学期望，比较大小即可求解．解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率243535C P C ==， （2）依题意知检测次数X 的可能取值为1，2，3，4，()445511 5A P X A ===，()445512 5A P X A ===，()445513 5A P X A ===，()444455245A A P X A +===， 故方案甲检测次数X 的分布列为：（3）设方案乙检测次数为Y ，则Y 的可能取值为2，3．当2Y =时的情况为先检测3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先检测3个批次为合格，再从其他2个批次中取出1个批次检测．则()2331434231325352132 5C A A A P Y A AA A ⨯⨯==⨯+=， 所以()235P Y ==． 故方案乙检测次数Y 的分布列为：()555E Y =+=， 则()12381455555E X =+++=，因为()()E Y E X <，所以方案乙的效率更高．22. 已知函数()ln 1f x mx x =-，0m ≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()22g x x x e=-，且关于x 的不等式()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围．（1）答案见解析；（2）11,00,e e e e ⎡⎫⎛⎤-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． （1）对函数求导，分0m >和0m <两种情况分别得出函数的单调性；（2）()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立，可得22ln 1mx x x x e -≤-，即12ln 0x m x x e+--≥在()0,∞+上恒成立，令()12ln x m x x p x e=+--，求导研究函数的单调性与极值()0p x ，利用导函数为零得出001m x x =-，代入不等式()00p x ≥，并构造出()112ln q x x x x x x e ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，利用导数得出0x 的范围，进而求出实数m 的取值范围．（1）根据题意可知()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln 1f x m x '=+，令()0f x '=，得1=x e． 当0m >时，10x e<<时，()0f x '<，1x e >时()0f x '>； 当0m <时，10x e<<时，()0f x '>，1x e >时()0f x '<． 综上所述，当0m >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0m <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）依题意，22ln 1mx x x x e -≤-，即12ln 0x m x x e+--≥在()0,∞+上恒成立， 令()12ln x m x x p x e =+--，则()222111m x mx p x x x x--'=--=． 对于21y x mx =--，2m 40∆=+>，故其必有两个零点，且两个零点的积为1-，则两个零点一正一负，设其正零点为()00x ∈+∞,，则20010x mx --=，即001m x x =-， 且()p x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()00p x ≥，即00000112ln 0x x x x x e ⎛⎫+---≥ ⎪⎝⎭． 令()112ln q x x x x x x e⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭， 则()2222111111ln 11ln q x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当()0,1x ∈时，()0q x '>，当()1,x ∈+∞时，()0q x '<， 则()q x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 又()10q q e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 显然函数001m x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是关于0x 的单调递增函数， 则11,m e e ee ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 所以实数m 的取值范围为11,00,e e e e ⎡⎫⎛⎤-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．。