高三数学专题复习--极坐标与参数方程

A3，π2
，B3，π6
，求：

(1)A、B 两点间的距离； (2)△AOB 的面积；
(3)直线 AB 与极轴正方向所成的角．
解析：如右图所示：∵OA＝OB＝3，∠AOB＝ π2
－π 6
＝π 3
，
∴△AOB 为正三角形． (1)A，B 两点间的距离为 3.
(2)△ (3)直
A线OABB的与面极积轴S正＝方12×向3所×成3s的in角60为°π＝－9 4π63＝ . 5π 6 .
2 将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
解析：∵0≤t≤π，∴－3≤x≤5，－2≤y≤2. ∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos 2t＋16sin 2t＝16，
∴曲线的普通方程为
(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)．
它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，4 为半径的上半圆．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
解析：由 x＝ t＋1≥1，有 t＝x－1，代入 y＝1－2 t 得 y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1，1)为端点的一条射线(包括端点)．
点评：将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量 的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致， 因此在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．
∴y＝3－4 t＝ 将3s－ inθ 2xc＋ osθ 2.＝y 代入，得 x2＝1＋2y.
即 y＝－2x＋∴5所求(普 x≥ 通1方)， 程为
它表示一条射线．
消参方法是：代入法y＝12 x2－21
(－ 2≤x≤ 2)，
它是抛物线的一部分．
tan
θ例＝2－(16)把2＝点－M3 3的. 极坐标8，23π
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
[解析]（Ⅰ）设中点p的坐标为(x,y)，依据中点公式有
（ 为参数），这是点p轨迹的参数方程，消参得点p的直角坐标
，
表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到 直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d，则
.因此曲线c上的点到直线l的距离的最小值为
.
小结：
本专题考查的内容一般是直线、圆、椭 圆的三种方程互化；利用参数方程、极坐标 方程的意义优化交点坐标的求解、线段长度、 角度的计算等，难度一般不太大，同学们要 树立信心拿满分。
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
x＝1＋2 (1)
y＝3－4
t， (t
t
为参数)；(2)
x

y
= =
s in s in
+ cos cos
(θ
为参数)．
解析：(1)∵x＝ (2)1∵＋ x＝ 2 cots， θ＋sinθ＝ 2sinθ＋π 4 ，
∴x≥1 且 2 t∴ ＝xx∈－ [－1. 2， 2]． 消参方法是： 整体法 ∵－4 t＝－2又 x＋x22＝ ，1＋2sin θcosθ，
意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是 ， ） 。
如右图。
1、极坐标化为直角坐标公式为：
x = cos, y = sin
2、直角坐标化为极坐标公式为：
2 =
x2
+
y2,
tan
极=坐y标,与x直角0坐标的互化公式为
x
不作特殊说明时,我们x＝认ρc为osθ，y＝____根___据_，点所在的象限
考点二：灵活应用参数方程和参数的意义．
分析：根据参数的意义，只要知道了θ的度数，就能求出动点P的坐标。
(2)依题可得，koc =
3
，即直线OC的倾斜角为

3
∵点P在曲线C上，
∴终边为OP在圆心C上的θ
=

+3
，
代入方程得：P（ 1 ， 3 ）。
22
考点三：灵活应用极坐标方程和极坐标的意义．
例
3．已知两点的极坐标
方程为
. （5分）
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
解：
（Ⅱ）直线l的普通方程为
，曲线c的普通方程为

考点二：灵活应用参数方程和参数的意义．
x = 1 + cos
2.设方程 y =
，（θ 为参数）.表示的曲
3 + sin
线为 C， （1）求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小
值
（2）点 P 为曲线 C 上的动点，当|OP|最小时(O 为坐标原点)，求点 P 的坐标。
考点二：灵活应用参数方程和参数的意义．
最小正角.
ρ2＝________，tanθ＝yx(x≠0).
小结
以上是“坐标系与参数方程”的基本知识 和方法，要求： 1、大家熟记基本曲线的极坐标方程和普通方程。 2、掌握和灵活应用参数方程与普通方程的互化 方法，极坐标方程与普通方程互化方法解决相 关问题。
考点一 参数方程与普通方程的互化
例 1 化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．
ρ2＝x2＋y2，
(2)由坐标变换公式 tan
θ＝xy（x≠0），
得 ρ＝ （－ 3）2＋（－1）2＝2 2，
tan
θ＝－ 62＝－3
3 .
∵点 M 在第四象限，ρ＞0，
∴最小正角 θ＝116π.
因此，点 M 的极坐标是2

2，116π.
答案：(1)(－4，4 3)

(2)2

2，116π
化为直角坐标形式是________；

(2)把点 M 的直角坐标( 6，－ 2)化成极坐标(ρ ≥0，0≤θ ＜2
∵π点)是M__在__第__四__象．限，ρ＞0，
∴最小正角 θ＝116π.
因此，点 M 的极坐标是2

2，116π.
答案：(1)(－4，4
3)

(2)2

2，116π

五、考点练习：
1Fra Baidu bibliotek
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求

A，B
两点
间的距离．
解. 析：解法一 如图所示，
∵
∠AOB
＝
π 3
，又
OA
＝
OB
＝
2，
∴ △ ABO 为等边三角形．∴ AB 的长度为 2.
解法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直角坐标( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝ 3－ 32＋[1－（－1）]2＝2.
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求

A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
专题 坐标系与参数方程 (选修4—4)
梅县区松源中学 黄友新、何庆平
2016.5
应掌握知识点： （1）记住常见的参数方程、极坐标方程。 （2）会进行参数方程、极坐标方程与直角坐标方 程的互化；
应掌握基本方法： （1）消参的三种基本方法； （2）极坐标方程与直角坐标方程互化的方法
1、高考全国卷中 “坐标系与参数方程” 在第23题，分值为10分，知识相对比较独立， 难度中等，容易拿分。
3、焦点在X轴上椭圆 的参数方程为:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a

b

0)
类似地
三、（2）普通方程和参数方程互化的基本方法
1、参数方程 化为 普通方程 代入（消参）法、整体（消参）法 代数或三角恒等式（消参）法、
2、普通方程 化为 参数方程
第1 点是 我们 要着 重掌 握的！
适当引入参数,将方程中变数x，y写成与参数t有
关系的式子： x = f (t)

y
=
g (t)
注意：1、方法不唯一，参数可取几何参数或物理参数； 2、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y
的取值范围保持一致.
三、（3）几种常见的极坐标方程 1、直线的极坐标方程
2、圆的极坐标方程
三、（4） 极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极 轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任
2、圆心为C（a,b）,半径为r的圆(x-a)2+(y-b)2=r2的
参数方程是:
x

y
= =
a b
+ +
r r
cos sin
(为参数)
θ 的几何意义为以圆心C为中心的圆心角
类似地
圆心在原点的圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程为

x y
= =
r r
cos sin
(为参数)
谢谢指导！ 再见！
小结
1、参数方程化为普通方程的基本方法是：代入法、三 角法、整体消元法。 注意：变量X、Y的范围保持一致。
2、极坐标与普通方程的互化公式，
点M
直角坐标（x.y）
极坐标（ρ ，θ ） （ρ ≧0）
互化公式
在一般情况下,由tanθ 确定角时，可根据点M所在的象限
取θ∈[0，2π)的最小正角.
3、熟记基本曲线的极坐标与普通方程