分段函数及函数的性质

分段函数及函数的单调性奇偶性

一、分段函数

基础测试

1、已知函数2311()4615x x f x x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩

，则f[f(1)]= . 2、已知函数221()12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩

，若f(x)=3,则x= . 3、已知函数2

()12434x x f x x x x x ≤⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩

，若f(a)< - 3,则a 的取值范围是 。

类型一．求分段函数的定义域、值域

例1求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≤－2，x 2

，x ＞－2的值域．

小结 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．

类型二、分段函数的奇偶性

例2（1）判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＜－1，0，－1≤x ≤1，

－x ＋2，x ＞1

的奇偶性

（2）已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，求f (x )的解析式．

类型三、分段函数的单调性 例3、(1)、若函数2(21)1(0)()(2)(0)

b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是 。

（2）、若函数f(x)=|2x+a|的单调区间是[3,+∞)，则a 的值为 。

二、复合函数的单调性

例：（1）求下列函数的单调区间

y ＝1(x ＋1)2 13y ⎛= ⎪⎝⎭

（2）、已知函数log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围为 。

三、函数的单调性的应用

1、（比较大小）若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，则f (－1)，f (2)，f (4)的大小关系为 。

2、（解不等式）已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)

3（利用单调性求最值）例4已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x

，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；

(2)当a ＝12

时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．

四、函数的奇偶性

1、判断下列函数的奇偶性．

（1）f (x )＝x ＋1·x －1 （2）f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1

2、（抽象函数的性质判定）已知函数()f x 对任意,x y R ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，2()0,(1)3

f x f <=- （1）、求证：

()f x 是奇函数；（2）、求证：()f x 在R 上单调递减； （3）、若

()(3)2f x f x +-≤-，求实数x 的取值范围

五、 函数单调性奇偶性的综合应用

例1、 已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)，若给出一个实数a ，a ＜0，

有f (a )＝－2，则实数a ＝________.

例2、定义在(－2,2)上的偶函数f (x )在区间[0,2)上是减函数，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围

变式训练：1、已知函数f (x )是偶函数，且在区间[0,1]上是减函数，则f (－0.5)、f (－1)、f (0)的大小关系是( )

A ．f (－0.5)＜f (0)＜f (－1)

B ．f (－1)＜f (－0.5)＜f (0)

C ．f (0)＜f (－0.5)＜f (－1)

D ．f (－1)＜f (0)＜f (－0.5)

2若偶函数f (x )在区间[3,6]上是增函数且f (6)＝9，则它在区间[－6，－3]上( )

A ．最小值是9

B ．最小值是－9

C ．最大值是－9

D ．最大值是9

3若函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )＜0的解集是( )

A ．(－2,0)∪(0,2)

B ．(－∞，－2)∪(0,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－2,0)∪(2，＋∞)

4设定义在(－1,1)上的奇函数f (x )在[0,1)上单调递增，且有f (1－m )＋f (12

－2m )＜0，求实数m 的取值范围．

图形变换与数形结合

一、平移变换

例1设f (x )＝x 2，在同一坐标系中画出：

(1)y ＝f (x )，y ＝f (x ＋1)和y ＝f (x －1)的图象，并观察三个函数图象的关系；

(2)y ＝f (x )，y ＝f (x )＋1和y ＝f (x )－1的图象，并观察三个函数图象的关系．

小结

二、对称变换

例2设f (x )＝x ＋1，在同一坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象，并观察两个函数图象的关系．

小结

三、翻折变换

例3设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝|f (x )|的图象，并观察两个函数图象的关系．

例4设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系．

小结

例1、 若方程x 2－32

x ＝k 在区间(－1,1)内有实数解，试求实数k 的取值范围．

变式：1、函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

2、若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )

A ．(0,1)∪(1，＋∞)

B ．(0,1)