2020高三数学(人教版)一轮复习计数原理与排列组合
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[解析] ①第一节课若安排 A，则第四节课只能安排 C，第 二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人， 共有 4×3＝12 种安排方案．
②第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节 课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共 有 2×4×3＝24 种安排方案．
在所有的两位数中，个位数大于十位数的两位数共有_____个．
[ 解 析 ] (1) 法 一 ： 按 个 位 数 字 分 类 ， 个 位 可 为
2,3,4,5,6,7,8,9，共分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分
别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，则共有
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 个两位数．
两个计数原理的综合问题
在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或 分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类 的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可 能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不 漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类， 准确分步．
[例 3] (1)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，
因此不同的安排方案共有 12＋24＝36(种)． [答案] 36
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这 件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m__×__n__ 种不同的方法．
计数原理与排列组合
有一天，你想从陆丰到深圳，共有几种出行方式？
其中动车高铁共有35班，汽车共33班，其他出行方 式都已经暂停。
分类加法计数原理
能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成 n 类． (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． (3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有 方法数．
[答案] 18 6
(2)如图，某电子器件由 3 个电阻串联 而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，B， C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路 就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱 落的可能情况共有________种．
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而 只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26－1＝63 种可能情况．
其中比 40 000 大的偶数共有
()
A．144 个
B．120 个
C．96 个 D．72 个
[解析] 由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是 4 或
5.当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有
2×4×3×2＝48 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4
中任选一个，共有 3×4×3×2＝72 个偶数．故符合条件的偶数
法(不重复过一点)．
[解析] 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法； 第二类，中间过一个点，有 A→B→O 和 A→C→O 2 种不 同的走法； 第三类，中间过两个点，有 A→B→C→O 和 A→C→B→O 2 种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的走法． [答案] 5
共有 48＋72＝120(个)．
[答案] B
(2)某班一天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上 课，现从 A，B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上一节 课，第一节课只能从 A、B 两人中安排一个，第四节课只能从 A、 C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．
[例 2] (1)从－1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f(x)＝ ax2＋bx＋c 的系数，则可组成________个不同的二次函数，其 中偶函数有________个(用数字作答)．
[解析] 一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法 计数原理知共有 3×3×2＝18 个二次函数．若二次函数为偶函 数，则 b＝0，同理可知共有 3×2＝6 个偶函数．
法二：按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成
8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，
5 个，4 个，3 个，2 个，1 个，则共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2
＋1＝36 个两位数．
[答案] 36
(2)如图，从 A 到 O 有________种不同的走
3Hale Waihona Puke Baidu两个计数原理的比较
名称
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题
运用加法运算
运用乘法运算
分类完成一件事，并且每 类办法中的每种方法都能 不同点 独立完成这件事情，要注 意“类”与“类”之间的 独立性和并列性．分类计 数原理可利用“并联”电 路来理解
分步完成一件事，并且只 有各个步骤都完成才算完 成这件事情，要注意“步” 与“步”之间的连续 性．分步计数原理可利用 “串联”电路来理解
[答案] 63
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件 发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且 分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的， 只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相 独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
又有一天，你想从陆丰到长沙，共有几种出行方式？
已知两地之间没有直达车，现在打算从深圳转车，其中 陆丰到深圳动车高铁共有35班，深圳到长沙共5班列车。
分步乘法计数原理 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法． (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事 的所有方法数．
②第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节 课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共 有 2×4×3＝24 种安排方案．
在所有的两位数中，个位数大于十位数的两位数共有_____个．
[ 解 析 ] (1) 法 一 ： 按 个 位 数 字 分 类 ， 个 位 可 为
2,3,4,5,6,7,8,9，共分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分
别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，则共有
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 个两位数．
两个计数原理的综合问题
在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或 分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类 的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可 能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不 漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类， 准确分步．
[例 3] (1)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，
因此不同的安排方案共有 12＋24＝36(种)． [答案] 36
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这 件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m__×__n__ 种不同的方法．
计数原理与排列组合
有一天，你想从陆丰到深圳，共有几种出行方式？
其中动车高铁共有35班，汽车共33班，其他出行方 式都已经暂停。
分类加法计数原理
能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成 n 类． (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． (3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有 方法数．
[答案] 18 6
(2)如图，某电子器件由 3 个电阻串联 而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，B， C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路 就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱 落的可能情况共有________种．
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而 只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26－1＝63 种可能情况．
其中比 40 000 大的偶数共有
()
A．144 个
B．120 个
C．96 个 D．72 个
[解析] 由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是 4 或
5.当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有
2×4×3×2＝48 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4
中任选一个，共有 3×4×3×2＝72 个偶数．故符合条件的偶数
法(不重复过一点)．
[解析] 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法； 第二类，中间过一个点，有 A→B→O 和 A→C→O 2 种不 同的走法； 第三类，中间过两个点，有 A→B→C→O 和 A→C→B→O 2 种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的走法． [答案] 5
共有 48＋72＝120(个)．
[答案] B
(2)某班一天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上 课，现从 A，B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上一节 课，第一节课只能从 A、B 两人中安排一个，第四节课只能从 A、 C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．
[例 2] (1)从－1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f(x)＝ ax2＋bx＋c 的系数，则可组成________个不同的二次函数，其 中偶函数有________个(用数字作答)．
[解析] 一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法 计数原理知共有 3×3×2＝18 个二次函数．若二次函数为偶函 数，则 b＝0，同理可知共有 3×2＝6 个偶函数．
法二：按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成
8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，
5 个，4 个，3 个，2 个，1 个，则共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2
＋1＝36 个两位数．
[答案] 36
(2)如图，从 A 到 O 有________种不同的走
3Hale Waihona Puke Baidu两个计数原理的比较
名称
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题
运用加法运算
运用乘法运算
分类完成一件事，并且每 类办法中的每种方法都能 不同点 独立完成这件事情，要注 意“类”与“类”之间的 独立性和并列性．分类计 数原理可利用“并联”电 路来理解
分步完成一件事，并且只 有各个步骤都完成才算完 成这件事情，要注意“步” 与“步”之间的连续 性．分步计数原理可利用 “串联”电路来理解
[答案] 63
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件 发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且 分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的， 只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相 独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
又有一天，你想从陆丰到长沙，共有几种出行方式？
已知两地之间没有直达车，现在打算从深圳转车，其中 陆丰到深圳动车高铁共有35班，深圳到长沙共5班列车。
分步乘法计数原理 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法． (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事 的所有方法数．