浙江省2020年高考数学模拟题分项汇编 3 导数(解析版)(28道题)

第三章 导数

1.从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.

2.浙江省恢复对导数的考查后，已连续三年将导数应用问题设计为压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

3.常见题型，选择题、解答题各一道，难度基本稳定在中等以上.

一．选择题

1.(2019·浙江省高三月考)α，,22ππβ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是( ) A ．αβ> B ．0αβ+>

C ．αβ<

D ．2

2

αβ>

【答案】D 【解析】

构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,

2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫

∈-⎪⎢⎣⎭

时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选

D.故本小题选D.

2.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知,R a b ∈，关于x 的不等式3

2

11x ax bx +++≤在[0,2]x ∈时恒成立，则当b 取得最大值时，a 的取值范围为( )

A ．[2]-

B ．3

[2,]4

--

C ．3[]4

-

D ．5

[,2]2

-

- 【答案】A

【解析】

当0x =时，不等式显然成立．

当(0,2]∈x 时，32111-≤+++≤x ax bx ，即2

22-

-≤+≤-x ax b x x

，即直线y ax b =+夹在曲线段22

=--y x x

，(0,2]∈x 和2y x =-，(0,2]∈x 之间．

作出函数22=--y x x 与2

2=--y x x

在(0,2]∈x 上的图像如下：

由图像易知，b 最大值为0，直线y ax =过点(2,4)-时，a 取最大值为2-， 当直线y ax =与22

=-

-y x x

相切时，a 取最小值； 设切点为00(,)P x y ，则2000

2

=-

-y x x 由2

2=--y x x 得322

2222-'=-=x y x x x

， 所以在00(,)P x y 处的切线斜率为3

02

022-=x k x ， 所以切线方程为3

0002

022()--=

-x y y x x x ， 因为该切线过原点，

所以32

000200

222()-+=-x x x x x ，化简得304=x ，所以304=x

所以33

02

022342

-===-x a k x . 即a 的最小值为3

342

-， 因此a 的取值范围为333

[4,]24

--.

故选A

3.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知数列{}n a 满足：11

02

a <<

，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是( ) A ．2019102a << B ．

20191

12a << C ．20193

12

a <<

D ．20193

22

a <<

【答案】B 【解析】

考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<， 由'

11()1022x

f x x x

-=-

=>--可得()f x 在()0,1单调递增， 由'

()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减

且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：

且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=

，211()(0)2

a f a f =>>，

图象可得1231

012

n a a a a <<

<<<<<

<，

所以

20191

12

a <<，故选B. 4．(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知函数f (x )20

x e x lnx x ⎧-≤=⎨⎩，，＞，g (x )＝

f (213

kx +)+1(k ∈R ，k ≠0)，则下列关于函数y ＝f [g (x )]+1的零点个数判断正确的是( )

A ．当k ＞0时，有2个零点；当k ＜0时，有4个零点

B ．当k ＞0时，有4个零点；当k ＜0时，有2个零点

C ．无论k 为何值，均有2个零点

D ．无论k 为何值，均有4个零点 【答案】B 【解析】

依题意，当x ＝0或x 1

e

=

时，f (x )＝﹣1， 函数y ＝f [g (x )]+1的零点个数，即为方程f [g (x )]＝﹣1的解的个数， 即为方程g (x )＝0或g (x )1

e

=

的解的个数， 即为方程22103103kx kx ⎧+≤⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或者221

03

113

kx kx e ⎧+>⎪⎪⎨+⎪=

⎪⎩或221031113kx kx ln e ⎧+≤⎪⎪⎨+⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩(舍去)

或者21211

0313

e kx kx e ⎛⎫- ⎪⎝⎭

⎧+>⎪

⎪⎨+⎪=⎪⎩解的个数， 即为213kx +=0或者2113kx e +=或者1

2113

e kx e ⎛⎫

-

⎪⎝⎭+=解的个数，

由103<，113e >，因为111111

111()03e e e e e e e e --->---=>，所以1

113

e e ->，

①当k ＞0时，y 213kx +=为顶点为(0，13)，开口向上的抛物线，y 213

kx +=与y 1e =和11e y e -=分别有两

个交点，与y ＝0无交点，