北京宏志中学2014年高二数学(文科)寒假作业——圆锥曲线答案

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2014高考题---圆锥曲线(含答案)

2014高考题---圆锥曲线(含答案)

高考数学试题汇编---圆锥曲线1. 【2014高考安徽卷文第3题】抛物线241x y =的准线方程是( )A. 1-=yB. 2-=yC. 1-=xD. 2-=x2. 【2014高考全国1卷文第4题】已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a ( ) A. 2 B.26 C. 25D. 1 3. 【2014高考大纲卷文第9题】已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33,过F 2的直线l 交C 与A,B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ) A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y+= 4. 【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C 的焦距等于( )A. 2B. 22C.4D.425. 【2014高考天津卷卷文第6题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A .120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 6. 【2014高考广东卷文第8题】若实数k 满足05k <<,则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等7. 【2014高考江西卷文第9题】过双曲线12222=-by a x C :的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点),两点(、O O A 则双曲线C 的方程为( )A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 8. 【2014高考辽宁卷文第8题】已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .43-B .1-C .34-D .12- 9. 【2014高考全国2卷文第10题】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点,过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点,则 AB =( )(A )303(B )6 (C )12 (D )73 10. 【2014高考湖北卷文第8题】设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根,则过),(2a a A ,),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 311. 【2014高考重庆卷文第8题】设21F F ,分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.1712. 【2014高考四川卷文第10题】已知F 是抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x轴的两侧,2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( ) A .2 B .3 C .1728D .101.【2014高考陕西卷文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.2. 【2014高考四川卷文第11题】双曲线2214x y -=的离心率等于____________. 3. 【2014高考上海卷文第4题】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.4. 【2014高考北京卷文第10题】设双曲线C 的两个焦点为()2,0-,()2,0,一个顶点为()1,0,则C 的方程为 .5. 【2014高考浙江卷文第17题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ,若)0,(m P 满足||||PB PA =,则双曲线的离心率是 .6. 【2014高考江西卷文第14题】设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ,,作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ,两点,B F 1与y 轴交于点D ,若B F AD 1⊥,则椭圆C 的离心率等于________.7. 【2014高考辽宁卷文第15题】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .8. 【2014高考湖南卷文第14题】平面上以机器人在行进中始终保持与点()01,F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01,-P 且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是___________.23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E :22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点,11||3||AF BF = (1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16,求2||AF ; (2) 若23cos 5AF B ∠=,求椭圆E 的离心率.24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C :2224x y +=. (1) 求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一个圆上,求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ,以MN 为直径作圆C ,过点A 作圆C 的切线,切点为B ,试探究:当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时,线段AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的一个焦点为()5,0,离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -,求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k 的相应取值范围.29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5,O 为坐标原点,双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与1C 交于,A B 两点,与2C 只有一个公共点,且||||OA OB AB +=?证明你的结论.30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中,12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,顶点B 的坐标是(0,)b ,连接2BF 并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接1F C .(1)若点C 的坐标为41(,)33,且22BF =,求椭圆的方程; (2)若1F C AB ⊥,求椭圆离心率e 的值.31. 【2014高考江西文第20题】,已知抛物线2:4C xy =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点). (1)证明:动点D 在定直线上;(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线2y=相交于点1N ,与(1)中的定直线相交于点2N ,证明:2221||||MN MN -为定值,并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (Ⅰ)求点P 的坐标;(Ⅱ)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:+3l y x =交于A ,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.xyOP33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N .(Ⅰ)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且1||5||MN F N =,求,a b .34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32,直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点(,A B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆C 上,且AD AB ⊥,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.(i )设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ,证明存在常数λ使得12k k λ=,并求出λ的值;(ii )求CMN ∆面积的最大值.35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3),离心率为12,左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. (1)求椭圆的方程; (2)若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点,与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点,且满足||53||4AB CD =,求直线l 的方程.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中,对于直线l :0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++(若η<0,则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点21P P ,被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证:点),(),(012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔; ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线,求实数k 的取值范围;⑶动点M 到点)(2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E ,求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为(2,0)F -,离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线3x =-上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.38. 【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A ,上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点M ,=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C :24x y =上,F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB 的中点,3PF FM =;(1)若||3PF =,求点M 的坐标; (2)求ABP ∆面积的最大值.40. 【2014高考重庆文第21题】如题(21)图,设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥,121||22||F F DF =,12DF F ∆的面积为22. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.答案与解析:一、选择题:1-5:ADACA 6-10:DACCA 11-12:DB 二、填空题:1、1-=x2、25 3、2-=x 4、122=-y x 5、25 6、337、12 8、()()∞+⋃∞,,11-- 三、解答题:23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E :22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点,11||3||AF BF = (3) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16,求2||AF ;(4) 若23cos 5AF B ∠=,求椭圆E 的离心率. 【答案】(1)5;(2)22. 【解析】试题分析:(1)由题意11||3||,||4AF F B AB ==可以求得11||3,||1AF F B ==,而2ABF ∆的周长为16,再由椭圆定义可得12416,||||28a AF AF a =+==.故21||2||835AF a AF =-=-=.(2)设出1||F B k =,则0k>且1||3,||4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的PBA M Fyx关系()(3)a k a k +-=,从而3a k =,212||3||,||5AF k AF BF k ===,则2222||||||BF F A AB =+,24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C :2224x y +=. (2) 求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一个圆上,求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.(2)求曲线Γ的方程;(3)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ,以MN 为直径作圆C ,过点A 作圆C 的切线,切点为B ,试探究:当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时,线段AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.由弦长,半径及圆心到直线的距离之关系,确定||6AB =.试题解析:解法一:(1)设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点,依题意,点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等, 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点,直线1y =-为准线的抛物线, 所以曲线Γ的方程为24x y =.(2)当点P 在曲线Γ上运动时,线段AB 的长度不变,证明如下:解法二:(1)设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点,则22|(3)|(0)(1)2y x y --=-+-=,依题意,点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方,所以3y >-, 所以22(0)(1)1x y y -+-=+, 化简得,曲线Γ的方程为24x y =. (2)同解法一.考点:抛物线的定义,导数的几何意义,直线方程,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0,离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【考点定位】本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用,属于难题.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -,求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k 的相应取值范围. 【答案】(1)⎩⎨⎧<≥=)0(,)0(42x o x x y ;(2)当),21()1,(+∞--∞∈ k 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点; 当)0,21[}21,1{--∈ k 时,故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点;当)21,0()211( -∈k 时,故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点)1,41(.当0≠k 时,方程①的判别式为)12(162-+-=∆k k ②设直线l 与x 轴的交点为)0,(0x ,则由)2(1+=-x k y ,令0=y ,得kk x 120+=③ (i )若⎩⎨⎧<<∆000x ,由②③解得1-<k 或21>k .即当),21()1,(+∞--∞∈ k 时,直线l 与1C 没有公共点,与2C 有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点. (ii )若⎩⎨⎧<=∆000x 或⎩⎨⎧≥>∆000x ,由②③解得}21,1{-∈k 或021<≤-k ,29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5,O 为坐标原点,双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与1C 交于,A B 两点,与2C 只有一个公共点,且||||OA OB AB +=?证明你的结论.【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中,12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,顶点B 的坐标是(0,)b ,连接2BF 并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接1F C .(1)若点C 的坐标为41(,)33,且22BF =,求椭圆的方程; (2)若1F C AB ⊥,求椭圆离心率e 的值.由1F C AB ⊥得323()13b b a c c c ⋅-=-+,即42243b a c c =+,∴222224()3a c a c c -=+,化简得55c e a ==. 【考点】椭圆标准方程,椭圆离心率,直线与直线的位置关系. 31. 【2014高考江西文第20题】,已知抛物线2:4C xy =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(2)证明:动点D 在定直线上;(3)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线2y =相交于点1N ,与(1)中的定直线相交于点2N ,证明:2221||||MN MN -为定值,并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (Ⅰ)求点P 的坐标;(Ⅱ)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:+3l y x =交于A ,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.xyOP【答案】(Ⅰ)(2,2);(Ⅱ)22163x y += 【解析】试题分析:(Ⅰ)首先设切点P 00(x ,y )00(x 0,,y 0)>>,由圆的切线的性质,根据半径OP 的斜率可求切线斜率,进而可表示切线方程为004x x y y +=,建立目标函数000014482S x y x y =⋅⋅=.故要求面积最小值,26a =.从而所求C 的方程为22163x y +=. 【考点定位】1、直线方程;2、椭圆的标准方程;3、弦长公式和点到直线的距离公式.33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N .(Ⅰ)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率; (Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且1||5||MN F N =,求,a b .【答案】(Ⅰ)12;(Ⅱ)7,27a b == 【解析】34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32,直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点(,A B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆C 上,且AD AB ⊥,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.(i )设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ,证明存在常数λ使得12k k λ=,并求出λ的值;(ii )求CMN ∆面积的最大值.由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mkx x k +=-+,因此121222()214my y k x x m k+=++=+, 由题意知,12x x ≠所以1211121144y y y k x x k x +==-=+,35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3),离心率为12,左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. (2)求椭圆的方程;(3)若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点,与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点,且满足||53||4AB CD =,求直线l 的方程.试题解析:(1)由题意可得312222bcaa b c⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,3,1a b c===∴直线l 的方程为1323y x =-+或1323y x =--考点:椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中,对于直线l :0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++(若η<0,则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点21P P ,被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证:点),(),(012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔; ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线,求实数k 的取值范围;⑶动点M 到点)(2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E ,求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为(2,0)F -,离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线3x =-上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得:22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y , 则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩,解得1m =±. 此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【考点定位】1、直线及椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系;3、三角形的面积. 38.【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A ,上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点M ,=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C :24x y =上,F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB 的中点,3PF FM =; (1)若||3PF =,求点M 的坐标;(2)求ABP ∆面积的最大值.【答案】(1))32,322(-M 或)32,322(M ;(2)1355256. 【解析】PBA M Fyx40. 【2014高考重庆文第21题】如题(21)图,设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥,121||22||F F DF =,12DF F ∆的面积为22. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.由(Ⅰ)知()()121,0,1,0F F -,所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--,再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=,由椭圆方程得()2211112x x -=+,即211340x x +=,解得143x =-或10x =.当10x =时,12,P P 重合,此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时,过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ,设()00,C y20. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C :24x y =上,F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB 的中点,3PF FM =; (1)若||3PF =,求点M 的坐标; (2)求ABP ∆面积的最大值.21.【2013浙江文22】已知抛物线C 的顶点为O (0,0),焦点F (0,1) (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l :y=x-2于M 、N 两点,求|MN|的最小值.PBA M Fyx。

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离,那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线【答案】D【解析】设动点为M,到圆C的距离记为MB,直线MB过圆心,当定点A是圆心C时,MB=MA,M为AB中点轨迹为圆;当定点A在圆内(圆心除外)时,MC+MA=r>AC,轨迹为椭圆;当定点A在圆外时,MC-MA=r<AC,轨迹为双曲线的一支,答案选D。

考点:圆锥曲线的定义2.已知、是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,若的面积为9,则的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】【解析】根据椭圆定义知①,根据,知②,③,所以,可得.【考点】椭圆定义,直角三角形的面积及勾股定理.3.若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于()A.或B.或C.或D.或【答案】A【解析】设直线与曲线相切的切点为,利用导数的几何意义得:, 解得或,当时,直线为轴,与相切,即,解得,当时,直线为,与抛物线联立,整理得:,因为相切,所以,解得,故选A.【考点】1.导数的几何意义;2.求切线方程.4.若是任意实数,则方程所表示的曲线一定不是()A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C【解析】当时,即时,曲线为直线,当时,曲线为圆,当时,曲线为双曲线.故选C.【考点】圆锥曲线的标准方程.5.若是2和8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是()A.B.C.或D.【答案】C【解析】由题可知,则,当时,圆锥曲线为椭圆,则,离心率,当时,圆锥曲线为双曲线,则,离心率.所以选C.【考点】本题主要考查圆锥曲线的标准方程,离心率.6.已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.(1)求椭圆的方程;(2)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围;(3)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由截距式可得直线的方程,根据点到线的距离公式可得间的关系,又因为,解方程组可得的值。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率,右焦点为,方程的两个实根,,则点()A.必在圆内B.必在圆上C.必在圆外D.以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小,时,点在圆上;时,点在圆内;时,点在圆外.由已知,,椭圆离心率为,从而,点在圆内,故选A.【考点】1.点与圆的位置关系;2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2=4x上的点A到其焦点的距离是6,则点A的横坐标是( )A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为,根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6,即,所以。

故A正确。

【考点】抛物线的定义。

3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程;(2)求证:三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质;(2)直线与圆锥曲线相交问题,可以设而不求,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析:(1)由题知,,∴,3分∴椭圆.4分(2) 设点,由(1)知∴直线的方程为,∴.5分∴,,8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程;2.直线与圆锥曲线相交问题;3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为,若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点,则点P到点(0,-1)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点,点P到准线的距离与点P到点F的距离相等,本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值,画图可知最小值即为点与点间的距离,最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知:=1,∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为:y2=-2px,将p代入可得y2=-4x.选A.【考点】抛物线的性质点评:本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力.在涉及到求抛物线的标准方程问题时,一定要先判断出焦点所在位置,避免出错.7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为(),则动点P在以下哪些曲线上()(写出所有可能的序号)①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A.①⑤B.③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=,整理得,点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2(x≠±a);①当k>0,点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A,B两点)②当k=0,点P的轨迹是x轴(除去A,B两点)③当-1<k<0时,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A,B两点)④当k=-1时,点P的轨迹是圆(除去A,B两点)⑤当k<-1时,点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A,B两点).故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题.点评:本题考查圆锥曲线的轨迹问题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.8.已知F1,F2是椭圆 (a>b>0)的左,右焦点,点P是椭圆在y轴右侧上的点,且∠F1PF2=,记线段PF1与y轴的交点为Q,O为坐标原点,若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,则该椭圆的离心率等于【答案】-1【解析】根据题意,由于F1,F2是椭圆 (a>b>0)的左,右焦点,点P是椭圆在y轴右侧上的点,且∠F1PF2=,且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3:2倍,那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于-1 ,故答案为-1 。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C的方程。

【答案】【解析】动圆圆心到定点的距离与到定直线(切线)的距离相等(等于半径),由抛物线的定义可知动点的轨迹是抛物线,易得方程为.试题解析:依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:y=-2为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.【考点】抛物线的定义与方程2.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为,离心率为. (1)求椭圆的方程;(2)过右焦点的直线交椭圆于两点,若轴上一点满足,求直线的斜率的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据与离心率可求得a,b,c的值,从而就得到椭圆的方程;(2)设出直线的方程,并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程,然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决.试题解析:(1),∴,,∴,∴,椭圆的标准方程为.(2)已知,设直线的方程为,-,联立直线与椭圆的方程,化简得:,∴,,∴的中点坐标为.①当时,的中垂线方程为,∵,∴点在的中垂线上,将点的坐标代入直线方程得:,即,解得或.②当时,的中垂线方程为,满足题意,∴斜率的取值为.【考点】1、椭圆的方程及几何性质;2、直线与椭圆的位置关系.3.已知曲线,求曲线过点的切线方程。

【答案】【解析】因为点不在曲线上,故先设所求切线的切点为,再求的导数则,由点斜式写出所求切线方程,再将切线上的已知点代入切线方程可求出,从而所求出切线方程.试题解析:,点不在曲线上,设所求切线的切点为,则切线的斜率,故所求的切线方程为.将及代入上式得解得:所以切点为或.从而所求切线方程为【考点】1、过曲线外一点求曲线的切线方程;2、导数的几何意义.4.已知点是双曲线的左焦点,过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点,且点在抛物线上,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,由于点是双曲线的左焦点,过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点(x,y),直线方程为,与联立方程组,并且有,,解得双曲线的离心率是,故选D.【考点】双曲线的性质点评:主要是考查了双曲线与抛物线的几何性质的运用,属于基础题。

高二上学期数学(文)寒假作业14 含答案

高二上学期数学(文)寒假作业14 含答案

高二数学文 寒假作业14一、选择题 1.函数sin y x =在点3(,)32π处的切线的斜率为( ) A .32 B .22C .12D .1 2.曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--3.过曲线21x y x+=(0x >)上横坐标为1的点的切线方程为 A.310x y +-= B. 350x y +-= C.10x y -+= D. 10x y --=4.函数f (x )=x +1x在x >0时有( ). A .极小值 B .极大值C .既有极大值又有极小值D .极值不存在5.已知函数x x x f 12)(3-=,若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减,则实数m 的取值范围是( )A .11≤≤-mB .11≤<-mC .11<<-mD .11<≤-m6.设点p 是曲线3233y x x =-+上的任意一点,p 点处切线倾斜角为a ,则角a 的取值范围是() A .2[0,)[,)23πππ⋃ B .5[0,)[,)26πππ⋃ C .2[,)3ππ D .5(,]26ππ二、填空题7.13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立,则a = _____. 8.曲线x x y ln 312-=在点)3ln 211,3(-处切线的倾斜角的大小是 _____. 9..曲线x x y sin =在点)0,(πM 处的切线的斜率是_______;10.函数f (x )=x 3+3ax 2+3[(a +2)x +1]有极大值又有极小值,则a 的取值范围是________.三、解答题11.已知函数31()3f x x ax b =++,(,)a b R ∈在2x =处取得极小值43-。

高二14年数学寒假作业题及答案

高二14年数学寒假作业题及答案

高二14年数学寒假作业题及答案高二14年数学寒假作业题及答案下面查字典数学网为大家整理了14年数学寒假作业题及答案,希望大家在空余时间进行复习练习和学习,供参考。

预祝同学们暑期愉快。

作业1 直线与圆的方程(一) 命题:1.(09年重庆高考)直线与圆的位置关系为( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a、b、c的值依次为( )A.2、4、4;B.-2、4、4;C.2、-4、4;D.2、-4、-43(2019年重庆高考)圆心在轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )A. B.C. D.4.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为( )A. B.4C. D.25. M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.相切或相交6、圆关于直线对称的圆的方程是( ).A.B.C.D.7、两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程为( ).A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=08.过点的直线中,被截得最长弦所在的直线方程为( )A. B.C. D.9. (2019年四川高考)圆的圆心坐标是10.圆和的公共弦所在直线方程为_ ___.11.(2019年天津高考)已知圆的圆心是直线与轴的交点,且圆与直线相切,则圆的方程为.12(2019山东高考)已知圆过点,且圆心在轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,则圆的标准方程为____________13.求过点P(6,-4)且被圆截得长为的弦所在的直线方程.14、已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=23,求直线l的方程;(2)圆C上一动点M(x0,y0),ON=(0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动点Q的轨迹方程人的结构就是相互支撑,众人的事业需要每个人的参与。

高二文科圆锥曲线专题复习(含答案)

高二文科圆锥曲线专题复习(含答案)

圆锥曲线文科专题复习知识回顾:一、圆锥曲线的两个定义:1、椭圆:第一定义:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,(当常数等于时,轨迹是线段FF;当常数小于时,无轨迹)第二定义:与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0<e<1)2、双曲线:第一定义:双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|F-F|,(定义中的“绝对值”与<|F-F|不可忽视。

若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线;若﹥|FF|,则轨迹不存在;若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

)第二定义:与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)3、抛物线:与定点和直线的距离相等的点的轨迹.二、圆锥曲线的标准方程(1)椭圆:焦点在轴上时()(为参数),焦点在轴上时=1()(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:=1()。

(3)抛物线:开口向右时, 开口向左时,开口向上时, 开口向下时。

三:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

【特别提醒】在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。

四、圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线;⑤离心率:,椭圆,(越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。

)(2)双曲线(以()为例):①范围:或;②焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:两条准线;⑤两条渐近线:⑥离心率:,双曲线,(越小,开口越小,越大,开口越大;)(3)抛物线(以为例)-----的几何意义是:焦点到准线的距离:①范围:;②焦点:一个焦点,③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线;⑤离心率:,抛物线。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点、的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.(Ⅰ)求点、的坐标;(Ⅱ)求动点的轨迹方程.【答案】(1);(2).【解析】(1)解决类似的问题时,要先求函数在区间内使的点,再判断导函数在各区间上的正负,由此得出函数的极大值和极小值.(2)第二问关键是理清思路,要求谁的方程,那就在这个曲线上任意选取一个点设为,然后根据条件寻找X与Y间的关系式即可. 试题解析:(Ⅰ)令解得当x<﹣1时,,当﹣1<x<1时,,当x>1时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故所以,点A、B的坐标为.(Ⅱ)设Q(x,y),①又点Q是点P关于直线y=x的对称点代入①得:,即为Q的轨迹方程【考点】(1)函数导数以及极值问题;(2)求点的轨迹方程问题.2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为,而椭圆的右焦点坐标为即,依题意可得,故选D.【考点】1.椭圆的几何性质;2.抛物线的几何性质.3.已知离心率的椭圆一个焦点为.(1)求椭圆的方程;(2) 若斜率为1的直线交椭圆于两点,且,求直线方程.【答案】(1);【解析】(2) 或.(1)由焦点坐标、离心率及解方程即可;(2)可以联立直线L与椭圆方程消去y,得到关于x的一元二次方程,然后利用弦长公式建立方程求出斜率截距m即可.试题解析:解:(1)由题知,,∴,3分∴椭圆.4分(2) 设直线方程为,点,由方程组6分化简得:,.8分∴,9分,解得.11分∴直线方程或.12分【考点】1.椭圆的标准方程;2.直线与圆锥曲线相交;3.弦长公式.4.(1)已知点和,过点的直线与过点的直线相交于点,设直线的斜率为,直线的斜率为,如果,求点的轨迹;(2)用正弦定理证明三角形外角平分线定理:如果在中,的外角平分线与边的延长线相交于点,则.【答案】(1)的轨迹是以为顶点,焦点在轴的椭圆(除长轴端点);(2)证明详见解析.【解析】(1)本题属直接法求轨迹方程,即根据题意设动点的坐标,求出,列出方程,化简整理即可;(2)设,在中,由正弦定理得,同时在在中,由正弦定理得,然后根据,进而得到,最后将得到的两等式相除即可证明.试题解析:(1)设点坐标为,则 2分整理得 4分所以点的轨迹是以为顶点,焦点在轴的椭圆(除长轴端点) 6分(2)证明:设在中,由正弦定理得① 8分在中,由正弦定理得,而所以② 10分①②两式相比得 12分.【考点】1.轨迹方程的求法;2.正弦定理的应用.5.如图,已知椭圆:的离心率为,点为其下焦点,点为坐标原点,过的直线:(其中)与椭圆相交于两点,且满足:.(1)试用表示;(2)求的最大值;(3)若,求的取值范围.【答案】(1);(2)离心率的最大值为;(3)的取值范围是.【解析】(1)设,联立椭圆与直线的方程,消去得到,应用二次方程根与系数的关系得到,,然后计算得,将其代入化简即可得到;(2)利用(1)中得到的,即(注意),结合,化简求解即可得出的最大值;(3)利用与先求出的取值范围,最后根据(1)中,求出的取值范围即可.试题解析:(1)联立方程消去,化简得 1分设,则有, 3分∵∴ 5分∴即 6分(2)由(1)知∴,∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分【考点】1.椭圆的标准方程及其性质;2.二次方程根与系数的关系.6.已知椭圆的一个焦点为,过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为;为椭圆上的四个点。

2013-2014学年高二选修1-1第二章圆锥曲线课后作业及参考答案

2013-2014学年高二选修1-1第二章圆锥曲线课后作业及参考答案

§2.1 椭 圆2.1.1 椭圆及其标准方程(一)一、基础过关1.设F 1,F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是( ) A .椭圆 B .直线 C .圆 D .线段2.设F 1,F 2是椭圆x 225+y 29=1的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的周长为( )A .16B .18C .20D .不确定3.“1<m <3”是“方程x 2m -1+y23-m =1表示椭圆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知F 1,F 2是椭圆x 224+y249=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则三角形PF 1F 2的面积等于( )A .24B .26C .22 2D .24 25.焦点在坐标轴上,且a 2=13,c 2=12的椭圆的标准方程为 ( )A .x 213+y 212=1B .x 213+y 225=1或x 225+y 213=1C .x 213+y 2=1D .x 213+y 2=1或x 2+y 213=16.方程x 22m -y2m -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是________.7.已知椭圆两焦点为F 1、F 2,a =32,过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为______.8.求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13,13,P 2⎝⎛⎭⎫0,-12的椭圆的标准方程. 二、能力提升9.已知两椭圆ax 2+y 2=8与9x 2+25y 2=100的焦距相等,则a 的值为 ( )A .9或917B .34或32C .9或34D .917或3210.已知椭圆x 225+y29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是________.11.已知椭圆y 2a 2+x 2b 2=1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0,-1),F 2(0,1),且3a 2=4b 2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P 在这个椭圆上,且|PF 1|-|PF 2|=1,求∠F 1PF 2的余弦值.12.如图,已知椭圆的方程为x 24+y 23=1,P 点是椭圆上的一点,且∠F 1PF 2=60°,求△PF 1F 2的面积.三、探究与拓展13.在Rt △ABC 中,∠CAB =90°,AB =2,AC =22,曲线E 过C 点,动点P 在E 上运动,且保持|P A |+|PB |的值不变,求曲线E 的方程.2.1.1 椭圆及其标准方程(二)一、基础过关1.设F 1,F 2为定点,|F 1F 2|=10,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8,则动点M 的轨迹是( ) A .线段B .椭圆C .圆D .不存在 2.椭圆25x 2+16y 2=1的焦点坐标为( )A .(±3,0)B .⎝⎛⎭⎫±13,0 C .⎝⎛⎭⎫±320,0D .⎝⎛⎭⎫0,±320 3.椭圆x 24+y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|PF 2|等于 ( )A .32B . 3C .72D .44.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是 ( )A .圆B .椭圆C .线段D .直线5.曲线x 225+y 29=1与x 29-k +y225-k =1 (0<k <9)的关系是( )A .有相等的焦距,相同的焦点B .有相等的焦距,不同的焦点C .有不相等的焦距,不同的焦点D .以上都不对 6.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆C 上,且PF 1⊥F 1F 2,|PF 1|=43,|PF 2|=143.求椭圆C 的方程.7.△ABC 的三边a ,b ,c 成等差数列,且a >b >c ,A ,C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶点B 的轨迹方程.二、能力提升8.设F 1、F 2分别是椭圆x 216+y 27=1的左、右焦点,若点P 在椭圆上,且PF 1→·PF 2→=0,则|PF 1→+PF 2→|=________.9.已知A ⎝⎛⎭⎫-12,0,B 是圆F :⎝⎛⎭⎫x -122+y 2=4(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为______________.10.曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点;②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中,所有正确结论的序号是__________.11.已知点M 在椭圆x 236+y 29=1上,MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P ′,并且M 为线段PP ′的中点,求P 点的轨迹方程.12.P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2 =1 (a >b >0)上的任意一点,F 1,F 2是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ →=PF 1→+PF 2→,求动点Q 的轨迹方程.三、探究与拓展13.在面积为1的△PMN 中,tan ∠PMN =12,tan ∠MNP =-2,建立适当的平面直角坐标系,求以M ,N 为焦点,且经过点P 的椭圆的方程2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)一、基础过关1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2+y2b 2=1上,则( )A .点(-3,-2)不在椭圆上B .点(3,-2)不在椭圆上C .点(-3,2)在椭圆上D .无法判断点(-3,-2)、(3,-2)、(-3,2)是否在椭圆上2.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标( ) A .(±13,0) B .(0,±10) C .(0,±13)D .(0,±69) 3.椭圆x 2+4y 2=1的离心率为( )A .32B .34C .22 D .234.过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( )A .52B .33C .12D .135.椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值是( )A .14B .12C .2D .46.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1和x 2a 2+y 2b 2=k (k >0,a >0,b >0)具有( )A .相同的顶点B .相同的离心率C .相同的焦点D .相同的长轴和短轴7.已知椭圆的中心在原点,焦点在y 轴上,若其离心率为12,焦距为8,则该椭圆的方程是______________.8.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)离心率是23,长轴长是6.(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.二、能力提升9.若椭圆x 2+my 2=1的离心率为32,则m =________. 10.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________.11.已知椭圆x 2+(m +3)y 2=m (m >0)的离心率e =32,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.12.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左焦点为F 1(-c,0),A (-a ,0),B (0,b )是两个顶点,如果F 1到直线AB 的距离为b7,求椭圆的离心率e .三、探究与拓展13.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0),A (2,0)为长轴的一个端点,过椭圆的中心O 的直线交椭圆于B 、C 两点,且AC →·BC →=0,|OC →-OB →|=2|BC →-BA →|,求此椭圆的方程.2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)一、基础过关1.椭圆x 225+y 29=1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A .8,2B .5,4C .5,1D .9,1 2.直线y =x +2与椭圆x 2m +y23=1有两个公共点,则m 的取值范围是( )A .m >1B .m >1且m ≠3C .m >3D .m >0且m ≠33.AB 为过椭圆x 2a 2+y2b 2=1中心的弦,F (c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面积的最大值为( )A .b 2B .abC .acD .bc4.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A 、B 两点.设O 为坐标原点,则OA →·OB →等于( )A .-3B .-13C .-13或-3D .±135.已知点(m ,n )在椭圆8x 2+3y 2=24上,则2m +4的取值范围是( )A .[4-23,4+23]B .[4-3,4+3]C .[4-22,4+22]D .[4-2,4+2]6.若倾斜角为π4的直线交椭圆x24+y 2=1于A ,B 两点,则线段AB 的中点的轨迹方程是________________.7.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面p 千米,远地点距地面q 千米,若地球半径为r 千米,则运行轨迹的短轴长为______________. 二、能力提升8.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,1)B .⎝⎛⎦⎤0,12 C .⎝⎛⎭⎫0,22 D .⎣⎡⎭⎫22,19.若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点(1,12)作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________________.10.已知动点P 与平面上两定点A (-2,0),B (2,0)连线的斜率的积为定值-12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ;(2)设直线l :y =kx +1与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=423时,求直线l 的方程.11.已知椭圆C 1:x 24+y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率.(1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.12.在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C . (1)写出C 的方程;(2)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点,k 为何值时OA →⊥OB →?此时|AB |的值是多少?三、探究与拓展13.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2.点P (a ,b )满足|PF 2|=|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ,B 两点.若直线PF 2与圆(x +1)2+(y -3)2=16相交于M ,N 两点,且|MN |=58|AB |,求椭圆的方程.2.2.1 双曲线及其标准方程一、基础过关1.若方程y 24-x 2m +1=1表示双曲线,则实数m 的取值范围是( )A .-1<m <3B .m >-1C .m >3D .m <-12.双曲线5x 2+ky 2=5的一个焦点是(6,0),那么实数k 的值为( )A .-25B .25C .-1D .13.椭圆x 234+y 2n 2=1和双曲线x 2n 2-y216=1有相同的焦点,则实数n 的值是( )A .±5B .±3C .5D .94.若点M 在双曲线x 216-y24=1上,双曲线的焦点为F 1,F 2,且|MF 1|=3|MF 2|,则|MF 2|等于( )A .2B .4C .8D .125.已知双曲线的一个焦点坐标为(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 ( )A .x 25-y 2=1B .y 25-x 2=1C .x 225-y 2=1D .x 24-y 22=16.已知动圆M 过定点B (-4,0),且和定圆(x -4)2+y 2=16相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为 ( )A .x 24-y 212=1 (x >0)B .x 24-y 212=1 (x <0)C .x 24-y 212=1D .y 24-x 212=17.若双曲线x 2-4y 2=4的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 2的直线交右支于A 、B 两点,若|AB |=5,则△AF 1B 的周长为________. 二、能力提升8.在平面直角坐标系xOy 中,方程x 2k -1+y 2k -3=1表示焦点在x 轴上的双曲线,则k 的取值范围为________.9.已知双曲线的两个焦点F 1(-5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上一点,且PF 1→·PF 2→=0,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为____________.10.如图,已知定圆F 1:x 2+y 2+10x +24=0,定圆F 2:x 2+y 2-10x +9=0,动圆M 与定圆F 1、F 2都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.11.在△ABC 中,BC 边固定,顶点A 在移动,设|BC |=m ,当三个角满足条件|sin C -sin B |=12|sin A |时,求顶点A 的轨迹方程.12.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)若点M 在双曲线上,F 1、F 2为左、右焦点,且|MF 1|+|MF 2|=63,试判断△MF 1F 2的形状.三、探究与拓展13.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地,A 在B 正东6千米,C 在B 北偏西30°,相距4千米,P 为敌炮阵地,某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于B 、C 两地比A 距P 地远,因此4 s 后,B 、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s ,求A 应沿什么方向炮击P 地.2.2.2 双曲线的简单几何性质(一)一、基础过关1.双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( ) A .2B .2 2C .4D .4 22.双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是( )A .y =±3xB .y =±13xC .y =±3xD .y =±33x3.双曲线x 24-y 212=1的焦点到渐近线的距离为( )A .2 3B .2C . 3D .14.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于 ( )A .-14B .-4C .4D .145.双曲线x 2a 2-y2b 2=1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 1作倾斜角为30°的直线,交双曲线右支于M 点,若MF 2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为 ( )A . 6B . 3C . 2D .336.已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )A .x 25-y 24=1B .x 24-y 25=1C .x 23-y 26=1D .x 26-y 23=1二、能力提升7.已知双曲线C :x 24-y 2m =1的开口比等轴双曲线的开口更开阔,则实数m 的取值范围是________.8.已知圆C 过双曲线x 29-y 216=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是________.9.如图所示,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、 D 、B 四点的双曲线的离心率为________.10.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29-y 216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23);(2)与双曲线x 216-y 24=1有公共焦点,且过点(32,2).11.已知双曲线的一条渐近线为x +3y =0,且与椭圆x 2+4y 2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.12.求证:双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值.三、探究与拓展13.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0)、F 2(c,0).若双曲线上存在点P ,使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ,求该双曲线的离心率的取值范围.2.2.2 双曲线的简单几何性质(二)一、基础过关1.过双曲线x 2-y 2=4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,则AB 的长 ( ) A .2 B .4C .8D .4 22.过双曲线的一个顶点A 作直线l ,若l 与双曲线只有一个公共点,则这样的直线l 有几条 ( ) A .0B .1C .3D .43.已知椭圆x 29+y 25=1和双曲线x 2m 2-y23=1(m >0)有相同的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 ( )A .3x ±y =0B .x ±3y =0C .3x ±y =0D .x ±3y =0 4.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为c ,若原点到直线bx +ay =ab 的距离为c2,则双曲线的离心率e 等于( )A . 2B .2C .2 2D .45.过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ,N 两点,且双曲线的右顶点A 满足MA ⊥NA ,则双曲线的离心率等于________.6.已知点(x ,y )在双曲线4x 2-y 2=16上,则y 2+8x 的最小值为________.7.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为________. 二、能力提升8.设F 1、F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点.若P 在双曲线上,且PF 1→·PF 2→=0,则|PF 1→+PF 2→|等于 ( )A .2 5B . 5C .210D .10 9.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则 ( )A .a 2=132 B .a 2=13C .b 2=12D .b 2=210.已知双曲线方程x 2-y 22=1,过点A (0,1)作直线l 交双曲线于P 1、P 2的不同两点,若线段P 1P 2的中点在直线x =12上,求l 的斜率k 的值.11.已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的一个焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15).求双曲线E 的方程.三、探究与拓展12.直线l :y =kx +1与双曲线C :2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.2.3.1 抛物线及其标准方程一、基础过关1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )A .(2,0)B .(-2,0)C .(4,0)D .(-4,0)2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在双曲线x 24-y 22=1上,则抛物线方程为 ( )A .y 2=8xB .y 2=4xC .y 2=2xD .y 2=±8x3.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为( )A .12B .1C .2D .44.与y 轴相切并和圆x 2+y 2-10x =0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A .圆B .抛物线和一条射线C .椭圆D .抛物线 5.以双曲线x 216-y29=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.6.抛物线x 2+12y =0的准线方程是__________.7.求经过A (-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升8.定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=2x 上移动,M 为AB 的中点,则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A .12B .1C .32D .29.设M (x 0,y 0)为抛物线C :x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心,|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是( )A .(0,2)B .[0,2]C .(2,+∞)D .[2,+∞)10.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=________.11.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,求抛物线的方程.12.喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处,喷出水流的最高点B 高5 m ,且与OA 所在的直线相距4 m ,水流落在以O 为圆心,半径为9 m 的圆上,则管柱OA 的长是多少?三、探究与拓展13.已知抛物线C 的顶点在原点,焦点F 在x 轴的正半轴上,设A ,B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴),且|AF |+|BF |=8,线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0),求抛物线的方程.2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)一、基础过关1.设点A 为抛物线y 2=4x 上一点,点B (1,0),且|AB |=1,则A 的横坐标的值为 ( ) A .-2 B .0 C .-2或0 D .-2或2 2.以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A .y 2=8xB .y 2=-8xC .y 2=8x 或y 2=-8xD .x 2=8y 或x 2=-8y3.经过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,则y 1y 2x 1x 2的值是( )A .4B .-4C .p 2D .-p 24.过抛物线y 2=2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1,则∠A 1FB 1等于( ) A .45°B .90°C .60°D .120°5.等腰Rt △AOB 内接于抛物线y 2=2px (p >0),O 为抛物线的顶点,OA ⊥OB ,则Rt △AOB 的面积是 ( )A .8p 2B .4p 2C .2p 2D .p 26.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).若x 1+x 2=6,则|AB |=________. 7.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m.水位下降1 m 后,水面宽________ m. 二、能力提升8.如图所示,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B , 交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为( )A .y 2=32x B .y 2=3xC .y 2=92x D .y 2=9x9.已知△ABC 的三个顶点都在y 2=32x 上,A (2,8),且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合,则直线BC 的斜率是________.10.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,求这个正三角形的边长.11.线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0),端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ,以x 轴为对称轴,过A 、O 、B 三点作抛物线.求抛物线的方程.12.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) (x 1<x 2)两点,且|AB |=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →=OA →+λOB →,求λ的值.三、探究与拓展13.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则称AB 为抛物线的焦点弦.求证:(1)y 1y 2=-p 2;x 1x 2=p 24;(2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.2.3.2 抛物线的简单几何性质(二)一、基础过关1.已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )A .x =1B .x =-1C .x =2D .x =-2 2.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)在抛物线上,且|P 1F |,|P 2F |,|P 3F |成等差数列,则有( )A .x 1+x 2=x 3B .y 1+y 2=y 3C .x 1+x 3=2x 2D .y 1+y 3=2y 2 3.设O 是坐标原点,F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,A 是抛物线上的一点,F A →与x 轴正向的夹角为60°,则|OA |为( )A .214pB .212pC .136pD .1336p4.抛物线y =ax 2+1与直线y =x 相切,则a 等于 ( )A .18B .14C .12D .15.已知F 是抛物线y =14x 2的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段PF 中点的轨迹方程是( )A .x 2=2y -1B .x 2=2y -116C .x 2=y -12 D .x 2=2y -26.抛物线x 2=ay (a ≠0)的焦点坐标为__________.7.设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段F A 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为________. 二、能力提升8.若点P 在抛物线y 2=x 上,点Q 在圆M :(x -3)2+y 2=1上,则|PQ |的最小值是 ( )A .3-1B .102-1C .2D .112-19.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过点M (3,0)的直线与抛物线相交于A ,B 两点,与抛物线的准线相交于点C ,|BF |=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =________.10.根据条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线x +y +2=0上; (2)抛物线的顶点在原点,焦点是圆x 2+y 2-4x =0的圆心.11.已知抛物线顶点在原点,焦点在x 轴上.又知此抛物线上一点A (1,m )到焦点的距离为3. (1)求此抛物线的方程;(2)若此抛物线方程与直线y =kx -2相交于不同的两点A 、B ,且AB 中点横坐标为2,求k 的值.12.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同的A 、B 两点.(1)如果直线l 过抛物线的焦点,求OA →·OB →的值;(2)如果OA →·OB →=-4,证明直线l 必过一定点,并求出该定点.三、探究与拓展13.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴交点为Q ,过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点.(1)直线l 的斜率为22,求证:F A →·FB →=0;(2)设直线F A 、FB 的斜率为k F A 、k FB ,探究k F A 与k FB 之间的关系并说明理由.章末检测一、选择题1.双曲线3x 2-y 2=9的实轴长是( )A .2 3B .2 2C .4 3D .4 22.以x 24-y212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A .x 216+y 212=1B .x 212+y 216=1C .x 216+y 24=1D .x 24+y 216=13.对抛物线y =4x 2,下列描述正确的是( )A .开口向上,焦点为(0,1)B .开口向上,焦点为⎝⎛⎫0,116C .开口向右,焦点为(1,0)D .开口向右,焦点为⎝⎛⎭⎫0,116 4.若k ∈R ,则“k >3”是“方程x 2k -3-y2k +3=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.若双曲线x 23-16y2p 2=1的左焦点在抛物线y 2=2px (p >0)的准线上,则p 的值为 ( )A .2B .3C .4D .4 26.设双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0,则a 的值为( )A .4B .3C .2D .1 7.设椭圆x 26+y 22=1和双曲线x23-y 2=1的公共焦点为F 1、F 2,P 是两曲线的一个公共点,则cos ∠F 1PF 2等于( )A .14B .13C .19D .358.已知点P 在抛物线y 2=4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( )A .⎝⎛⎭⎫14,-1B .⎝⎛⎭⎫14,1C .⎝⎛⎭⎫12,-1D .⎝⎛⎭⎫12,1 9.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=43,则C 的实轴长为( )A . 2B .2 2C .4D .8 10.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( )A .22B . 2C .322D .2 211.从双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1引圆x 2+y 2=a 2的切线,切点为T .延长F 1T 交双曲线右支于P点,若M 为线段F 1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO |-|MT |与b -a 的大小关系为( )A .|MO |-|MT |>b -aB .|MO |-|MT |=b -aC .|MO |-|MT |<b -aD .不确定 12.如图所示,F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的左,右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是( )A .233B .62C . 2D . 3二、填空题13.已知长方形ABCD ,AB =4,BC =3,则以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______. 14.设P 是曲线y 2=4x 上的一个动点,则点P 到点B (-1,1)的距离与点P 到直线x =-1的距离之和的最小值为________.15.双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点为(0,3),那么k =________.16.若椭圆mx 2+ny 2=1 (m >0,n >0)与直线y =1-x 交于A 、B 两点,过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22,则nm 的值为________. 三、解答题17.已知双曲线与椭圆x 236+y 249=1有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37,求双曲线的方程.18.已知双曲线x 29-y 216=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2=90°,求△F 1PF 2的面积.19.如图,直线l :y =x +b 与抛物线C :x 2=4y 相切于点A . (1)求实数b 的值;(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.20.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点.求证:△AOB 是钝角三角形.21.已知定点F (0,1)和直线l 1:y =-1,过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程;(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ,交直线l 1于点R ,求RP →·RQ →的最小值.22.已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2). (1)求椭圆G 的方程; (2)求△P AB 的面积.圆锥曲线擦试题参考答案2.1.1椭圆及其标准方程(一)参考答案1.D2.B3.B4.A [由于a 2=49,a =7, 所以|PF 1|+|PF 2|=2a =14, 又|PF 1|∶|PF 2|=4∶3, 所以|PF 1|=8,|PF 2|=6.又因为|F 1F 2|=2c =249-24=10, 且|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,所以PF 1⊥PF 2.故△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.]5.D6.0<m <137.68.x 215+y214=19.A 10.411.(1)y 24+x 23=1(2)解 由于点P 在椭圆上, 所以|PF 1|+|PF 2|=2a =2×2=4, 又|PF 1|-|PF 2|=1,所以|PF 1|=52,|PF 2|=32,又|F 1F 2|=2c =2,所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|=⎝⎛⎭⎫522+⎝⎛⎭⎫322-222×52×32=35.即∠F 1PF 2的余弦值等于35.12.解 由已知得a =2,b =3, 所以c =a 2-b 2=4-3=1, ∴|F 1F 2|=2c =2,在△PF 1F 2中,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos 60°,∴4=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1|·|PF 2|-2|PF 1|·|PF 2|cos 60°, ∴4=16-3|PF 1||PF 2|, ∴|PF 1||PF 2|=4,∴S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|·sin 60°=12×4×32= 3. 13.解 如图,以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,在Rt △ABC 中,BC =AC 2+AB 2=322,∵|P A |+|PB |=|CA |+|CB |=22+322=22, 且|P A |+|PB |>|AB |,∴由椭圆定义知,动点P 的轨迹E 为椭圆,且a =2,c =1,b =1.∴所求曲线E 的方程为x 22+y 2=1.2.1.1椭圆及其标准方程(二)参考答案1.D2.D3.C4.B5.B6.x 29+y 24=1 7.x 24+y 23=1 (-2<x <0) 8.6 9.x 2+43y 2=110.②③11.x 2+y 2=36 12.x 24a 2+y 24b2=1 (a >b >0)13.解 如图所示,以MN 所在的直线为x 轴,线段MN 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系.设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0),M (-c,0),N (c,0),P (x 0,y 0).由tan ∠PMN =12,tan ∠PNx =tan(π-∠MNP )=2, 得直线PM ,PN 的方程分别是 y =12(x +c ),y =2(x -c ). 联立解得⎩⎨⎧x 0=53c ,y 0=43c ,即点P ⎝⎛⎭⎫53c ,43c .又∵S △PMN =12|MN |·|y 0|=12×2c ×43c =43c 2, ∴43c 2=1,即c =32, ∴点M ⎝⎛⎭⎫-32,0,N ⎝⎛⎭⎫32,0,P ⎝⎛⎭⎫536,233. ∴2a=|PM |+|PN |=⎝⎛⎭⎫536+322+⎝⎛⎭⎫2332+⎝⎛⎭⎫536-322+⎝⎛⎭⎫2332=15,即a =152.∴b 2=a 2-c 2=154-34=3. ∴所求椭圆的方程为x 2154+y 23=12.1.2椭圆的简单几何性质(一)参考答案1.C2.D3.A4.B5.A6.B [不妨设a >b ,则椭圆x 2a 2+y 2b2=k 的离心率e 2=ka 2-kb 2ka 2=a 2-b 2a 2.而椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e 1=a 2-b 2a 2,故B 正确.]7.y 264+x 248=1 8.(1)x 29+y 25=1或x 25+y 29=1(2)x 218+y29=1 9.14或4 10.2-111.解 椭圆方程可化为x 2m +y 2mm +3=1,m -mm +3=m (m +2)m +3>0,∴m >m m +3,即a 2=m ,b 2=mm +3,∴c =a 2-b 2=m (m +2)m +3. 由e =32,得m +2m +3=32,解得m =1, ∴椭圆的标准方程为x 2+y 214=1, ∴a =1,b =12,c =32,∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1,两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫-32,0,F 2⎝⎛⎭⎫32,0, 顶点坐标分别为A 1(-1,0),A 2(1,0),B 1⎝⎛⎭⎫0,-12,B 2⎝⎛⎭⎫0,12. 12.解 由A (-a,0),B (0,b ),得直线AB 的斜率为k AB =ba,故AB 所在的直线方程为y -b =ba x ,即bx -ay +ab =0.又F 1(-c,0),由点到直线的距离公式可得 d =|-bc +ab |a 2+b 2=b 7,∴7·(a -c )=a 2+b 2,又b 2=a 2-c 2,整理,得8c 2-14ac +5a 2=0,即8⎝⎛⎭⎫c a 2-14c a +5=0, ∴8e 2-14e +5=0,∴e =12或e =54(舍去).综上可知,椭圆的离心率为e =12.13.解 ∵|OC →-OB →|=2|BC →-BA →|,∴|BC →|=2|AC →|. 又AC →·BC →=0,∴AC ⊥BC . ∴△AOC 为等腰直角三角形. ∵|OA |=2,∴C 点的坐标为(1,1)或(1,-1),∵C 点在椭圆上,a =2,∴14+1b 2=1,b 2=43.∴所求椭圆的方程为x 24+y243=1.2.1.2椭圆的简单几何性质(二)参考答案1.D2.B3.D4.B5.A6.x +4y =0 ⎝⎛⎭⎫-455<x <4557.2(p +r )(q +r )8.C9.x 25+y 24=1 10.解 (1)设点P (x ,y ),则依题意有y x +2·y x -2=-12,整理得x 22+y2=1.由于x ≠±2,所以求得的曲线C 的方程为x22+y 2=1 (x ≠±2).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =kx +1.消去y 得:(1+2k 2)x 2+4kx =0.得x 1=0,x 2=-4k1+2k 2 (x 1,x 2分别为M ,N 的横坐标),由|MN |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2×⎪⎪⎪⎪4k 1+2k 2=432,解得,k =±1.所以直线l 的方程为x -y +1=0或x +y -1=0.11.(1)解 由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 24=1(a >2),其离心率为32,故a 2-4a =32,解得a =4.故椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1.(2)解 A ,B 两点的坐标分别记为(x A ,y A ),(x B ,y B ), 由OB →=2OA →及(1)知,O ,A ,B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为y =kx .将y =kx 代入x 24+y 2=1中,得(1+4k 2)x 2=4,所以x 2A =41+4k 2. 将y =kx 代入y 216+x 24=1中,得(4+k 2)x 2=16,所以x 2B=164+k 2. 又由OB →=2OA →,得x 2B =4x 2A ,即164+k 2=161+4k 2, 解得k =±1.故直线AB 的方程为y =x 或y =-x . 12.解 (1)设P (x ,y ),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,-3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆.它的短半轴长b =22-(3)2=1,故曲线C 的方程为x 2+y 24=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,y =kx +1.消去y ,并整理得(k 2+4)x 2+2kx -3=0,故x 1+x 2=-2k k 2+4,x 1x 2=-3k 2+4.∵OA →⊥OB →,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∵y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1,于是x 1x 2+y 1y 2=-3k 2+4-3k 2k 2+4-2k 2k 2+4+1=-4k 2+1k 2+4.又x 1x 2+y 1y 2=0,∴k =±12.当k =±12时,x 1+x 2=∓417,x 1x 2=-1217.|AB |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 =(1+k 2)(x 2-x 1)2, 而(x 2-x 1)2=(x 2+x 1)2-4x 1x 2=42172+4×1217=43×13172, ∴|AB |=54×43×13172=46517.13.解 (1)设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c >0),因为|PF 2|=|F 1F 2|,所以(a -c )2+b 2=2c .整理得2(c a )2+c a -1=0,得c a =-1(舍),或c a =12.所以e =12.(2)由(1)知a =2c ,b =3c ,可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2,直线PF 2的方程为y =3(x -c ).A ,B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2+4y 2=12c 2,y =3(x -c ).消去y 并整理,得5x 2-8cx =0.解得x 1=0,x 2=85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1=0,y 1=-3c ,⎩⎨⎧x 2=85c ,y 2=335c .不妨设A (85c ,335c ),B (0,-3c ),所以|AB |=(85c )2+(335c +3c )2=165c . 于是|MN |=58|AB |=2c .圆心(-1,3)到直线PF 2的距离 d =|-3-3-3c |2=3|2+c |2.因为d 2+(|MN |2)2=42,所以34(2+c )2+c 2=16.整理得7c 2+12c -52=0,得c =-267(舍),或c =2.所以椭圆方程为x 216+y 212=1. 2.2.1 双曲线及其标准方程参考答案1.B2.C3.B4.B5.A6.C [设动圆M 的半径为r ,依题意有|MB |=r ,另设A (4,0),则有|MA |=r ±4,即|MA |-|MB |=±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB |,因此动点M 的轨迹为双曲线,且c =4,2a =4,∴a =2,a 2=4,b 2=c 2-a 2=12,故轨迹方程是x 24-y 212=1.]7.18 8.(1,3) 9.x 24-y 2=1 10.49x 2-491y 2=1 (x ≤-32) 11.解 以BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴,建立直角坐 标系,如图所示:则B ⎝⎛⎭⎫-m2,0, C ⎝⎛⎭⎫m 2,0.设点A 的坐标为(x ,y ),由题设,得|sin C -sin B |=12|sin A |.根据正弦定理,得||AB |-|AC ||=12m .可知点A 在以B 、C 为焦点的双曲线上.这里2a =12m ,∴a =m4.又c =12m ,∴b 2=c 2-a 2=m 24-m 216=316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2-16y 23m 2=1(y ≠0).12.解 (1)椭圆方程可化为x 29+y24=1,焦点在x 轴上,且c =9-4=5,故设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1,则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2-4b 2=1,a 2+b 2=5,解得a 2=3,b 2=2,所以双曲线的标准方程为x 23-y 22=1.(2)不妨设M 点在右支上,则有|MF 1|-|MF 2|=23, 又|MF 1|+|MF 2|=63,故解得|MF 1|=43,|MF 2|=23, 又|F 1F 2|=25,因此在△MF 1F 2中,|MF 1|边最长, 而cos ∠MF 2F 1=|MF 2|2+|F 1F 2|2-|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0,所以∠MF 2F 1为钝角, 故△MF 1F 2为钝角三角形.13.解 如图所示,以直线BA 为x 轴,线段BA 的垂直平分线为y 轴建立坐标系,则B (-3,0)、A (3,0)、C (-5,23),∵|PB |=|PC |,∴点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∵k BC =-3,BC 的中点D (-4,3),∴直线PD :y -3=13(x +4)①又|PB |-|P A |=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上.设P (x ,y ),则双曲线方程为x 24-y 25=1 (x ≥2)②联立①、②式,得x =8,y =53,所以P (8,53).因此k P A =538-3=3,故A 应沿北偏东30°方向炮击P 地.2.2.2 双曲线的简单几何性质(一)参考答案1.C2.C3.A4.A5.B6.A7.(4,+∞) 8.1639.3+110.解 (1)设所求双曲线方程为x 29-y 216=λ (λ≠0),将点(-3,23)代入得λ=14,所以双曲线方程为x 29-y 216=14,即4x 29-y24=1. (2)设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0).由题意易求c =2 5. 又双曲线过点(32,2), ∴(32)2a 2-4b2=1.又∵a 2+b 2=(25)2,∴a 2=12,b 2=8.故所求双曲线的方程为x 212-y 28=1.11.解 椭圆方程为x 264+y216=1,可知椭圆的焦距为8 3.①当双曲线的焦点在x 轴上时,设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0),∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=48,b a =33,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=36,b 2=12. ∴双曲线的标准方程为x 236-y 212=1.②当双曲线的焦点在y 轴上时,设双曲线方程为y 2a 2-x 2b 2=1 (a >0,b >0),∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=48,a b =33,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=12,b 2=36. ∴双曲线的标准方程为y 212-x 236=1.由①②可知,双曲线的标准方程为 x 236-y 212=1或y 212-x 236=1. 12.证明 设P (x 0,y 0)是双曲线上任意一点,由双曲线的两渐近线方程为bx +ay =0和bx -ay =0,可得P 到bx +ay =0的距离d 1=|bx 0+ay 0|a 2+b 2,P 到bx -ay =0的距离d 2=|bx 0-ay 0|a 2+b 2.∴d 1d 2=|bx 0+ay 0|a 2+b 2·|bx 0-ay 0|a 2+b 2=|b 2x 20-a y 20|a 2+b 2.又P 在双曲线上,∴x 20a 2-y 20b2=1,即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2,∴d 1d 2=a 2b 2a 2+b 2.故P 到两条渐近线的距离之积为定值. 13.解 如图,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,由题意及正弦定理得n m =ac,∴n =a c m .又m -n =2a ,∴m -ac m =2a ,即⎝⎛⎭⎫1-a c m =2a ,∴m =2ac c -a.又m >c +a ,∴2acc -a >c +a ,即c 2-2ac -a 2<0,∴e 2-2e -1<0,∴1-2<e <1+ 2. 又e >1,∴1<e <1+ 2.2.2.2 双曲线的简单几何性质(二)参考答案1.B2.C3.C4.A5.26.-167.(1,3]8.C9.C 10.解 设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2-y 22=1,得(2-k 2)x 2-2kx -3=0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2-k 2≠0,Δ=4k 2-4(2-k 2)(-3)=-8k 2+24>0.解得-3<k <3,且k ≠±2.∵P 1P 2的中点在直线x =12上.∴12(x 1+x 2)=-k k 2-2=12, ∴k =-1±3.∵-3<k <3,且k ≠±2.∴k =-1+ 3.11.解 设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),由题意知c =3,a 2+b 2=9.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 ⎩⎨⎧x 21a 2-y 21b2=1,x 22a 2-y 22b 2=1, 两式作差得y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=-12b 2-15a 2=4b 25a2. 又直线AB 的斜率是-15-0-12-3=1,所以4b 2=5a 2,代入a 2+b 2=9得a 2=4,b 2=5,所以双曲线的标准方程是x 24-y 25=1.12.解 (1)将直线l 的方程y =kx +1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后,整理得(k 2-2)x 2+2kx +2=0①,依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2-2≠0,Δ=(2k )2-8(k 2-2)>0,-2k k 2-2>0,2k 2-2>0,解得k 的取值范围为{k |-2<k <-2}.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则由①得x 1+x 2=2k 2-k 2,x 1x 2=2k 2-2,② 假设存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0),则由F A ⊥FB ,得(x 1-c )(x 2-c )+y 1y 2=0. 即(x 1-c )(x 2-c )+(kx 1+1)(kx 2+1)=0.整理得(k 2+1)x 1x 2+(k -c )(x 1+x 2)+c 2+1=0,③ 把②式及c =62代入③式,化简得5k 2+26k -6=0.解得k =-6+65或k =6-65D ∈/(-2,-2)(舍去).可知存在k =-6+65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.2.3.1 抛物线及其标准方程参考答案1.B2.D3.C4.B5.y 2=16x6.y =37.解 由已知设抛物线的标准方程是x 2=-2py (p >0)或y 2=-2px (p >0).把A (-2,-4),代入x 2=-2py 或y 2=-2px 得p =12或p =4.故所求的抛物线的标准方程是x 2=-y 或y 2=-8x .当抛物线方程是x 2=-y 时,焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0,-14,准线方程是y =14;当抛物线方程是y 2=-8x 时,焦点坐标是F (-2,0),准线方程是x =2. 8.B 9.C 10. 8 11.y 2=±8x12.解 如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的 方程为x 2=-2py (p >0),因为点C (5,-5)在抛物线上,所以25=-2p ·(-5),因此2p =5,所以抛物线的方程为x 2=-5y , 点A (-4,y 0)在抛物线上,所以16=-5y 0,即y 0=-165,所以OA 的长为5-165=1.8 (m).所以管柱OA 的长为1.8 m.13.解 设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),则其准线为x =-p2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∵|AF |+|BF |=8,∴x 1+p 2+x 2+p2=8,即x 1+x 2=8-p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上, ∴|QA |=|QB |, 即(6-x 1)2+(-y 1)2 =(6-x 2)2+(-y 2)2,又y 21=2px 1,y 22=2px 2,∴(x 1-x 2)(x 1+x 2-12+2p )=0. ∵AB 与x 轴不垂直,∴x 1≠x 2.故x 1+x 2-12+2p =8-p -12+2p =0,即p =4. 从而抛物线方程为y 2=8x .2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)参考答案1.B2.C3.B4.B5.B6.87.268.B9.-410.解 如图所示,设正三角形OAB 的顶点A ,B 在抛物线上,且坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 21=2px 1,y 22=2px 2.又|OA |=|OB |,所以x 21+y 21=x 22+y 22, 即x 21-x 22+2px 1-2px 2=0.整理得(x 1-x 2)(x 1+x 2+2p )=0. ∵x 1>0,x 2>0,2p >0,∴x 1=x 2.由此可得|y 1|=|y 2|,即线段AB 关于x 轴对称.。

北京宏志中学2014年高二数学文科寒假作业 直线与圆 复数及逻辑(解答)

北京宏志中学2014年高二数学文科寒假作业 直线与圆 复数及逻辑(解答)

北京宏志中学2014学年高二数学(理科)寒假作业——直线与圆 复数及逻辑1. 1 .10y -+=的倾斜角为A .0150 B .0120 C .060 D .0302.以A (1,3)和B(-5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是A .380x y -+=B .340x y ++=C .260x y --=D .380x y ++=3.直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是( )A.210x y +-= B.210x y +-=C.230x y +-=D.230x y +-=4 .直线过点P (0,2),且截圆224x y +=所得的弦长为2,则直线的斜率为A .32±B .C .D .5 .直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为( )A .相切B .相交但直线不过圆心C .直线过圆心D .相离6 .圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是A .223 B .2234- C .2234+ D .0 7 .圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )A .22(2)1x y +-=B .22(2)1x y ++= C .22(1)(3)1x y -+-=D .22(3)1x y +-=8 .直线l :b x y +=与曲线c :21x y-=有两个公共点,则b 的取值范围是A .22<<-bB .21≤≤bC .21<≤bD .21<<b9 .已知命题:p x ∀∈R ,2x ≥,那么下列结论正确的是( )A:2p x x ⌝∀∈≤R , B:2p x x ⌝∃∈<R , C .:2p x x ⌝∀∈≤-R ,D . :2p x x ⌝∃∈<-R ,10.一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中( )A . 真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数C .真命题的个数一定是偶数 D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数11 .设集合A={x |1xx -<0},B={x |0<x <3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( ) A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.“若p ,则q ”为真命题,则p ⌝是q ⌝的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件13.不等式x 2-2x-3<0成立的一个必要不充分条件是( )A .-1<x<3B .0<x<3C .-2<x<3D .-2<x<114.(命题:“若12<x ,则11<<-x ”的逆否命题是:( )A.若12≥x ,则11-≤≥x x ,或 B.若11<<-x ,则12<x C.若11-<>x x ,或,则12>x D .若11-≤≥x x ,或,则12≥x15.已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是:( )A .,sin 1x R x ∃∈≥ B.,sin 1x R x ∀∈≥ C .,sin 1x R x ∃∈> D.,sin 1x R x ∀∈>16.“若R y x ∈,且022=+y x ,则y x ,全为0”的否命题是( )A.若R y x ∈,且022≠+y x ,则y x ,全不为0 B .若R y x ∈,且022≠+y x ,则yx ,不全为0C .若R y x ∈,且y x ,全为0,则022=+y x D .若R y x ∈,且0≠xy ,则022≠+y x.17.若不等式x a -<1成立的充分条件为04<<x ,则实数a 的取值范围为( ) A [)3,+∞ .B [)1,+∞ .C (]-∞,3 .D (]-∞,118.已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=,那么当a=_______时,z 是实数; 当a ∈__________________时,z 是虚数;当a=___________时,z 是纯虚数。

高二圆锥曲线练习题答案

高二圆锥曲线练习题答案

高二圆锥曲线练习题答案在本文中,我将为您提供高二圆锥曲线练习题的答案。

为了简洁明了,我将按照以下格式回答每个问题。

题目一:求过点P(2, -3, 4)且与直线L:x-1=y-3=z-1相切的球的方程。

解答一:设球的方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²,其中(a, b, c)为球心坐标,r为半径。

由于球与直线相切,所以球心到直线的距离等于半径。

直线L的方向向量为(1, 1, 1),所以法向量为(1, 1, 1)。

设直线上一点为M(x, y, z)。

则直线L上一点到球心的距离为:|(x-a, y-b, z-c)·(1, 1, 1)|/√3。

根据题意,该距离等于半径r。

所以,有|(x-a, y-b, z-c)·(1, 1, 1)|/√3 = r。

代入点P的坐标(2, -3, 4),得到|(2-a, -3-b, 4-c)·(1, 1, 1)|/√3 = r。

又因为点P在球上,所以(2-a)²+(-3-b)²+(4-c)² = r²。

综上所述,求过点P(2, -3, 4)且与直线L:x-1=y-3=z-1相切的球的方程为:(2-a)²+(-3-b)²+(4-c)² = |(2-a, -3-b, 4-c)·(1, 1, 1)|²/3。

题目二:已知椭圆C:(x-1)²/16 + (y-2)² = 1,离心率e=√5/4,直线L:4x-y+2=0。

求解方程组C与L的交点坐标。

解答二:将直线L的方程式 4x-y+2=0 代入椭圆C的方程式中,得到:(x-1)²/16 + (4x+2-2)² = 1。

化简得到 (x-1)²/16 + (4x)² = 1。

整理成方程为:17x² - 16x + 15 = 0。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.方程所表示的曲线为C,有下列命题:①若曲线C为椭圆,则;②若曲线C为双曲线,则或;③曲线C不可能为圆;④若曲线C表示焦点在上的双曲线,则。

以上命题正确的是。

(填上所有正确命题的序号)【答案】②④【解析】①若曲线C为椭圆,则系数都为正且不相等,解得且;②若曲线C为双曲线,则系数符号相反,解得或;③当系数相等且为正即t=3时曲线C为圆;④若曲线C表示焦点在上的双曲线,则的系数为正且的系数为负,解得,故②④正确.【考点】圆锥曲线的方程2.已知平面五边形关于直线对称(如图(1)),,,将此图形沿折叠成直二面角,连接、得到几何体(如图(2))(1)证明:平面;(2)求平面与平面的所成角的正切值.【答案】(1)证明详见解析;(2).【解析】(1)先以B为坐标原点,分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,求出各点的坐标以及和的坐标,进而得到两向量共线,即可证明线面平行;(2)先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标,再求出这两个法向量所成角的余弦值,再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.试题解析:(1)以B为坐标原点,分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得,∴,∴,∴AF∥DE,又∥ 6分(2)由(1)得四点共面,,设平面,则不妨令,故,由已知易得平面ABCD的一个法向量为∴,设平面与平面的所成角为∴所求角的正切值为 13分.【考点】1.直线与平面平行的判定;2.用空间向量求二面角.3.若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于8,则动点M的轨迹方程为 ( )A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,由双曲线的定义可知,点的轨迹是以为焦点的双曲线。

此时,即,,所以点的轨迹方程是。

故C正确。

【考点】双曲线的定义。

4.若θ是任意实数,则方程x2+4y2=1所表示的曲线一定不是 ( )A.圆B.双曲线C.直线D.抛物线【答案】D【解析】当时,方程x2+4y2=1即为,表示两条直线;当时,方程x2+4y2=1即为,表示圆;当时,方程x2+4y2=1表示双曲线;当且时,方程x2+4y2=1表示椭圆。

高二数学寒假作业五:圆锥曲线 含答案

高二数学寒假作业五:圆锥曲线 含答案

数学寒假作业(五)测试范围:圆锥曲线使用日期:腊月二十七 测试时间:120分钟一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.椭圆x 24+y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|PF 2→| =( )A.32B. 3C.72 D .42.抛物线的顶点和椭圆x 225+y 29=1的中心重合,抛物线的焦点和椭圆x 225+y 29=1的右焦点重合,则抛物线的方程为( )A .y 2=16xB .y 2=8xC .y 2=12xD .y 2=6x3.双曲线x 2-y 2m =1的离心率大于2的充分必要条件是( )A .m >12 B .m ≥1 C .m >1 D .m >24.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.x 236-y 2108=1B.x 29-y 227=1C.x 2108-y 236=1D.x 227-y 29=15.(2013·惠州一调)已知实数4,m ,9构成一个等比数列,则圆锥曲线x 2m +y 2=1的离心率为( )A.306B.7C.306或7D.56或76.在y =2x 2上有一点P ,它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是( )A .(-2,1)B .(1,2)C .(2,1)D .(-1,2)7.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25=y 24=18.(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=42x 的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=42,则△POF 的面积为( )A .2B .2 2C .2 3D .49.动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x +2=0相切,则动圆必过点( )A .(4,0)B .(2,0)C .(0,2)D .(0,-2)10.已知F 是抛物线y =14x 2的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段PF 中点的轨迹方程是( )A .x 2=y -12 B .x 2=2y -116 C .x 2=2y -1 D .x 2=2y -211.椭圆x 225+y 29=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ,则m 取最大值时,P 点坐标是( )A .(5,0)或(-5,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52,332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52,-332C .(0,3)或(0,-3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫532,32或⎝ ⎛⎭⎪⎫-532,3212.已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为双曲线左支上一点,若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,2)C .(1,3]D .(1,2]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中的横线上) 13.抛物线y 2=8x 上一个点P (P 在x 轴上方)到焦点的距离是8,此时P 点的坐标是________.14.与椭圆x 24+y 23=1具有相同的离心率且过点(2,-3)的椭圆的标准方程是____________.15.若直线y =32x 与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点,则双曲线的离心率是________.16.抛物线y 2=x 上存在两点关于直线y =m (x -3)对称,则m 的范围是_________________.三、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为12,离心率为 54; (2)顶点间的距离为6,渐近线方程为y =±32x .18.(12分) 已知椭圆C 的焦点F 1(-22,0)和F 2(22,0),长轴长为6,设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标.19.(12分)中心在原点,焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且|F 1F 2|=213,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程.20. (12分)已知动点P 与平面上两定点A (-2,0)、B (2,0)连线的斜率的积为定值-12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ;(2)设直线l :y =kx +1与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=423时,求直线l 的方程.21.(12分)设椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),抛物线C 2:x 2+by =b 2.(1)若C 2经过C 1的两个焦点,求C 1的离心率;(2)设A (0,b ),Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33,54b ,又M ,N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点,若△AMN 的垂心为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34b ,且△QMN 的重心在C 2上,求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.22.(12分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =63.过点A (0,-b )和B (a ,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程;(2)已知定点E (-1,0),若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C ,D 两点,问:是否存在k 的值,使以CD 为直径的圆过E 点,请说明理由.家长签字:日期:数学寒假作业(五)答案1、C2、A3、C 解析:由e 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2=1+m 1=1+m >2,m >1.4、B5、C6、B7、C 解析:依题意可设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,b 2a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-b 2a ,又|AB |=b 2a -⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a =2b 2a =3,∴2b 2=3a .又a 2-b 2=c 2=1,∴a =2,b = 3.故C 的方程为x 24+y 23=1.8、C 解析:设P (a ,b )为抛物线上在第一象限内的点,则a +2=42,得a =32,因为点P (a ,b )在抛物线上,所以b =26,所以S △POF =12×2×26=23,故选C.9、B 解析:直线x +2=0是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上,由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0).10、C 解析:由y =14x 2⇒x 2=4y ,焦点F (0,1),设PF 中点Q (x ,y )、P (x 0,y 0), 则⎩⎪⎨⎪⎧2x =0+x 0,2y =1+y 0,4y 0=x 20,∴x 2=2y -1. 11、C 解析:|PF 1|+|PF 2|=2a =10,∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1||PF 2|22=25. 当且仅当|PF 1|=|PF 2|=5时,取得最大值,此时P 点是短轴端点,故选C.12、C 解析:|PF 2|2|PF 1|=(|PF 1|2a )2|PF 1|=|PF 1|+4a 2|PF 1|+4a ≥8a ,当|PF 1|=4a 2|PF 1|,即|PF 1|=2a 时取等号. 又|PF 1|≥c -a ,∴2a ≥c -a .∴c ≤3a ,即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]. 13、答案:()6,4314、答案:x 28+y 26=1或3y 225+4x 225=1 15、答案:216、解析:设抛物线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =m (x -3)对称,A ,B 中点M (x ,y ),则当m =0时,有直线y =0,显然存在点关于它对称.当m ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧y 21=x 1,y 22=x 2⇒y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2=12y =-1m ,所以y =-m 2,所以M 的坐标为(52,-m 2),∵M 在抛物线内,则有52>(m2)2,得-10<m <10且m ≠0,综上所述,m ∈(-10,10).答案:(-10,10)17、解析:(1)焦点在x 轴上,设所求双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1.由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2b =12,c a =54,b 2=c 2-a 2.解得a =8,b =6,c =10.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 264-y 236=1.(2)当焦点在x 轴上时,设所求双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2a =6,b a =32.解得a =3,b =92.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为 x 29-y 2814=1.同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为y 29-x 24=1. 故所求双曲线的方程为x 29-y 2814=1或y 29-x 24=1.18、解析:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c =22,a =3,从而b =1,所以其标准方程是 x 29+y 2=1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29+y 2=1,y =x +2,消去y 得,10x 2+36x +27=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 线段的中点为M (x 0,y 0),那么:x 1+x 2=-185,x 0=x 1+x 22=-95.所以y 0=x 0+2=15.也就是说线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-95,15.19、解析:设椭圆的方程为x 2a 21+y 2b 21=1,双曲线的方程为 x 2a 22-y 2b 22=1,半焦距c =13,由已知得:a 1-a 2=4,c a 1∶c a 2=3∶7,解得:a 1=7,a 2=3.所以:b 21=36,b 22=4,故所求两条曲线的方程分别为:x 249+y 236=1 ,x 29-y 24=1.20、解析:(1)设点P (x ,y ),则依题意有y x +2·yx -2=-12,整理得x 22+y 2=1.由于x ≠±2,所以求得的曲线C 的方程为x 22+y 2=1(x ≠±2).(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =kx +1,消去y 得:(1+2k 2)x 2+4kx =0.解得x 1=0, x 2=-4k1+2k 2(x 1,x 2分别为M ,N 的横坐标).由|MN |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1+2k 2=432,解得:k =±1.所以直线l 的方程x -y +1=0或x +y -1=0.21.(12分)设椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),抛物线C 2:x 2+by =b 2. (1)若C 2经过C 1的两个焦点,求C 1的离心率;(2)设A (0,b ),Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33,54b ,又M ,N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点,若△AMN 的垂心为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34b ,且△QMN 的重心在C 2上,求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.21、解析:(1)由已知椭圆焦点(c ,0)在抛物线上,可得c 2=b 2,由a 2=b 2+c 2=2c 2, 有c 2a 2=12⇒e =22.(2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称, 设M (-x 1,y 1),N (x 1,y 1)(x 1>0), 由△AMN 的垂心为B ,有BM →·AN →=0⇒-x 21+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1-34b (y 1-b )=0由点N (x 1,y 1)在抛物线上,x 21+by 1=b 2,解得y 1=-b4,或y 1=b (舍去),故x 1=52b ,M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52b ,-b 4,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ,-b 4,得△QMN 重心坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3,b 4.由重心在抛物线上得3+b 24=b 2, ∴b =2,M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-5,-12,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5,-12, 又∵M ,N 在椭圆上,得a 2=163,椭圆方程为x 2163+y 24=1,抛物线方程为x 2+2y =4.22、解析:(1)直线AB 方程为:bx -ay -ab =0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a =63,ab a 2+b 2=32,解得⎩⎨⎧a =3,b =1.∴椭圆方程为x 23+y 2=1.(2)假若存在这样的k 值,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,x 2+3y 2-3=0,得 (1+3k 2)x 2+12kx +9=0.∴Δ=(12k )2-36(1+3k 2)>0.① 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-12k1+3k 2,x 1·x 2=91+3k 2.② 而y 1·y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4.要使以CD 为直径的圆过点E (-1,0),当且仅当CE ⊥DE 时,则y 1x 1+1·y 2x 2+1=-1.即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0. ∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将②式代入③整理解得k =76.经验证k =76使①成立.综上可知,存在k =76,使得以CD 为直径的圆过点E .。

高二文科数第一学期期末复习《圆锥曲线》(含答案)

高二文科数第一学期期末复习《圆锥曲线》(含答案)

高二文科数学第一学期期末复习《圆锥曲线》一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为( )A .5B .6C .4D .102双曲线1422=-y x 的焦点坐标为( )A .)0,3(±B .)3,0(±C .)0,5(±D .)5,0(±3抛物线24y x =的准线方程是( )A .1y =B .1y =- C.116y = D. 116y =-4若R k ∈,则3>k 是方程22133x y k -=-表示双曲线的( )条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要条件D .既不充分也不必要5双曲线22221x y b a-=的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )A .2B .3C .2D .236抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于A B C.2 7过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点,如果126x x +=,则PQ = ( ) A .9B .8C .7D .68以椭圆2212449x y +=的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( )A.2212524x y -=B. 2212425x y -=C. 2212524y x -=D. 2212425y x -=9 过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,则||AB 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.810竖在地面上的两根旗杆的高分别为10米和15米,相距20米,则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹是( ) A .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.11已知双曲线112222=-y ax 的离心率2e = ,则双曲线的焦距为12以双曲线2213y x -=的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是___________13椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离是2,N 是1MF 的中点,O 为坐标原点,则ON = .14设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若OAF ∆(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为____________三、解答题:本大题共6小题,共80分。

高二数学文科寒假作业:第13天 圆锥曲线综合问题 Word版含答案

高二数学文科寒假作业:第13天 圆锥曲线综合问题 Word版含答案

第13天 圆锥曲线综合问题【课标导航】掌握直线和圆锥曲线的位置关系,理解圆锥曲线之间的位置关系;会用向量知识解决圆锥曲线有关问题.一.选择题1.给定四条曲线:①2252x y += ②22194x y += ③2214y x += ④2214x y +=其中与直线0x y +-仅有一个公共点的曲线的是( )A. ①②③B.②③④C. ①②④D. ①③④2.设直线1:2l y x =,直线2l 经过(2,1)A 点,抛物线2:4C y x =,已知1l 、2l 与C 共有三个交点,那么满足条件的直线2l 共有( )A. 1条B. 2条C.3条D. 4条3.过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点,若4AB =,则直线l 有 ( )A .1条B .2条C .3条D .4条4.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 作弦AB ,若12,AF d BF d ==,则1211d d +的值为( ) A. 22b a B. 22ab C.2a bb + D. 与AB 斜率有关5.已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点,那么双曲线的渐近线方程为( ) A.x y = B.y = C.x y = D.y =ABDC6.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是椭圆12222=+by a x点,且两条曲线的公共点的连线过F ,则该椭圆的离心率为(A .13- B .213- C .12- D .212-7.设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线 任意一点,M 是线段PF 上的点,且错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.1 8. 如图,等腰梯形ABCD 中,//AB CD 且2AB AD =,设DAB θ∠=,(0,)2πθ∈,以A 、B 为焦点,且过点D 的双曲线的离心率为1e ;以C 、D 为焦点,且过点A 的椭圆的离心率为2e ,则( )A. 当θ增大时,1e 增大,12e e ⋅为定值B. 当θ增大时,1e 减小,12e e ⋅为定值C. 当θ增大时,1e 增大,12e e ⋅增大D. 当θ增大时,1e 减小,12e e ⋅减小 二、填空题9.若椭圆193622=+y x 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线方程为 .10.以抛物线x y 82=的顶点为中心,焦点为右焦点,且以x y 3±=为渐近线的双曲线方程是.11. 设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点,则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小 值为 .12.如右图,抛物线C 1:y 2=2px 和圆C 2:222()24p p x y -+=,其中p >0,直线l 经过C 1的焦点,依次交C 1,C 2于A ,B ,C ,D 四点,则AB CD ∙的值为 .三、解答题13.设,x y R ∈,向量(1,)a x y =+ ,(1,)b x y =-,且4a b += .(I )求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;(II )过点(P 作直线l 与曲线C 交于,A B 两点, O 是坐标原点,若1OA OB ⋅=,求直线l 的方程.14.设双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,.A B(Ⅰ)求双曲线C 的离心率e 的取值范围;(Ⅱ)设直线l 与y 轴的交点为P ,且512PA PB =,求a 的值.15.已知定点(1,0)A 和定直线1x =-上的两个动点E 、F ,满足⊥,动点P 满足//,//(其中O 为坐标原点).(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)过点(0,2)B 的直线l 与(Ⅰ)中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ,若0<⋅AN AM ,求直线l 的斜率的取值范围.16.已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P 满足0PE PF =,由点P 向x 轴作垂线段PQ ,垂足为Q ,点M 满足PM MQ =,点M 的轨迹为C.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)过点D (0,-2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,点N 满足ON OA OB =+(O 为原点),求四边形OANB 面积的最大值,并求此时的直线l 的方程.【链接高考】【2016新课标1】设圆错误!未找到引用源。

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北京宏志中学2014学年高二数学(理科)寒假作业--椭圆答案一、选择题1.已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两焦点,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点.在△AF 1B 中,若有两边之和是10,则第三边的长度为() A .6B .5C .4 D .3解析:根据椭圆定义,知△AF 1B 的周长为4a =16,故所求的第三边的长度为16-10=6.答案:A2.若直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为()A .至多一个B .2个C .1个D .0个解析:∵直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,∴4m 2+n2>2,∴m 2+n 2<4,∴m 29+n 24<m 29+4-m 24=1-536m 2<1,∴点(m ,n )在椭圆x 29+y24=1的内部,∴过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为2个. 答案:B3.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则() A .a 2=132B .a 2=13C .b 2=12D .b 2=2解析:如图所示设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点),则|OC |=a3,因tan ∠COx =2, ∴sin ∠COx =25,cos ∠COx =15,则C 的坐标为(a35,2a35),代入椭圆方程得a 245a 2+4a 245b 2=1,∵5=a 2-b 2,∴b 2=12.答案:C4.已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点M 在该椭圆上,且1MF ²2MF=0,则点M 到y 轴的距离为()A.233 B.263 C.33D. 3 解析:由题意,得F 1(-3,0),F 2(3,0).设M (x ,y ),则1MF ²2MF =(-3-x ,-y )²(3-x ,-y )=0,整理得x 2+y 2=3 ①.又因为点M 在椭圆上,故x 24+y 2=1,即y 2=1-x 24②.将②代入 ①,得34x 2=2,解得x =±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案:B5.方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ,左、右焦点分别为F 1、F 2,D 是它短轴上的一个端点,若31DF =DA+22DF ,则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.15解析:设点D (0,b ),则1DF =(-c ,-b ),DA=(-a ,-b ),2DF =(c ,-b ),由31DF =DA +22DF 得-3c =-a +2c ,即a =5c ,故e =15.答案:D6.已知椭圆E :x 2m +y 24=1,对于任意实数k ,下列直线被椭圆E 截得的弦长与l :y =kx +1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A .kx +y +k =0B .kx -y -1=0C .kx +y -k =0D .kx +y -2=0解析:A 选项中,当k =-1时,两直线关于y 轴对称,两直线被椭圆E 截得的弦长相等;B 选项中,当k =1时,两直线平行,两直线被椭圆E 截得的弦长相等;C 选项中,当k =1时,两直线关于y 轴对称,两直线被椭圆E 截得的弦长相等.答案:D 二、填空题7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,左焦点为F ,上顶点为B ,若∠BAO +∠BFO =90°,则椭圆的离心率是________.解析:∵∠BAO +∠BFO =90°,∴∠BAO =∠FBO . ∴OB OA =OF OB. 即OB 2=OA ²OF , ∴b 2=ac . ∴a 2-c 2-ac =0. ∴e 2+e -1=0.∴e =-1±1+42=-1±52.又∵0<e <1, ∴e =5-12. 答案:5-128.设F 1、F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,4),则|PM |+|PF 1|的最大值为________.解析:由椭圆定义知|PM |+|PF 1|=|PM |+2³5-|PF 2|,而|PM |-|PF 2|≤|MF 2|=5, 所以|PM |+|PF 1|≤2³5+5=15. 答案:159.设F 1,F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左、右焦点,点A ,B 在椭圆上,若1F A =52F B,则点A 的坐标是________.解析:根据题意设A 点坐标为(m ,n ),B 点坐标为(c ,d ).F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为(-2,0)、(2,0),可得1F A =(m +2,n )2F B =(c -2,d ).∵1F A =52F B,∴c =m +625,d =n 5.∵点A 、B 都在椭圆上,∴m 23+n 2=1,m +62523+(n5)2=1.解得m =0,n =±1,故点A 坐标为(0,±1).答案: (0,±1) 三、解答题10.设椭圆C ∶x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标.解:(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2=1,∴b =4,由e =c a =35得a 2-b 2a 2=925,即1-16a 2=925,∴a =5,∴C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y =45(x -3),设直线与C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将直线方程y =45(x -3)代入C 的方程,得x 225+x -3225=1,即x 2-3x -8=0,解得x 1=3-412,x 2=3+412, ∴AB 的中点坐标x -=x 1+x 22=32,y -=y 1+y 22=25(x 1+x 2-6)=-65,即中点坐标为(32,-65).11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆x 24+y 22=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中点P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C .连接AC ,并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时,求k 的值; (2)当k =2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意的k >0,求证:PA ⊥PB .解:由题设知,a =2,b =2,故M (-2,0),N (0,-2),所以线段MN 中点的坐标为(-1,-22). 由于直线PA 平分线段MN ,故直线PA 过线段MN 的中点,又直线PA 过坐标原点,所以k =-22-1=22.(2)直线PA 的方程为y =2x ,代入椭圆方程得x 24+4x 22=1,解得x =±23,因此P (23,43),A (-23,-43).于是C (23,0),直线AC 的斜率为0+4323+23=1,故直线AB 的方程为x -y -23=0.因此,d =|23-43-23|12+12=223. (3)证明:法一:将直线PA 的方程y =kx 代入x 24+y 22=1,解得x =±21+2k 2记μ=21+2k2,则P (μ,μk ),A (-μ,-μk ).于是C (μ,0).故直线AB 的斜率为0+μk μ+μ=k2,其方程为y =k 2(x -μ), 代入椭圆方程并由μ=21+2k2得(2+k 2)x 2-2μk 2x -μ2(3k 2+2)=0,解得x =μ3k 2+22+k 2或x =-μ.因此B (μ3k 2+22+k 2,μk32+k2).于是直线PB 的斜率k 1=uk 32+k 2-μk μ3k 2+22+k2-μ=k 3-k 2+k 23k 2+2-2+k 2=-1k. 因此k 1k =-1,所以PA ⊥PB .法二:设P (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0,x 1≠x 2,A (-x 1,-y 1),C (x 1,0).设直线PB ,AB 的斜率分别为k 1,k 2.因为C 在直线AB 上,所以k 2=0--y 1x 1--x 1=y 12x 1=k2.从而k 1k +1=2k 1k 2+1=2²y 2-y 1x 2-x 1²y 2--y 1x 2--x 1+1=2y 22-2y 21x 22-x 21+1=x 22+2y 22-x 21+2y 21x 22-x 21=4-4x 22-x 21=0. 因此k 1k =-1,所以PA ⊥PB .12.已知椭圆G ∶x 24+y 2=1.过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点. (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB |表示为m 的函数,并求|AB |的最大值. 解:(1)由已知得a =2,b =1, 所以c =a 2-b 2= 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(-3,0),(3,0),离心率为e =c a =32. (2)由题意知,|m |≥1.当m =1时,切线l 的方程为x =1,点A ,B 的坐标分别为(1,32),(1,-32),此时|AB |= 3.当m =-1时,同理可得|AB |= 3.当|m |>1时,设切线l 的方程为y =k (x -m ).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -m ,x 24+y 2=1.得(1+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-4=0.设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2-41+4k 2.又由l 与圆x 2+y 2=1相切,得|km |k 2+1=1,即m 2k 2=k 2+1. 所以|AB |=x 2-x 12+y 2-y 12=1+k 2[x 1+x 22-4x 1x 2] =1+k 2[64k 4m21+4k 22-44k 2m 2-41+4k 2]=43|m |m 2+3. 由于当m =±1时,|AB |=3,所以|AB |=43|m |m 2+3,m ∈(-∞,-1]∪[1,+∞).因为|AB |=43|m |m +3=43|m |+3|m |≤2, 且当m =±3时,|AB |=2, 所以|AB |的最大值为2双曲线一、选择题1.“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的()A .必要但不充分条件B .充分但不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:若ax 2+by 2=c 表示双曲线,即x 2c a +y 2c b=1表示双曲线,则c 2ab <0,这就是说“ab <0”是必要条件,然而若ab <0,c 可以等于0,即“ab <0”不是充分条件.答案:A2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±33x ,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线的方程为()A.x 24-3y 24=1 B.3x 24-y 24=1C.x 24-y 24=1 D.x 24-4y23=1 解析:不妨设顶点(a,0)到直线3x -3y =0的距离为1,即3a 3+9=1,解得a =2.又ba =33,所以b =233,所以双曲线的方程为x 24-3y 24=1. 答案:A3.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为()A.2B.3C .2 D .3解析:设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b 2=1,焦点F (-c,0),将x =-c 代入x 2a 2-y 2b 2=1可得y 2=b 4a 2,所以|AB |=2³b 2a =2³2a .∴b 2=2a 2.c 2=a 2+b 2=3a 2.∴e =ca= 3.答案:B4.已知双曲线x 2-y 23=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则1PA ²2PF的最小值为( )A .-2B .-8116C .1D .0解析:设点P (x ,y ),其中x ≥1.依题意得A 1(-1,0)、F 2(2,0),则有y 23=x 2-1,y 2=3(x 2-1),1PA ²2PF =(-1-x ,-y )²(2-x ,-y )=(x +1)(x -2)+y 2=x 2+3(x 2-1)-x -2=4x 2-x -5=4(x -18)2-8116,其中x ≥1.因此,当x =1时,1PA ²2PF 取得最小值-2.答案:A5.设椭圆x 22+y 2m =1和双曲线y 23-x 2=1的公共焦点分别为F 1、F 2,P 为这两条曲线的一个交点,则cos ∠F 1PF 2的值为()A.14B.13C.23D .-13解析:由题意可知m -2=3+1,解得m =6.法一:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P 为第一象限内的点,F 1(0,-2),F 2(0,2),联立x 22+y 26=1与y 23-x 2=1组成方程组,解得P (22,322).所以由两点距离公式计算得|PF 1|=6+3,|PF 2|=6- 3.又|F 1F 2|=4,所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|=13.法二:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P 为第一象限内的点,F 1(0,-2).F 2(0,2),由题意得|PF 1|+|PF 2|=26,|PF 1|-|PF 2|=23,|F 1F 2|=4,解得|PF 1|=6+3,|PF 2|=6-3,同上由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=13.答案:B6.已知双曲线mx 2-y 2=1(m >0)的右顶点为A ,若该双曲线右支上存在两点B 、C 使得△ABC 为等腰直角三角形,则实数m 的值可能为()A.12B .1C .2D .3 解析:由题意可得,点A 的坐标为(1m,0),设直线AB 的方程为y =tan 45°(x -1m),即x =y +1m,与双曲线方程联立可得,⎩⎪⎨⎪⎧x =y +1mmx 2-y 2=1,则(m -1)y 2+2my =0,解得y =0或y =2m 1-m .由题意知y =2m 1-m 为B 点的纵坐标,且满足2m1-m>0,即0<m <1,根据选项知. 答案:A 二、填空题7.已知点(2,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,C 的焦距为4,则它的离心率为________.解析:根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于a ,b 的等式,即4a 2-9b2=1,考虑到焦距为4,这也是一个关于c 的等式,2c =4,即c =2.再有双曲线自身的一个等式a 2+b 2=c 2,这样,三个方程,三个未知量,可以解出a =1,b =3,c =2,所以,离心率e =2.答案:28.已知双曲线kx 2-y 2=1(k >0)的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直,那么双曲线的离心率为________;渐近线方程为____________.解析:双曲线kx 2-y 2=1的渐近线方程是y =±kx .∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y +1=0垂直,∴k =12,k =14,∴双曲线的离心率为 e =1k+11k=52,渐近线方程为12x ±y =0.答案:52 12x ±y =0 9.P 为双曲线x 2-y 215=1右支上一点,M 、N 分别是圆(x +4)2+y 2=4和(x -4)2+y 2=1上的点,则|PM |-|PN |的最大值为________.解析:双曲线的两个焦点为F 1(-4,0)、F 2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为r 1=2,r 2=1,|PM |max =|PF 1|+2,|PN |min =|PF 2|-1,故|PM |-|PN |的最大值为(|PF 1|+2)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+3=5.答案:5 三、解答题10.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x 2+y 2=10相交于点P (3,-1),若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程.解:切点为P (3,-1)的圆x 2+y 2=10的切线方程是3x -y =10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为3x ±y =0.设所求双曲线方程为9x 2-y 2=λ(λ≠0).∵点P (3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80, ∴所求的双曲线方程为x 2809-y 280=1.11.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >1,b >0)的焦距为2c ,直线l 过点(a,0)和(0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ,求双曲线的离心率e 的取值范围.解:直线l 的方程为x a +y b=1,即bx +ay -ab =0.由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1=b a -1a 2+b 2,同理得到点(-1,0)到直线l 的距离d 2=b a +1a 2+b 2.∴s =d 1+d 2=2aba 2+b2=2abc.由s ≥45c ,得2ab c ≥45c ,即5a c 2-a 2≥2c 2.于是得5e 2-1≥2e 2,即4e 4-25e 2+25≤0. 解不等式,得54≤e 2≤5.由于e >1,∴e 的取值范围是[52,5]. 12. P (x 0,y 0)(x 0≠±a )是双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点,M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM ,PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC =λOA +OB,求λ的值.解:(1)点P (x 0,y 0)(x ≠±a )在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上,有x 20a 2-y 20b2=1. 由题意又有y 0x 0-a ²y 0x 0+a =15,可得a 2=5b 2,c 2=a 2+b 2=6b 2, 则e =c a =305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2-5y 2=5b 2y =x -c,得4x 2-10cx +35b 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=5c 2,x 1x 2=35b24.①设OC =(x 3,y 3),OC =λOA +OB ,即⎩⎪⎨⎪⎧x 3=λx 1+x 2,y 3=λy 1+y 2.又C 为双曲线上一点,即x 23-5y 23=5b 2, 有(λx 1+x 2)2-5(λy 1+y 2)2=5b 2.化简得:λ2(x 21-5y 21)+(x 22-5y 22)+2λ(x 1x 2-5y 1y 2)=5b 2, 又A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在双曲线上,所以x 21-5y 21=5b 2,x 22-5y 22=5b 2.由①式又有x 1x 2-5y 1y 2=x 1x 2-5(x 1-c )(x 2-c )= -4x 1x 2+5c (x 1+x 2)-5c 2=10b 2, 得:λ2+4λ=0,解出λ=0,或λ=-4 A抛物线一、选择题1.已知抛物线x 2=ay 的焦点恰好为双曲线y 2-x 2=2的上焦点,则a 等于() A .1B .4C .8 D .16解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,a4),双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有a4=2, 解得a =8.答案:C2.抛物线y =-4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是() A .-1716B .-1516C.716D.1516解析:抛物线方程可化为x 2=-y 4,其准线方程为y =116.设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义,可知116-y 0=1⇒y 0=-1516.答案:B3.已知F 是拋物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该拋物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A. 34B .1C.54D.74解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB 中点到y 轴的距离为:12(|AF |+|BF |)-14=32-14=54.答案:C4.已知抛物线y 2=2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是() A .相离 B .相交C .相切 D .不确定解析:设抛物线焦点弦为AB ,中点为M ,准线l ,A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影,则|AA 1|=|AF |,|BB 1|=|BF |,于是M 到l 的距离d =12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF |+|BF |)=12|AB |=半径,故相切.答案:C5.已知F 为抛物线y 2=8x 的焦点,过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,则||FA |-|FB ||的值等于()A .42B .8C .82D .16解析:依题意F (2,0),所以直线方程为y =x -2由⎩⎪⎨⎪⎧y =x -2,y 2=8x ,消去y 得x 2-12x+4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则||FA |-|FB ||=|(x 1+2)-(x 2+2)|=|x 1-x 2|=x 1+x 22-4x 1x 2=144-16=8 2.答案:C6.在y =2x 2上有一点P ,它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是()A .(-2,1)B .(1,2)C .(2,1)D .(-1,2)解析:如图所示,直线l 为抛物线y =2x 2的准线,F 为其焦点,PN⊥l ,AN 1⊥l ,由抛物线的定义知,|PF |=|PN |,∴|AP |+|PF |=|AP |+|PN |≥|AN 1|,当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号.∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1,则可排除A 、C 、D.答案:B 二、填空题7.以抛物线x 2=16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________. 解析:抛物线的焦点为F (0,4),准线为y =-4,则圆心为(0,4),半径r =8.所以,圆的方程为x 2+(y -4)2=64.答案:x 2+(y -4)2=648.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,抛物线上一点Q (-3,m )到焦点的距离是5,则抛物线的方程为________.解析:设抛物线方程为x 2=ay (a ≠0), 则准线为y =-a4.∵Q (-3,m )在抛物线上, ∴9=am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离,∴|m -(-a 4)|=5.将m =9a代入,得|9a +a4|=5,解得,a =±2,或a =±18, ∴所求抛物线的方程为x 2=±2y ,或x 2=±18y . 答案:x 2=±2y 或x 2=±18y9.已知抛物线y 2=4x 与直线2x +y -4=0相交于A 、B 两点,抛物线的焦点为F ,那么|FA |+|FB|=________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x 2x +y -4=0,消去y ,得x 2-5x +4=0(*),方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标,故x 1+x 2=5,因为抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),所以|FA |+|FB|=(x 1+1)+(x 2+1)=7答案:7 三、解答题10.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2-9y 2=144的左顶点; (2)过点P (2,-4).解:双曲线方程化为x 29-y 216=1,左顶点为(-3,0), 由题意设抛物线方程为y 2=-2px (p >0),则-p2=-3,∴p =6,∴抛物线方程为y 2=-12x .(2)由于P (2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y 2=mx 或x 2=ny ,代入P 点坐标求得m =8,n =-1,∴所求抛物线方程为y 2=8x 或x 2=-y .11.已知点A (-1,0),B (1,-1),抛物线C :y 2=4x ,O 为坐标原点,过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ,P 两点,直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM 与OP 的夹角为π4,求△POM 的面积.解:设点M (y 214,y 1),P (y 224,y 2),∵P ,M ,A 三点共线, ∴k AM =k PM , 即y 1y 214+1=y 1-y 2y 214-y 224, 即y 1y 21+4=1y 1+y 2, ∴y 1y 2=4.∴OM ²OP =y 214²y 224+y 1y 2=5.∵向量OM 与OP 的夹角为π4,∴|OM |²|OP |²cos π4=5.∴S △POM =12|OM |²|OP |²sin π4=52.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0,-1),B 点在直线y =-3上,M 点满足MB∥OA ,MA ²AB =MB ²BA,M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)P 为C 上的动点,l 为C 在P 点处的切线,求O 点到l 距离的最小值. 解:(1)设M (x ,y )由已知得B (x ,-3),A (0,-1).所以MA =(-x ,-1-y ),MB=(0,-3-y ), AB=(x ,-2).再由题意可知(MA +MB )²AB=0,即(-x ,-4-2y )²(x ,-2)=0.所以曲线C 的方程为y =14x 2-2.(2)设P (x 0,y 0)为曲线C :y =14x 2-2上一点,因为y ′=12x ,所以l 的斜率为12x 0.因此曲线l 的方程为y -y 0=12x 0(x -x 0),即x 0x -2y +2y 0-x 20=0.则O 点到l 的距离d =|2y 0-x 20|x 20+4.又y 0=14x 2-2, 所以d =12x 20+4x 20+4=12(x 20+4+4x 20+4)≥2, 当x 0=0时取等号,所以O 点到l 距离的最小值为2.1.已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点O ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:(Ⅰ)求12的标准方程;(Ⅱ)请问是否存在直线满足条件:①过的焦点;②与交不同两点且满足OM ON ⊥?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.1C 2C x 1C 2C l 2C F 1C ,M N 、l由OM ON ⊥,即,得将①②代入(*)式,得,解得…………………11分 所以假设成立,即存在直线满足条件,且的方程为:22y x =-或22y x =-+…………………………………………………………………………………12分法二:容易验证直线l 的斜率不存在时,不满足题意;……………………………6分 当直线l 斜率存在时,假设存在直线过抛物线焦点(1,0)F ,设其方程为(1)y k x =-,与1C 的交点坐标为由2214(1)x y y k x ⎧⎪+=⎨⎪=-⎩消掉y ,得 2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=, …………8分 0=⋅ON OM (*)02121=+y y x x 043444222=+-++-m m m 21±=m l l l ),(),,(2211y x N y x M于是 2122814k x x k +=+,21224(1)14k x x k-=+ ① 212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-⨯-=-++即2222122224(1)83(1)141414k k k y y k k k k-=-+=-+++ ② ………………………………10分 由OM ON ⊥,即,得将①、②代入(*)式,得 2222224(1)340141414k k k k k k---==+++,解得2k =±;……11分 所以存在直线满足条件,且的方程为:22y x =-或22y x =-+.………12分2..(2012北京高考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为22.直线y =k (x -1)与椭圆C 交于不同的两点M ,N . (1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN 的面积为103时,求k 的值.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c a =22,a 2=b 2+c 2,解得b = 2.所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 24+y 22=1,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-4=0.设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1),x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-41+2k 2.所以|MN |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 =(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =2(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2.0=⋅(*)02121=+y y x x l l又因为点A (2,0)到直线y =k (x -1)的距离d =|k |1+k 2, 所以△AMN 的面积为S =12|MN |·d =|k |4+6k 21+2k 2.由|k |4+6k 21+2k2=103,解得k =±1. 3.已知A 、B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两点,并满足OA ⊥OB ,求证: (1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个定值; (2)直线AB 经过一个定点.[规范解答] (1)因为AB 斜率不为0,设直线AB 方程为my =x +b , 2分由⎩⎪⎨⎪⎧my =x +b y 2=2px 消去x ,得y 2-2pmy +2pb =0. 由Δ=(-2pm )2-8pb >0, 4分 又∵y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=2pb , 6分 又∵OA ⊥OB , ∴x 1²x 2+y 1²y 2=0, ∴y 12²y 224p 2+y 1²y 2=0,∴b 2+2pb =0,∴b +2p =0,∴b =-2p . 8分 ∴y 1y 2=-4p 2,x 1·x 2=b 2=4p 2所以A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是4p 2和-4p 2;10分(2)AB 方程为my =x -2p ,所以AB 过定点(2p ,0). 12分。

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