高中数学恒成立问题(教师)
恒成立能成立问题总结(详细)
当a
1 时 x1
x2 ， h( x)
2
(0, ) 单调递减；
0 恒成立，此时
f ( x)
0 ，函数 f ( x) 在
当0
a
1
1
时，函数 f ( x) 在 (0,1) 单调递减， (1,
1) 单调递增，
2
a
1 ( 1, ) 单调递减 .
a
（Ⅱ）当 a
1 时， f (x) 在（ 0， 1）上是减函数，在（
（ 2） f (x) 0在 x R 上恒成立 a 0且 0
（ 3）当 a 0 时，若 f (x) 0在 [ , ] 上恒成立
b 2a 或 f( ) 0
b 2a 0
b 或 2a
f( ) 0
若 f ( x) 0在[ , ] 上恒成立
f( ) 0 f( ) 0
（ 4）当 a 0时，若 f ( x) 0在[ , ] 上恒成立
由 h( 1) 7 k, h(2) 20 k, h( 3) k 45, h(3) k 9 ，故 h( x)min 45 k 由 k 45 0 k 45。 （ 2）据 题 意 ： 存 在 x 3,3 ， 使 f ( x) g( x) 成 立 h(x) g( x) f ( x) 0 在
x 3,3 有解，故 h( x)max 0 ，由（ 1）知 h( x) max k 7 ，于是得 k 7 。
f (x)
ln x
1a ax
x
( Ⅰ)当a
1 时，讨论 f ( x) 的单调性；
2
（Ⅱ）设 g ( x)
2
x 2bx 4. 当 a
1
时，若对任意
4
f (x1) g (x2) ，求实数 b 取值范围 .
高中数学恒成立问题解法小结
数学恒成立问题解法小结函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.题型一、赋值型——利用特殊值求解例1．如果函数y =f (x )=sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =8π- 对称，那么a =（ ）. A .1 B .-1 C .2 D . -2.题型二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f (x )=ax+b (a ≠0),若y=f (x )在[m ,n ]内恒有f (x )>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f (x )<0，则有⎩⎨⎧<(0)(n f m f例2．对于满足|a|≤2的所有实数a ,求使不等式x 2+ax +1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.题型三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f (x )=ax 2+bx+c =0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f (x )>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f (x )<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例4.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.题型四、变量分离型——分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f (x )>g (a )恒成立，则g (a )<f (x )min ;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f (x )<g (a )恒成立，则g (a )>f (x )max .(其中f (x )max 和f (x )min 分别为f (x )的最大值和最小值)例 5.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .题型五、数形结合——直观求解例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.例8：如果对任意实数x ，不等式kx x ≥+1恒成立，则实数k 的取值范围是__________小试牛刀:1.求使不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围。
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立。
某函数地定义域为全体实数R 。
●某不等式地解为一切实数。
❍某表达式地值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数地性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生地综合解题能力,在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用.因此也成为历年高考地一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数地奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数地图象.二、恒成立问题解决地基本策略<一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min)]([)(x f m D x x f m≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x>地最大值或者最小值问题,我们可以通过习题地实际,采取合理有效地方法进行求解,通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f<x）地最值.这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现地试卷类型,希望同学们在日常学习中注意积累.(二>、赋值型——利用特殊值求解等式中地恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1>4+b 1(x+1>3+b 2(x+1>2+b 3(x+1>+b 4定义映射f：(a 1,a 2,a 3,a 4>→b 1+b 2+b 3+b 4,则f：(4,3,2,1>→(>A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4=0,故选D例2．如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线x=8π-对称,那么a=<）.A .1B .-1C .2D .-2.略解：取x=0及x=4π-,则f(0>=f(4π->,即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三）分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x>=ax+b(a≠0>,若y=f(x>在[m,n]内恒有f(x>>0,则根据函数地图象<直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x><0,则有)(0)(<<n f m f 例2．对于满足|a|≤2地所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立地x 地取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a>=(x-1>a+x 2-2x+1,则f(a>在[-2,2]上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1>∪(3,+∞>此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上地图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方<或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体地方法,在今后地解题中自觉运用.<1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0>大于0恒成立,则有00<∆>且a <2）若是二次函数在指定区间上地恒成立问题,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解.例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 地定义域为R,求实数a 地取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数地讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立,所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,f(x>地定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：()y f x =地函数图像都在X 轴及其上方,如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 地最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a> a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()(3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 地取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号地左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：<运用根地分布）2—2⑴当-<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥2∴a ≤2a ∉(4,+∞)∴a 不存53在.⑵当-2≤-≤22a,即-4≤a ≤4时,2g (a )=f (a 2)=--a +3≥24a ,2-22-2≤a ≤2－22-2∴-4≤a ≤2⑶当->2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥2,2a∴a ≥-5∴-5≤a <-4综上所述-5≤a ≤22-2.此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定地情形,对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5）,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量地范围已知,另一个变量地范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边,则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立,则g(a><f(x>min 。
不等式恒成立问题教案
e
e
①错误；令 g( x) f ( x) - x x ln x x ，所以 g '( x) ln x ，可知 g (x) 在（ 0,1）上递减，（ 1， +∞）上递增，故②错；令
f ( x) h( x)
x
h' ( x)
x ln x x x ln x x2
1 ，所以 h（x）在（0，+∞）上递增，所以 f ( x1 )
f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立
b 2a 或 f( ) 0
b 2a 0
b ,
或 2a f ( ) 0.
注： f (x) 0 恒成立
f ( x)min 0（注：若 f (x) 的最小值不存在， 则 f ( x) 0 恒成立
f (x) 的下界大于 0）；f ()x 0
恒成立 f ( x)max 0 （注：若 f ( x) 的最大值不存在，则 f (x) 0 恒成立 f ( x) 的上界小于 0）．
可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．
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考点 5 不等式能成立问题的处理方法
若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x k 成立，则等价于在区间 D 上 f x max k ； 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x k 成立，则等价于在区间 D 上的 f x min k ． 注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式
m0 0 或 16m2 16m
0
由此能求出 m 的取值范围，解得 1 m 0 ．
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考点二 分离参数法 —— 极端化原则
例 2 已知函数 f (x) x ln x ，当 x2 x1 0 时，给出下列几个结论：
高中数学恒成立问题教案
高中数学恒成立问题教案
一、教学目标：
1. 理解恒成立问题的概念，并能够应用相关方法解决问题。
2. 掌握常见的恒成立问题解题技巧。
3. 提高分析问题和推理能力。
二、教学内容：
1. 恒成立问题的定义和性质。
2. 常见的恒成立问题的解法。
3. 实际问题中的恒成立问题应用。
三、教学重点：
1. 恒成立问题的理解和应用。
2. 常见恒成立问题的解法。
四、教学难点：
1. 理解恒成立问题的本质。
2. 能够灵活应用解题方法。
五、教学过程：
1. 概念引入（5分钟）：
教师简要介绍恒成立问题的概念和意义，引发学生的兴趣。
2. 例题讲解（15分钟）：
解释一个常见的恒成立问题，并指导学生解题思路和方法。
3. 学生练习（20分钟）：
让学生在教师的指导下，自行解决一些恒成立问题，并在课堂上相互讨论、交流解题思路。
4. 拓展练习（15分钟）：
提供一些更具挑战性的恒成立问题，让学生在课后自行解决。
5. 总结（5分钟）：
回顾本节课学习的内容，强调恒成立问题在数学分析中的重要性。
六、作业：
完成拓展练习题，并写一篇关于恒成立问题的小结。
七、教学反思：
本教案注重引导学生理解恒成立问题的本质，并通过实例讲解和练习巩固学习成果。
同时，引导学生在解题过程中思考，提高解决实际问题的能力。
高中数学 恒成立汇总方法-教师版
恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。
然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。
但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。
例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。
（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。
则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
例1：已知函数()x x f x e ae -=-，若'()f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______思路：首先转化不等式，'()x xf x e ae -=+，即x xa e e +≥a 与xe便于分离，考虑利用参变分离法，使,a x 分居不等式两侧，()2x x a e ≥-+，若不等式恒成立，只需()()2maxx xa e≥-+，令()()(223x xxg x ee =-+=-+（解析式可看做关于x e 的二次函数，故配方求最值）()max 3g x =，所以3a ≥ 答案：3a ≥例2：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________思路：恒成立的不等式为2ln ax x x-<，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 解：233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞ ∴只需要()3maxln a x x x >-，令()3ln g x x x x =-'2()1ln 3g x x x =+- （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x 变为1x，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定()'gx 的符号，不妨先验边界值）()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程） ()'gx ∴在()1,+∞单调递减，()()''10()g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减()()11g x g ∴<=- 1a ∴≥- 答案：1a ≥-小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。
恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。
对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。
高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。
一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。
(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。
(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。
解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。
以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。
(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案
教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。
从学生角度分析为什么难1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往往只重视结果，而忽视了它的形成过程。
2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。
难点教学方法数形结合的思想方法教学环节教学过程导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。
分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任何实数不等式都成立，因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取任何实数都要使y≥0，所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-83<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。
分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，也就是实数x取任何值，不等式都成立，因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数都要使y<0，从而得到-3<a<0我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，看是否也能保证题意成立。
高二数学(选修人教A版)利用导数研究恒成立问题1教案
教案教学基本信息课题利用导数研究恒成立问题学科数学学段：高中年级高二教材书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2 （A版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年1 月教学目标及教学重点、难点1．通过从不同角度分析，理解恒成立问题等价转化的实质，形成有效利用导数解决恒成立问题的方法，并能学以致用解决有关问题.2．在恒成问题的解决中，体会特殊与一般、化归与转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法．3．通过一题多解，学习、归纳、提炼，不同的解题方法，体验、积累不同的解题经验，提高方法识别与选择的能力.重点：会用导数确定函数最值进而解决不等式恒成立问题.难点：构建恰当的函数解决不等式恒成立问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图知识点回顾【回顾】如何利用导数确定函数的最值？复习回顾导数确定函数最值得方法，为本节课做好知识铺垫.思考探究【思考1】你能确定函数2()21f x x x=--在[2,3]上的最大值和最小值吗？【预设】1、求导函数'()22f x x=-'()0f x>在[2,3]上恒成立，所以()f x在[2,3]上单调递增，所以max()(3)2f x f==，min()(2)1f x f==-.2、对于二次函数2()21f x x x=--，其对称轴1x=，所以在对称轴右侧的区间[2,3]上()f x单调递增，所以max()(3)2f x f==，min()(2)1f x f==-.【探究】试判断下列说法是否正确？①对于任意的[2,3]x∈都有()0f x≤成立.②对于任意的[2,3]x∈都有()2f x≤成立.恒成立问题尤其是根据恒成立的条件确定参数问题是高考的热点，是利用导数研究函数的一种重要题型.有必要引导学生探究、归纳、积累这类问题的解决方法思考 探究【探究】若对于任意的[2,3]x ∈都有()f x c ≤成立，你能确定实数c 的取值范围吗？ 【预设】1、 一方面实数c 不小于()f x 在[2,3]的 所有函数值，c 大于等于()f x 在[2,3]上 的最大值即可；2、另一方面可以看成函数()y f x =与常数函数y c =函数值的大小关系，借助函数图象可以看出c 的取值范围.【思考2】对于函数2()21f x x x =-- .【探究】试判断下列说法是否正确？③对于任意的[2,3]x ∈都有()0f x ≥成立.④对于任意的[2,3]x ∈都有()-1f x ≥成立.【探究】若对于任意的[2,3]x ∈都有()f x m ≥成立，你能确定实数m 的取值范围吗？ 【预设】1、一方面实数m 不大于()f x 在[2,3]上的所有函数值，m 小于等于()f x 在[0,2]上的最小值即可；2、另一方面，可以看成函数()y f x =与常数函数y m =函数值的大小关系，同样借助函数图象可以看出m 的取值范围.【思考3】已知函数31()3f x x x =-.下面两个说法是否正确？①对于任意的[0,2]x ∈，都有()0f x ≥成立？ ②对于任意的[0,2]x ∈，都有()1f x ≤成立？【分析】判断两个说法是否正确的关键点是的什么？ 利用导数确定函数()f x 在[0,2]上的最值，借助函数图象，做出判断.【预设】31()3f x x x =-，[0,2]x ∈，2'()1f x x =-，令'()0f x =，解得11x =，21x =-当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x0 (0,1)1 (1,2)2 '()f x -0 +()f x极小值23因为(0)0f =，2(2)3f =，所以max 2()3f x =，min 2()(1)3f x f ==-.【探究】从学生熟悉的简单的二次函数入手，再到三次函数复习巩固确定函数最值的方法，通过设问让学生思考判断一些结论是否正确，逐步帮助学生理解恒成立问题的本质，体会恒成立问题与函数最值的关系。
数学中恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x若不等式 f xB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 f x minmaxAB常用方法1、分别变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、改正主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题 1. 若关于 x 的不等式 ax 22x2 0 在 R 上恒成立 , 求实数 a 的取值范围 .解题思路 ：结合二次函数的图象求解解析：当 a0 时 , 不等式 2x2 0 解集不为 R , 故 a 0 不满足题意 ;当 a0 时 , 要使原不等式解集为a 0, 解得a1R , 只要4 2a 0 222综上 , 所求实数 a 的取值范围为 ( 1,)22、转变成二次函数的最值求参数的取值范围例题 2：已知二次函数满足 f (0) 1，而且 f ( x 1) f ( x) 2x ，请解决以下问题（ 1） 求二次函数的解析式。
，求 m 的取值范围。
（ 2） 若 f (x) 2x m 在区间 [ 1,1] 上恒成立解题思路 ：先分别系数 , 再由二次函数最值确定取值范围.解析： (1)设 f ( x)ax 2 bx c(a 0) .由 f (0)1 得 c 1,故 f ( x) ax2 bx 1.∵ f ( x 1) f ( x)2x ∴ a( x1)2 b( x 1)1 (ax2 bx 1) 2x即 2axa b 2x ,因此 2a 2, a b 0 ,解得 a 1,b1 ∴ f ( x)x 2x 1(2)由 (1) 知 x 2x 12x m 在 [ 1,1]恒成立 ,即 m x 2 3x 1 在 [ 1,1] 恒成立 .令 g( x)x 23x 1 (x 3)2 5 , 则 g(x) 在 [ 1,1] 上单调递减 . 因此 g(x) 在 [ 1,1] 上的最小值为g(1)1 .2 ( 4 , 1) .m 的取值范围是因此 规律总结 ：m f (x) 对所有 x R 恒成立 , 则 m [ f (x)]min ; m f ( x) 对所有 x R 恒成立 , 则 m [ f (x)]max ；注意参数的端点值能否取到需检验。
高中数学恒成立问题的解题方法和思路
高中数学恒成立问题的解题方法和思路【摘要】高中数学中的恒成立问题是学生在学习数学时经常会遇到的挑战，掌握恒成立问题的解题方法对于提高数学水平至关重要。
本文首先探讨了理解恒成立问题的重要性和挑战高中数学恒成立问题的意义，引发读者对该问题的关注。
接着介绍了学习恒成立问题的基础知识和常用解题方法，包括代数方法和几何方法。
特别对恒成立问题的特殊情况进行了思考和分析。
在总结了解题方法，并展望了高中数学学习的未来发展。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解和掌握高中数学中的恒成立问题，提升自己的数学解题能力。
【关键词】高中数学，恒成立问题，解题方法，思路，理解，挑战，基础知识，常用方法，代数，几何，特殊情况，总结，展望1. 引言1.1 理解恒成立问题的重要性理解恒成立问题的重要性在高中数学学习中起着至关重要的作用。
恒成立问题是数学中的基础概念之一，对建立数学思维和逻辑推理能力具有重要意义。
通过理解和解决恒成立问题，可以深化对数学知识的理解，提升数学推导能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
理解恒成立问题还能帮助学生更好地应对高考和数学竞赛中的问题，提高解题速度和准确度。
掌握了恒成立问题的解题方法和思路，学生在考试中就能更加游刃有余，更加得心应手。
理解恒成立问题的重要性不仅在于提高数学学习的效果，还在于培养学生的数学素养和解决问题的能力。
应该重视恒成立问题的学习，努力提升解决问题的能力，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
1.2 挑战高中数学恒成立问题的意义挑战高中数学恒成立问题的意义在于培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
这些恒成立问题往往需要学生灵活运用所学的知识和方法，通过逻辑推理和数学证明找出问题的解决方案。
在挑战这些问题的过程中，学生需要不断思考、分析和总结，从而培养自己的解决问题的能力。
挑战高中数学恒成立问题也可以帮助学生扩展数学思维，拓宽数学应用的范围。
通过解决这些问题，学生可以更深入地理解数学知识的内涵和应用，培养出对数学的兴趣和热爱。
高中数学素能培优(二) 恒成立与能成立问题
例2(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=log3 9 ·log3(3x),函数g(x)=4x-2x+1+5.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若存在实数m∈[-1,2],使不等式f(x)-g(m)≥0成立,求实数x的取值范围.
1
2 3
2
令 =t,则 t∈(0, ],- 2 − +1=-3t2-2t+1,
3
2
2
5
1
5
2
2
令 g(t)=-3t -2t+1,t∈(0, ],则 g(t)的最小值为 g =- ,所以 2-4m ≤- ,
3
3
3
3
33Biblioteka 3222
整理可得(3m +1)(4m -3)≥0,解得 m ≥ 4,即 m≥ 2 或 m≤- 2 .
2
因为
2
y= -x
7
在(1,4)内单调递减,所以值域为(- ,1),所以
2
2
-x
在(1,4)内能成立,
a 的取值范围是(-∞,1).
命题点3
更换主元法
解决含参数不等式恒成立(能成立)的某些问题时,若能适时的把主元变量
和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化,方便问题的求解.
例5已知当a∈[2,3]时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求x的取值范围.
1
例 1(2024·江西南昌模拟)已知函数 f(x)=x -ax+a ,若在区间[ ,a]上,
一元二次不等式恒成立问题
高校长组织写教育教学论文，对教师特别是我们青年教师，有很大的帮助.但说实在的，初上讲坛，理论与经验皆不足.说写学术论文，实则愧不敢当.“学术”二字，是经验丰富的特级高级教师、能力超群的青年骨干教师才担当得起的.如我刚步入教育行业之新手，实是不敢当.思忖良久，终觉胸内无文，只得将自己讲的一堂自我感觉还算良好的课，照搬了上来.文虽浅薄，但出自己手，虽不如他人，也算无愧了.一元二次不等式恒成立问题似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）大而化之，步步紧逼（化，分解讨论的意思）【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：似曾相识燕归来无可奈何花落去【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也可以翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）那么对于这一类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.（师板书）一、典例例：关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【师】一拿到这类题，同学们可能都傻眼了，题目中好像什么都没给啊，这个题怎么做啊？大家不用怕，看上面（师示意学生看题目下的“大而化之”四个字），既然它是以大题的形式出现了，那么咱们就用做大题的方法去对付它，“大而化之”，咱们一步步的来分解它.那么大家看这个题它是个什么不等式啊？一元二次不等式吗？（师设下陷阱）【生】是！（大部分学生说是，只有一小部分说不一定，但声音小，底气不足）【师】（继续暗示）是吗？你敢肯定么？【生】（大部分反应过来）不一定！【师】为什么不一定啊？【生】因为)2(-m 的值不定！【师】（及时插入话）对！它的值不定，那么它的值不定我们该怎么做啊？【生】讨论！（因为前几节课都在培育学生具有讨论思想，所以学生能一口答出来）【师】对，它的值不定我们就要讨论它，这是我们学习数学必备的思想，大家一定要具备这个基本素质.下面我们来分类讨论这个不等式的系数()2-m ，看看它的庐山真面目到底是什么.（一）（准备工作）：讨论系数（师边写边说：那么它的二次项系数分几种情况啊？生回答：两种.师问：是什么啊？生回答：等于零或不等于零两种.师板书并言语：那么我们来讨论这两种情况.）︒1当()02=-m 即2=m 时，那么原不等式变成了常数不等式︒2当()02≠-m 时，原不等式是一元二次不等式.【师】（板完后说）那么这是我们每个人脑海中都要具备最基本的东西，一遇到这类题，我们脑海中立马要想到讨论它的二次项系数，这一步你写出来了，高考时两分就拿到手了.（二）（具体步骤）：分类讨论1当02=-m ，即2=m 时，原不等式可化为：04002<-⋅+⋅x x【师】那么这个不等式是不是最终成了04<-，它是不是无论x 取何值时不等式都恒成立成立啊？【生】是！∴ 2=m 时，不等式恒成立【师】那么我们来讨论第二步.2当02≠-m ，即2≠m 时，不等式()()042222<--+-x m x m 是一个一元二次不等式.【师】那么我们说解一元二次不等式分四个步骤.第一步是化为标准形式，也就是二次项系数大于零的形式.那么这个不等式好不好化啊？因为我们不知道()2-m 的正负，这样的话就需要讨论，而讨论起来又很麻烦，那么我们怎么做啊？那么大家回忆一下，学习数学最重要的两个思想是什么啊？【生】分类讨论和数形结合的思想！【师】对！那么这类题我们用数形结合的思想来做是很容易理解的.那么既然是数形结合，我们就先画出()()42222--+-=x m x m y 的图像.然后再在图像上找出0<y 时x 的取值是什么就可以了.那么它的图像有几种情况啊？无非就有两种.()02>-m 或()02<-m .那么我们就先画出()02>-m ，即开口向上时的情况.那么开口向上又分三种情况.那么这个图像又是经过），（40-的这个点的，那么我们先抛开这个条件，来根据与x 轴交点 是两个一个还是没有的情况做出开口向上时函数的图像.如下图：【师】那么当02>-m 时，图像就是这三种情况.那么大家看，不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无.那么它的判别式依次是：0>∆、0=∆或0<∆.()1 0)2>-m （的图像）（102>-m 0>∆ )2( 02>-m 0=∆ )3( 02=-m 0<∆【师】好，那么我们把0)2(<-m 的情况也画出来，也是三个图像.)2( 0)2(<-m 的图像）（402<-m 0>∆ )5( 02<-m 0=∆ )6( 02<-m 0<∆【师】好，到此为止，体力活已经做完了，该做脑力活了.大家观察一下图像，再看一下题目，看哪个图像适合题目的条件啊？（念题目：不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围）.（到此，基本上所有的同学已经能顺利的指出第6个图像适合题目的要求，老师再逐个的分析，然后得出结论）（此时有一部分同学瞌睡，老师观察到这个现象后说道：同学们注意了，关键时刻到了.比如说我们看NBA 比赛，火箭队正和湖人队比赛，比赛已经到了第四节了，剩下十几秒的时 间了，科比或者姚明再投进去一个球，胜负都出来了，可不要错过精彩啊！生笑，注意力重新集中起来.课堂气氛活跃）【生】第6个图像满足！【师】对！第6个图像满足.那么不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m应满足什么条件啊？。
浅谈高中数学中的恒成立问题
热点． 它是 函数 、 数列 、 等式 等 内容 交 汇处 的一 个 不
较为 活跃 的知识点 ， 随着 中学数学 引进导数 ， 它为 我
图形 ， 不妨 设对 称 中心是 （ ，） 所 以对 于任意 的 ， ａ６ ， ２ ）＋ ）＝２ 恒 成立 ， 得 ｎ＝ｌ ４ ） ６ 。一 ｂ 可 ｏ （一 ， ｇ
心 为 （ｏ ）０ （ ０ ． １ｇ（一 ， ） ＜ ） １ ３ 解析 几何 直线 与 圆恒过 定点 问题 ．
例 １ 设 平 面 直 角 坐标 系 ｘ ｙ中 ， 二 次 函 数 ｏ 设 ）＝ ＋ ＋６ ∈Ｒ） ２ （ 的图象 与两 坐标 轴有 三个 交点 ， 经过 这 三个 交 点 的 圆 记 为 Ｃ 求 ： １ 求 圆 Ｃ ． （）
的方程 ； ２ 问 圆 Ｃ是否 经过某 定点 （ （） 其坐 标 与 ６ 无
１ 等 式 的恒 成 立 问题
１ １ 赋 值 型 ．
等式 中 的恒成立 问题 ， 常常 用赋值 法求解 ， 特别
是解 决填空 题 、 选择题 能很 快求 得结果．
关） ？请 证 明你 的结论． 分 析 ： １ 略． Ｃ的方程 为 ＋ｙ ＋ 一（ （） 圆 ２ ｂ＋
直 线 ＝ ０对 称． 若 ２ ）十 ） ｂ恒成 立 ， ａ— ＝２ 则 函数 厂 ） 于点 （ ，） （ 关 ｎ ６ 中心 对称． 例 １ 若奇 函数 ． ）：Ｏ４ 。 ｚ ＋ｅ 厂 （ ，＋ ＋ ＋ Ｘ ， 且 １ ３ ２ ）： ）：８求 。 ６。ｄ 。 ， ，，，，．
１ Ｙ＋ｂ＝ ． ） ０
侈 由等式 ＋ ， 。 ａＸ ＋０ ＝（ ０ １ ０ ＋ ２ ４ ＋１ ＋ １ ） ６（ ｌ ＋１ ＋ｂ （ ＋１ ＋６ （ ） ２ ） ３ ＋１ ）＋ｂ ， 义 映射 ４定 厂 （ ｌ０ ，３ 口 ） ６ ＋６ ＋６ ＋６ ， ０ （ ， ， ， ） ： 口 ，２ ０ ， ４ ＿ １ ２ ３ ４ 贝 ｆ ４ ３ ２ １
关于“恒成立”问题的解题归纳
龙源期刊网
关于“恒成立”问题的解题归纳
作者：张文
来源：《中国校外教育·基教(中旬)》2013年第01期
“恒成立”问题是高考热点内容，一般属于中等或偏难的题目。
教师在教学过程中要经常引导学生对典型例题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识，形成知识板块结构和方法体系，从而不断提高学生的数学解题能力，增强对数学学习的信心。
高中数学恒成立例题分析
有人认为高中数学学起来不容易，花了很多时间，做了很多题还感觉做题被动，思维不畅通。
当然我们并不是否认做题的重要性，而是更想强调的是做题后的总结归纳的重要性。
这里我们不妨就高中数学学习中经常会碰到带有“恒成立”字样的问题进行研究，学生如能把握问题的思维特点，领会问题实质，是解决这类问题的关键。
“恒成立”问题的思维特点和解题的关键就在一个“恒”字上，解这类问题需要涉及到一次函数、二次函数、指对函数、三角函数、复合函数的性质和图像及导数的应用，渗透着换元化归思想、数形结合思想、函数与方程等思想方法，有助于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点。
“恒成立”问题在解题过程中大致可分为以下几种方法：转换为求函数最值；分离参数法；主参换位法；数形结合法；反证法。
一、转换为求函数最值
三、主参转换法。
高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧
数学探究SHUXUE TANJIU教师•TEACHER2020年11月Nov.2020高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧黄友祥(福建省福安市高级中学，福建宁德355000)摘要：在高考试卷题目中，恒成立问题占据重要地位，既用来考查学生对高中数学知识的掌握和理解情况，又是决定高考数学成绩的关键。
对高中数学学习而言，学生掌握恒成立问题的解题方法和技巧，不仅可以有效 提高学习能力，还能为今后的数学学习奠定扎实的基础。
文章主要概述高中数学中相关恒成立问题，分析掌握 其解题方法和技巧的意义，最后提出几点具体有效的解题方法和技巧。
关键词：高中数学；恒成立问题；解题方法；技巧中图分类号：G633.6文献标识码：A收稿日期：2020-05-28文章编号：1674-120X (2020) 31-0044-02一、高中数学中恒成立问题的概述在高中数学知识体系中，恒成立问题是高中数学知识学 习的重难点。
在不等式中，恒成立问题不仅范围广，而且参数多，同时包含变量，通常情况下还与数列、函数等知识融 合在一起，使得恒成立问题的难度增加。
由此可见，恒成立 问题并不是一般的数学问题，具有复杂的思维逻辑、灵活多牵牛花开了；五点左右，蔷薇开了；七点，睡莲也开了……引导学生抓住文中描写花的不同句式，在整个教学过程中，始终坚持以学生为主体，让学生自己去学习。
在日常语文教学中，将语文课堂让位于学生，让学生有 发现，教师引导学生质疑、探疑、解疑。
让学生有展示。
给 学生展示的机会，让学生把不好的地方暴露出来，也是给教 师了解学生的机会，帮助他们解决问题。
让学生有活动。
语 文活动的起点是语言文字运用，终点也应是提高学生语言文 字运用的能力，一切都要围绕这个点开展教学活动。
在实际 语文教学中，有些教师在课堂上组织的活动并非真的语文活 动，看似热热闹闹，落脚点却不在语言文字运用上。
真正的 语文活动是通过语言表现或者通过语言描写出来的。
(三）注重读写结介，强化学生的语用实践读写结合，模仿练笔迁移。
谈高中数学中的恒成立问题
多媒体把四棱锥和三棱锥进行比对ꎬ讨论出四棱锥的空间特点等概念.３.几何体和空间向量的转化能力教师要引导学生认识几何体在空间中的特性ꎬ并且不断提高数学信息的转换能力.还是对立体几何的证明与计算或者把空间几何体转化成为向量的关系等.空间想象力有关的逻辑推理能力的目的是为了解决立体几何的相关问题ꎬ基于此ꎬ要不断地进行信息的处理ꎬ运用文字信息㊁符号信息和图形信息等方式进行立体几何信息的交流ꎬ最终的目的是让学生们能够就某个具体的立体几何问题进行数据的转换ꎬ提高逻辑推理能力.在进行立体几何问题的证明时ꎬ须要进行文字信息㊁符号信息以及图形信息的相互转化ꎬ不断进行已知㊁求证㊁证明的推导过程.㊀㊀三㊁立体几何教学对于学生逻辑推理核心素养的培养的几个方面㊀㊀立体几何教学对于广大青年学生逻辑推理核心素养的培养主要表现在六个方面.这六个方面分别是符号的表示方面㊁思想的转化方面㊁归纳类比方面㊁推导证明方面㊁运算的求解方面㊁以及反思与建构方面.教师在教学过程中ꎬ要注重对青年学生运用符号语言和图形语言的培训ꎬ要时常向学生渗透转化思想的能力ꎬ提高他们逻辑推理核心素养.在教学实践中有意识地培养学生们的归纳类比的素养ꎬ养成复习和预习的好习惯.要求学生们对 线面平行 等数学公理和定理的相互推导熟练掌握.要培养青少年在求证和推导的过程中专心致志ꎬ提高解决数学问题的正确率.要敦促学生们对自己的推理过程进行不断的反思ꎬ从而得出对这一问题的新认识.综上所述ꎬ数学是中学教育的课程中最富有逻辑思维的学科ꎬ立体几何又是流于生活㊁形于研究ꎬ具有形㊁数的双重特征ꎬ是培养学生逻辑推理核心素养的重要学科.㊀㊀参考文献:[１]杨莹.高中数学立体几何教学中情景教学有效运用分析[Ｊ].才智ꎬ２０１７(２６):８０.[２]邓天发.高中立体几何教学如何培养学生空间想象能力[Ｊ].学周刊ꎬ２０１６(３６):１７７－１７８.[３]仇夜生.高中立体几何教学中如何帮助学生形成空间想象能力[Ｊ].中国校外教育ꎬ２０１６(１２):１３２.[责任编辑:杨惠民]谈高中数学中的恒成立问题陈德华(江苏省溧阳市竹箦中学㊀２１３３５１)摘㊀要:高中数学需要学生有很强的思维能力ꎬ所以教师在进行教学时要注意培养学生的思维能力.且在进行数学解题过程中ꎬ学生需要掌握正确的教学方法ꎬ而后才能够快速而且正确的去进行数学问题的解决.恒成立问题作为高中数学学习中不可缺少的一部分ꎬ需要教师在进行教授过程中多多让学生练习相关的解题方法.而且掌握高中数学恒成立问题的解法和思路不仅是高中阶段的重要任务ꎬ还是日后学习数学的一个基础.关键词:高中数学ꎻ恒成立问题ꎻ解题方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)０９－０００３－０２收稿日期:２０１８－０１－０１作者简介:陈德华(１９６７.２－)ꎬ男ꎬ江苏省溧阳人ꎬ高级教师ꎬ本科ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀高中数学十分考验学生的综合能力ꎬ而且学生在进行数学问题的解决过程中会提升自身的思维能力ꎬ所以教师在进行高中数学教授时要注意讲究方法ꎬ从而提升学生在数学方面的综合素质.数学问题有很多种类ꎬ而且针对不同的不同种类的数学问题有不同的解决方法ꎬ学生只有掌握了正确的解决方法ꎬ才能够高效率地去解决数学问题ꎬ所以教师在平时课堂教授过程中应该多多去传授给学生解题方法ꎬ而不应该让学生去进行记忆解题.恒成立问题是数学问题的一个重要类别ꎬ而且解决该问题时有很多种思路和方法ꎬ例如分离参数法ꎬ函数最值法等ꎬ教师在进行教授时应该针对每一种解题方法都举例说明ꎬ并让学生做适当的练习ꎬ在做题的过程中去进行总结ꎬ从而提升学生自身的逻辑能力和解决数学问题的能力.㊀㊀一㊁构造函数恒成立法函数是数学问题中一个很重要的类别ꎬ通过函数学生可以解决很多问题ꎬ并且将数学问题进行简化.而恒成立问题是指在已知条件下ꎬ无论其他变量有什么变化ꎬ其３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.命题都永远成立.高中数学恒成立问题中涉及到很多函数ꎬ所以在进行该问题的解决时ꎬ教师不妨让学生利用函数去求解.一次函数ꎬ二次函数甚至是多元函数等都是数学中重要的知识点ꎬ也是考试的重点内容.函数在数学问题中以多种形式展现ꎬ因此其学习难度系数较大ꎬ所以教师在让学生利用函数去解决恒成立问题时ꎬ要教授给学生正确的方法ꎬ让数学问题不再成为难题.而利用函数去解决恒成立问题ꎬ其中一个重要的方法就是构造新函数ꎬ通过新函数的构造来简化问题ꎬ从而使得恒成立求解更加容易ꎬ让学生能够更加高效率的解决恒成立问题.除此之外ꎬ函数可以在坐标系中作图ꎬ所以在解决恒成立问题时ꎬ教师可以利用函数的图像来进行求值.我们在利用函数解决恒成立问题时要注意转化ꎬ可以通过未知数的转化ꎬ或者是将函数转化成图像来进行求解.例如ꎬ若不等式２ｘ－１>ｍ(ｘ２－１)ꎬ对满足－２ɤｍɤ２所有的ｘ都成立ꎬ求ｘ的取值范围.这是一道关于不等式的恒成立问题ꎬ而且不等号两边都有未知数ꎬ我们不妨先将原不等式转化为ｍ(ｘ２－１)－(２ｘ－１)<０ꎬ而为了借助函数去解决该问题ꎬ我们可以再构造函数ｆ(ｍ)＝(ｘ２－１)ｍ－(２ｘ－１)(－２ɤｍɤ２)ꎬ不难发现ꎬ该函数是一次函数ꎬ那么题干中的不等式恒成立问题便转化成一次函数的恒成立问题ꎬ即ｆ(ｍ)>０恒成立.在该问题中ꎬ需要求出变量的取值范围ꎬｘ为已知参数ꎬ这与以往的求未知数的取值范围不同.那么在此问题中ꎬ我们可以针对一次项的系数进行分类ꎬ当ｘ－１分别等于０ꎬ小于０ꎬ大于０时ꎬ让函数大于０的关于ｘ的解集ꎬ根据此种方法ꎬ我们将ｘ看成变量ꎬ完成了函数变量的转化ꎬ从而更加容易的解决恒成立问题.所以学生在平时解决恒成立问题中ꎬ不妨多多去利用函数的性质来简化恒成立问题.㊀㊀二㊁数形结合恒成立法数学学习过程中会有很多图形ꎬ而且这些图形与数字有着密切的联系ꎬ并且在解题过程中ꎬ若利用图像ꎬ会简化问题的解决步骤.而且图像与很多类数学问题都有联系ꎬ例如函数问题.而在进行函数图像绘画时ꎬ首先需要去构造函数ꎬ并且求出自变量的范围ꎬ而后再做出坐标系去考虑函数与函数图像之间的联系ꎬ最后作出函数图像.在数学问题的解决过程中ꎬ数形结合的思想应用很普遍ꎬ也很高效.利用该思想可以直接将一些复杂难懂的公式以及概念通过图像直观表示出来ꎬ从而使得学生能够更进一步的理解数学问题.而在解决恒成立问题过程中ꎬ学生也可以利用数形结合的方法去进行该类问题的解决ꎬ且通过做出图像能够更加准确地求出恒成立问题成立时未知数的范围.例如ꎬ解由２ｘ－１ȡｘ－２ꎬｘ＋８ȡ４ｘ－１组成的方程组ꎬ传统解法中直接去计算方程组的解ꎬ但为了简便计算ꎬ我们可以将其看成为不等式的恒成立问题并且去利用图像进行求解ꎬ首先我们计算出每一个方程的解集ꎬ作出数轴ꎬ并将两个方程的解集分别标在数轴上ꎬ取其交集ꎬ而交集即是恒成立问题的解ꎬ也是该方程组的解.很明显这种方法比直接解方程组速度快ꎬ正确率高.所以学生在解决恒成立问题时ꎬ不妨多多作图像ꎬ从而在图像中寻找解决问题的简便方法.㊀㊀三㊁分离参数恒成立法恒成立问题往往是求不同变量的取值范围ꎬ而且在该问题的整式中会含有多种参数ꎬ包括已知和未知参数.所以学生在进行解题时ꎬ要能够将这些参数进行分离ꎬ分离的过程可以通过将含有参数的不等式问题进行变形来实现.分离参数解决恒成立问题ꎬ能够将复杂的恒成立问题简单化ꎬ且能够提升解决问题的正确率和效率.在平时的数学问题解答过程中ꎬ我们通常将不同的位置数转换成未知元ｘꎬ在恒成立习题中ꎬ我们可以将参数视作主元ꎬ通过这种转化可以简化恒成立问题.分离参数进行恒成立问题的解决时ꎬ学生需要正确将未知数转化ꎬ而实现此能力需要学生进行多次的锻炼ꎬ那么教师在平时的课堂上ꎬ便可以多多去带领学生练习该方面的习题.例如在 ｘɪＲ时ꎬ不等式４ａ＋ｓｉｎｘ＋ａ２ȡ０恒成立ꎬ求出实数ａ的取值范围. 的恒成立问题解题过程中ꎬ通过观察已知条件ꎬ我们发现该问题中有两个变量ａ和ｘꎬ其中ｘɪＲꎬ另一变量ａ范围是求值数ꎬ所以在利用分离参数解决恒成立问题时ꎬ首先我们要对ａ和ｘ进行分离ꎬ解出解析式的变形后为ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘ<ａ２－４ａꎬ而这边转化成了不等式的恒成立问题ꎬ所以为了使得该不等式永远成立ꎬａ２－４ａ必须大于ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘꎬ此时我们便可以求函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘ的最值来求解ꎬｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘ＝(ｓｉｎｘ＋２)２－４ɤ５ꎬ则ａ２－４ａ>５ꎬ最终我们解出ａ的范围:小于－１或者是大于５.在该问题中ꎬ我们通过分离参数ꎬ将恒成立问题转化成求得函数的最值问题ꎬ从而进行进一步参数的求值.总之ꎬ高中数学恒成立问题主要是探求未知数的取值范围和解集ꎬ而且往往恒成立问题中会掺杂许多其他种类的数学知识ꎬ包括数学的函数ꎬ数学不等式以及各种图像等ꎬ这便让恒成立问题解决起来变得困难.但也正是由于恒成立问题中包含许多其他类问题ꎬ我们所能用来解决问题的数学性质增多ꎬ这便为我们解决数学恒成立问题提供了多种方法.教师在进行恒成立问题的教授时应该让学生多多去练习ꎬ并且在练习中学会总结ꎬ从而让学生找出最适合自己的解决恒成立问题的解题方法.㊀㊀参考文献:[１]孟凡栋.恒成立型不等式中参数范围的几种求法[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２００４(０１).[责任编辑:杨惠民]４Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
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.n b +证明：当2
(1cos
=+22 4.a =
,2n n
+ 4132n n
+++ 1122
n n n
++-11122n n n +=--2
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()(2
≠++=a c bx ax x f 1. （1）若关于x 的不等式02
>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；
（2）若关于x 的不等式32
-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范
围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数
a 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.
3. 求与抛物线2
:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.
4. 设a ∈R ，二次函数2
()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，
{}|13,B x x A B =<<≠∅，求实数a 的取值范围.
)
0()(2
≠++=a c b x a x x f
B ≠∅⇔ (2) 当0a >时{x x x >B ≠∅⇔21a +3<⇒于是,实数a 的取值范围是)6,7⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
解法二:
(1) 当0a <时象的对称轴
2.a ⇒<-
6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
学会用函数和变量来思考
()f x 是奇函数上单调递增。
解：
()f x m ≤]1,1-恒成立，即max 1am f +≥，
max f f =2
20am m -+≥在[1,1-
又4a > 0≥ 6∴-4a -≤≤⑶当22
a
-
>又4a <- 总上所述，-⑶解法一：分析：题目中要证明上恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间0在[]2,2-
()lg(f x =又1a b >>}0>
()lg(x
f x a b =-b
(f x '∴)x 在()0,+∞上单调递增上单调递增，∴。