专题4.2 数列求和附答案解析-2021年高考数学(文)尖子生培优题典2

， a4 的等差中项为 10.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）求 Tn
2 S1S2
22 S2S3
2n Sn Sn1
.
19．（2020·荆州市北门中学期末（文））已知等差数列an 满足
(a1 a2 ) (a2 a3 ) (an an1) 2n(n 1) （ n N * ）.
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货
物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记
第
n
层货物的个数为
an
，则数列
(n
n 2)an
的前
Baidu Nhomakorabea
2020
项和为（
）
2020
A．
6069
4040
9 b1 b9
S9 T9
29 9 3 9 1 14
,选 B.
2
5．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））已知数列an ， an
n2
sin
n 2
，则数列an 的前
100
项
和为（ ）
A． 5000
B． 5000
C． 5050
D． 5050
【答案】B
【解析】由题意知， 当 n 2k, k N 时， a2k 2k 2 sin k 0 ；
当n
2k
1, k
N 时， a2k1
2k
12
sin
2k 1 2
，所以数列an 的前
100
项和
S100 a1 a2 a3 ... a100 a1 a3 a5 ... a99 1 32 52 72 ... 972 992
8 / 23
1 3 1 3 5 7 5 7 ... 97 99 97 99
A．五寸
B．二尺五寸
C．五尺五寸
D．四尺五寸
3．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））等差数列 an 前 项和为 Sn ，若 a4 ， a10 是方程
x2 8x 1=0 的两根，则 S13 （ ）
1 / 23
A． 58
B． 54
C． 52
D． 56
4．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差数列an 和bn 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ，对一切自然数 n ，
B．
6069
2020
C．
2023
4040
D．
2023
7．（2020·湖南邵阳·三模（文））已知函数 f x x2 ax 的图象在点 A 1, f 1 处的切线 l 与直线
x
3y
2
0
垂直，若数列
f
1
n
的前
n
项和为
Sn
，则
S2020
的值为（
）
2018
A．
2019
2019
B．
2020
2020
3 / 23
17．（2020·福建其他（文））已知公差不为 0 的等差数列 an ，其前 n 项和为 Sn ， a1 1，且 S1 、 S2 、
S4 成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式； （2）令 bn 2n an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn . 18．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 30 ， a2
a1 a2
a2020
15．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模（文））已知数列an 的各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足
4Sn an2 2an n N * ，设 bn 1 n anan1 ， Tn 为数列 bn 的前 n 项和，则T20 ______．
16．（2020·全国高三其他（文））数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 an Sn n ，则 Sn ________.
x2 8x 1=0 的两根，则 S13 （ ）
A． 58
B． 54
C． 52
D． 56
【答案】C
7 / 23
【解析】 a4 , a10 是方程 x2 8x 1 0 的两根，
a4 a10 8 ，
a4 a10 2a7 8 ，
S13
13
a1
a13 2
13a7
52 ，故选
C.
，设数列 Cn 的前 n 项和为 Tn ，求 T2n .
解析附后
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2021 学年高考数学（文）尖子生同步培优题典
专题 4.2 数列求和
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 二、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·全国专题练习（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些 新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差 或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数 列，其前 7 项分别为 1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第 8 项为( )
（Ⅱ）求数列
an 2n1
的前
n
项和
Sn
.
20．（2020·全国专题练习（文））设 a1 2, a2 4 ，数列{bn}满足：bn+1＝2bn+2，且 an+1﹣an＝bn；
（1）求证：数列{bn+2}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式．
21．（2020·湖南邵阳·三模（文））设数列an 满足： a1 1， 3an1 an 4 0 ， n N* . （1）求证：数列an 2 为等比数列，并求出an 的通项公式；
都有 Sn Tn
2n 3n 1 ，则
a5 b5
（
）
2
A．
3
9
B．
14
20
C．
31
11
D．
17
5．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））已知数列an ， an
n2
sin
n 2
，则数列an 的前
100
项
和为（ ）
A． 5000
B． 5000
C． 5050
D． 5050
6．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模（文））对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究
12．（2020·山西其他（文））设函数
f (x) log2
2x 4 2x
，数列an 满足 an
f
n 2020 ，则
a1 a2 a4039 ______.
14．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（文））在数列an 中，已知 a1 1， an1 an n 1 ，则
1 1 1 =______．
A．五寸 【答案】C
B．二尺五寸
C．五尺五寸
D．四尺五寸
【解析】设晷影长为等差数列{an}，公差为 d ， a1 145 ， a13 25 ， 则145 12d 25 ，解得 d 10 ．
a10 145 10 9 55
夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸． 故选： C ．
3．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））等差数列 an 前 项和为 Sn ，若 a4 ， a10 是方程
解得： x 141
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故选：D．
2．（2020·湖北宜昌·其他（文））我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节 气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四 个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷 长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（ ）
cn
(1)n1
bn anan1
，则数列
cn
的前 2020 项和为（
）
A． 2019 2020
2019
B．
2020
C． 2020 2021
2020
D．
2021
10．（2020·山东青州·高三三模（文））已知数列an ，定义数列an1 2an 为数列an 的“ 2 倍差数 列”，若 an 的“ 2 倍差数列”的通项公式为 an1 2an 2n1 ，且 a1 2 ，若函数 an 的前 n 项和为 Sn
A．99
B．131
C．139
D．141
【答案】D
【解析】 所给数列为高阶等差数列
设该数列的第 8 项为 x
根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，
得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列
即得到了一个等差数列，如图：
根据图象可得： y 34 12 ，解得 y 46
x 95 y 46
A．99
B．131
C．139
D．141
2．（2020·湖北宜昌·其他（文））我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节 气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四 个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷 长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（ ）
2
1
3
5
7
...
97
99
2
50
50
2
49
2
5000
.
故选:B
6．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模（文））对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究
成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货
物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记
C．
2021
2021
D．
2022
8．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年
提出了以下猜想 Fn 22n 1(n 0,1, 2,L ) 是质数．直到 1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出
F5 641 6700417 ，不是质数．现设 an log2 Fn 1,(n 1, 2,L ) ， Sn 表示数列an 的前 n 项
，则 S33 （ ）
A． 238 1
B． 239 2
C． 238 2
D． 239
11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（文））设数列{an}满足 a1 3a2 (2n 1)an n ，若不等式 a1a2 a2a3 anan1„ n log27 对任意 n N * 恒成立，则实数 的最小值是_____．
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（2）若 bn an log3 an 2 ，求数列bn 的前 n 项和 Sn .
22．（2020·广西高三其他（文））已知数列an 的前
n
项和为
Sn
，
a1
1 2
，
Sn Sn1
Sn
Sn1
0n
2
.
1 （1）求证：数列 是等差数列；
Sn
（2）若 Cn
Sn n
3
, n为
为
为
2n1, n为 为 为
4．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差数列an 和bn 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ，对一切自然数 n ，
都有 Sn Tn
2n 3n 1 ，则
a5 b5
（
）
2
A．
3
9
B．
14
20
C．
31
11
D．
17
【答案】B
【解析】
a5 b5
2a5 2b5
a1 a9 b1 b9
9 a1 a9 2
和．则使不等式 2 22 2n 2n 成立的最小正整数 n 的值是（提示 210 1024 ）（ ）
S1S2 S2S3
SnSn1 2020
2 / 23
A．11
B．10
C．9
D．8
9．（2020·全国高三其他（文））已知数列an ，bn 都是等差数列， a3 b1 3 ， a15 b7 15 ，设
2021 学年高考数学（文）尖子生同步培优题典
专题 4.2 数列求和
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·全国专题练习（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些 新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差 或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数 列，其前 7 项分别为 1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第 8 项为( )
第
n
层货物的个数为
an
，则数列
(n
n 2)an
的前
2020
项和为（
）
2020
A．
6069
4040
B．
6069
2020
C．
2023
4040
D．
2023
【答案】B
【解析】由题意可知 a1 2 ， a2 a1 3 ， a3 a2 4 ， ， an an1 n 1，累加可得