1证明实数域和复数域不存在其它的数域

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复数域是代数封闭域的证明

复数域是代数封闭域的证明我们知道，代数封闭域是指任何代数方程都能在其中有解的域。

如果我们考虑一个复数域，也就是由实数和虚数构成的域，那么它满足以下条件：1. 对于任何a,b\in\mathbb{C}，a+b和ab都是复数；2. 复数域是有序域，也就是说，任何两个复数都可以比较大小；3. 复数域存在无理数，也就是说，存在实数x，使得x^2<0。

由以上条件，我们可以证明复数域是代数封闭的：首先，对于任何代数方程P(x)=0，其中P(x)是一个多项式，我们可以将x表示为实部和虚部的形式：x=a+bi，其中a,b\in\mathbb{R}。

因为我们知道实数域是代数封闭的，所以P(a+bi)=0一定有解。

接着，我们考虑当b\neq 0时，a+bi与a-bi都是方程P(x)=0的解，因为它们互为共轭复数，即P(a+bi)=0时，P(a-bi)=0一定成立。

因此，我们可以把多项式P(x)表示成以下形式：P(x)=(x-(a_1+b_1i))(x-(a_1-b_1i))\cdots(x-(a_n+b_ni))(x-(a_n-b_ni))Q(x)其中a_i,b_i\in\mathbb{R}，Q(x)是一个没有实数零点的多项式。

因为x= a+bi 可以满足方程P(x)=0，所以至少存在一个括号(x-(a_i+b_i))或(x-(a_i-b_i))满足(a_i+b_i)x+(a_i-b_i)\overline{x}=C，其中C\in\mathbb{R}是一个常数。

因此，我们可以令x=\frac{C-(a_i-b_i)\overline{x}}{a_i+b_i}，得到一个实数解。

最后，由于Q(x)没有实数零点，所以Q(x)本身就在复数域中有解，因此我们可以得到，任何代数方程在复数域中都有解。

因此，我们可以证明复数域是代数封闭的。

代数基本定理

n(n−1) 2
=
2n−1q(2kq − 1)
=
zk−1q′ ,
其中
q′
=
q(2kq − 1)
为奇数。
在环 P [x] 中组成用这些元素 βij 为根且只用它们做根的多项式 g(x)：
∏ g(x) = (x − βij).
i<j
g(x) 的系数为 βij 的初级对称多项式，由（1）式知，它们是 α1, α2, ..., αn 的实系数对称多项式。由对称多项式基本定理，多项式 g(x) 的系数是所给 f (x) 的系数的多项式（f (x) 系数为实数），故仍
2) 假设小于等于 k-1 时，命题成立。设 P 为实数域上多项式 f (x) 的分裂域，且设 α1, α2, ..., αn 为域 P 中 f (x) 的根。选取 ∀c ∈ R, 且取出域 P 中形如下列的元素：
βij = αiαj + c(αi + αj), i < j
(1)
元素
βij
的个数为
θ∈[0,2π]
在 Ω 内为常数。即 |f (z)| 在 Ω 内无局部最大模，除非 f (z) 恒为常数。
Theorem 3.2. （代数基本定理）n 为正整数，P (z) = zn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0, 其中 ai ∈ C, i = 0, 1, ..., n − 1. 则 P (z) 至少有一个根。
+
ζ) |
≤
|1
+
C eiθ ζ l |
+
D|ζ |l+1
=
|1
−
C λl |
+

复数域和实数域的关系

复数域和实数域的关系当我们学习数学时，经常会遇到复数和实数的概念。

复数域和实数域是数学中两个重要的数域，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

本文将探讨复数域和实数域之间的关系。

我们来介绍一下复数和实数的概念。

实数是我们日常生活中常用的数，包括整数、有理数和无理数等。

它们可以在数轴上表示，并且可以进行加减乘除等基本运算。

而复数则是由实数和虚数单位i组成的数，其中虚数单位i是一个满足i²=-1的数。

复数可以用a+bi 的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分。

复数域是由所有的复数组成的集合，记作C。

实数域是由所有的实数组成的集合，记作R。

可以看出，实数是复数的一个特例，也就是说实数是复数的一种特殊形式。

在复数域中，实数可以看作虚数部分为0的复数。

虽然实数是复数的一种特殊形式，但复数和实数在数学中有着不同的性质和应用。

首先，复数域是一个扩充了实数域的数域。

在实数域中，方程x²=-1没有解，而在复数域中，我们可以用i来表示这样的解。

这样的解对于解析几何和代数等领域有着重要的应用。

复数域具有良好的代数性质。

在复数域中，我们可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律等运算规则。

这些性质使得复数域成为一个重要的数学工具，在解决实际问题中起到了重要的作用。

复数域还与实数域有着紧密的联系。

在数学中，我们常常将复数表示为实部和虚部的形式，即a+bi。

实部表示复数的实数部分，虚部表示复数的虚数部分。

通过实部和虚部的运算，我们可以将复数域中的运算转化为实数域中的运算，从而更好地理解和应用复数。

在物理学中，复数域也有广泛的应用。

例如，在电路分析中，复数可以用来表示交流电的大小和相位差。

在波动光学中，复数可以用来描述光的振幅和相位。

这些应用都是基于复数域和实数域之间的关系，通过将复数转化为实数的形式，进而进行具体的计算和分析。

复数域和实数域之间存在着密切的关系。

实数可以看作是复数的一种特殊形式，在复数域中可以进行更加广泛和丰富的数学运算。

第一讲多项式

第一讲多项式一、数域的判定 1、数域的概念设P 是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P 为一个数域。

2、常见的数域有理数域Q ，实数域R 和复数域C 。

3、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域是最小的数域；（2）在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他数域。

要求准确掌握数域的定义，能用定义正确判断一个数集是不是一个数域，能用定义推导数数域的性质。

例1、设P 是一个数集，有一个非零数a P ∈，且P 关于减法，除法（除数不为0）封闭，证明P 是一个数域。

例2、下列各数集是否构成数域？说明原因。

（1）{}1,P a a b Q =+∈；（2）{}2,P a b Q =+∈。

例3、证明：实数域和复数域之间不存在其他的数域。

二、一元多项式的概念 1、一元多项式的概念形式表达式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域P 上文字x 的一元多项式，其中01,,,n a a a P ∈ ，n 是非负整数。

当0n a ≠时，称多项式()f x 的次数为n ，记为()()f x n ∂=或()()deg f x n =，并称n n a x 为()f x 的首项系数。

i i a x 称为()f x 的i 次项，i a 称为()f x 的i 次项系数。

当10n a a === ，00a ≠时，称多项式()f x 为零次多项式，即()()0f x ∂=；当100n a a a ==== 时，称()f x 为零多项式。

零多项式是唯一不定义次数的多项式。

注：这里多项式中的x 看作一般的文字或符号，它可以是变数（中学讲述的多项式即为如此），也可以是矩阵、线性变换等，具有更一般的意义。

这里把多项式看成一种形式上的表达式（中学数学将多项式看成一类函数），其中的“+”号并不意味着“加”， i i a x 也并不意味“乘”和“乘方”。

浅谈实基本初等函数和复基本初等函数的性质

丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌保山学院学报浅谈实基本初等函数和复基本初等函数的性质袁远（滁州城市职业学院教育系，安徽滁州239000）[摘要]研究对实变量和复变量中的基本初等函数的性质进行了比较，并对给出的性质加以了证明，并通过图像对比从而更直观地理解其性质。

[关键词]基本初等函数；实数量；复数量[中图分类号]O13[文献标识码]A doi:10.3969/j.issn.1674-9340.2020.05.009 [文章编号]1674-9340（2020）05-043-06在数学教学中，函数从中学就开始学习一直延伸到大学，它在数学中的地位非常重要，基本初等函数是函数的重要组成部分。

秦涛等人通过复变量对数函数的基本性质证明了Ln z(1/n)≠(1/n)Ln z的关系中α不是(1/n)的任何复数[1]。

同时，基本初等函数不仅只定义在实数域中，其定义域也可延拓到复数域中[2]。

翟羽比较了复变量函数与实变量函数性质，进行了较为详细的归纳总结[3]。

此外，复变量在三角函数中同样也有相应的应用。

白淑珍等人利用级数与欧拉公式给出了复变量三角函数的级数定义，并提出相关的例子证明正弦、余弦函数的性质[4]。

然而，复基初等函数的许多概念、理论和方法是实数域中的基本初等函数在复数域内的推广和发展。

1不同函数性质比较1.1指数函数性质比较实指数函数的定义域为全体实数域，值域为(0,+∞)，而复指数函数的定义域为整个复平面，值域为e z≠0的复平面。

对于实指数函数z=x+iy，当z=x(y=0)时，实指数函数和复指数函数的定义是一致的。

即e z就是实指数函数。

实指数函数无周期，而复指数函数是以2πi为基本周期的周期函数。

下面证明复指数函数是以2πi为基本周期的周期函数。

证明：设z=x+iy，则e z+2kπi=e x+(y+2kπ)i=e x［cos(y+2kπ)+i sin(y+2kπ)］=e x(cos y+i sin y)=e z(k=0,±1,±2,…)。

复数域和实数域的关系

复数域和实数域的关系复数域和实数域是两个不同的数学概念，但它们之间存在着密切的关系。

在本文中，我们将探讨复数域和实数域之间的关系，并介绍一些相关概念和定理。

首先，我们来回顾一下复数的定义。

一个复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位。

虚数单位定义为 i^2 = -1。

根据这个定义，我们可以得出一些基本的性质：1. 任何实数都可以表示为 a+0i 的形式；2. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等；3. 复数加法和乘法都满足交换律、结合律和分配律。

接下来，我们来看看复数域和实数域之间的关系。

实际上，复数域包含了实数域。

也就是说，每一个实数都可以看作是一个形如 a+0i 的复数。

因此，在某种意义上说，实数域是复数域的一个子集。

然而，这并不意味着两者完全相同。

事实上，在复平面上，我们可以将每一个复数表示为一个点。

而对于实轴上的点，则只有一维坐标（即实部），而对于虚轴上的点，则只有一维坐标（即虚部）。

因此，实数域可以看作是复平面上的一个直线，而复数域则是整个平面。

这种区别在数学中有着重要的意义。

例如，在解析几何中，我们通常使用复数来表示向量。

这是因为复数可以表示为模长和幅角的形式，而模长和幅角分别对应向量的长度和方向。

因此，使用复数可以更方便地进行向量运算。

另一个重要的概念是共轭复数。

对于一个形如 a+bi 的复数，它的共轭复数定义为 a-bi。

显然，如果一个复数是实数，则它的共轭复数就等于它本身。

共轭复数在求解方程、证明定理等方面都有着重要的应用。

最后，我们来介绍一些与实数域和复数域相关的定理。

其中最著名的定理之一就是欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个公式表明了指数函数和三角函数之间的关系，并且在许多领域都有着广泛的应用。

另外还有柯西-施瓦茨不等式、洛朗级数、拉格朗日插值等等定理，它们都涉及到实数域和复数域的概念，并且在数学中有着广泛的应用。

高等代数：数环与数域

又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意

初等数学研究第三讲

有理数的阿基米德性质 na b

n na b
即n
性质3 实数集具有连续性（数学分析中已证明）性质4 实数是不数集
二、复数域
1、复数的概念（矩阵）
定理：复数集C关于它的加法和乘法构成复数域。
2、复数的代数形式 1）、复数的代数形式 a bi(a, b R) 叫做复数的代数形式。虚部不为零的复数叫做虚数，实部为零的虚数叫做纯虚数。 2）、共轭复数
实数的乘法运算
对于 , R
有n n n n
则
注：正实数的积唯一
实数的除法运算
x,
x

注：正实数的商唯一两个负实数，正、负实数以及正负实数与零的四则运算按有理数数集中的相关规定进行。
b、正实数的开方定理对于a R , 存在唯一的x R ，
第三讲
实数域和复数域
一、实数域
1、无理数的引入 1）证明 2 不是有理数。 2）可 2 为无限不循环的小数。
2、无理数的概念无限不循环的小数叫做无理数 3、实数及其顺序 1）、实数的概念 a、正实数：十进位小数叫做正实数 b、负实数：对于每一个正实数，有一个新元素与其对应，满足 ( ) ( ) 0 c、正实数和负实数统称为实数。
2）、实数的顺序
3、退缩有理闭区间序列 1）、区间套定义：
4）、实数的运算 a、实数的四则运算实数的加法运算（减法运算 , x,
x
n
）
对于 , R

有
n n n
则
定理：正实数与的和是唯一的。正实数的加法运算满足交换律和结合律。

复数域的概念和概念

复数域的概念和概念复数域，又称复数数域，是数学中的一个非常重要的概念。

复数域是由实数域扩充而得到的，它包含了实数域中不存在的一种元素，这个元素通常被称为虚数单位i（或j）。

复数域可以表示形如a+bi的数，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2=-1。

复数的概念最早可以追溯到16世纪。

当时，人们在求解方程时发现，有时方程没有实数解，但可以用虚数来表示方程的解。

这就引起了人们对虚数的探索和研究。

随着研究的深入，人们发现复数的运算规则和性质与实数非常相似，因此复数域的概念逐渐形成。

复数域的一个重要性质是它是一个域，也就是说它满足了域的九大公理。

其中，加法构成一个交换群，乘法满足结合律和分配律，同时存在加法单位元0和乘法单位元1，对于每个非零元素a，存在加法逆元-b和乘法逆元1/a。

复数的加法和乘法规则可以通过对实部和虚部的分别相加和相乘来定义。

例如，对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和z1+z2=(a+c)+(b+d)i，乘积z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。

通过这种方式，可以将复数的加法和乘法推广到任意两个复数的运算。

复数域中还有一些重要的概念，如共轭复数和复数的模。

对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数是z* = a-bi，即实部不变，虚部取相反数。

复数的模定义为z =sqrt(a^2 + b^2)，它表示复数到原点的距离。

通过共轭复数和复数的模，可以定义复数的除法和求倒数的运算。

例如，对于一个非零复数z=a+bi，它的倒数表示为1/z = (a-bi)/(a^2+b^2)，即将z除以它的模的平方，并取其中的共轭。

这样定义的除法保证了复数域中的除法是良定义的，而不会引起除零错误。

复数域的应用非常广泛，几乎涉及到数学的方方面面。

在代数学中，复数域是一个重要的研究对象，如复数域上的多项式理论、代数方程的解析解和代数结构的研究。

在分析学和函数论中，复数域是一种方便和强大的工具，如复数域上的函数、复变函数、傅里叶变换等。

2024届浙江省嘉兴市重点中学高三第一次质量检测试题数学试题

2024届浙江省嘉兴市重点中学高三第一次质量检测试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A ．45B ．50C ．55D ．603．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（） A ．5B ．10C ．20D ．306．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 7．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．12 8．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为（） A ．32-B ．32C ．23-D ．239．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．10．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A ．13 B ．14 C ．15 D ．1611．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（） A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e 12．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

代数基本定理的几种证明

2014-3050-021 本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海讲师提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.2．论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.3．论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.4．论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）》和“论文样板”执行.5．论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计）,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定.学生签名：时间：年月摘要代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用.最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著《代数新发现》提出, 然而没有给出证明.1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后, 于1746年达朗贝尔才给出第一个证明.到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明.直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明.在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用，因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的, 因此也就之称为代数基本定理.然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了.现在据说也已经有了两百多种证法.虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的.本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法.[关键词]：代数基本定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise "Algebra newly discovered" put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond d'Alembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so it's called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Ro che’s theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.[Key Words]：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roche’s theorem; Lowville Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)1. 引言 ................................................................................................................... - 1 -2.1. 利用多项式证明..................................................................................... - 2 -2.1.1. 引理................................................................................................ - 2 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理.................................................... - 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明......................................................................... - 3 -2.2.1. 柯西积分定理................................................................................ - 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理........................................ - 4 -2.3. 利用刘维尔定理证明............................................................................. - 5 -2.3.1. 刘维尔定理.................................................................................... - 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理............................................ - 6 -2.4. 利用儒歇定理证明................................................................................. - 7 -2.4.1. 儒歇定理........................................................................................ - 7 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理................................................ - 7 -2.5. 利用最大模定理证明............................................................................. - 8 -2.5.1. 最大模定理.................................................................................... - 8 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理............................................ - 9 -2.6. 利用最小模定理证明........................................................................... - 10 -2.6.1. 最小模定理.................................................................................. - 10 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理.......................................... - 10 -3. 总结 ................................................................................................................. - 11 - 参考文献.............................................................................................................. - 12 -致谢……………………………………………………………………………….-12 -代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N 次方程在复数域上会不会有N 个根？另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理.根据钟玉泉编写的《复变函数论》,代数基本定理的具体描述为：任何n 次多项式方程在复数域中至少有一个根.根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n 次多项式方程有且只有n 个根[1].可见证明代数基本定理意义十分重要.这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著《代数新发现》中提出，但没有得到证明。

实数与复数域的性质与运算法则

复数域的应用
工程学：控制系统、信号处理、电路设计等领域中复数域的应用
物理学：量子力学、电磁学等领域中复数域的应用
数学：代数几何、函数分析等领域中复数域的应用
计算机科学：算法设计、数据压缩等领域中复数域的应
用
THANK YOU
汇报人：XX
物理科学：实数域在物理科学中有着广泛的应用，例如在描述物体的运动、波动、热传导等现象时，都需要用到实数域的数学知识。
工程领域：实数域在工程领域中也有着广泛的应用，例如在电路分析、信号处理、控制系统等领域，都需要用到实数域的数学知识。
计算机科学：实数域在计算机科学中也有着重要的应用，例如在计算机图形学、数值计算等领域，都需要用到实数域的数学知识。
减法法则：实数的减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。乘法法则：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)， (a+b)*c=a*c+b*c。除法法则：实数的除法可以转化为乘法，即a/b=a*(1/b)，其中1/b是b的倒数。
实数域的应用
数学分析：实数域是数学分析的基础，为研究函数的性质提供了重要的工具。
复数域的性质与运算法则
复数域的定义
复数域是由所有形如a+bi（a，b 为实数）的数构成的集合，其中i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数域是唯一的代数封闭域，即任何代数封闭域都可以通过添加一个元素得到复数域。
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复数域是实数域的代数闭包，即任何复数域中的多项式都有根。
复数域是可分的，即对于任意非零的复数z，存在一个非零的复数c，使得cz不等于0。

第1章多项式(解答题)(68题)

1.设P 是至少含有两个数的数集,且P 对加法与乘法运算封闭,如果P 中任意数a 的a -属于P ,且任意非零数a 的a -属于P ,则比为数域.证 ,a b P ∀∈,由于b P -∈,因此()a b a b P -=+-∈.再当0a ≠时,由于1a P -∈,而P 对乘法运算封闭,故1bba P a-=∈.即P 对减法及除法运算也封闭,从而P 作成数域.2.设P 是至少含有两个数的数集,如果P 中任意两个数的差及商(除数不为零)属于P ,则P 必为数域.证由题设P 中至少含有一个非零数a .因为P 对减法和除法运算封闭,所以0a a P =-∈,1aP a=∈. ,c d P ∀∈,则0d d P -=-∈,所以()c d c d P +=--∈. ,c d P ∀∈,当0d =时,0cd P =∈;当0d ≠时,1cd cP d=∈. 故P 对加法、乘法运算是封闭的,因而P 是数域.3.判断下列数集是否为数域:1){1P a =+{}21,,1P a a b Q i =+∈=-; 2){}2,,P a bi a Q b R R =+∈∈是实数域; 3)3,,2nm P m n Z Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭是整数集.解 1)1P 是数域。

易见120,1P P ∈∈.任取a +,1c P +∈,则1()()()(a c a c b d P +-+=-+-∈.再设0a +≠,则12233ac bd P a b +=+∈+. 即1P 对减法、除法运算是封闭的,所以由第2题知1P 作成数域.2)2P 不作成数域.这是因为例如2i P ∈,2i P = 即2P 对乘法运算不封闭.3)3P 不作成数域.取357,22P ∈,但3575227P =∉,即3P 对除法运算不封闭.4.设3,,2P a b Q m ⎧+⎪=+∈=⎨⎪⎪⎩⎭，则P 是一个数域.证由m =，得===, 所以2b a a a ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭令2b a c +=,2bd =,则,c d Q ∈,则,a b Q ∈. {}{},,P a b Q c d Q =+∈=+∈.故P 是数域.5.实数域R 与复数域C 之间不存在其它的数域.证设P 是C 中任意一个包含R 不同于R 的数域，则P 至少含一个复数()0a bi b +≠.于是由是数域得()a bi ai P b+-=∈. 又R P ⊆,所以对任意的实数,c d 都有c di P +∈,即含全体复数,所以P C =.6.下列法则是否为有理数集到整数集的映射?如果是,它们是否为单射或满射? 1)1:ϕ分数ba b a→+,其中,a b Z ∈; 2)2:ϕ既约分数ba b a→+,其中,a b Z ∈; 3)3:ϕ分母为正的既约分数ba b a→+,其中,a b Z ∈,其中,,0a b Z b ∈>. 答 1）1ϕ不是Q 到Z 的映射,因为相等的有理数1224=在1ϕ的作用下对应不同的数3与62）2ϕ不是Q 到Z 的映射,因为12-和12-是相等的既约分数，但它们在2ϕ的作用下分别对应-1和1.3）3ϕ不是Q 到Z 的映射,因为每个有理数写成分母为正的既约分数时是唯一的.3ϕ是满射,因为n Z ∀∈有311n n ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭.3ϕ不是单射.因为35与53的象都是8.7.设{}1,,n A a a = ,{}1,m B b b = .则A 到B 的不同映射的总数为n m .证设11()a x B σ=∈,1x 可以1,,m b b 中的任意一个元素,即共有m 种不同选法.类似地22()a x σ=,其中2x 也有m 种不同的选法.以此类推,共有n m 种不同的选法.从而有nm 个不同的映射.B8.从n 个元素集到m 个元素集()m n ≥的不同单射总数为 .证设{}1,,n A a a = ,{}1,m B b b = .把B 的元素看成房间,每一个单射,相当于每个i a 各住B 的一个房间,其不同住法共有:()!!!n m m C n m n =-9.下列各集合M 对所规定的法则是不是M 的二元运算: 1)M Z =(整数集),法则:ba b a = ; 2)M Z +=(正整数集), 法则:ba b a = ; 3)M Z =*,法则:2a b a b =+ ; 4)M Z -=(负整数集), 法则:a b ab =- ; 5)M R =(实数集),法则:1a b = ; 6){}1,1,,M i i =--, 法则:普通除法; 7)M Q =(有理数集), 法则:,0,0,0;a a ab a >⎧=⎨<⎩ ;8)M R *=(非零实数集), 法则:普通除法; 9)M R =,法则:普通除法.解 1)不是.例如12(1)2M -=∉ . 2)是M 的二元运算.因为对任何正整数a ,b ,ba b a = 是一个唯一确定的正整数. 3) 是M 的二元运算.因为对任何负整数a 与b ,2a b +是一个唯一确定的整数. 4) 是M 的二元运算.因为当a ,b 为任何负整数时,ab 为正整数,而a b ab =- 为唯一确定的负整数.5) 是M 的二元运算.因为对任二实数a ,b ,都有唯一确定的值1与之对应.6) 是M 的二元运算.因为1,1,,i i --中任意两数相乘(包括自身相乘在内),其积仍在M中.7)不是.因为法则没有规定01 等于什么.8)是.因为对任意二非零实数,a b ,有唯一确定的非零实数aa b R b*÷=∈. 9)不是.因为0R ∈,对任意,0a R a ∈÷无意义.10. 下列各法则是不是M 的二元运算: 1),00a b M a b R ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,法则: 普通矩阵乘法 2) ,,,,0a b a b M a b c d R c d c d ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈≠⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,法则:A B AB A B ''=+ . 解 1)是.2)不是.因为1012,,0101A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于22.22AB A B M ⎛⎫''+=∉ ⎪⎝⎭因此不是的二元运算11.系列个集合对所规定的二元关系是否满足结合律和交换律:221),;M Z a b a b ==+ .2),;M Q a b b == .3),;M Q a b a b ab ==+- .24),;M R a b ab == .*5)(),;aM R a b b== 非零实数集. 6),2.M R a b a b ==+ .解 1)满足交换律.但是(11)01(10)≠ .故不满足结合律. 2)满足结合律.不满足交换律,因为1221≠ . 2)满足交换律和结合律,因为,a b a b ab =+- ,b a b a ba =+-故;a b b a =()()(),a b c a b ab c a b ab c a b ab c =+-=+-+-+- ()()(),a b c a b c bc a b c bc a b c bc =+-=++--+-故()().a b c a b c = 4)结合律和交换律都不满足.例如1221,(11)21(12).≠≠5)结合律和交换律都不满足.例如1221,(12)31(23).≠≠6)结合律和交换律都不满足.例如1221,(00)10(01).≠≠12.求32()31f x x x tx =-+-的值，使32()31f x x x tx =-+-有重根解： 2()36f x x x t '=-+方法一：()f x 与()f x '做辗转相除法求公因式方法二：利用结式 21310131(,)(3)(415)36000360036t t R f f t t t t t----'==-+--- 当(,)0R f f '=时，()f x 有根。

高等代数选讲之多项式理论

小的数域。
（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；在实数域与复数域之间不存在其他的数域。
例1、设P是一个数集，有非零数 a P ，且P关于减
法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。
证因为 a P ，所以 0 a a P,1 a P. a
a,b P, 有 a b a 0 b P, 即P对加法封闭。
多元多项式函数对称多项式基本性质
根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系数的关系
重点、难点解读
这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：
（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质。
（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、互素的概念与性质。
两式相乘得 x102 1 x2 1 f x
由于x102 1与 x2 1 无奇次项，从而 f x不可能有奇
次项，故其奇次项系数之和等于零。
法2 因为 f x f x，所以 f x是偶函数，于是 f x的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等
于零。
例2、设 f x 为一多项式，若 f x y f x f y
n 是非负整数。当 an 0 时，称多项式 f x的次数为 n.
记为 f x n.
2、多项式的相等关系设
f x anxn an1xn1 L a1x a0
g x bnxn bn1xn1 L b1x b0
则
f x g x ai bi i 0,1,2,L ,n
3、次数公式
知识脉络图解
数域
一元多项式概念
多项式函数
多项式的相等及运算
多项式恒等及多项式函数的运算

北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷

北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞ 2．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（） A ．5 B ．52 C ．2 D ．44．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1035．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（）A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 7．231+=-i i （） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 8．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 9．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）A ．37B ．47C ．57D ．6711．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（）A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,112．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

不存在的数学例子

不存在的数学例子
摘要：
1.引言
2.不存在数学例子的概念
3.虚数和复数
4.无穷大和无穷小
5.悖论和反证法
6.结论
正文：
数学是一门基于逻辑和推理的学科，它的发展和进步离不开各种数学例子的支撑。

然而，在数学史上，有些例子并不存在，或者说是无法用现有的数学理论来解释的。

虚数和复数是数学中一个著名的例子。

在实数范围内，我们可以用加减乘除来计算两个数的和、差、积、商。

然而，当我们将实数扩展到复数范围时，事情变得复杂起来。

复数包括实部和虚部，虚部为0 的复数实际上就是实数。

虚数单位i 是一个满足i^2=-1 的数，它使得复数范围内的加减乘除运算变得复杂。

虽然虚数和复数在现实中看似“不存在”，但它们在数学领域中起着重要作用。

无穷大和无穷小是另一个例子。

在数学分析中，我们常常会遇到一些函数，如sin(x) 和cos(x)，它们的值在某些情况下会无限接近于1 或-1。

无穷大和无穷小在数学中是一个概念，表示一种趋于无穷的趋势。

虽然我们无法
直接测量无穷大或无穷小的值，但它们在数学分析和许多其他领域中具有重要意义。

悖论和反证法是不存在的数学例子中的另一个类别。

悖论是一种自相矛盾的陈述，如“这句话是假的”。

悖论使得我们不得不重新审视我们的数学体系和逻辑推理。

反证法是一种证明方法，它通过假设结论不成立来证明其成立。

这种方法依赖于逻辑推理，使得我们能够解决一些看似不可能的问题。

总之，虽然这些不存在的数学例子在某种程度上看似“不合理”，但它们在数学领域中具有重要意义。

1证明实数域和复数域不存在其它的数域

f (1) f (−1) 与都是整数。 α −1 α +1
q 是整系数多项式 p
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an
的根。证明：对任何整数 k ， pk − q 整除 f ( k ) 。 36. 求下列有理系数方程的有理根： 1） x 3 − 6 x 2 + 15 x − 14 = 0 2） x + x − 6 x − 14 x − 11x − 3 = 0
的根都在左半复平面内（即根的实部为负数），当且仅当 a1 , a2 , a3 均为正数，且 a3 < a1a2 。
3 5） P 5 = {a + b 2 | a, b为任意有理数} ；
6） P6 = {
2n | n为任意整数} ； 2n + 1
7） P7 = {a 5 | a为任意有理数} ； 8） P 8 = {全体非负有理数} 。 10. 设 m 是任意给定的正有理数。证明： 1）一切形如 x + y m ( x, y为任意有理数) 的数构成的集合 P 作成一个数域；
4） f ( x ) = x − 6 x − 3 x − 3 。
4 3
30. 证明：多项式 1） f ( x)1 + x +
n
x2 xn +L+ ； n! 2!
n −1
2） g ( x) = x + nx 没有重根。
+ n(n − 1) x n − 2 + L + n(n − 1) L 3 ⋅ 2 x + n !
2） (6 −
1 x − 5 x 2 − x3 )97 (1 − 6 x 2 + 5 x 4 + 2 x 6 )99 的展开式中除 f ( x ) 所得的商 q ( x ) 及余式 r ( x ) ； 1） f ( x) = x − 3 x − x − 1, g ( x) = 3 x − 2 x + 1 ；

复数域和互质数的基本概念

复数域和互质数的基本概念复数域是数学中一个重要的概念，它扩展了实数域，在其中新定义了虚数，是一种有趣的代数结构。

而互质数则是数论中的一个基本概念，指不具有公共因子的两个正整数。

本文将从基本概念出发，深入探讨复数域和互质数。

一、复数域的定义复数是由实数和虚数构成的数，常用“a+bi”的形式表示，其中a 和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数域定义为所有的形如“a+bi”的数的集合，其中a和b都是实数。

与实数域不同的是，复数域中存在虚数，这增加了复数域的性质和特征。

二、复数域的运算复数域中，加法和乘法的定义分别为：（a+bi） + (c+di) = (a+c) + (b+d)i（a+bi） × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i复数域的加法满足交换律、结合律和分配律，具有良好的性质。

而乘法则是非交换的，但满足结合律和分配律。

复数域还定义了减法和除法，其中减法即两数相加其负数，而除法则是乘以倒数。

三、复数域的模和共轭复数域中，模是一个重要的概念，它表示复数的长度。

复数z的模定义为：|z| = √(a²+b²)其中a和b分别为复数z的实部和虚部。

模值是一个非负实数，并满足：|z| × |w| = |zw|另外，复数z的共轭定义为：z* = a - bi共轭复数与原复数实部相同、虚部相反。

共轭复数的定义可以扩展为：|z|^2 = zz*这一公式告诉我们，一个复数的模值等于它本身及其共轭复数的乘积。

四、互质数的定义互质数是指没有公共因子的两个正整数。

换句话说，两个正整数a和b互质，当且仅当它们的最大公约数为1。

例如，13和24是互质数，因为它们的最大公约数为1，而24和36不是互质数，因为它们的最大公约数是12。

互质数是数论中的一个基本概念，它们具有许多重要的性质和应用。

例如，互质数是任何质数的一种形式，也可以用来求解同余方程（即求解形如“ax≡b(mod n)”的方程）。

1证明 实数 域和复数域不存在其它 的数 域

复数域是代数封闭域的证明

代数基本定理

复数域和实数域的关系

第一讲 多项式

浅谈实基本初等函数和复基本初等函数的性质

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高等代数：数环与数域

初等数学研究第三讲

复数域的概念和概念

2024届浙江省嘉兴市重点中学高三第一次质量检测试题数学试题

代数基本定理的几种证明

实数与复数域的性质与运算法则

第1章 多项式(解答题)(68题)

高等代数选讲之多项式理论

北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷

不存在的数学例子

1证明 实数 域和复数域不存在其它 的数 域

复数域和互质数的基本概念

1证明实数域和复数域不存在其它的数域

第一讲多项式

第1章多项式(解答题)(68题)

1证明实数域和复数域不存在其它的数域