1证明 实数 域和复数域不存在其它 的数 域

a1 , a2 ,L, an 。求以下多项式的 n 个根：
1） g ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + L + a1 x + a0 ； 2） h ( x ) = a0 x n + a1bx n −1 + L + an −1b n −1 x + an b n 。 28. 如果 f ( x) = x − 3 x + 6 x + ax + b 能被 x 2 − 1 整除，求 a , b 。
f ( x 2 ) − f ( x) f ( x + 1) = 0
的一切复系数多项式 f ( x ) 。 44．证明： x n −
1 1 可表为 y = x − 的实系数多项式的充分与必要条件是 n 为奇数。 n x x
f ( x) = x 3 + a1 x 2 + a2 x + a3
45．证明：实系数三次多项式
25. 设 p ( x ) 为数域 P 上的次数大于零的多项式。证明：如果 p ( x ) 对任意多项式 f ( x ) ，或
p ( x ) | f ( x ) 或 ( p ( x ), f ( x )) = 1 ，则 p ( x ) 为 P 上的不可约多项式 。
26. 设 P[ x ] 为数域 P 上全体多项式的集合， a 为一复数。证明：数集 P[ a ] 作成数域的充分 与必要条件是， a 为 P 上某个不可约多项式的根。 27. 设 多 项 式 f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an , a0 ≠ 0, an ≠ 0 的 n 个 根 是
3 2
2） f ( x ) = x − 6 x − 9 ；
3
3） f ( x) = x − 24 x − 32 。
3
41．证明：实系数三次多项式 f ( x) = x + px + q 的根都是实数且有二根相等的充分与必要
3
条件是
q 2 p3 + = 0。 4 27
42．设 f ( x ) 是一个复系数多项式， f ( x ) 为把 f ( x ) 的相应系数分别换成它们的共轭复数后 所得到的多项式。证明： 1） g ( x ) | f ( x ) 当且仅当 g ( x ) | f ( x ) ； 2）若 ( f ( x ), f ( x )) = d ( x ) ，则 d ( x ) 是一个实系数多项式。 43．求满足
2） (6 −
1 x − 5 x 2 − x3 )97 (1 − 6 x 2 + 5 x 4 + 2 x 6 )99 的展开式中各项系数之和为 −2 。 2
15. 求用 g ( x ) 去除 f ( x ) 所得的商 q ( x ) 及余式 r ( x ) ； 1） f ( x) = x − 3 x − x − 1, g ( x) = 3 x − 2 x + 1 ；
3 2 2
2） f ( x) = x + x + x + 1, g ( x) = x + 3 x + 2 。
3 2 2
16. 利用综合除法，求用 g ( x ) 去除 f ( x ) 所得的商及余式： 1） f ( x ) = 2 x − 5 x − 8 x , g ( x ) = x + 3 ；
5 3
4 3 2 3 2
2） f ( x) = x − 4 x + 1, g ( x) = x − 3 x + 1 。
4 3 3 2
21. 对下列各题中的 f ( x ) 与 g ( x ) ，求 u ( x ), v ( x ) 使 u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) 。 1） f ( x) = 4 x − 2 x − 16 x + 5 x + 9, g ( x) = 2 x − x − 5 x + 4 ；
2） P 是有理数域的充分与必要条件是， m 为一个有理数的完全平方。 11. 设 P = {a + b m | a, b为有理数,m =
3+ 5 } 。证明： P 作成一个数域。 2
12. 令 F 为包含一切形如 a + b 2 + c 3 + d 6 的数的集合，其中 a, b, c, d 为任意有理数。 证明： F 作成一个数域。 13. 证明：多项式
f ( x) = ( x50 − x 40 + x 48 − x 47 + L + x 2 − x + 1)( x50 + x 49 + L + x + 1)
的展开式中无奇数次项。 14. 证明： 1） (8 x − 6 x + 4 x − 7) (2 x − 3) 的展开式中各项系数之和为 1；
9 7 3 5 7
3 5） P 5 = {a + b 2 | a, b为任意有理数} ；
6） P6 = {
2n | n为任意整数} ； 2n + 1
7） P7 = {a 5 | a为任意有理数} ； 8） P 8 = {全体非负有理数} 。 10. 设 m 是任意给定的正有理数。证明： 1）一切形如 x + y m ( x, y为任意有理数) 的数构成的集合 P 作成一个数域；
2） f ( x) = x − 3 x − 1, g ( x) = x − 2 。
5
17. 设 f ( x) = x + 2 x − 3 x + 4 x − 5 ，求 f (1 + i ) 及 f (1 − i ) 。
4 3 2
18. 问： m, p, q 满足什么条件时，有 1） x + mx − 1| x + px + q ；
pq 的数作成的集合（其
{
}
}
(2) P2 = a + bi | a为任意有理数,b为实数 4.设 P = ⎨a + b m | a, b为有理数,m =
{
⎧ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ 3+ 5 ⎪ ⎬ 。证明： P 作为一个数域。 2 ⎪ ⎭
5.设 F1 及 F2 是两个数域，证明 (1) F1 I F2 作成一个数域； (2) F1 U F2 作成一个数域的充分与必要条件是 F1 ⊆ F2 或 F2 ⊆ F1 。 6.设 p ， q 为不同素数，试证明 Q
4） f ( x ) = x − 6 x − 3 x − 3 。
4 3
30. 证明：多项式 1） f ( x)1 + x +
n
x2 xn +L+ ； n! 2!
n −1
2） g ( x) = x + nx 没有重根。
+ n(n − 1) x n − 2 + L + n(n − 1) L 3 ⋅ 2 x + n !
4 3 2 3 2
2） f ( x) = x − x − 4 x + 4 x + 1, g ( x ) = x − x − 1 。
4 3 2 2
22. 证明：如果 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ，则对任意自Байду номын сангаас数 m ，都有
( f ( x m ), g ( x m )) = 1 。
23. 证明： ( f ( x ), g ( x )) = 1 的充分与必要条件是
F ( x ) = g 0 ( x ) + g1 ( x ) a k + g 2 ( x ) a 2 k + L + g t ( x ) a tk 。
20. 求下列各题中 f ( x ) 与 g ( x ) 的最大公因式：
1） f ( x) = x + x − 3 x − 4 x − 1, g ( x) = x + x − x − 1 ；
1.证明实数域和复数域不存在其它的数域。 2.设 p ， q 是两个整数，令 F 为由一切形如 a + b p + c q + d 。证明： F 作成一个数域。 中 a ， b ， c ， d 为任意有理数） 3.试判断下列各数集是否作成数域？ (1) P1 = a + b 3i | a, b为任意有理数
5 4 3 2
37．先求下列方程的有理根，再求其余各根： 1） 2 x 4 − 15 x 3 + 40 x 2 − 45 x + 18 = 0 ；
2） x 5 − 4 x 3 + 2 x 2 + 3 x − 2 = 0 。 38．设 p1 , p2 , L , ps 是 s 个互不相同的素数， n > 1 。证明： n p1 p2 L ps 是无理数。 39．证明：下列多项式在有理数域上不可约： 1） 5 x 4 − 6 x 3 + 12 x + 6 ； 2） x 6 − 10 x 3 + 2 ； 3） x 6 + x 3 + 1 ； 4） x 4 − 10 x 2 + 1 。 40．利用三次方程解的卡当公式，求下列多项式的根： 1） f ( y ) = y + 3 y + 27 y − 31 ；
∑ ( x − a ) F '(a ) 。
i =1 i i
n
f (ai ) F ( x)
32. 已知 1 − i 是方程 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 − 2 x − 2 = 0 的一个根，解此方程。 33. 已知方程 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 12 = 0 有一个二重根，解此方程。 34. 证明：若 α ≠ ±1 是整系数多项式 f ( x ) 的整数根，则 35. 如果既约分数
2 3
2） x + mx + 1| x + px + q 。
2 4 2
19. 将 多 项 式 f ( x ) 写 成 f ( x ) = g 0 ( x ) + g1 ( x ) ⋅ x k + g 2 ( x ) ⋅ x 2 k + L + g t ( x ) ⋅ x tk ， 其 中
gi ( x)(i = 0,1,L , t ) 是 0 或者低于 k 次的多项式。证明： f ( x ) 被 x k − a k 除的余式是
( f ( x ) g ( x), f ( x ) + g ( x)) = 1 。
24. 证明：若 ( s, n + 1) = 1 ，则多项式
f ( x) = x sn + x s ( n −1) + L + x s + 1
可被 g ( x) = x + x
n n −1
+ L + x + 1 整除，且其商的系数只能是 0或 ± 1 。
( p ) ，其中 Q ( p ) ≠ Q ( q ) ， Q ( q ) 的意义见例 2。
7. 设 F 是至少含有两个数的数集。证明：如果 F 中任两数的差与商（除数不为零）仍属于 F ，则 F 必为数域。 8. 设 F 是至少含有两个数的数集，且 F 对加法与乘法封闭。证明：如果对 F 中任意数 a ，
的根都在左半复平面内（即根的实部为负数） ，当且仅当 a1 , a2 , a3 均为正数，且 a3 < a1a2 。
f (1) f (−1) 与 都是整数。 α −1 α +1
q 是整系数多项式 p
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an
的根。证明：对任何整数 k ， pk − q 整除 f ( k ) 。 36. 求下列有理系数方程的有理根： 1） x 3 − 6 x 2 + 15 x − 14 = 0 2） x + x − 6 x − 14 x − 11x − 3 = 0
4 3 2
29. 判断下列多项式有无重因式： 1） f ( x ) = x − 5 x + 7 x − 2 x + 4 x − 8 ；
5 4 3 2
2） f ( x ) = x + 4 x − 4 x + 3 ；
4 2
3） f ( x ) = x − x − 3 x + 5 x − 2 ；
4 3 2
−a 也属于 F ；而且当 a ≠ 0 时， a −1 也属于 F ，则 F 必为一数域。
9. 下列各数集是否作成数域？ 1） P 1 = {a + b 3i | a, b为任意有理数} ； 2） P2 = {a + bi | a, b为任意有理数} ； 3） P 3 = {a + bi | a为任意有理数,b为任意实数} ； 4） P4 = {a + bi | a, b为任意整数} ；
31. 设 a1 , a2 , L , an 是 n 个不同的数，而
F ( x) = ( x − a1 )( x − a2 ) L ( x − an ) 。
证明：1）
∑ ( x − a ) F '(a ) = 1 ；
i =1 i i
n
F ( x)
2）任意多项式 f ( x ) 用 F ( x ) 除所得余式为