2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)

(1 a) 2 (1 b) 2 4．若实数 a, b 满足 a b 2 ， 4 ，则 a 5 b 5 b a
A.46． 【答】C. 由条件 B.64． C.82． DLeabharlann Baidu128．
（
）
(1 a) 2 (1 b) 2 4 得 a b 2a 2 2b 2 4ab a 3 b 3 0 ， b a
E B H F C
3x x ， BH . 2 2
3x x ，解得 x 3 1 .所以 BE 3 1 . 2 2
因为 BF BH HF ，所以 1
3．设 p, q 均为大于 3 的素数，则使 p 5 pq 4q 为完全平方数的素数对 ( p, q) 的个数为（
D
C
1 15 ，则 x y 的最大值为 ( x y) 4 2
．
1 15 1 15 2 2 可得 ( x y )( x xy y ) ( x y ) ，即 ( x y) 4 2 4 2 1 15 ① ( x y)( x 2 xy y 2 ) . 4 2 1 y 2 3 2 1 2 2 令 x y k ，注意到 x xy y ( x ) y 0 ，故 x y k 0 . 4 2 4 4 1 1 1 15 2 2 2 3 又因为 x xy y ( x y ) 3xy ，故由①式可得 k 3xyk k ，所以 4 4 4 2 1 15 k3 k 4 2 . xy 3k 1 15 k3 k 2 4 2 0 的两根，所以 于是， x, y 可看作关于 t 的一元二次方程 t kt 3k 1 15 k3 k 4 2 0， (k ) 2 4 3k
所以，△ ABC 的边长 BC
2a 2 2 3 .
）
D
2． 如图， 在矩形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BD 于点 E ，AB 1，CAE 15 ， 则 BE （ A.
3 ． 3
B.
2 ． 2
C. 2 1 ．
D. 3 1 ．
A
【答】D. 延长 AE 交 BC 于点 F ，过点 E 作 BC 的垂线，垂足为 H . 由已知得 BAF FAD AFB HEF 45 ， BF AB 1 ， EBH ACB 30 . 设 BE x ，则 HF HE
所以， ( x, y, z ) (2,2,0) 或 (2,0,2) 或 (0,2,2) 或 (0,0,0) ，故共有 4 个符合要求的整数组. 2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 10 页）
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
由已知条件可得 ab bc ca
a5 b5 c5 (a 2 b 2 c 2 )(a 3 b 3 c 3 ) [a 2 (b 3 c 3 ) b 2 (a 3 c 3 ) c 2 (a 3 b 3 )] 3abc [a 2b2 (a b) a 2c 2 (a c) b2c 2 (b c)] 3abc (a 2b 2 c a 2 c 2b b 2 c 2 a)
B.61． C.62． D.63．
（
）
1 1 2018 5 33 ，所以 61 . 2018 M 33 33 1 1 1 1 1 1 又M ( )( ) 2018 2019 2030 2031 2032 2050 1 1 1345 ， 13 20 2030 2050 83230 1 83230 1185 1 所以 ，故 的整数部分为 61. 61 M 1345 1345 M
由对称性，同样可得
( y @ z) @ x x y z xy yz zx xyz ， ( z @ x) @ y x y z xy yz zx xyz .
所以，由已知可得 x y z xy yz zx xyz 0 ，即 ( x 1)( y 1)( z 1) 1 . 所以， x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况：
2 2
）
A.1． 【答】B.
B.2．
C.3．
D.4．
2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准
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设 p 5 pq 4q m （ m 为自然数） ，则 ( p 2q) pq m ，即
2
2
2
2
2
(m p 2q)(m p 2q) pq .
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2 4 x1 x12 x2 x3
2
x2
1 的整数 x 的个数为
C.3． D.4．
（
）
B.2．
2
2
2
（ B.6． C.7． D.8． 第 4 页（共 10 页）
）
A.5．
2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准
【答】A. 方程即 ( x 1)( x 2 x a) 0 ，它的一个实数根为 1，另外两个实数根之和为 2，其中必有一根小 于 1，另一根大于 1，于是 x2 1, x1 x3 2 ，故
由于 p, q 为素数，且 m p 2q p, m p 2q q ，所以 m p 2q 1 ， m p 2q pq ，从 而 pq 2 p 4q 1 0 ，即 ( p 4)(q 2) 9 ，所以 ( p, q) (5,11) 或 (7,5) . 所以，满足条件的素数对 ( p, q) 的个数为 2.
1 5 3abc abc(ab bc ca ) 3abc abc abc . 2 2
所以
a 5 b5 c 5 5 . abc 2
第一试(B)
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．满足 ( x x 1) A.1． 【答】C. 当 x 2 0 且 x x 1 0 时， x 2 . 当 x x 1 1 时， x 2 或 x 1 . 当 x x 1 1 且 x 2 为偶数时， x 0 . 所以，满足条件的整数 x 有 3 个. 2．已知 x1 , x2 , x3 ( x1 x2 x3 ) 为关于 x 的方程 x3 3x 2 (a 2) x a 0 的三个实数根，则
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
2 2 2
a3 b3 (a b)[(a b)2 3ab] 14 ， a 5 b 5 (a 2 b 2 )(a 3 b 3 ) a 2b 2 (a b) 82 .
5．对任意的整数 x, y ，定义 x @ y x y xy ，则使得 ( x @ y ) @ z ( y @ z ) @ x ( z @ x) @ y
x 1 1, x 1 1, x 1 1, x 1 1, y 1 1, 或 y 1 1, 或 y 1 1, 或 y 1 1, z 1 1, z 1 1, z 1 1, z 1 1,
2018 年‫ޘ‬ഭ初中数学联赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
由 x3 y3 化简得 k k 30 0 ，即 (k 3)(k 3k 10) 0 ，所以 0 k 3 . 故 x y 的最大值为 3. 2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 10 页）
3
2
3．没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504. 显然首位数字不能为 0，末位不能为 0 和 5. 当首位数字不为 5 时，则首位只能选 0,5 之外的 8 个数.相应地个位数只能选除 0,5 及万位数之外的 7 个数，千位上只能选万位和个位之外的 8 个数，百位上只能选剩下的 7 个数，十位上只能选剩下的 6 个数. 所以，此时满足条件的五位数的个数为 8 7 8 7 6 18816 个. 当首位数字为 5 时，则个位有 8 个数可选，依次千位有 8 个数可选，百位有 7 个数可选, 十位有 6 个 数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为 8 8 7 6 2688 个. 所以，满足条件的五位数的个数为 18816 2688 21504 （个）.
第一试(A)
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．设二次函数 y x 2ax
2
a2 的图象的顶点为 A ，与 x 轴的交点为 B, C .当△ ABC 为等边三角 2
（ ）
形时，其边长为 A. 6 ． 【答】C. 由题设知 A(a, B. 2 2 ． C. 2 3 ． D. 3 2 ．
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
a2 2a 2 . 2
3 a2 3 又 AD BC ，则 | | 2a 2 ，解得 a 2 6 或 a 2 0 （舍去）. 2 2 2
0 的整数组 ( x, y, z ) 的个数为
A.1． 【答】D. B.2． C.3． D.4．
（
）
( x @ y) @ z ( x y xy ) @ z ( x y xy ) z ( x y xy ) z x y z xy yz zx xyz ，
4．已知实数 a, b, c 满足 a b c 0 ， a b c 1 ，则
2 2 2
a 5 b5 c5 abc
．
【答】
5 . 2 1 1 [(a b c)2 (a 2 b2 c 2 )] ，a 3 b 3 c 3 3abc ，所以 2 2