第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[方法技巧]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x =B ．1y x =-+C ．23y x x =-D ．2y x=3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．y x =B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =-B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x5．（2020·吉林省高三二模（理））下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =6．（2020·北京高三零模）下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ） A．y =B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =7．（2019·全国高三二模（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当1x <时，()xxf x e =，则满足()()1f a f a ->的a 的取值范围是 A ．()2,+∞B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()3,+∞D ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．（2020·河北省衡水中学高三月考（理））函数()y f x =是定义在R 上的增函数，则函数(2)f x -的单调减区间是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．R9．（2020·湖北省高一期末）用{}min ,a b 表示a ，b 两个数中的最小值，设{}()min 2,4f x x x =---，则()f x 的最大值为（ ） A ．-2B ．-3C ．-4D ．-610．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数122(()log 35)x f x ax =-+在(1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(8,6)--B ．(,6]-∞-C ．[8,6]--D ．(8,6]--11．（2019·河南省高三月考（理））若函数()131xf x m =--的图象关于原点对称，则函数()f x 在(),0-∞上的值域为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知函数()f x x =+()f x 有（ ） A ．最小值12，无最大值 B ．最大值12，无最小值 C ．最小值1，无最大值 D ．最大值1，无最小值13．（2020·九台市第四中学高一期末）给定函数：①12y x =，②()12log 1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()01，上单调递减的函数序号是__________．14．（2019·江苏省高三月考）已知函数()223f x x x a =-+，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____．15．（2019·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =16．（2018·安徽省六安二中高一月考）定义在[1,1]-上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=且(1)1f =，又当12,[1,1]x x ∈-且120x x +≠时，有()()12120f x f x x x +>+.若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是__________.17．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数2()21(,0)g x ax ax b a b =-++≥在[]1,2x ∈时有最大值1和最小值0，设()()g x f x x=. （1）求实数a b ，的值；（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围.18．（2018·湖南省衡阳市八中高一月考）已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.（1）证明：函数()21xf x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点；（2）若函数()12423xx f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.19．（2020·湖南省高一开学考试）已知函数()()2log 1f x a x =++，且()11f =.（1）求实数a 的值，并指出函数()f x 的定义域；（2）将函数()f x 图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图象，写出函数()g x 的表达式； （3）对于（2）中的()g x ，关于x 的函数()()223y gx m g x =-⋅+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值.20．（2019·安徽省蚌埠二中高二月考）若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数．．．），则称函数()f x 为“a 距”增函数.（Ⅰ）若31()44f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若2()3xk xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求k 的取值范围.21．（2020·湖南省株洲二中高一月考）设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[]1,1-上的最大值为M .（1）若2b =-，求M 的值；（2）若M k ≥对任意的,b c 恒成立，求k 的最大值.。